Niech u = x2+ y2, v = x2+ y2−2y

ANALIZA MATEMATYCZNA B3

LISTA ZADA‹ 7 12.12.2016

(1) D jest obszarem wewn¡trz krzywej x²+ y² = 1, x, y ≥ 0 ale na zewn¡trz krzywej x²+ y² = 2y. Naszkicuj ten obszar. Niech u = x²+ y², v = x²+ y²−2y. Naszkicuj obszar D^∗ na pªaszczy¹nie Ouv, otrzymany z D w wyniku zmiany wspóªrz¦dnych.

Oblicz ∫∫

D

x e^ydx dy.

(2) Okre±lmy T (u, v) = (u²− v², 2uv). Niech D^∗ b¦dzie zbiorem punktów (u, v) okre-

±lonym warunkami u²+ v² ≤ 1, u, v ≥ 0. Znajd¹ D = T (D^∗). Oblicz:

(a)

∫∫

D

dx dy (b)

∫∫

D

dx dy

√x²+ y².

(3) Niech D b¦dzie obszarem 0 ≤ y ≤ x i 0 ≤ x ≤ 1. Oblicz

∫∫

D

(x + y) dx dy

przez zamian¦ zmiennych x = u + v, y = u − v, oraz bezpo±rednio, bez zamiany.

(4) Niech D b¦dzie koªem jednostkowym. Oblicz

∫∫

D

e^x2+y2dx dy

przez zamian¦ zmiennych na wspóªrz¦dne biegunowe.

(5) Niech D^∗ b¦dzie równolegªobokiem o wierzchoªkach w (−1, 3), (0, 0), (2, −1) i (1, 2). Niech D = [0, 1] × [0, 1]. Znajd¹ odwzorowanie T takie, ze T (D^∗) = D. (6) Odwzorowanie T jest okre±lone na D^∗ = [0, 1]× [0, 1] wzorem T (u, v) = (uv, u).

Znajd¹ obraz zbioru D^∗. Czy T jest ró»nowarto±ciowe? Je»eli nie, to czy mo»na usun¡¢ pewien podzbiór z D^∗ tak, aby na pozostaªej cz¦±ci T byªo ró»nowarto-

±ciowe?

(7) D^∗ jest równolegªobokiem ograniczonym prostymi y = 3x − 4, y = 3x, y = ^x₂ i y = ^x+4₂ . Niech D = [0, 1] × [0, 1]. Znajd¹ odwzorowanie T takie, ze T (D^∗) = D. (8) Odwzorowanie T jest okre±lone na D^∗ = [0, 1]× [0, 1] wzorem T (u, v) = (−u² +

4u, v). Znajd¹ D = T (D^∗). Czy T jest ró»nowarto±ciowe ? (9) Oblicz caªki podwójne:

(a)

∫∫

D

xy dx dy, D : x≥ 0, 1 ≤ x²+ y² ≤ 2, (b)

∫∫

D

(x²+ y²) dx dy, D : y ≥ 0, y ≤ x² + y² ≤ x,

1

(c)

∫∫

D

x√

x²+ y²dx dy, D : x≥ 0, (x²+ y²)² ≤ 4(x²− y²). (10) Oblicz warto±ci ±rednie funkcji:

(a) f(x, y) = sin x cos y, gdzie D = [0, π] ×[ 0,^π₂]

,

(b) f(x, y) = x + y, gdzie D : 0 ≤ y ≤ π, 0 ≤ x ≤ sin y.

(11) Oblicz pola obszarów ograniczonych przez krzywe:

(a) y² = 4x, x + y = 3, y = 0 (y≥ 0), (b) x² + y² − 2y = 0, x²+ y² − 4y = 0,

(c) x + y = 4, x + y = 8, x − 3y = 0, x − 3y = 5.

(12) Oblicz obj¦to±¢ bryªy ograniczonej przez powierzchnie:

(a) x² + y² − 2y = 0, z = x²+ y², z = 0, (b) x² + y² + z²− 2z = 0,

(c) (x − 1)²+ (y− 1)² = 1, z = xy, z = 0, (d) 2z = x²+ y², x + z = 4.

(13) Oblicz pole pªatów powierzchniowych:

(a) z = x²+ y², x²+ y² ≤ 1,

(b) x² + y² + z² = R², x²+ y²− Rx ≤ 0, z ≥ 0, (c) z =√

x²+ y², 1≤ z ≤ 2.

(d) Satelita telekomunikacyjny jest umieszczony na orbicie geostacjonarnej poªo-

»onej na wysoko±ci h = 400 km nad powierzchni¡ Ziemi. Oblicz pole ob- szaru obj¦tego zasi¦giem satelity. Przyjmij, »e Ziemia jest kul¡ o promieniu R = 6400 km.

(14) Oblicz caªki potrójne podanych funkcji po podanych obszarach:

(a) f(x, y, z) = e^x+y+z, gdzie D : x ≤ 0, −x ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ −x, (b) f(x, y, z) = 1

(3x + 2y + z + 1)⁴, gdzie D : x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 1 − x − y, (c) f(x, y, z) = x²+ y², gdzie D : x²+ y² ≤ 4, 1 − x ≤ z ≤ 2 − x.

(15) U»ywaj¡c wspóªrz¦dnych walcowych oblicz podane caªki potrójne po podanych obszarach:

(a)

∫∫∫

D

(x²+ y²+ z²)²dxdydz, gdzie D : x²+ y² ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 1, (b)

∫∫∫

D

xyz dxdydz, gdzie D : √

x²+ y² ≤ z ≤√

1− x²− y², (c)

∫∫∫

D

(x²+ y²) dxdydz, gdzie D : x²+ y²+ z² ≤ R², x²+ y²+ z² ≤ 2Rz.

2

(16) U»ywaj¡c wspóªrz¦dnych sferycznych oblicz podane caªki potrójne po podanych obszarach:

(a)

∫∫∫

D

dxdydz

√x²+ y²+ z², gdzie D : 4 ≤ x²+ y²+ z² ≤ 9,

(b)

∫∫∫

D

(x²+ y²) dxdydz, gdzie D : √

x²+ y² ≤ z ≤√

1− x²− y², (c)

∫∫∫

D

x²dxdydz, gdzie D : x²+ y²+ (z− R)² ≤ R² (R > 0), (d)

∫∫∫

D

x²dxdydz, gdzie D : x²+ y²+ z² ≤ 4x.

(17) Oblicz obj¦to±ci obszarów D ograniczonych podanymi powierzchniami:

(a) x² + y² + z² = 9, x + y + z = 1, x + y + z = 5, (b) x = −1, x = 2, z = 4 − y², z = 2 + y²,

(c) z = 11 + x²+ y², z = 0, x²+ y² = 1.

3