Egzamin z analizy matematycznej, analityka gospodarcza, rok 1, termin 2
7 IX 2017
Informacje dla zdających:
1. Egzamin trwa 90 minut. Można pracę oddać wcześniej i wyjść, ale nie w ciągu ostatnich 10 minut.
2. Podczas egzaminu wolno korzystać jedynie z kalkulatora, narzędzi do pisania i materiałów otrzymanych od prowadzących egzamin. Wszelkie przedmioty poza wspomnianymi powinny być pozostawione w torbach/plecakach we wskazanym przez egzaminujących miejscu. W szczególności nie wolno używać telefonów komórkowych i własnych kartek.
3. Wszystkie kartki z rozwiązaniami należy podpisać imieniem i nazwiskiem. Na pierwszej kartce, obok imienia i nazwiska należy narysować prostokąt a w środku wpisać swój „pseudonim artystyczny”
pod jakim wynik egzaminu zostanie ogłoszony.
Grupa A Zadania:
1. (200 punktów) Obliczyć granice funkcji:
a) lim
𝑥→∞
(3𝑥2+𝑥−1 3𝑥2+𝑥+1
)𝑥3+2
, b)lim
𝑥→0
𝑒𝑥−𝑥−1 𝑥2 .
2. (200 punktów) Wyznaczyć przedziały monotoniczności, wklęsłości/wypukłości, ekstrema i punkty przegięcia funkcji:
𝑓 (𝑥) = ln2𝑥 − 2 ln 𝑥 + 1.
3. (200 punktów) Użyteczność koszyka złożonego z 𝑥 jednostek cukinii i 𝑦 jednostek bakłażanów dla pewnego konsumenta dana jest wzorem:
𝑢(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 +√
𝑥𝑦 + 𝑦2. Dla koszyka (𝑥0, 𝑦0) = (9, 4) wyznaczyć i zinterpretować:
a) Elastyczność użyteczności koszyka ze względu na ilość jednostek cukinii.
b) Elastyczność stopy substytucji cukinii przez bakłażany w tym koszyku.
4. (200 punktów) Rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego:
𝑑𝑦
𝑑𝑥 − 2𝑥𝑦 = 𝑥; 𝑦(0) = −1.
5. (100 punktów) Wyjaśnić pojęcie szeregu liczbowego. Kiedy mówimy, że szereg liczbowy jest zbieżny, a kiedy, że rozbieżny? Podać przykład szeregu liczbowego zbieżnego i szeregu liczbowego rozbieżnego.
Wybrane wzory:
∫ 𝑏 𝑎
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 ≈ 1
2ℎ[𝑓 (𝑥0) + 𝑓 (𝑥𝑛) + 2
𝑛−1
∑
𝑖=1
𝑓 (𝑥𝑖)];
∫ 𝑏 𝑎
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 − 𝑇𝑛
≤ (𝑏 − 𝑎)3𝑀′′
12𝑛2 ; 𝑓 (𝑥) ≈
𝑘−1
∑
𝑛=0
𝑓(𝑛)(𝑥0) ⋅(𝑥 − 𝑥0)𝑛
𝑛! ; 𝐸𝑥𝑓 (𝑥0) = 𝑥0
𝑓 (𝑥0) ⋅ 𝑓′(𝑥0); (arccos 𝑥)′ = − 1
√1 − 𝑥2;
sin 0 = 0; sin𝜋 6 = 1
2; sin𝜋 4 =
√2
2 ; sin𝜋 3 =
√3
2 ; sin𝜋 2 = 1.
