Ćwiczenia AM II, 16.12.2016 Elementy teorii miary
Zadanie 1. Wyznaczyć σ-ciało generowane przez rodzinę złożoną z dwóch danych podzbiorów przestrzeni topologicz- nej X.
Zadanie 2. Wyznaczyć ciało i σ-ciało generowane przez rodzinę złożoną ze wszystkich podzbiorów jednopuntowych.
Zadanie 3. Wykazać, że zbiór A ⊂ X jest typu Gδ wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór X \ A jest typu Fσ. Zadanie 4. Czy Q jest typu Fσ. A Gδ?
Zadanie 5. Niech (fn), n = 1, 2, . . . będzie ciągiem funkcji ciągłych fn: R → R. Wykazać, że zbiór A= {x ∈ R : ciąg (fn(x)) jest zbieżny}
jest zbiorem borelowskim.
Zadanie 6. Niech (fn), n = 1, 2, . . . będzie ciągiem funkcji ciągłych fn: R → R. Wykazać, że zbiory (a) A = {x ∈ R :n→∞lim fn(x) = +∞},
(b) A = {x ∈ R : granicą ciągu (fn(x)) jest liczba niewymierna}
są borelowskie.
Zadanie 7. Niech A = {0 ¬ x ¬ 1 : x ma rozwinięcie bez cyfry 3}. Wykazać, że A jest miary zero.
Zadanie 8. Dla każdego A ⊂ X kładziemy
µz(A) =(0, jeśli A = ∅, 1 jeśli A 6= ∅.
Sprawdzić, że µz jest miarą zewnętrzną oraz znaleźć wszystkie podzbiory zbioru X spełniające warunek Carath´eodory’ego.
Zadanie 9. Wykazać, że jeśli zbiór liczb wymiernych z przedziału (0, 1) pokryjemy skończoną liczbą przedziałów, to suma długości tych przedziałów jest nie mniejsza niż 1.
Zadanie 10. Niech dla A ∈ 2R,
µ(A) := inf{
k
X
j=1
vol(Pj) : (Pj) jest skończoną rodziną przedziałów pokrywającą A}.
Czy µ jest miarą zewnętrzną?
Zadanie 11. Wykazać, że zbiór A ⊂ R2jest miary zero:
(a) A = {(x, y) : x − y ∈ Q},
(b) A = {(x, y) : x2+ y2= r2, r∈ Q}.
Zadanie 12. Niech A oznacza zbiór wszystkich liczb przedziału [0, 1] mających rozwinięcie dwójkowe, w którym cyfra 0 nie występuje dwa razy pod rząd. Wykazać, że A jest miary zero.
Zadanie 13. Wykazać, że jeśli zbiór A ⊂ R nie jest miary zero, to dla każdej liczby c ∈ (0, 1) istnieje przedział P taki, że λz(A ∩ P ) > c vol(P ). (λz oznacza miarę zewnętrzną Lebesgue’a.)
1
