Zbadaj zbie»no±¢ szeregów a

Analiza I, ISIM Lista zada« nr 6 1. Zbadaj zbie»no±¢ szeregów

a)

∑∞ n=1

(−1)ⁿ

n^1/2016 b)

∑∞ n=1

(−1)ⁿ

log(n + 4) c)

∑∞ n=1

(−1)ⁿ3n− 1 2n + 1 d)

∑∞ n=1

cos nπ

√n

2. Dla jakich warto±ci p poni»sze szeregi s¡ zbie»ne?

a) ∑^∞

n=1

(−1)ⁿ

n^p b) ∑^∞

n=1

(−1)ⁿ

n + p c) ∑^∞

n=2

(−1)ⁿ(log n)^p n 3. W 1910 roku S. Ramajuan odkryª nast¦puj¡c¡ formuª¦ na liczb¦ π

1 π = 2√

2 9801

∑∞ n=0

(4n)!(1103 + 26390n) (n!)⁴396⁴ⁿ .

Pozwala ona przybli»y¢ liczb¦ π z niemal dowoln¡ dokªadno±ci¡. Uzasadnij, »e powy»szy szereg jest zbie»ny. Oblicz jego kilka wyrazów. Z jak¡ dokªadno±ci¡ udaªo Ci si¦ przybli»y¢ π?

4. Podaj kilka przykªadów szeregów warunkowo zbie»nych.

5. Zaªó»my, »e szereg A =∑_∞

n=1a_n jest zbie»ny. Poka», »e szereg a2+ a₁+ a₄+ a₃+· · · + a2n+ a2n−1+· · · jest równie» zbie»ny do A.

6. Zaªó»my, »e szereg ∑_∞

n=1an jest warunkowo zbie»ny. Oznaczmy przez ∑_∞

n=1bn i ∑_∞

n=1cn

szeregi skªadaj¡ce si¦ z odpowiednio dodatnich i ujemnych wyrazów ci¡gu {an}. Poka», »e oba szeregi s¡ rozbie»ne.

7. Zbadaj zbie»no±¢ szeregów a) ∑^∞

n=1

(−1)ⁿ(1, 01)ⁿ

n⁴ b) ∑^∞

n=1

(−1)ⁿ n

√n³+ 2 c) ∑^∞

n=1

(−1)ⁿn²2ⁿ

n! d) ∑^∞

n=1

2− log log n

n 8. Zbadaj zbie»no±¢ szeregów

a)

∑∞ n=2

3^{− log n} b)

∑∞ n=2

2^{− log n} c)

∑∞ n=3

3− log log n

n d)

∑∞ n=3

2− log log n

n 9. Zbadaj zbie»no±¢ szeregów

a) ∑^∞

n=2

logⁿ⁺¹_n−1

√n b) ∑^∞

n=1

(_n+1

n

)n²

3ⁿ c) ∑^∞

n=1

1

log²n! d) ∑^∞

n=1

2ⁿ

log(2ⁿ)! e) ∑^∞

n=1

1 n√ⁿ

n 10. Poka», »e szereg∑_∞

n=1| sin n|

n jest rozbie»ny.

11. Udowodnij, »e podane szeregi s¡ zbie»ne a) ∑^∞

n=1

cos nx

log n b) ∑^∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹sin n

n c) ∑^∞

n=1

( 1 + 1

n )sin n

n d)

∑∞ n=1

(−1)ⁿ⁺¹sin²n

√n e)

∑∞ n=1

(−1)ⁿ⁺¹sin²n log(1 + 1/n)

12. Niech λn b¦d¡ kolejnymi dodatnimi pierwiastkami równania tgx = x. Zbadaj zbie»no±¢

szeregu∑_∞

n=1λ⁻²_n .

13. Dla liczb dodatnich p, q, zbadaj zbie»no±¢ szeregu 1

1^p − 1 2^q + 1

3^p − 1 4^q + 1

5^p − 1 6^q +· · ·

14. Oblicz sumy niesko«czone otrzymane w wyniku permutacji wyrazów szeregu anharmonicz- nego (∑_∞

n=1(−1)ⁿ⁺¹/n):

A = 1− 1 2−1

4 +1 3 −1

6 −1 8+· · · B = 1− 1

2−1 4 −1

6 −1 8 +1

3− 1 10 − 1

12 − 1 14 − 1

16 +· · · 15. Przestaw wyrazy szeregu anharmonicznego (∑_∞

n=1(−1)ⁿ⁺¹/n) tak, aby otrzyma¢ szereg rozbie»ny.

16. Niech σ : N → N b¦dzie dowoln¡ permutacj¡ liczb naturalnych. Poka», »e

∑∞ n=1

1

σ(n) =∞.

17. Poka», »e je»eli permutacja σ : N → N ma wªasno±¢ |σ(n) − n| ≤ M dla n = 1, 2, . . ., to ze zbie»no±ci szeregu∑_∞

n=1a_nwynika zbie»no±¢ szeregu∑_∞

n=1a_σ(n)i sumy obu szeregów s¡ równe.

18. Niech an ≥ 0. Udowodnij, »e je±li ∑_∞

n=1a_n < ∞, a ci¡g {dn} jest ograniczony, to szereg

∑_∞

n=1dnan jest zbie»ny.

19. Ci¡g {an} ma nast¦puj¡c¡ wªasno±¢: dla ka»dego ci¡gu liczb sn∈ {−1, 1} szereg∑_∞

n=1saan

jest zbie»ny. Poka», »e szereg∑_∞

n=1a_n jest bezwzgl¦dnie zbie»ny.

20. Ci¡g {an} ma nast¦puj¡c¡ wªasno±¢: dla ka»dego ci¡gu liczb sn∈ {0, 1} szereg ∑_∞

n=1saan

jest zbie»ny. Poka», »e szereg∑_∞

n=1a_n jest bezwzgl¦dnie zbie»ny.

21. Poka», »e je»eli ∑_∞

n=1a_n jest szeregiem zbie»nym o wyrazach dodatnich i takim, »e ci¡g {an} jest malej¡cy, to limn→∞nan= 0.

22. Dany jest malej¡cy ci¡g antaki, »e ∑_∞

n=1a_n jest zbie»ny. Poka», »e nan zbiega do zera.

23. Wyka», »e∑_∞

n=0xⁿ n! ·∑_∞

n=0 (−x)ⁿ

n! = 1, stosuj¡c mno»enie Cauchy'ego szeregów.

24. Oznaczmy exp(x) = ∑_∞

n=0xⁿ

n!. Poka», »e exp(x) exp(y) = exp(x + y), stosuj¡c mno»enie Cauchy'ego szeregów.

25. Oblicz sum¦ szeregu∑_∞

n=1n²qⁿ, |q| < 1, stosuj¡c mno»enie Cauchy'ego szeregów.

26^∗.Przedstaw dowód twierdzenia Riemanna. Dowód mo»na znale¹¢, np. w ksi¡»kach Fichten- holza lub Rudina.

27^∗. Szereg∑_∞

n=1a_n o wyrazach dodatnich jest rozbie»ny. Niech sn = a₁+· · · + αn. Poka», »e szereg∑_∞

n=1an

sn jest rozbie»ny, a szereg∑_∞

n=1 an

s²_n jest zbie»ny.

28^∗.Poka», »e

log log n =

∑n k=2

1

k log k + δ_n, gdzie ci¡g o wyrazach δn jest zbie»ny.

29^∗.Poka», »e

nlim→∞m(n√

2)ⁿ¹ = 1,

∑∞ n=1

m(n√ 2)

n =∞.

30^∗.Udowodnij, »e

∑∞ k=1

(

n log2n + 1 2n− 1− 1

)

= 1− log 2

2 .

31^∗. Poka», »e dla ka»dego szeregu zbie»nego ∑

a_n o wyrazach nieujemnych istnieje ci¡g ±ci±le rosn¡cy bn> 0 rozbie»ny do niesko«czono±ci i taki, »e∑

anbn<∞.

32^∗. Poka», »e dla dowolnej funkcji f : (0, ∞) 7→ (0, ∞) istnieje ci¡g {an}, ±ci±le rosn¡cy i roz- bie»ny do +∞ taki, »e szereg∑_∞

n=1f (an)jest rozbie»ny.

33. Zapoznaj si¦ z kryterium Raabego.

34. Niech {an} b¦dzie ci¡giem malej¡cym do 0. Uzasadnij, »e szereg∑_∞

n=1anjest zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg∑_∞

n=13ⁿa3ⁿ jest zbie»ny.

35^∗.Poka», »e szereg harmoniczny∑_∞

n=1 1

nmo»na przedstawi¢ jako niesko«czon¡ sum¦ szeregów, z których ka»dy zawiera niesko«czenie wiele wyrazów i ka»dy jest a) zbie»ny, b) rozbie»ny.

36^∗.Ci¡g {an} ma nast¦puj¡c¡ wªasno±¢: Dla ka»dej liczby nieparzystej k,

∑∞ n=1

(an)^k = 0.

Poka», »e istnieje taka permutacja {bn} ci¡gu {an}, »e dla ka»dego n: b2n = b_2n−1.