Zadania RP 1, seria V. Termin oddania: 17.05.2016 Proszę wybrać dwa zadania.
Zadanie 1. Czy prawdą jest, że dla zmiennych losowych X1, X2, Y zachodzi implikacja:
Jeśli X1⊥ Y, X2⊥ Y, to wektor losowy (X1, X2) ⊥ Y ? Symbol X ⊥ Y oznacza, że zmienne losowe (wektory losowe) X, Y są niezależne.
Zadanie 2. Zmienne losowe X, Y są niezależne, przy czym X nie ma atomów (P(X = c) = 0 dla dowolnej liczby c ∈ R). Wykazać, że P(X = Y ) = 0.
Zadanie 3. Rzucamy 10 razy symetryczną monetą. Niech X oznacza liczbę wyrzuconych orłów, zaś Y1(odpowiednio, Y2) numer rzutu, w którym wyrzuciliśmy pierwszego orła (odp., reszkę) lub 11, jeśli wyrzuciliśmy same reszki (orły).
(a) Czy zmienna losowa X jest mierzalna względem σ(Y ) ? (b) Czy X mod 2, Y1 są niezależne?
(c) Czy X, Y1Y2− Y1− Y2są niezależne?
(x mod 2 = 0, gdy x jest parzyste, 1 - w przeciwnym przypadku.)
Zadanie 4. Niech L ⊂ 2Ω. Uzasadnić, że układ aksjomatów (1)-(3) jest równoważny układowi (1’)-(3’):
(1) Ω ∈ L,
(2) Jeśli A ⊂ B i A, B ∈ L, to B \ A ∈ L, (3) Jeśli A1⊂ A2⊂ . . ., Ai∈ L, toS∞
i=1Ai∈ L.
(1’) ∅ ∈ L,
(2’) Jeśli A ∈ L, to Ω \ A ∈ L,
(3’) Jeśli A1, A2, . . . jest rodziną parami rozłącznych podzbiorów z L, toS∞
i=1Ai∈ L.
Niech X = {1, 2, . . . , 2k}, k ∈ N i niech
L = {A ⊂ X : #A mod 2 = 0}.
Sprawdzić, że L jest λ-układem, ale nie jest σ-ciałem.
Zadanie 5. Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład jednostajny na kole jednostkowym {(x, y) : x2+ y2¬ 1}. Czy X, Y są niezależne?
Zadanie 6. O ciągu zdarzeń (An) wiemy, że P∞
n=1P(An \ An+1) < ∞ oraz limn→∞P(An) = 0. Wykazać, że z prawdopodobieństwem 1 zajdzie tylko skończenie wiele zdarzeń An. Wskazówki: wykazać, że
(a) lim sup(An\ An+1) = lim sup An\ lim inf An, (b) P(lim inf An) = 0.
Zadanie 7. Zmienna losowa X ma rozkład z gęstością gX(x) = 1
21[0,π/2](x) · sin x.
Wyznacz P(sin2X ¬ 1/2) oraz wyznacz rozkład zmiennej losowej max(sin X, 1/2).
Zadanie 8. Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym z parametrem 1. Czy niezależne są następujące pary zmiennych:
(a) max{X, Y } i min{X, Y }?
(b) max{X, Y } i1X<Y?
