Egzamin z analizy matematycznej, analityka gospodarcza, rok 1
18 VI 2018
Informacje dla zdających:
1. Egzamin trwa 90 minut. Można pracę oddać wcześniej i wyjść, ale nie w ciągu ostatnich 10 minut.
2. Podczas egzaminu wolno korzystać jedynie z kalkulatora, narzędzi do pisania i materiałów otrzymanych od prowadzących egzamin. Wszelkie przedmioty poza wspomnianymi powinny być pozostawione w torbach/plecakach we wskazanym przez egzaminujących miejscu. W szczególności nie wolno używać telefonów komórkowych i własnych kartek.
3. Wszystkie kartki z rozwiązaniami należy podpisać imieniem i nazwiskiem oraz grupą przydzie- loną na egzaminie. Na pierwszej kartce, obok imienia i nazwiska należy narysować prostokąt a w środku wpisać swój „pseudonim artystyczny” pod jakim wynik egzaminu zostanie ogłoszony.
Grupa B Zadania:
1. (200 punktów) Funkcja użyteczności pewnego konsumenta U w zależności od ilości posiadanego dobra x wyraża się wzorem
U (x) = ln(5x + 2).
a) Wyznaczyć i zinterpretować wartość przychodu krańcowego dla poziomu produkcji x0 = 6;
b) Wyznaczyć i zinterpretować wartość elastyczności przychodu dla poziomu produkcji x0 = 3;
c) Zbadać, czy dla x > 0 funkcja U spełnia prawo Gossena.
2. (200 punktów) Wyznaczyć dziedziny poniższych funkcji, a następnie zbadać istnienie asymp- tot na wszystkich końcach ich przedziałów określoności. Wyznaczyć równania wszystkich (również jednostronnych) asymptot tych funkcji:
f (x) = xe1x, g(x) = x3 − 19x − 30 2x2+ 3x − 2 . 3. (200 punktów) Obliczyć całki:
Z 3 1
x + 3
√2x2+ 12x − 5 dx, Z
(2x2+ 3) cos x dx.
4. (200 punktów) Wynaczyć wszystkie ekstrema warunkowe funkcji f (x, y) = 2x−3y przy warunku 4x2+ y2 = 90.
5. (100 punktów) Podać wypowiedzi twierdzeń Cauchy’ego i d’Alamberta zbieżności szeregów potęgowych oraz przykłady szeregów, których promień zbieżności za ich pomocą można wyznaczyć.
Wybrane wzory:
Z b a
f (x)dx ≈ 1
2h[f (x0) + f (xn) + 2
n−1
X
i=1
f (xi)]; εij(a) = ai· u0xi(a) aj · u0x
j(a). f (x) = f (x0) + f0(x0)
1! (x − x0) + f00(x0)
2! (x − x0)2+ . . . + f(k−1)(x0)
(k − 1)! (x − x0)k−1+ Rk(x);
fsr = 1 b − a
Z b a
f (x)dx; Exif (a) = ai
f (a) · fx0i(a);
sin 0 = 0; sinπ 6 = 1
2; sinπ 4 =
√2
2 ; sinπ 3 =
√3
2 ; sinπ 2 = 1.
