Pokolorujmy elementy zbiorów losowo

(1)

L.O. ´sw. Marii Magdaleny w Poznaniu, 27.11.2015

O

PO ˙ZYTKACH

PŁYN ˛ACYCH Z RZUCANIA MONET ˛A Tomasz Łuczak

(2)

NA POCZ ˛ATEK DOBRA WIADOMO ´S ´C!

Dzi ˛eki naszym o hojnym sponsorom:

Pozna ´nskiej Fundacji Matematycznej

oraz

Miastu Pozna ´n finansuj ˛acemu program

Matma jest super

wykład ten nie b ˛edzie przerywany reklamami!

(3)

DWIE DROGI BADANIA ´SWIATA

Rozwijanie teorii

Rozwi ˛ azywanie problemów

(4)

DWIE DROGI W NAUCE

Sir Galahad Don Juan

Albert Einstein

Ernst Straus

Pál Erd ˝os 1879-1955

1922-1983

1913-1996

(5)

DWIE DROGI W NAUCE

Albert Einstein Ernst Straus Pál Erd ˝os 1879-1955 1922-1983 1913-1996

(6)

DWIE DROGI W NAUCE

Albert Einstein

Ernst Straus

Pál Erd ˝os 1879-1955

1922-1983

1913-1996

(7)

PROBLEM

Przypu´s´cmy, ˙ze mamy rodzin ˛e F składaj ˛ac ˛a si ˛e z 2015 podzbiorów 12-elementowych

1000-elementowego zbioru A.

Czy zawsze da si ˛e pokolorowa´c elementy zbioru A dwoma kolorami tak, by ˙zaden ze zbiorów z rodziny F nie miał wszystkich

elementów pokolorowanych jednym kolorem?

(8)

A CÓ ˙Z TO ZA . . .NIEM ˛ADRE PYTANIE!?!

PROBLEM

(9)

Gdyby´smy widzieli tak ˛a rodzin ˛e, to jako´s by´smy sobie z ni ˛a poradzili!

(10)

Gdyby´smy widzieli tak ˛a rodzin ˛e, to jako´s by´smy sobie z ni ˛a poradzili!

(11)

1000 i 2015 to niedu˙ze liczby, wi ˛ec komputer mo˙ze łatwo sprawdzi´c, czy istnieje takie kolorowanie!

Liczba kolorowa ´n: 2¹⁰⁰⁰ ∼ 10¹⁰⁰

Liczba atomów w naszej galaktyce ∼ 10⁶⁸

Liczba operacji na sekund ˛e dla procesora 10GHz: 10¹⁰ Wiek naszej Galaktyki: ∼ 10¹⁷s

10⁶⁸· 10¹⁰· 10¹⁷ 10¹⁰⁰

(12)

1000 i 2015 to niedu˙ze liczby, wi ˛ec komputer mo˙ze łatwo sprawdzi´c, czy istnieje takie kolorowanie!

Liczba kolorowa ´n: 2¹⁰⁰⁰ ∼ 10¹⁰⁰

Liczba atomów w naszej galaktyce ∼ 10⁶⁸

Liczba operacji na sekund ˛e dla procesora 10GHz: 10¹⁰ Wiek naszej Galaktyki: ∼ 10¹⁷s

10⁶⁸· 10¹⁰· 10¹⁷ 10¹⁰⁰

(13)

ZAMIE ´NMY NASZ PROBLEM NA MNIEJSZY...

PROBLEM

(14)

PROBLEM

Przypu´s´cmy, ˙ze mamy rodzin ˛e F składaj ˛ac ˛a si ˛e z2015 podzbiorów 12-elementowych

1000-elementowego zbioru A.

Czy zawsze da si ˛e pokolorowa´c elementy zbioru A dwoma kolorami tak, by ˙zaden ze zbiorów z rodziny F nie miał wszystkich

(15)

PROBLEM

Przypu´s´cmy, ˙ze mamy rodzin ˛e F składaj ˛ac ˛a si ˛e z2015 zbiorów 12-elementowych

Czy zawsze da si ˛e pokolorowa´c elementy zbiorów z F dwoma kolorami tak, by ˙zaden ze zbiorów z rodziny F nie miał wszystkich

(16)

DEFINICJA

Niech m = m(n) b ˛edzienajmniejsz ˛a liczb ˛a tak ˛a, ˙ze dla pewnej rodziny F składaj ˛acej si ˛e z m zbiorów

n-elementowych, któranie da si ˛e dobrze pokolorowa´c,

tzn. dla ka˙zdego kolorowania elementów zbiorów rodziny F dwoma kolorami istnieje zbiór F ∈ F , którego wszystkie elementy pokolorowane s ˛a jednym kolorem.

Nasz pocz ˛atkowy problem jest równowa˙zny pytaniu: m(12) < 2015 ?

(17)

DEFINICJA

n-elementowych, któranie da si ˛e dobrze pokolorowa´c, tzn. dla ka˙zdego kolorowania elementów zbiorów rodziny F dwoma kolorami istnieje zbiór F ∈ F , którego wszystkie elementy pokolorowane s ˛a jednym kolorem.

Nasz pocz ˛atkowy problem jest równowa˙zny pytaniu: m(12) < 2015 ?

(18)

DEFINICJA

n-elementowych, któranie da si ˛e dobrze pokolorowa´c, tzn. dla ka˙zdego kolorowania elementów zbiorów rodziny F dwoma kolorami istnieje zbiór F ∈ F , którego wszystkie elementy pokolorowane s ˛a jednym kolorem.

Nasz pocz ˛atkowy problem jest równowa˙zny pytaniu:

m(12) < 2015 ?

(19)

m(2) = 3

(20)

m(2) = 3

m(2) > 2 m(2) ≤ 3

m(2) = 3

(21)

m(2) = 3

m(2) > 2

m(2) ≤ 3

m(2) = 3

(22)

m(2) = 3

m(2) > 2

m(2) ≤ 3 m(2) = 3

(23)

m(2) = 3

m(2) > 2 m(2) ≤ 3

m(2) = 3

(24)

m(2) = 3

m(2) > 2 m(2) ≤ 3

m(2) = 3

(25)

m(3) ≤ 7

(26)

m(3) ≤ 7

(27)

m(3) ≤ 7

(28)

m(3) ≤ 7

(29)

m(3) ≤ 7

(30)

m(3) ≤ 7

(31)

m(3) ≤ 7

(32)

m(3) ≤ 7

(33)

REVENONS À NOS MOUTONS

PROBLEM

(34)

POMYSŁ ERD ˝OSA

Pokolorujmy elementy zbiorów losowo!

Dla ka˙zdego z 1000 elementów rzu´cmy monet ˛a, je´sli wypadnie reszka kolorujemy go na

czerwono, je´sli orzeł na niebiesko. W taki sposób łatwo b ˛edzie zobaczy´c,

˙ze mo˙zna unikn ˛a´c zbiorów jednokolorowych!

(35)

POMYSŁ ERD ˝OSA

czerwono, je´sli orzeł na niebiesko.

W taki sposób łatwo b ˛edzie zobaczy´c,

(36)

POMYSŁ ERD ˝OSA

czerwono, je´sli orzeł na niebiesko.

W taki sposób łatwo b ˛edzie zobaczy´c,

(37)

POMYSŁ ERD ˝OSA

Có˙z, wygl ˛ada to do´s´c podejrzanie...

Po pierwsze, je´sli mamy pecha, to wszystkie elementy pokolorujemy jednym kolorem. Po drugie mieli´smyuzasadni ´c, ˙ze da si ˛e zawsze pokolorowa´c tak ˛a rodzin ˛e zbiorów.

(38)

POMYSŁ ERD ˝OSA

Po pierwsze, je´sli mamy pecha, to wszystkie elementy pokolorujemy jednym kolorem. Po drugie mieli´smyuzasadni ´c, ˙ze da si ˛e zawsze pokolorowa´c tak ˛a rodzin ˛e zbiorów.

(39)

POMYSŁ ERD ˝OSA

Po pierwsze, je´sli mamy pecha, to wszystkie elementy pokolorujemy jednym kolorem.

Po drugie mieli´smyuzasadni ´c, ˙ze da si ˛e zawsze pokolorowa´c tak ˛a rodzin ˛e zbiorów.

(40)

POMYSŁ ERD ˝OSA

Po pierwsze, je´sli mamy pecha, to wszystkie elementy pokolorujemy jednym kolorem.

Po drugie mieli´smyuzasadni ´c, ˙ze da si ˛e zawsze pokolorowa´c tak ˛a rodzin ˛e zbiorów.

(41)

POMYSŁ ERD ˝OSA: ROZWINI ˛ECIE

Pokolorujmy elementy zbiorów losowo

i policzmy ile ´ srednio otrzymamy

zbiorów jednokolorowych.

(42)

Pokolorujmy elementy zbiorów losowo i policzmy ile ´ srednio otrzymamy

zbiorów jednokolorowych.

(43)

Oznaczmy przez ω1, ω2, . . . , ωN wszystkie kolorowania zbioru 1000-elementowego (zauwa˙zmy, ˙ze N = 2¹⁰⁰⁰).

X (ωi)- liczba zbiorów jednokolorowych w kolorowaniu ωi.

EX = X (ω1) +X (ω2) + · · · +X (ωN)

N .

(44)

EX = X (ω1) +X (ω2) + · · · +X (ωN)

N .

(45)

EX = X (ω1) +X (ω2) + · · · +X (ωN)

N .

(46)

EX ^{MO ˙}ZNA OBLICZY ´C W INNY SPOSÓB...

Prawdopodobie ´nstwo ρ, ˙ze ustalony zbiór 12-elementowy A jest jednokolorowy jest równe:

ρ =Pr(A jest czerwony) + Pr(A jest niebieski)

=Pr( ) Pr( ) · · · Pr( ) + Pr( ) Pr( ) · · · Pr( )

= 1 2 · 1

2· · · · · 1

2 + 1

2 ·1

2 · · · · · 1 2

=1 2

12

+1 2

12

= 1

2048.

(47)

Poniewa˙z mamy 2015 zbiorów 12-elementowych, wi ˛ec ´srednio

EX = 2015 · ρ = 2015 · 1

2048 = 2015 2048 z nich b ˛edzie jednokolorowych.

Korzystamy tu z liniowo´sci warto´sci oczekiwanej.

(48)

Poniewa˙z mamy 2015 zbiorów 12-elementowych, wi ˛ec ´srednio

EX = 2015 · ρ = 2015 · 1

2048 = 2015 2048 z nich b ˛edzie jednokolorowych.

Korzystamy tu z liniowo´sci warto´sci oczekiwanej.

(49)

PONIEWA ˙Z EX < 1 . . .

Czyli

EX = X (ω₁) +X (ω₂) + · · · +X (ω_N)

N = 2015

2048 <1 .

Zatem istnieje takie kolorowanie ω, ˙ze liczba X (ω) jednokolorowych zbiorów w tym kolorowaniu wynosi 0!

(50)

PONIEWA ˙Z EX < 1 . . .

Czyli

EX = X (ω₁) +X (ω₂) + · · · +X (ω_N)

N = 2015

2048 <1 .

Zatem istnieje takie kolorowanie ω, ˙ze liczba X (ω) jednokolorowych zbiorów w tym kolorowaniu wynosi 0!

(51)

OSZACOWANIA NA m(n)

TWIERDZENIE ERD ˝OS’64 2ⁿ⁻¹ ≤ m(n)

≤ 2n²2ⁿ.

TWIERDZENIE RADHAKRISHNAN& SRINIVASAN’00 r n

log n ≤ m(n)

2ⁿ ≤ 2n².

(52)

OSZACOWANIA NA m(n)

TWIERDZENIE ERD ˝OS’64

2ⁿ⁻¹ ≤ m(n) ≤ 2n²2ⁿ.

TWIERDZENIE RADHAKRISHNAN& SRINIVASAN’00 r n

log n ≤ m(n)

2ⁿ ≤ 2n².

(53)

OSZACOWANIA NA m(n)

2ⁿ⁻¹ ≤ m(n) ≤ 2n²2ⁿ.

TWIERDZENIE RADHAKRISHNAN & SRINIVASAN’00

r n

log n ≤ m(n)

2ⁿ ≤ 2n².

(54)

LICZBY RAMSEYA

DEFINICJA

Niech R = R(n) b ˛edzie najmniejsz ˛a liczb ˛a N tak ˛a, ˙ze dla ka˙zdego pokolorowania zbioru par

{{i, j} : 1 ≤ i < j ≤ N}

dwoma kolorami zawsze istnieje zbiór S ⊆ {1, 2, . . . , N}

taki, ˙ze |S| = n i wszystkie pary wewn ˛atrz S s ˛a pokolorowane jednym kolorem.

(55)

R(3)

DEFINICJA

R(3) to najmniejsza liczba N taka, ˙ze je´sli pokolorujemy wszystkie pary

{{i, j} : 1 ≤ i < j ≤ n}

dwoma kolorami, to zawsze znajdziemy zbiór

S = {x , y , z} ⊆ {1, 2, . . . , N}, w którym wszystkie trzy pary {x , y }, {x , z}, {x , z} s ˛a pokolorowane jednym kolorem.

(56)

R(3)=6

R(3) > 5

R(3) ≤ 6

(57)

R(3)=6

R(3) > 5

R(3) ≤ 6

(58)

R(3)=6

R(3) > 5 R(3) ≤ 6

(59)

R(3)=6

R(3) > 5 R(3) ≤ 6

(60)

R(3) = 6

R(3) > 5 R(3) ≤ 6

(61)

R(3) = 6

R(3) > 5 R(3) ≤ 6

(62)

R(3) = 6

R(3) > 5 R(3) ≤ 6

(63)

R(3) = 6

R(3) > 5 R(3) ≤ 6

(64)

R(n) =?

R(n) >?!? R(n) ≤ 4ⁿ

(65)

OSZACOWANIA NA R(N)

2^n/2 < R(n) ≤ 4ⁿ.

Dowód dolnego oszacowania

Pokoloruj pary {{i, j} : 1 ≤ i < j ≤ 2^n/2} rzucaj ˛ac monet ˛a. Wtedy ´srednia liczba zbiorów n-elementowych, w których wszystkie pary pokolorowane s ˛a jednym kolorem, jest mniejsza ni˙z 1.

(66)

OSZACOWANIA NA R(N)

2^n/2 < R(n) ≤ 4ⁿ.

Pokoloruj pary {{i, j} : 1 ≤ i < j ≤ 2^n/2} rzucaj ˛ac monet ˛a. Wtedy ´srednia liczba zbiorów n-elementowych, w których wszystkie pary pokolorowane s ˛a jednym kolorem, jest mniejsza ni˙z 1.

(67)

OSZACOWANIA NA R(N)

2^n/2 < R(n) ≤ 4ⁿ.

Pokoloruj pary {{i, j} : 1 ≤ i < j ≤ 2^n/2} rzucaj ˛ac monet ˛a.

Wtedy ´srednia liczba zbiorów n-elementowych, w których wszystkie pary pokolorowane s ˛a jednym kolorem, jest mniejsza ni˙z 1.

(68)

OSZACOWANIA NA R(N)

2^n/2 < R(n) ≤ 4ⁿ.

Mimo, i˙z wiemy, ˙ze R(n) > 2^n/2, nie potrafimy udowodni´c, ˙ze

R(n) > 1.00000000001ⁿ nie rzucaj ˛ac monet ˛a!

Dlaczego?!?

(69)

OSZACOWANIA NA R(N)

2^n/2 < R(n) ≤ 4ⁿ.

Dlaczego?!?

(70)

OSZACOWANIA NA R(N)

2^n/2 < R(n) ≤ 4ⁿ.

Dlaczego?!?

(71)

CZY BÓG GRA W KO ´SCI?

(72)

W FIZYCE BÓG GRA W KO ´SCI!

(73)

A W MATEMATYCE I LOGICE?

´S^W. T^{OMASZ Z} A^KWINU Zdecydowanie nie gra!

´S^W. AUGUSTYN

Mo˙ze i nie gra, a mo˙ze i gra...

(74)

´S^W. AUGUSTYN

(75)

´S^W. A^UGUSTYN

(76)

ZDANIE ERD ˝OSA NA TEN TEOLOGICZNY DYLEMAT

(77)

LOSOWO ´S ´C, PSEUDOLOSOWO ´S ´C I INNE OSOBLIWO ´SCI

Jest wiele przykładów na to, ˙ze liczby pierwsze s ˛a, w jakim´s sensie, losowo rozło˙zone w´sród pozostałych liczb.

W´sród wielu twierdze ´n dotycz ˛acych tego

dziwnego zjawiska, jest np. wynik Erd ˝osa i Kaca z 1940 roku, w którym pojawia si ˛e rozkład

normalny.

Najsłynniejsz ˛a hipotez ˛a dotycz ˛ac ˛a “losowego”

rozkładu liczb pierwszych jest hipoteza

Riemanna z roku 1859 roku, jeden z siedmiu problemów millenijnych.