1. Zbadać ciagłość funkcji f : R2 →R określonej f(x, y) =
0, dlay x,
√1
2|x − y| , y > x.
2. Wyznaczyć zbiory punktów ciągłości funkcji:
(i)f(x, y) =
√1− x2− y2 dla x2+y2 1
0 dla x2+y2 > 1 (ii) f(x, y) =
sinx dla y 0, x ∈R 1 dla y < 0, x ∈ R
(iii)f(x, y) =
1−√
x2 +y2 dla x2+y2 < 1
x2+y2− 1 dla x2+y2 1 (iv)f(x, y) =
x + y dla x > 0, y ∈R
√x2+y2 dla x 0, y ∈R
(v) f(x, y) =
xx+y2−y2 dla |x| = |y|
2 dla |x| = |y|
3. Określić oraz narysować zbiór punktów nieciągłości funkcji:
(i)f(x, y) = x2+y12−1, (ii) f(x, y, z) = x2+y12+z2.
4. Obliczyć pochodna kierunkow a funkcji f : R2 →R:
(i)f(x, y) = xy w punkcie (0, 0) w kierunku (1, 0) ( oraz (1, 1)), (ii) f(x, y) = x2y3 w punkcie (1, 2) w kierunku (2, 3),
(iii) f(x, y) = x2− y2 w punkcie (0, 0) w kierunku (1, 0) ( oraz (0, 1), (1, 1)), (iv) f(x, y) = x2 +y2 w punkcie (0, 0) w kierunku (a, b).
5. Wykazać, że f :R2 →Rokreślona
f(x, y) =
xy(x+y)
x2+y2 , (x, y) = Θ, 0, (x, y) = Θ
ma w (x0, y0) = Θ pochodna kierunkow a w kierunku dowolnego wektora, ale nie zachodzi rów- ność fa(x0, y0) +fb(x0, y0) =fa+b (x0, y0).
6. Wykazać, że f :R2 →Rokreślona
f(x, y) =
xy2
x2+y2, (x, y) = Θ, 0, (x, y) = Θ
ma w (x0, y0) = Θ pochodna kierunkow a w dowolnym kierunku a ∈ R2, ale nie zależy ona liniowo od a. Zbadać ciagłość f w (x 0, y0).
7. Wykazać, że f :R2 →Rokreślona
f(x, y) =
x4y2
x8+y4, (x, y) = Θ, 0, (x, y) = Θ
ma pochodna kierunkow a w Θ, zależn a liniowo od kierunku. Zbadać ci agłość f w (x 0, y0).
Arkusz 6
