Studia Podyplomowe
EFEKTYWNE UŻYTKOWANIE ENERGII ELEKTRYCZNEJ
w ramach projektu
Śląsko-Małopolskie Centrum Kompetencji Zarządzania Energią
Pomiar parametrów sygnałów sieci elektroenergetycznej
dr inż. Dariusz Borkowski
2 Pomiary parametrów sygnałów w dziedzinie częstotliwości
3 Błędy w analizie częstotliwościowej sygnałów
2/31
Analogowo–cyfrowy tor pomiarowy
ANALOGOWA WIELKOŚĆ MIERZONA
WYNIK POMIARU W POSTACI CYFROWEJ SYGNAŁ ANALOGOWY
SYGNAŁ ANALOGOWY SYGNAŁ CYFROWY
Układy kondycjonowania:
separacja galwaniczna (optoizolatory, separatory pojemnościowe), dopasowanie zakresu (wzmacniacze
operacyjne, dzielniki napięcia), dopasowanie pasma (filtry antyaliasingowe lub pasmowe)
Przetworniki pomiarowe:napięcia, ciśnienia, temperatury, pola magnetycznego, prądu, itp.
na napięcie, prąd, częstotliwość, itp. (np. przekładniki napięciowe i
prądowe)
Cyfrowy układ przetwarzania:
cyfrowa realizacja definicji pomiaru wielkości złożonych w
CPU, DSP, FPGA (np. wartość skuteczna, THD)
Przetwornik A/C:układ próbkująco- pamiętający, kwantyzator, próbkowanie,koder
Bloki funkcjonalne typowego toru przetwarzania analogowo–cyfrowego.
Operacje przetwarzania analogowo–cyfrowego
1
próbkowanie (dyskretyzacja w dziedzinie czasu)
zapamiętywanie chwilowych wartości wielkości mierzonej w dyskretnych chwilach czasu nT
S, gdzie n = 1, 2, . . . , N, T
S=
F1S
, gdzie F
Sjest częstotliwością próbkowania
2
kwantowanie (dyskretyzacja w dziedzinie amplitudy)
zamiana wartości ciągłej wielkości mierzonej na jedną ze skończonej liczby dyskretnych wartości (np. przetwornik 12-to bitowy daje 2
12= 4096 możliwych wartości)
3
kodowanie
przekształcenie wyniku przetwarzania do konkretnego kodu liczbowego (np.
liczby całkowite — NB, U2; liczby niecałkowite — float, double, Q15)
4/31
Błędy związane z rozdzielczością przetworników A/C (kwantowaniem)
Z operacją kwantowania wartości X wiąże się tzw. błąd kwantowania ∆K zależny od rozdzielczości przetwornika A/C.
obecne przetworniki A/C mają co najmniej 16 bitów
16 bitów to 2
16= 65536 możliwych wartości, więc błędy kwantowania są małe;
12 i mniej bitów mogą posiadać proste cyfrowe oscyloskopy i multimetry.
względny błąd kwantowania δK = ∆K X jest stały rośnie silnie przy małych wartościach X
wzmocnienie toru przed przetwornikiem A/C powinno być dobrane tak, by wykorzystać maksymalnie zakres napięć wejściowych przetwornika, a mimo to pomiar bardzo małych wartości X może być obarczony znacznym błędem!
pomiary różnicowe, a w szczególności dzielenie przez różnicę wartości jest obarczone ryzykiem katastrofalnego błędu
rozważmy wyrażenie
X 11−X2
; jeśli X
1≈ X
2to może się zdarzyć, że po kwantowaniu X
10= X
20a wtedy
X011−X0 2
=
10= ∞
Przykład błędów kwantowania
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t [s]
sygnal oryginalny
sprobkowany, przed kwantowaniem sprobkowany, po kwantowaniu
Próbkowanie i kwantowanie sygnału 50 Hz, F
S= 2 kHz, przetwornik 6 bitów.
6/31
Twierdzenie o próbkowaniu
Aby poprawnie odtworzyć sygnał oryginalny z jego próbek, próbkowanie musi się odbywać z częstotliwością F S większą niż 2f g , gdzie f g to najwyższa częstotliwość w sygnale
F S > 2 · f g
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
−1
−0.7071 0 0.7071 1
Fs = 60 , f1 = 50 Hz, M = 1.2
czas [s]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
−1
−0.7071 0 0.7071 1
Fs = 100 , f1 = 50 Hz, M = 2
czas [s]
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
−1
−0.7071 0 0.7071 1
Fs = 150 , f1 = 50 Hz, M = 3
czas [s]
Przykłady niespełnienia twierdzenia o próbkowaniu.
Próbkowanie synchroniczne i niesynchroniczne
Próbkowanie synchroniczne — częstotliwość próbkowania F S jest całkowitą wielokrotnością M częstotliwości podstawowej f 1 sygnału
F S = M · f 1 , M ∈ N
0 0.01 0.02 0.03 0.04
−1
−0.7071 0 0.7071 1
Fs = 400 , f1 = 51 Hz, M = 7.8431
czas [s]
0 0.01 0.02 0.03 0.04
−1
−0.7071 0 0.7071 1
Fs = 400 , f1 = 50 Hz, M = 8
czas [s]
0 0.01 0.02 0.03 0.04
−1
−0.7071 0 0.7071 1
Fs = 400 , f1 = 49 Hz, M = 8.1633
czas [s]
Przykład próbkowania niesynchronicznego i synchronicznego.
8/31
Ile próbek użyć do pomiaru czyli cyfrowe realizacje definicji miar miara | definicja definicja (analogowa) realizacja (cyfrowa)
wartość skuteczna U sygnału okresowego u(t) o okresie T
U =
v u u u t
1 T
T
Z
0
u(t)
2dt U =
v u u t 1
N
N
X
n=1
u(n)
2moc czynna P dla okresowych napięcia i prądu u(t), i (t)
P = 1 T
T
Z
0
u(t)i (t)dt P = 1 N
N
X
n=1
u(n)i (n)
Ile powinno wynosić N ?
N musi być całkowite (wynika z definicji)
N powinno być liczbą próbek w okresie sygnału T (lub całkowita jej wielokrotnością)
Wniosek:
próbkowanie musi być synchroniczne, aby uniknąć błędów
Przykład błędów w zależności od długości okna pomiarowego
Czy synchroniczne próbkowanie wystarczy? Nie wystarczy!
N musi być całkowitą wielokrotnością M, gdzie M = F S /f 1 ∈ N
−0.010 0 0.01 0.02 0.03
0.5 1
Fs = 400 , f1 = 55 , M = 7.2727 , N = 7 , P = 0.52182
czas [s]
−0.010 0 0.01 0.02 0.03
0.5 1
Fs = 400 , f1 = 55 , M = 7.2727 , N = 8 , P = 0.46513
czas [s]
−0.010 0 0.01 0.02 0.03
0.5 1
Fs = 400 , f1 = 50 , M = 8 , N = 7 , P = 0.56011
czas [s]
−0.010 0 0.01 0.02 0.03
0.5 1
Fs = 400 , f1 = 50 , M = 8 , N = 8 , P = 0.5
czas [s]
Próbkowanie niesynchroniczne (lewa), synchroniczne (prawa).
10/31
Dlaczego synchronizacja próbkowania jest takie ważna?
Częstotliwość podstawowa systemu elektroenergetycznego prawie nigdy nie jest równa dokładnie 50 Hz.
Częstotliwość podstawowa systemu elektroenergetycznego wciąż się zmienia, oscyluje wokół 50 Hz.
Odchyłki od częstotliwości znamionowej z reguły są nie większe niż ±5 mHz podczas normalnej pracy.
Odchyłki od częstotliwości znamionowej w stanach awaryjnych
mogą być znacznie większe.
Przykład błędów pomiaru mocy czynnej
pomiar mocy czynnej odbiornika 1 kW zasilanego napięciem o częstotliwości znamionowej i nieznamionowej.
układ pomiarowy o przyjętej na sztywno częstotliwości próbkowania dobranej do częstotliwości znamionowej, czyli pomiar mocy co 1/50 s czyli co 200 ms, długość okna 200 ms
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
996 998 1000 1002 1004
t [s]
P
Zmierzona moc czynna dla napięcia: 50 Hz (niebieski), 50,1 Hz (czerwony).
12/31
2 Pomiary parametrów sygnałów w dziedzinie częstotliwości
3 Błędy w analizie częstotliwościowej sygnałów
Podstawowe określenia
Sygnał okresowy x (t) o okresie T to sygnał, którego wartości powtarzają się co okres czyli x (t) = x (t + mT ), m ∈ Z.
Częstotliwość podstawowa sygnału f 1 = 1/T (ω 1 = 2πf 1 ) Częstotliwość harmoniczna f h — całkowita wielokrotność częstotliwości podstawowej f 1 czyli f h = h · f 1 , h ∈ N Dowolny sygnał okresowy można otrzymać przez sumowanie składowych sinusoidalnych o różnych amplitudach, fazach i częstotliwościach harmonicznych.
Składowe sygnałów (okresowych i prawie okresowych) ze względu na częstotliwość:
Podstawowa — składowa sinusoidalna o częstotliwości f = f
1Harmoniczna — składowa sinusoidalna o częstotliwości f = f
hInterharmoniczna — składowa sinusoidalna o częstotliwości f > f
1∨ f 6= f
hSubharmoniczna — składowa sinusoidalna o częstotliwości f < f
1Przejściowa — składowa niesinusoidalna np. exp(−t/τ )
14/31
Do czego można wykorzystać wyniki analizy częstotliwościowej?
Analiza częstotliwościowa sygnałów dostarcza istotnych informacji:
pozwala na niezależne określanie mocy i wartości skutecznych dla pojedynczych harmonicznych
pozwala określić całkowite odkształcenie sygnałów np. THD U =
q P
Hh=2
U
h2U
1pozwala określić udział pojedynczych składowych (harmonicznych lub interharmonicznych) w sygnale
pozwala na wyznaczanie wartości skutecznych na podstawie
harmonicznych U = q U 0 2 + 1 2 P H h=1 U h 2
Reprezentacja sygnałów okresowych w dziedzinie częstotliwości
Ciągły sygnał okresowy x (t) o okresie T = f 1
1
= 2π ω możemy przedstawić w postaci dyskretnego szeregu Fouriera:
s(t) = P k (A k cos (kωt) + B k sin (kωt))
gdzie A
k=
T2T
R
0
x (t) cos (kωt) dt B
k=
T2T
R
0
x (t) sin (kωt) dt k = 0, 1, 2, . . .
a sygnały prawie okresowe i nieokresowe możemy tym szeregiem przybliżyć.
W przypadku pewnych sygnałów (np. prostokąt) szereg ten będzie nieskończony.
N próbek (N = RM, R ∈ N) dyskretnego okresowego sygnału x (n) o okresie M = T T
S
= F f
S1
możemy zapisać jako szereg Fouriera:
s(n) = P K −1 k=0 A k cos k 2π N n + B k sin k 2π N n
gdzie A
k=
N−1
P
n=0
x (n) cos k
2πNn
, B
k=
N−1
P
n=0
x (n) sin k
2πNn
, k = 0, 1, . . . , N − 1 pod warunkiem spełnienia twierdzenia o próbkowaniu F
S> 2f
g.
16/31
DFT — przejście do dziedziny częstotliwości dla sygnałów dyskretnych
Zapisując współczynniki szeregu Fouriera w postaci zespolonej dostajemy wzór na dyskretną transformację Fouriera (DFT):
X k = A k + jB k =
N−1
X
n=0
x (n) exp
−jk 2π N n
, k = 0, 1, . . . , N − 1
Rozdzielczość częstotliwościowa widma DFT to odstęp pomiędzy sąsiednimi „prążkami” widma. Dla DFT o długości N i częstotliwości próbkowania F S wynosi ona ∆f = F N
S. Zespolony składnik X k zawiera informacje o amplitudzie i fazie składowej |X k | sin(2πf k nT S + φ k ) o częstotliwości f k = k · ∆f . Amplituda tej składowej to |X k | = q A 2 k + B k 2
Argument (faza) tej składowej to φ k = arctan B A
kk
FFT to szybka implementacja DFT, daje dokładnie te same wyniki!
2 Pomiary parametrów sygnałów w dziedzinie częstotliwości
3 Błędy w analizie częstotliwościowej sygnałów
18/31
Błędy analizy częstotliwościowej DFT
W analizie DFT sygnałów okresowych najczęściej występują błędy:
rozmycie widma (przeciek widma) — może wynikać z:
braku synchronizacji próbkowania,
źle dobranej liczby próbek poddawanych DFT, nieokresowości sygnału (składowe interharmoniczne, subharmoniczne, przejściowe),
stosowania nieprostokątnych okien czasowych aliasing (nakładanie się widm) — może wynikać z:
braku filtracji antyaliasingowej,
zbyt słabego tłumienia w filtracji antyaliasingowej,
źle dobranej częstotliwości granicznej w filtracji
antyaliasingowej,
Rozmycie widma DFT
Rozmycie widma DFT polega na rozłożeniu energii związanej z pojedynczą składową sygnału pomiędzy wiele prążków widma DFT.
Dzieje się tak, gdy częstotliwość składowej sinusoidalnej sygnału nie jest równa częstotliwości żadnego z prążków widma.
Częstotliwości kolejnych prążków widma sygnału są dane wzorem f k = k · ∆f = k · F N
S, k = 0, 1, . . . , N − 1
gdzie F
Sto częstotliwość próbkowania, N liczba próbek poddawanych DFT
Przykład: DFT o długości N = 100 próbek sygnału sinusoidalnego o częstotliwości f
1= 55 Hz próbkowanego z częstotliwością F
S= 1000 Hz. Rozdzielczość widma ∆f = 10 Hz, więc częstotliwość żadnego prążka nie jest równa f
1(najbliższe to 50 Hz i 60 Hz).
Skutek: widmo jest rozmyte. 0 100 200 300 400 500
0 1
Częstotliwość [Hz]
Widmo faktyczne Rozmyte widmo DFT
20/31
Mechanizm rozmycia widma DFT
Mnożenie funkcji w dziedzinie czasu odpowiada splotowi widm tych funkcji w dziedzinie częstotliwości x (t) · w (t) ⇐⇒ X (ω) N W (ω)
Wybór N próbek sygnału do DFT to mnożenie sygnału przez funkcję prostokątną w dziedzinie czasu, więc wynik DFT jest splotem widma okna i widma sygnału.
0 0.05 0.1
−1 0 1
t [s]
x(t), w(t)
0 0.05 0.1
−1 0 1
t [s]
xw(n)
−200 −150 −100 −50 0 50 100 150 200
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
f [Hz]
|Xw(f)|
faktyczne widmo sygnalu widmo okna przesuniete do −f1 widmo okna przesuniete do +f1 suma przesunietych widm okien wynik DFT
0 0.05 0.1
−1 0 1
t [s]
x(t), w(t)
0 0.05 0.1
−1 0 1
t [s]
xw(n)
−200 −150 −100 −50 0 50 100 150 200
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
f [Hz]
|Xw(f)|
faktyczne widmo sygnalu widmo okna przesuniete do −f1 widmo okna przesuniete do +f1 suma przesunietych widm okien wynik DFT
Przyład DFT: N = 16, F
S= 400 Hz, f
1= 50 Hz (góra), f
1= 48 Hz (dół).
Przyczyny rozmycia widma
W przypadku przyrządów próbkujących niesynchronicznie, ze stałą częstotliwością (zazwyczaj F S = M · f 1N = M · 50 Hz) rozmycie widma najczęściej wynika ze faktu, że w systemie częstotliwość podstawowa różni się od znamionowej: f 1 6= f 1N W przypadku przyrządów próbkujących synchronicznie (F S = M · f 1 ) rozmycie może się pojawić:
w stanach dynamicznych systemu ze względu na obecność niesinusoidalnych składowych przejściowych (transienty) w stanie normalnym przy obecności interharmonicznych, o częstotliwościach różnych od częstotliwości prążków widma
22/31
Sposoby redukcji rozmycia widma
1
synchroniczne próbkowanie: śledzenie częstotliwości podstawowej f 1 i ustawianie F S = M · f 1
2
synchroniczne repróbkowanie: programowa aproksymacja spróbkowanego sygnału i ponowne wyznaczenie jego próbek we właściwych miejscach, tak by na okres T przypadało dokładnie M próbek, nie redukuje rozmycia od składowych przejściowych i interharmonicznych
3
stosowanie nieprostokątnych okien czasowych: mnożenie próbek czasowych przez funkcję okna przed DFT, zmienia postać rozmycia na możliwą do przyjęcia t.j. zwiększa tłumienie szumu tła kosztem szerokości prążków
Najlepsze efekty daje zastosowanie metody 1 (ew. 2) razem z metodą 3, przy znacznej
rozdzielczości (małe ∆f ) widma uzupełnione o grupowanie harmonicznych.
Przykład wpływu kształtu okien czasowych na wyniki DFT
0 0.1 0.2 0.3 0.4
−1
−0.5 0 0.5 1
t [s]
x(t), w(t)
0 0.1 0.2 0.3 0.4
−1
−0.5 0 0.5 1
t [s]
xw(t)
−100 −50 0 50 100
−1
−0.5 0 0.5 1
f [Hz]
W(f)
−100 −50 0 50 100
−80
−60
−40
−20 0
f [Hz]
W(f) [dB]
0 100 200 300
0 0.5 1
f [Hz]
Xw(f)
0 200 400 600
−150
−100
−50 0
f [Hz]
Xw(f) [dB]
0 0.1 0.2 0.3 0.4
−1
−0.5 0 0.5 1
t [s]
x(t), w(t)
0 0.1 0.2 0.3 0.4
−1
−0.5 0 0.5 1
t [s]
xw(t)
−100 −50 0 50 100
−1
−0.5 0 0.5 1
f [Hz]
W(f)
−100 −50 0 50 100
−80
−60
−40
−20 0
f [Hz]
W(f) [dB]
0 100 200 300
0 0.5 1
f [Hz]
Xw(f)
0 200 400 600
−150
−100
−50 0
f [Hz]
Xw(f) [dB]
Sygnał f
1= 51 Hz, F
S= 800 Hz, N = 160. Okno prostokątne (góra) i Hanna (dół).
Sygnał i okno czasowe (lewa), widmo okna (środek), wynik DFT (prawa).
24/31
Błędy rozmycia w DFT sygnałów poliharmonicznych f
1= const = 49,97 Hz
0 20 40 60 80
−100
−80
−60
−40
−20 0
Rząd harmonicznej
Moduł widma [dB]
bez repróbkowania po repróbkowaniu
f
1= var (50 do 48 Hz, 1 Hz/s)
0 20 40 60 80
−100
−80
−60
−40
−20 0
Rząd harmonicznej
Moduł widma [dB]
bez repróbkowania po repróbkowaniu
Sygnał symulowany: harmoniczne 1; 5; 59; 71 + interharmoniczna 33,17 + szum biały. Uśrednione wyniki 50-ciu DFT długości KM = 320 próbek, F
Sin= 8000 Hz.
0 10 20 30 40 50 60
−120
−100
−80
−60
−40
−20 0
Rząd harmonicznej
Amplituda [dB]
Bez repróbkowania Po repróbkowaniu
Sygnał rzeczywisty F
S= 8000 Hz, M = 160, K = 10, ∆f = 5 Hz.
Wpływ rozmycia widma na estymację impedancji harmonicznej
Odchyłki od częstotliwości znamionowej w systemie są zazwyczaj bardzo małe, więc rozmycie także. Czy zatem w praktyce rozmycie ma znaczenie?
Tak, np. w estymacji impedancji harmonicznej systemu zasilającego Z (f ) =
∆U(f )∆I(f )0 50 100
0 50 100
Rząd harmonicznej
Moduł impedancji [Ω]
Bez repróbkowania Po repróbkowaniu
Wart. prawdziwe
0 50 100
−50 0 50 100
Rząd harmonicznej Argument impedancji [o]
Bez repróbkowania Po repróbkowaniu
Wart. prawdziwe
0 50 100
0 50 100
Rząd harmonicznej
Moduł impedancji [Ω]
Bez repróbkowania Po repróbkowaniu
Wart. prawdziwe
0 50 100
−50 0 50 100
Rząd harmonicznej Argument impedancji [o]
Bez repróbkowania Wart. prawdziwe Po repróbkowaniu
Wyniki estymacji impedancji harmonicznej, model symulowany (góra), model laboratoryjny (dół).
26/31
Efekt stosowania okien nieprostokątnych vs. repróbkowanie
0 5 10 15 20 25 30 35
−180
−160
−140
−120
−100
−80
−60
−40
−20 0
Rząd harmonicznej
Moc [dB]
Bez repróbkowania, okno prostokątne Bez repróbkowania, okno Hanninga Po repróbkowaniu, okno prostokątne Po repróbkowaniu, okno Hanninga
Poprawa tłumienia szumu tła dzięki zastosowaniu okna Hanninga lub/oraz
repróbkowania.
Aliasing
Aliasing to nieodwracalne zniekształcenie sygnału w procesie próbkowania wynikające z niespełnienia założeń twierdzenia o próbkowaniu F S > 2 · f g . Powstaje ono poprzez dodanie się składowych powtórzonych widm do widma oryginalnego sygnału.
f 0
0 fS 2fS 3fS f
-fS -2fS
-2fS
fg FS > 2fg
0 fS 2fS 3fS f
-fS -2fS -2fS
FS < 2fg Widmo sygnału spróbkowanego poprawnie brak aliasingu
Widmo sygnału spróbkowanego niepoprawnie aliasing
Widmo sygnału oryginalnego (analogowego)
przed spróbkowaniem fg - częstotliwość graniczna sygnału dolnopasmowego fS - częstotliwość próbkowania
błędy spowodowane aliasingiem fg
fg
|XS( f )|
|XS(f)|
|X(f)|
28/31
Przeciwdziałanie aliasingowi
Jedynym sposobem uniknięcia aliasingu jest stosowanie analogowych dolnoprzepustowych filtrów przed próbkowaniem (tzw. filtry antyaliasingowe przed przetwornikiem A/C).
Niestety filtry mają swoje ograniczenia. Przy stałym rzędzie filtra mocne tłumienie jest osiągane za cenę szerokiego pasma przejściowego lub oscylacji w paśmie przepustowym.
Dlatego czasem stosuje się wielokrotne nadpróbkowanie z
łagodnym filtrem niskiego rzędu, a następnie cyfrową filtrację
i decymację, gdyż łatwiej jest zrealizować stromy filtr cyfrowy
niż analogowy.
Przykłady wpływu aliasingu na wyniki
Dla sygnałów energetycznych charakterystyczne jest, że amplitudy ich harmonicznych maleją z częstotliwością (mniejsze są w napięciu, większe w prądzie), więc wpływ aliasingu na widmo jest mały. Czy zatem aliasing ma znaczenie?
Tak, np. w estymacji impedancji harmonicznej systemu zasilającego Z
u(f ) =
∆U(f )∆I(f )0 500 1000 1500 2000 2500 3000
0 20 40 60 80
abs(Zu) [ohm]
f [Hz]
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
−2
−1 0 1 2
arg(Zu) [rad]
f [Hz]
wartosc faktyczna estymata 1 estymata 2
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
0 20 40 60 80
abs(Zu) [ohm]
f [Hz]
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
−2
−1 0 1 2
arg(Zu) [rad]
f [Hz]
wartosc faktyczna estymata 1 estymata 2
Wyniki estymacji impedancji harmonicznej, z filtrem AA (lewa), bez filtra AA (prawa).
30/31
