Ćwiczenia AM II, 20.12.2018 Elementy teorii miary
Zadanie 1. Wyznaczyć σ-ciało generowane przez rodzinę złożoną z dwóch danych podzbiorów przestrzeni topologicz- nej X.
Zadanie 2. Wyznaczyć ciało i σ-ciało generowane przez rodzinę złożoną ze wszystkich podzbiorów jednopuntowych.
Zadanie 3. Wykazać, że zbiór A ⊂ X jest typu Gδ wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór X \ A jest typu Fσ. Zadanie 4. Czy przedział otwarty (0, 1) ⊂ R jest zbiorem typu Fδ?
Zadanie 5. Czy Q jest typu Fσ. A Gδ? (Wskazówka: R 6= P∞i=1Fj dla żadnych zbiorów domkniętych Fi ⊂ R o pustym wnętrzu (tw. Baire’a).
Zadanie 6. Niech (fn), n = 1, 2, . . . będzie ciągiem funkcji ciągłych fn: R → R. Wykazać, że zbiór A = {x ∈ R : ciąg (fn(x)) jest zbieżny}
jest zbiorem borelowskim.
Zadanie 7. Niech (fn), n = 1, 2, . . . będzie ciągiem funkcji ciągłych fn: R → R. Wykazać, że zbiory (a) A = {x ∈ R :n→∞lim fn(x) = +∞},
(b) A = {x ∈ R : granicą ciągu (fn(x)) jest liczba niewymierna}
są borelowskie.
Zadanie 8. Wykazać, że następujące podzbiory R są miary zero (a) {1/n := 1, 2, 3, . . .},
(b) Q,
(c) zbiór Cantora C = {x : x = P∞i=1a3ii, ai∈ {0, 2}}, (d) {0 ¬ x ¬ 1 : x ma rozwinięcie bez cyfry 3}.
Zadanie 9. Dla każdego A ⊂ X kładziemy
µz(A) =(0, jeśli A = ∅, 1 jeśli A 6= ∅.
Sprawdzić, że µz jest miarą zewnętrzną oraz znaleźć wszystkie podzbiory zbioru X spełniające warunek Carath´eodory’ego.
Zadanie 10. Wykazać, że jeśli zbiór liczb wymiernych z przedziału (0, 1) pokryjemy skończoną liczbą przedziałów, to suma długości tych przedziałów jest nie mniejsza niż 1.
Zadanie 11. Niech dla A ∈ 2R,
µ(A) := inf{
k
X
j=1
vol(Pj) : (Pj) jest skończoną rodziną przedziałów pokrywającą A}.
Czy µ jest miarą zewnętrzną?
Zadanie 12. Wykazać, że zbiór A ⊂ R2jest miary zero:
(a) A = {(x, y) : x − y ∈ Q},
(b) A = {(x, y) : x2+ y2= r2, r ∈ Q}.
(c) A = {(x, f(x)) : x ∈ R} dla dowolnej funkcji ciągłej, (d) A = {(x, y) ∈ R2: ∃a,b,c∈Rax + by = c}.
Zadanie 13. Niech A oznacza zbiór wszystkich liczb przedziału [0, 1] mających rozwinięcie dwójkowe, w którym cyfra 0 nie występuje dwa razy pod rząd. Wykazać, że A jest miary zero.
1
Zadanie 14. (”Gruby” zbiór Cantora) Niech (ai) taki, że ai > 0,P∞
i=12i−1ai< 1, I = I0= [0, 1].
Krok 1. Niech A1 - przedział otwarty współśrodkowy z I, |A1| = a1. Zatem I1 := I \ B1 jest sumą dwóch przedziałów rozłącznych domkniętych.
Krok 2. Niech A2 będzie sumą 2 przedziałów otwartych długości a2, współśrodkowych, odpowiednio, z prze- działami z których ”złożony” jest I1. Stąd I2 := I1 \ A2 jest sumą 4 przedziałów domkniętych, rozłącznych.
I tak dalej, za każdym razem wyrzucamy z każdego odcinka odcinek współśrodkowy z nim o długości ai, w i-tym kroku.
Niech C = I \ S Ai. (Dla ai= 1/3i otrzymamy zbiór Cantora.) Uzasadnić, że A jest brzegowy i λ(C) > 0.
Zadanie 15. Wykazać, że jeśli zbiór A ⊂ R nie jest miary zero, to dla każdej liczby c ∈ (0, 1) istnieje przedział P taki, że λz(A ∩ P ) > c vol(P ). (λz oznacza miarę zewnętrzną Lebesgue’a.)
2
