Zbada¢ zbie»no±¢ podanych szeregów: 1

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 1; MatematykaS-I⁰.lic. 11 stycznia 2018

Zadania przygotowuj¡ce do kolokwium nr 2

1. Obliczy¢ sumy podanych szeregów:

(a)

∞

P

n=1 1

(3n−2)(3n+1) (b)

∞

P

n=1

ln _n+1ⁿ
(c)

∞

P

n=1 3ⁿ+4ⁿ

6ⁿ (d)

∞

P

n=1 2 n(n+1)(n+2)

(e)

∞

P

n=1

n+1√ 3 − √ⁿ

3

2. Zbada¢ zbie»no±¢ podanych szeregów:

1)

∞

P

n=1 3n²+2n

2n²+9 2)

∞

P

n=1 n

√3

n⁵(n²+1)

)

∞

P

n=1

5ⁿ−4·2ⁿ

3ⁿ+5·2ⁿ 4)

∞

P

n=1 ln(1+n)

n³+2

5)

∞

P

n=1

n²sin_n¹3 6)

∞

P

n=1

ln

n²+2 n²+1

 7)

∞

P

n=1 1

n^{1+ 1n} 8)

∞

P

n=1 (2n)!

(n!)²·3ⁿ

9)

∞

P

n=1

sin_n¹2 cos_n¹ 10)

∞

P

n=1

sin¹_ncos_n¹ 11)

∞

P

n=1 2ⁿn!

nⁿ 12)

∞

P

n=1 1 4ⁿ

n n+2

n²

13)

∞

P

n=1

2n²+3n 2n²+4

5n

14)

∞

P

n=1 (n!)²

2ⁿ²

15)

∞

P

n=1

n tg_2n^π 16)

∞

P

n=1

n²sin₂^πn

17)

∞

P

n=1

−3n 2n+9

n

18)

∞

P

n=1

1 (n+1) ln²(n+1)

19)

∞

P

n=1 1 n

√n²+ n − 1 −√

n²− n + 1

20)

∞

P

n=1

sin₃¹n

21)

∞

P

n=1 sin^nπ₃

√n (z kryt. Dirichleta) 22)

∞

P

n=1 n

3ⁿ(1−3ⁿ) (z kryt. Abella) 23)

∞

P

n=1 1

n² sin_n¹ (z kryt. Abella) 24)

∞

P

n=1

(−1)^{n 1}_n2n (z kryt Dirichleta) 25)

∞

P

n=1 1

n(log₂n)² (z kryt. kondesacyjnego) 26)

∞

P

n=1 1

n (z kryt. Rabbego) 27)

∞

P

n=1

(2n−3)!!

(2n−2)!! (z kryt Rabbego) 28)

∞

P

n=1 1 ncos_n¹

Wskazówka: (2n)!! = 2n · (2n − 2)(2n − 4) · · · 4 · 2, np. 7!! = 7 · 5 · 3 · 1 oraz 8!! = 8 · 6 · 4 · 2 3. Zbada¢ zbie»no±¢ bezwzgl¦dn¡ i warunkow¡ podanych szeregów:

(a)

∞

P

n=1

(−1)ⁿsin_n¹ (b)

∞

P

n=1

(−1)ⁿ_2nⁿ2+5

(c)

∞

P

n=1

(−1)ⁿ_2nⁿ3−2 (d)

∞

P

n=1

(−1)ⁿ

√n n+3

(e)

∞

P

n=1 cos n

n³ (f )

∞

P

n=1

(−1)ⁿ_{(ln n)}¹ n

(g)

∞

P

n=1

(−1)ⁿ_n2+(−1)^{1 n} (h)

∞

P

n=1

(−1)ⁿ_{n log n}¹ (kryt. kondensacyjne)

1

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 1; MatematykaS-I⁰.lic. 11 stycznia 2018

4. Korzystaj¡c z denicji obliczy¢ pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:

(a) f (x) = cos x, x₀ ∈ R (a) f (x) =√³

x, x₀ = 4 (a) f (x) = 2x − |x|, x₀ = 0 (a) f (x) = _x2¹+1, x₀ ∈ R (a) f (x) = sin_x¹, x₀ ∈ R \ {0}

5. Zbadaj ró»niczkowalno±¢ podanych funkcji w punkcie x0 : (a) f (x) = √⁵

x³, x₀ = 0 (b) f (x) =

(3x³ dla x < 1

x²+ x + 1 dla x ≥ 1, x₀ = 1 (c) f (x) =

(x arctg¹_x dla x 6= 0

0 dla x = 0, x₀ = 0 (d) f (x) = (√3

x cos ¹_x dla x 6= 0

0 dla x = 0, x₀ = 0 6. Zbadaj ci¡gªo±¢, ró»niczkowalno±¢ oraz okre±l czy dana funkcja jest klasy C¹ :

(a) f (x) =

(arctg ¹_x dla x 6= 0

0 dla x = 0, (b) f (x) =

(x · sgn(x) · arctg ¹_x dla x 6= 0

0 dla x = 0,

(c) f (x) = |x⁵|

7. Korzystaj¡c ze wzorów na pochodn¡ funkcji elementarnych oraz podstawowych reguª rachunku ró»niczkowego oblicz:

(a) f(x) = x³sin 8x + e^3xtg x, (b) f(x) = ^e2xsin 4x+2 tg x^cos2x+4x3; (c) f(x) = arctg⁴(3x³ + 2x + 4), (d) f(x) = ln²(arctg e^2x)⁷, (e) f(x) = sin⁵ _2x+3^x2 , (f) f(x) =

x³cos 5x x+2 sin x

12

, (g) f(x) = ln^1+√_x^1+x2, (h) f(x) = arctg³

sin(1 + e^3x)5

, (i) f(x) = arccosq³

1−x²

1+x², (j) f(x) =

tg x)_{cos x}^x , (k) f(x) = (x²· sin x)^{2 tg x}, (l) f(x) = logx²cos 4x.

8. Oblicz podane granice korzystaj¡c z reguªy de L'Hospitala:

(a) lim

x→0⁺ cos x

x − _{sin x}^ex
, (b) lim

x→0 1

sin x − _x¹2
, (c) lim

x→0 sin²x

x(e^x−1), (d) lim

x→0⁻x²· e^−1x, (e) lim

x→+∞x · arcctg x, (f) lim

x→0 tg x−x sin x−x, (g) lim

x→0 sin²x

x(e^x−1), (h) lim

x→0⁺ ln x ln(sin x), (i) lim

x→^π₂⁻

(sin x)^{tg x}, (j) lim

x→1⁺

x^ln(x−1). 9. Wyznacz ekstrema lokalne i zbadaj monotoniczno±¢ poni»szych funkcji:

(a) f (x) = ^x₄⁴ +^4x₃³ + 2x²− 5, (b) f (x) = x⁻³e^−x, (c) f (x) = x⁴ln³x, (d) f (x) = sin x + cos x.

2