x2+ y2− xy + x + y

Analiza - zestaw 15

Funkcje wielu zmiennych - optymalizacja.

Zadanie 1. Wyznaczy¢ ekstrema lokalne funkcji:

a) f(x, y) = x²+ y²− xy + x + y; b) f(x, y) = 6x + 9y − x²− xy − y²; c) f(x, y) = 2xy − x + 6y − ³₂x²− 2y²; d) f(x, y) = e^2x+3y(8x²− 6xy + 3y²); e) f(x, y) = (x²− y²)e^x; f) f(x, y) = x⁴+ ¹₃y³− 2x²− y²− 3y,

g) f(x, y) = x³+ y²− 6xy − 39x + 18y + 20; h) f(x, y) = xy + x − 4y − x²− 2y²; i) f(x, y) = lnq

x²+y

x−y ; j) f(x, y) = ^x2y−5xy+8x+4y−8

xy−y ;

k) f(x, y) = ^x₃³ − x²y + y²x − 4x + 1; l) f(x, y) = ^y2+6y−x+9_e2(x−1) ;

ª) f(x, y) = x² + y²+ xy + ¹_x +¹_y; m*) f(x, y) = px²+ y²(x²+ y²− 3). Zadanie 2. Wyznaczy¢ ekstrema lokalne funkcji trzech zmiennych:

a) f(x, y, z) = x³− 6xy + y²− z³+ 3z²; b) f(x, y, z) = x²y − xy²+¹₃y³− 9y − z²; c) f(x, y, z) = ^2x_y² + ^y_z² − 4x + 2z², d)f(x, y, z) = sin x + sin y + sin z,

e) f(x, y, z) = 2x+y−xy−x²−y²+ 12z −z³, f) f(x, y, z) = 2x³+y³−6x−12y +2z³−6z; g) f(x, y, z) = x³+ y³+ z³− 3(x + y + z), h) f(x, y, z) = x + _4x^y3 + ^z_y² +²_z;

i) f(x, y, z) = x⁴− y³ + 2z³− 2x²+ 6y²− 3z², j) f(x, y, z) = 4 − x² −^y_x − ^z_y² − ¹_z. Zadanie 3. Wyznaczy¢ ekstrema lokalne funkcji czterech zmiennych:

a) f(x, y, z, v) = x²+ 3xy + 4y² − xz + 5z²+ 2xv + yv + v²; b) f(x, y, z) = x³− 6xy + 3y²+ z³+ 8z²+ v²− 4v.

Zadanie 4. Zysk pewnej inwestycji okre±la funkcja: R(x, y) = e^{−(x−2)2−(y−3)2}, gdzie x - ilo±¢ kapitaªu zainwestowanego w magazynowanie towaru, y - ilo±¢ kapitaªu zainwestowanego w obligacje. Znale¹¢ warto±ci x, y, które daj¡ maksymalny zysk.

Zadanie 5. Koszt jednostkowy dziennej produkcji w fabryce okre±la zwi¡zek:

K(x, y) = x²+ y²+ xy − 20x − 25y + 1500, gdzie x jest siª¡ robocz¡, a y - ilo±ci¡ zu»ytych surowców. Dla jakich warto±ci x i y koszt b¦dzie minimalny?

Zadanie 6. Metod¡ najmniejszych kwadratów dopasowa¢ krzyw¡ f do punktów empi- rycznych:

a) f(x) = ax + b, (1; 0), (2; 1), (3; 2), b) f(x) = ax + b, (1; 0), (2; 1), (3; 1),

c) f(x) = ax + b, (1; 3, 2), (2; 4, 5), (3; 7, 5), d) f(x) = ax²+ b, (0; 1, 1), (1; 1, 9), (2; 5, 2), e) f(x) = ax²+b, (1; 2), (2; 4), (4; 4), (5; 2), f) f(x) = ax+b, (0; 1), (1; 3), (2; 2), (3; 4), (4; 6), g) f(x) = a2^x+ b, (−1; 1), (0; 2), (1; 4), h) f(x) = ax²+ bx, (1; 1), (−1; 2), (2; 2),

i) f(x) = a log3x + bx, (1; 2), (3; 4), (9; −1).

Zadanie 7. Wyznaczy¢ ekstrema warunkowe funkcji f, je±li:

a) f(x, y) = x + y, xy = 4; b) f(x, y) = 5xy, x + y = 1; c) f(x, y) = x + 2y, x²+ y² = 5; d) f(x, y) = x + 2y, x²+ 2y² = 3; e) f(x, y) = x²− 2x + y²− 4y, x − y − 10 = 0; f) f(x, y) = x²+ 2y²− xy, 2x + y = 22g) f(x, y) = xy, x²+ 4y² = 1;

h) f(x, y) = (x + y)², x²+ y² = 2; i) f(x, y) = ¹_x +_y¹, _x¹2 +_y¹2 = 1

j) f(x, y) = x²− 2x − y²+ 1, x²+ y²− 2x = 3; k) f(x, y) = x + y, e^x+y = xy + 1. Zadanie 8. Konsument mo»e wyda¢ 1280 PLN na dwa dobra: X i Y, kosztuj¡ce odpo- wiednio 1 PLN i 16 PLN za jednostk¦. Jego funkcja u»yteczno±ci, opisuj¡ca, jak ceni on sobie x jednostek dobra X i y jednostek dobra Y jest dana wzorem U(x, y) = x³y. Ile powinien zakupi¢ ka»dego dobra, by zmaksymalizowa¢ u»yteczno±¢?

Zadanie 9. Zysk z wytworzenia 2 produktów okre±la funkcja P (x, y) = 8x−x²+ 4y − y², gdzie x, y - wielko±¢ produkcji tych produktów. Zakªadaj¡c, »e dzienna produkcja ª¡czna tych produktów wynosi 10, znale¹¢ warto±ci x, y, które daj¡ maksymalny zysk.

Zadanie 10. Zakªad wytwarza w ilo±ci x i y na dan¡ jednostk¦ czasu dwa typy tenisowych piªeczek. Koszt wyprodukowania tych piªeczek to K(x, y) = 2x²+ 6y²+ 4xy + 10. Przy

1

2

zaªo»eniu, »e wytwarza si¦ 20 takich piªeczek w danej jednostce czasu, ustali¢ x i y, by koszt byª minimalny.

Zadanie 11. Tygodniowa produkcja pewnego towaru jest opisana funkcj¡ Cobba-Douglasa Q = L¹⁴K³⁴, gdzie L oznacza nakªady pracy, a K - nakªady kapitaªu. Obliczy¢

najmniejszy koszt wyprodukowania w ci¡gu tygodnia 5000 jednostek towaru, je±li jed- nostka nakªadu pracy kosztuje 5 PLN, a jednostka nakªadu kapitaªu to 1 PLN.

Zadanie 12. Wiadomo, »e konsumenta charakteryzuje funkcja u»yteczno±ci Cobba- Douglasa u(x, y) = x^αy^1−α. Nie znamy parametru α, ale je±li konsument ma zmaksyma- lizowa¢ swoj¡ u»yteczno±¢ przy warunku x + y = 3 to wybiera x = 1, y = 2. Znale¹¢

α.

Zadanie 13. Metod¡ algebraiczn¡ wyznaczy¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsz¡ warto±¢ funkcji na zbiorze opisanym nierówno±ciami:

a) f(x) = x + 2y − 1, gdy 3x + 5y ≤ 30, 4x + 10y ≤ 50, x ≥ 0, y ≥ 0, b) f(x) = 3x + 4y + 3, gdy −2x + 3y ≥ 9, 5x + 3y ≥ 30, x ≥ 0, y ≥ 0, c) f(x) = 3x + y, gdy 2x + y ≤ 20, −x + 8y ≤ 24, x ≥ 0, y ≥ 0, d) f(x) = x + 2y + 17, gdy −2x + 3y ≥ 2, x ≥ 5, y ≥ 5,

e) f(x) = 5x − 10y + 1, gdy x + y ≤ 1, x − y ≤ 1, x − 2y ≥ −2, f) f(x) = 4x + y + 2, gdy x + y ≤ 1, x − y ≤ 1, x − 2y ≥ −2,

g) f(x) = 2y − 2x − 1, gdy x ≥ −1, y ≤ 2, x − y ≥ 0, 2x − y ≥ 0, x + y ≤ 7, h) f(x) = x + 2y + 3, gdy x ≥ −1, y ≤ 2, x − y ≥ 0, 2x − y ≥ 0, x + y ≤ 7.

Zadanie 14. Pewna fabryka u»ywa do produkcji mebli dwóch rodzajów drewna. Obecnie posiada 60 m³ drewna I typu i 40m³ drewna drugiego typu. Do wyprodukowania stoªu potrzeba 0, 15m³ drewna I typu oraz 0, 2m³ II typu. Do wyprodukowania szafy potrzeba 0, 2m³ drewna I typu oraz 0, 1m³ II typu. Zysk z wyprodukowania jednego stoªu wynosi 12, a jednej szafy - 15. Ustali¢ wielko±¢ produkcji tak, by osi¡gn¡¢ maksymalny zysk, konstruuj¡c model matematyczny i rozwi¡zuj¡c go metod¡ algebraiczn¡.

Dobrej zabawy!

Grzesiek Kosiorowski