Słaba zbieżność Definicja:

Słaba zbieżność

Definicja: Niech (µ_n)^∞_n=1 będzie ciągiem rozkładów prawdopodobieństwa na przestrzeni (E, B(E)). Powiemy, że ciąg ten jest słabo zbieżny do rozkładu µ (ozn. µ_n ⇒ µ), jeśli zachodzi jeden z równoważnych warunków:

a) dla każdego A ∈ B(E) mamy lim_n→∞µ_n(A) = µ(A), o ile µ(δA) = 0;

b) lim_n→∞^R_Ef dµ_n = ^R_Ef dµ dla wszystkich funkcji f : E → R ograniczonych i (jedno- stajnie) ciągłych;

c) ciąg funkcji charakterystycznych ϕ_µn(t) jest zbieżny do funkcji charakterystycznej ϕ_µ(t);

d) F_µn(t) → F_µ(t) w każdym punkcie ciągłości t dystrybuanty granicznej F .

Definicja: Niech X, X₁, X₂, . . . będą zmiennymi losowymi, a µ, µ₁, µ₂, . . . ich rozkładami.

Ciąg Xn jest zbieżny do X według rozkładu (ozn. Xn

−→ X), jeśli µD _n⇒ µ.

Uwaga: Ponieważ ^R_Ef dµ_X = Ef (X), to X_n −→ X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej^D funkcji (jednostajnie) ciągłej i ograniczonej Ef (Xn) → Ef (X).

Fakt: Zbieżność według prawdopodobieństwa implikuje zbieżność według rozkładu.

Fakt: Zbieżność według rozkładu do zmiennej losowej stałej implikuje zbieżność według prawdopodobieństwa do tej samej stałej.

Fakt: Jeśli X_n−→ X i Y^D _n−→ c, to X^D _n+ Y_n−→ X + c i X^D _nY_n −→ cX.^D

Centralne twierdzenie graniczne

Twierdzenie: Niech X₁, X₂, . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jedna- kowym rozkładzie, przy czym istnieją skończone EX₁ i V arX₁ oraz V arX₁ > 0. Wówczas

X₁+ X₂+ . . . + X_n− nEX₁

√nV arX

−→ X,D

gdzie X ∼ N (0, 1).

Wniosek: Niech S_n oznacza liczbę sukcesów w schemacie n prób Bernoulliego z prawdo- podobieństwem sukcesu p. Jeśli np(1 − p) > 9 to

P a ¬ S_n− np

√npq ¬ b

!

−−−→n→∞ φ(b) − φ(a),

gdzie φ oznacza dystrybuantę rozkładu N (0, 1).