Exercise 1 Zadanie 58. Znale´z´c warto´sci regularne odwzorowania g : R2! R;
(x; y) 7 ! x2+ y2 2 4a x3+ y2(a + x) ; a 6= 0:
Exercise 2 Zadanie 59. Znale´z´c warto´sci regularne odwzorowania g : R2n f(0; 0)g ! R;
(x; y) 7 ! x2+ y2 2 4a x3+ y2(a + x) ; a 6= 0:
Exercise 3 Zadanie 60. Znale´z´c warto´sci regularne odwzorowania g : R2! R; (x; y) 7 ! x x2+ y2 2ay2; a 6= 0:
Exercise 4 Zadanie 61. Czy 0 jest warto´sci ¾a regularn ¾a odwzorowania g : R2! R; (x; y) 7 ! x2+ y2 3 a2x2y2; a 6= 0:
Example 5 62 Czy zbiór H = (x; y; z) 2 R3; xy = z3 3; yz = x + x2 jest hiperpowierzchni ¾a?
Exercise 6 Zadanie 63. Pokaza´c, ·ze podzbiory f 1(0) ; g 1(0) ; h 1(0) s ¾a hiperpowierzchniami kl. C1 (a 6= 0; b 6= 0 )
f : R3! R; (x; y; z) 7 ! x2+ y2 a2; g : R3! R; (x; y; z) 7 ! y sinhz
b;
h : R3! R2; (x; y; z) 7 ! x2+ y2 a2; y sinhz b : Pokaza´c, ·ze h 1(0) jest lini ¾a ´srubow ¾a.
Exercise 7 Zadanie 64. Pokaza´c, ·ze podzbiory M = f 1(0) ; N = g 1(0) ; oraz M \ N sa hiperpowierzchniami kl. C1 (a > 0 )
f : R3! R; (x; y; z) 7 ! x2+ y2+ z2 a2; g : R3! R; (x; y; z) 7 ! x2+ y2 ax:
Exercise 8 Zadanie 65. Sprawdzi´c, ·ze zbiór x2 y2+ z3= 1
opisuje powierzchnie. Znale´z´c jej dowoln ¾a parametryzacj ¾e w otoczeniu punktu (0; 1; 0) :
Exercise 9 Zadanie 66. Pokaza´c, ·ze M = h 1(0) jest krzyw ¾a kl. C1 dla h : R3! R2; (x; y; z) 7 ! x2+ y2+ z2 1; x2+ y2 2x :
1
