Cwiczenie 1. Czy dan¸ ´ a funkcj¸e da si¸e dookre´sli´ c w punkcie (0, 0) tak, ˙zeby otrzymana funkcja by la ciag la?

ANALIZA II 15 marca 2014

Semestr letni

Ci¸ ag lo´ s´ c i norma

Cwiczenie 1. Czy dan¸ ´ a funkcj¸e da si¸e dookre´sli´ c w punkcie (0, 0) tak, ˙zeby otrzymana funkcja by la ciag la?

f 1 (x, y) = x ² − y ²

x ² + y ² , f 2 (x, y) = x ² y

x ² + y ² f 3 (x, y) = x ² y x ⁴ + y ² .

Cwiczenie 2. Sprawdzi´ ´ c istnienie i ewentualnie obliczy´ c granice

lim

(x,y)→(0,0)

p1 + x ² y ² − 1

x ² + y ² , lim

(x,y)→(0,0) (1 + x ² y ² )

1

x2+y2

, lim

(x,y)→(0,0) (1 + x ² + y ² )

1 x2+y2.

Cwiczenie 3. Niech T : R ´ ⁿ → R ^m b¸edzie odwzorowaniem liniowym o macierzy [t ⁱ _j ] w bazach kanonicznych. Wyznaczy´ c kT k je´sli (a) w R ⁿ kxk = |x ¹ | + · · · + |x ⁿ | za´s w R ^m kxk = max _i=1...m |x ⁱ |, (b) w obu przestrzeniach kxk = max _i |x ⁱ |.

1