Zadania domowe z Analizy IR. Seria 1. 22.10.2019 1. Wyznaczy´ c i narysowa´ c zbiory

Zadania domowe z Analizy IR. Seria 1. 22.10.2019 1. Wyznaczy´ c i narysowa´ c zbiory

P = [

t∈[0,1]

A t , Q = \

t∈[0,1]

A t dla A t = [t, 2t + 1] × [−t, t + 1]

2. Niech n ∈ N. Wykaza´c, ˙ze je´sli a 1 < a ₂ < · · · < a _n , b ₁ < b ₂ < · · · < b _n , oraz cia

_ι

g (b ⁰ ₁ , . . . , b ⁰ _n ) r´ o˙zni sie

_ι

od cia

_ι

gu (b ₁ , . . . , b _n ) jedynie kolejno´ scia

_ι

, to P n

k=1 a _k b _k > P n

k=1 a _k b ⁰ _k .

3. Niech (x _n ) be

_ι

dzie cia

_ι

giem okre´ slonym naste

_ι

puja

_ι

cymi warunkami: x ₁ = 0, x _n+1 = _4−x ⁵

n

. Wykaza´ c (na przyk lad indukcyjnie), ˙ze

∀n ∈ N x 2n = 5 − x ² _n 4 − 2x n

.

4. Dowie´ s´ c, ˙ze liczby Fibonacciego, zdefiniowane rekurencja

_ι

F 0 = F 1 = 1, F n+1 = F n +F n−1 moga

_ι

by´ c otrzymane ze wzoru

F − n =

n

X

k=0

 n − k k

 .

Nale˙zy pamieta´ c, ˙ze

 n − k k



= 0 zawsze je´ sli n − k < k. Z definicji, dla m > k

 m k



= m(m−1)···(m−k+1

k! .

5. Ile jest podzbior´ ow P ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} spe lniaja

_ι

cych warunek

∀k, l ∈ P |k − l| > 1 lub k = l.

6. Niech R i Q be

_ι

da

_ι

relacjami r´ ownowa˙zno´ sci w zbiorze X. Czy R ∪ Q, R ∩ Q sa

_ι

relacjami r´ ownowa˙zno´ sci?

7. Niech r be

_ι

dzie relacja

_ι

z A do B i q relacja

_ι

z B do C. Definiujemy z lo˙zenie q ◦ r tych relacji jako relacje

_ι

z A do C dana

_ι

naste

_ι

puja

_ι

cym warunkiem: a ∈ A jest w relacji q ◦ r z c ∈ C wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje b ∈ B takie, ˙ze a jest w relacji r z b i b jest w relacji q z c. Czy z lo˙zenie relacji r´ ownowa˙zno´ sci jest relacja

_ι

r´ ownowa˙zno´ sci?

8. Wykaza´ c, ˙ze n! ≤ ( ⁿ⁺¹ ₂ ) ⁿ dla n ∈ N.

9. Dla jakich n ∈ N zachodza

ι

nier´ owno´ sci: 2n + 1 < 2 ⁿ ; 3n ³ + 1 < 2 ⁿ ; n! < 2

^n(n−1)2

; (2n − 1)!! ≤ 2 ⁿ⁻² n! ? 10. Niech a 1 , a 2 . . . , a 100 ∈ R — dane liczby, s := |a 1 + a 2 + . . . + a 100 |. Dowie´ s´ c, ˙ze istnieje permutacja

b 1 , b 2 , . . . , b 100 liczb a 1 , . . . , a 100 , taka ˙ze |b 1 | ≥ ₁₀₀ ¹ s, |b 1 + b 2 | ≥ ₁₀₀ ² s, |b 1 + b 2 + b 3 | ≥ ₁₀₀ ³ s, . . . , |b 1 + b 2 + . . . + b 99 | ≥ ₁₀₀ ⁹⁹ s.

11. Upro´ sci´ c warunek:

(a) A ∪ B ⊂ A ∪ (B ∩ C) ; (b) (A ∩ B) ∪ (C ∩ B) = B ; (c) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ B ;

(d) (A∪B)\(B ∩C) = A∩C ; (e) (A∪B ∪C)\(A∪B) = C ; (f) A\B = B \A ; (g) A∩B = (A∪C)∩(B \C) . 12. Wykaza´ c, ˙ze dla dowolnych zbior´ ow A, B, C, D zachodza

_ι

r´ owno´ sci:

(a) (A \ B) ∪ C = [(A ∪ C) \ B] ∪ (B ∩ C) ; (b) (A \ B) ∩ (C \ D) = (A ∩ C) \ (B ∪ D) ; (c) A \ (B ∪ C ∪ D) = ((A \ B) \ C) \ D ; (d) A \ [B \ (C \ D)] = (A \ B) ∪ (A ∩ C \ D) .

13. Niech A ÷ B := (A \ B) ∪ (B \ A)(r´ o˙znica symetryczna zbior´ ow). Wykaza´ c, ˙ze: dzia lanie ÷ jest przemienne i la

_ι

czne; (A ÷ B) ∩ C = (A ∩ C) ÷ (B ∩ C); A ÷ A = ∅; A ÷ ∅ = A; A ₁ ÷ A 2 ÷ · · · ÷ A n = {x ∈ X : x nale˙zy do nieparzystej liczby zbior´ ow A ₁ , . . . , A _n }. Wyrazi´ c sume

_ι

i r´ o˙znice

_ι

mnogo´ sciowa

_ι

zbior´ ow poprzez operacje

∩ i ÷.

14. Wykaza´ c, ˙ze odwzorowanie f : R + × R + −→ R + × R , f(x, y) := (x + y, _x ¹ − ¹ _y ), jest bijektywne, wyliczy´ c f ⁻¹ .

15. Wyliczy´ c:

S ∞ n=1

 ₃

n , _n ⁴ ; T ^∞ _n=1 i

n

n+1 , _n ⁵ + ₁₀ ⁿ h

; S

r∈R {(x 1 , x 2 ) ∈ R ² : (x 1 − r) ² + (x 2 + 2r) ² ≤ r ² + 1};

T ∞

n=1 [0, n] ∪ [n ² , ∞[,
; (e) S _t∈[2,3] A _t oraz T

t∈[2,3] A _t , gdzie A _t := [t, 2t] × [−t, t];

(f) S ∞ n=1

i n

(n+1)

²

, _n+1 ¹ h

; (g) T

n A _n , lim inf A _n := S

n

T

k≥n A _k , lim sup A _n := T

n

S

k≥n A _k i S

n A _n , je´ sli A n := h _n(−1)

n

n+1 , _n+1 ²ⁿ i

dla n ∈ N.

1

16. Niech A n ⊂ X, A ⁰ _n := X \ A n . Wykaza´ c, ˙ze ( S ∞

n=1 A n ) ∩ T ∞ n=1 ( S

k<n A k ∪ S

k≥n A ⁰ _k ) = S ∞

n=1 (A n \ A n+1 ).

17. Obliczy´ c T

n A n , lim inf A n := S

n

T

k≥n A k , lim sup A n := T

n

S

k≥n A k i S

n A n , je´ sli A n := h

1

n + Q( ⁿ ₃ ), ³ⁿ⁺¹ _2n−1 i dla n ∈ N, gdzie Q(x) := x − E(x).

18. Dla s ≥ 0 oznaczmy K _s := {(x, y) ∈ R ² : x ² + (y − s) ² ≤ s}. Wykaza´ c, ˙ze maja

_ι

miejsce naste

_ι

puja

_ι

ce zawierania: {(x, y) : y ≥ x ² } ⊂ S

s∈N K s ⊂ S

s∈]0,∞[ K s = {(x, y) : y ≥ x ² − ¹ ₄ }.

19. Okre´ slmy naste

_ι

puja

_ι

ce podzbiory R ³ : S := {(x, y, z) : (x ² + y ² > 0, z = _x ^2xy

2

+y

²

) lub (x = y = 0, |z| ≤ 1)}, S 1 := {(x, y, z) : |z| ≤ 1, y = ^z

1+ √

1−z

²

x}, S 2 := {(x, y, z) : |z| ≤ 1, x = ^z

1+ √

1−z

²

y}. Dowie´ s´ c, ˙ze S = S 1 ∪ S 2

oraz wyznaczy´ c S 1 ∩ S 2 .

20. Niech X be

_ι

dzie zbiorem nieprzeliczalnym, a f : X −→ ]0, ∞[ — dowolna

_ι

funkcja

_ι

. Wykaza´ c, ˙ze istnieje n ∈ N oraz parami r´ o˙zne elementy x 1 , . . . , x n ∈ X, takie ˙ze f (x 1 ) + . . . + f (x n ) > 100.

21. Wykaza´ c, ˙ze T(A n ∪ B n ) ⊃ (T A n ) ∪ (T B n ). Znale´ z´ c przyk lad, gdy nie ma r´ owno´ sci. Pokaza´ c, ˙ze w przypadku, gdy oba cia

_ι

gi sa

_ι

zste

_ι

puja

_ι

ce (tzn. ∀n ∈ N : A ⁿ⁺¹ ⊂ A n , B n+1 ⊂ B n ), powy˙zsza inkluzja przechodzi w r´ owno´ s´ c.

22. Niech ∅ 6= X be

_ι

dzie zbiorem sko´ nczonym oraz f : X → X. Wykaza´ c, ˙ze:

(a) R := {(x, y) ∈ X × X : ∃k, l ∈ N : f ^k (x) = f ^l (y)} jest relacja

_ι

r´ ownowa˙zno´ sci w X;

(b) zbi´ or X ₀ := T

k∈N f ^k (X) jest niepusty, f (X ₀ ) = X ₀ oraz f | _X

₀

: X ₀ → X ₀ jest bijekcja

_ι

;

(c) ka˙zda orbita f | _X

₀

zawiera sie

_ι

w jednej z klas relacji R i ka˙zda z klas relacji R zawiera dok ladnie jedna

_ι

orbite

_ι

. Zatem |X/R| jest liczba

_ι

cykli permutacji f | _X

₀

.

23. Sprawdzi´ c, ˙ze dana relacja jest relacja

_ι

r´ ownowa˙zno´ sci w R. Opisa´ c jej klasy r´ ownowa˙zno´ sci i narysowa´ c odpowiadaja

_ι

cy jej podzbi´ or S ⊂ R×R. Znale´ z´ c funkcje

_ι

f : R → R, kt´ orej poziomice sa

_ι

klasami r´ ownowa˙zno´ sci:

x ∼ y ⇐⇒ (x − y)(1 − xy) = 0; x ∼ y ⇐⇒ (x = y lub x = −y ∈ [−1, 1] lub |x| + |y| = 1);

(c) x ∼ y ⇐⇒ (x = y lub ∃n ∈ Z : x, y ∈ [2n − 1, 2n]); (d) x ∼ y ⇐⇒ (x − y ∈ Z lub x + y + ¹ 2 ∈ Z).

24. Niech I ⊂ R be

ι

dzie symetrycznym wzgle

_ι

dem 0 przedzia lem, a X := R × I. Sprawdzi´c, ˙ze relacja (x, y) ∼ (x ⁰ , y ⁰ ) ⇐⇒ [x ⁰ − x ∈ Z, y ⁰ = (−1) ^x

⁰

^−x y] jest r´ ownowa˙zno´ scia

_ι

w X. Zbi´ or X/ ∼ nazywa sie

_ι

wste

_ι

ga

_ι

M¨ obiusa – dlaczego ?

25. Niech R be

_ι

dzie dowolna

_ι

relacja

_ι

w zbiorze {−1, 0, 1}. Okre´ slmy funkcje

_ι

d _R : R ² × R ² → R wzorem:

d(x, y) :=

 kx − yk, gdy (sgnx ₁ , sgny ₁ ) ∈ R

kxk + kyk w przeciwnym przypadku , gdzie kxk := px ² ₁ + x ² ₂ dla x ∈ R ² .

Wykaza´ c, ˙ze: (a) [d _R (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y] ⇐⇒ R jest zwrotna; (b) [d _R jest symetryczna, tzn.

d _R (x, y) = d _R (y, x) ∀x, y ∈ R ² ] ⇐⇒ R jest symetryczna; (c) d _R spe lnia nier´ owno´ s´ c tr´ ojka

_ι

ta ⇐⇒ R jest przechodnia. Zatem: d _R jest metryka

_ι

w R ² ⇐⇒ R jest relacja

_ι

r´ ownowa˙zno´ sci. (d _R ma nazwe

_ι

“metryka-rzeka” – dlaczego?).

26. Niech R be

_ι

dzie relacja

_ι

r´ ownowa˙zno´ sci w X oraz X 0 ⊂ X. Wykaza´ c, ˙ze

(X 0 jest suma

_ι

pewnych klas r´ ownowa˙zno´ sci R) ⇐⇒ (∀x, y ∈ X : [x ∈ X 0 , (x, y) ∈ R] ⇒ y ∈ X 0 ).

27. Dane sa

_ι

odwzorowania α : X −→ Y, β : Y −→ Z, γ : Z −→ W . Wykaza´ c, ˙ze:

[β · α injektywne ] ⇒ α injektywne; [β · α surjektywne ] ⇒ β surjektywne; [β · α i γ · β sa

_ι

bijekcjami ] ⇒ α, β i γ r´ ownie˙z sa

_ι

bijekcjami.

28. Niech α : X −→ Y, β : Y −→ X, γ : X −→ X. Wykaza´ c, ˙ze:

α jest injektywne ⇐⇒ ∀A ⊂ X : A = f ⁻¹ (f (A)); α jest surjektywne ⇐⇒ ∀B ⊂ Y : B = f (f ⁻¹ (B));

[α · γ = α, α injektywne] ⇒ γ = id _X ; [γ · β = β, β surjektywne ] ⇒ γ = id _X ; [α · β injektywne, β surjektywne ] ⇒ α injektywne; [β · α surjektywne, β injektywne ] ⇒ α surjektywne; [∀x ∈ X : ∃n ∈ N : γ · · · γ

| {z }

n

(x) = x] ⇒ γ jest bijektywne.

29. Opisa´ c poziomice i zbi´ or warto´ sci odwzorowania: f : Z −→ Z, f (n) := E( ²ⁿ⁻¹ ₃ ); f :]0, ∞[−→ R ² , f (t) :=

(t + t ⁻¹ , t − t ⁻¹ ); f : C −→ C, f (z) := az + z, gdzie a ∈ C jest ustalona

ι

liczba

_ι

, taka

_ι

˙ze |a| = 1 6= −a;

f : R −→ R ² , f (t) := ( _1+t ¹

2

, _1+t ^t

2

); f : Z −→ Z, f (n) := 2n ² − 3n + 1; f : R ² −→ R, f(x, y) := p

x ² + y ² − y.

30. Kt´ ora z dwu liczb jest wie

_ι

ksza:

¹⁰⁰⁰⁰

√

10001, czy

⁹⁹⁹⁹

√

10000? Wskaz´ owka: nier´ owno´ s´ c Bernoulliego.

2

31. Dowie´ s´ c, ˙ze dla x, y ∈ R mamy: E(x)+y ≥ 0 ⇐⇒ x+E(y) ≥ 0. Poda´c przyk lady pokazuja

ι

ce, ˙ze zaste

_ι

puja

_ι

c tu nier´ owno´ sci ≥ nier´ owno´ sciami > lub ≤ otrzymamy zdania fa lszywe. Dowie´ s´ c, ˙ze y ≥ E(x) ⇐⇒ E(y) >

x − 1.

32. Niech E(x) := (maksymalna liczba ca lkowita ≤ x). Narysowa´ c wykresy funkcji R 3 x 7→ E(x) ∈ R oraz R 3 x 7→ E(x)−3E( ^x ₃ ) ∈ R. Wyprowadzi´c wzory: (a) 0 ≤ E(x+y)−E(x)−E(y) ≤ 1; (b) E( n ¹ E(nx)) = E(x) dla n ∈ N; (c) P n−1

k=0 E(x + ^k _n ) = E(nx); (d) P N

n=1 E( ₂ ^x

n

+ ¹ ₂ ) = E(x), je´ sli liczba N ∈ N jest dostatecznie du˙za.

33. Wykaza´ c, ˙ze dla m, n ∈ N: (a) je´sli m < n, to

^m+1

√

n + 1 <

^m

√

n; (b) je´ sli m ≥ n(n − 1), to

^m+1

√

n + 1 >

^m

√ n.

Wskaz´ owka: nier´ owno´ s´ c Bernoulliego.

34. Wykaza´ c, ˙ze: _2n−1 ²ⁿ ≤ √

ⁿ

2 ≤ ⁿ⁺¹ _n dla n ∈ N ( ^{nier´ owno´ s´} c Bernoulliego ); (b) 2 ⁿ > n ⁵⁰ dla n ≥ 450.

35. Wykaza´ c, ˙ze: |x| < 1, |y| < 1 ⇒ | _1−xy ^x−y | < 1; ¹ ₂ + ¹ ₃ + . . . + _n ¹ < √

n, n ∈ N; ^√ _4n+1 ¹ < ^(2n−1)!! _(2n)!! = ¹ ₂ · ³ ₄ · . . . ²ⁿ⁻¹ _2n <

√ 1

2n+1 dla n ∈ N; n+1 ¹ + _n+2 ¹ + . . . + _2n ¹ < ³ ₄ , n ∈ N; 1 + ^{√ 1} ₂ + . . . + ^{√ 1} _n ≥ √

n, n ∈ N.

36. W n kolejnych latach wska´ znik inflacji przyjmowa l warto´ sci x ₁ , . . . , x _n , tzn. w k-tym roku ceny ros ly (1 + x _k )- krotnie. Napisa´ c wz´ or na ´ sredni roczny wska´ znik inflacji za badany okres; wykaza´ c, ˙ze jego warto´ s´ c zawiera sie

_ι

pomie

_ι

dzy ´ srednia

_ι

geometryczna

_ι

a ´ srednia

_ι

arytmetyczna

_ι

liczb x ₁ , . . . , x _n .

37. Wykaza´ c, ˙ze: (a) lim _n→∞ (

¹⁰⁰

√

n ¹⁰⁰ + n ⁹⁹ −n) = ₁₀₀ ¹ ; (b) lim _n→∞ n + 4 √

n ² + n − 2 √

n ² − n − 3 √

n ² + 2n
=

5

4 ; (c) lim n→∞ n(2 √

n ² − n + 2−3 √

n ² + 1+ √

n ² + 2n) = − ¹ ₄ ; (d) lim n→∞

q n ² + p

n ³ + √ n ⁵ − p

n ² + √ n ³



=

1

4 ; (e) lim n→∞



p(n + 2)(n + 4)(n + 5) −

3

pn(n + 1)(n + 3)

³



= ⁷ ₃ ; (f) lim _→∞ n ² 

1 + ^p _n
^q

− 1 + _n ^q
p

 =

1

2 pq(q − p) dla p, q ∈ N ; (g) lim _→∞  p n + √

n − p n − √

n 

= 1; (h) lim _→∞ √

ⁿ

5a ²ⁿ + 4a ⁿ + 3 = max{1, a ² } dla a ∈ R; (i) lim →∞ (n ⁷ + 7) ⁻⁷ p(n + 2) ¹⁰⁰ − n ¹⁰⁰ − 200n ⁹⁹ = 30 √

22; (j) lim →∞ p(3 + x)

ⁿ

ⁿ + (1 − x) ⁿ = 2 + |1 + x| dla x ∈ R; (k) lim →∞ p

1

a

ⁿ⁺¹₁

+...+p

r

a

ⁿ⁺¹_r

p

1

a

ⁿ₁

+...+p

r

a

ⁿ_r

= max{a ₁ , . . . , a _r } oraz lim _→∞ pp

ⁿ

₁ a ⁿ ₁ + . . . + p _r a ⁿ _r = max{a ₁ , . . . , a _r }, je´sli r ∈ N i liczby p i , a _i sa

_ι

dodatnie; (l) lim _→∞ 

1

√

n

2−1 −

n

√ ² 4−1

 = ¹ ₂ ; (m) lim _→∞ 2 ⁻ⁿ (1 + ¹ _n )(1 + _n ² ) · · · (1 + ⁿ _n ) = 0; (n) lim _→∞ ¹ _n (1 + _n ¹ )(1 + ² _n ) · · · (1 + ⁿ _n ) = +∞;

(o) lim _→∞ ²ⁿ⁻¹ _2n+1 · ²ⁿ⁻² _2n+2 · · · _3n ⁿ = 0; (p) lim _→∞ n[(n + 1)

¹⁰⁰¹

− n

¹⁰⁰¹

] = +∞;

(q) lim _→∞ 

√ 1

n

²

−n+1 + ^{√ 1}

n

²

−n+2 + . . . + ^{√ 1}

n

²

+n



= 2;

(r) lim →∞

 n

²

+1

n

³

+1 + ⁿ _n

²3

⁺² +2 + . . . + ⁿ _n

²3

⁺ⁿ +n



= 1; (s) lim →∞ 2

³

−1

2

³

+1 · ³ ₃

³3

⁻¹ +1 ·. . .· ⁿ _n

³3

⁻¹ +1 = ² ₃ ; (t) lim →∞

ⁿ

√

1 ⁴ + 2 ⁴ + . . . + n ⁴ = 1; (u) lim _{→∞ n} ⁿ⁺²

₂

₋₃ P n

k=1

√

n

k ² − 2 = 1.

38. Wykaza´ c, ˙ze je´ sli cia

_ι

g liczbowy (a _n ) jest zbie˙zny, to lim _n→∞ ^na

¹

n+(n−1)+...+1 ^+(n−1)a

²

^+...+a

ⁿ

= lim _n→∞ a _n .

39. Wykaza´ c, ˙ze je´ sli cia

_ι

g liczbowy (a _n ) jest ograniczony, to cia

_ι

g (x _n ) o wyrazach x _n =: ²

ⁿ⁻¹

₂ ^a

_n−1¹

^+...+2a _+...+2+1

ⁿ⁻¹

^+a

ⁿ

jest zbie˙zny. Wyliczy´ c lim x _n , je´ sli a _n = α ⁿ , |α| < 2. Wskaz´ owka: ˜ x

n

:= (1 − 2

⁻ⁿ

)x

n

spe lnia warunek Cauchy’ego.

40. Dowie´ s´ c, ˙ze je´ sli cia

_ι

g (a ₁ + . . . + a _n ) jest ograniczony oraz a _n & 0 przy n → ∞, to lim _n→∞ na _n = 0.

41. Sprawdzi´ c, korzystaja

_ι

c z twierdzenia Stolza:

(a) lim n→∞ 1

⁵

+2

⁵

+...+n

⁵

n

⁶

= ¹ ₆ ; (b) lim n→∞

 1

⁵

+2

⁵

+...+n

⁵

n

⁵

− ⁿ ₆ 

= ¹ ₂ ; (c) lim n→∞ √ 1

n

 √ 1

n+1 + ^√ _n+2 ¹ + . . . + ^{√ 1}

2n



= 2( √

2 − 1) ; (d) lim n→∞

 √ 1·2+ √

2·3+...+ √

n(n+1)

n − ⁿ ₂



= 1 ; (e) lim n→∞ √ 1

n (1 + ^{√ 1}

2 + . . . + ^{√ 1} _n ) = 2 ; (f) lim n→∞

√ 1+ √ 2+...+ √

n (n+1) √

n = ² ₃ ; (g) lim n→∞

n

√

(2n−1)!!

n = ² _e ; (h) lim n→∞ n(2n−1)

n

√

(2n)! = ^e ₂

²

.

42. Dla danych liczb dodatnich a i b okre´ slmy rekurencyjnie dwa cia

_ι

gi (a _n ) i (b _n ), przyjmuja

_ι

c: a ₀ := a, b ₀ := b, a _n+1 := ^a

ⁿ

^+b ₂

ⁿ

, b _n+1 := _a ^2a

ⁿ

^b

ⁿ

n

+b

n

. Wykaza´ c, ˙ze cia

_ι

gi (a _n ), (b _n ) sa

_ι

zbie˙zne oraz lim _n→∞ a _n = √

ab = lim _n→∞ b _n . 43. Wykaza´ c zbie˙zno´ s´ c cia

_ι

gu (a _n ), je´ sli:

(a) a _n := (1 + ₁ ¹

₂

)(1 + ₂ ¹

₂

) · · · (1 + _n ¹

₂

); (b) a _n := 1 + ^{√ 1}

3 + . . . + ^{√ 1}

2n−1 − √

2n; (c) a _n := 1 + ¹ ₂ + . . . + _n ¹ − log n (liczba lim a n ≈ 0.57721566 nazywa sie

_ι

sta la

_ι

Eulera); (d) a n = _(2n+1)!! ^(2n)!! √

n + 1.

3

44. Zbada´ c zbie˙zno´ s´ c cia

_ι

g´ ow okre´ slonych rekurencyjnie :

(a) x n+1 = x n − ¹ ₂ x ² _n − ¹ ₃ x ³ _n , x 0 = 1 ; (b) x n+1 = ^π ₂ sin x n x 0 = 1 ; (c) x n+1 = x n − sin x n , x 0 = 1 . 45. Dla podanych ni˙zej cia

_ι

g´ ow obliczy´ c inf{x n : n ∈ N}, sup{x ⁿ : n ∈ N}, lim inf x ⁿ , lim sup x n

(a) x _n = ⁿ⁻¹⁰ _n

₂

, (b) x _n = _5n

₂

ⁿ _−24n+36

²

⁻³ⁿ , (c) x _n = ^n−E(

√ n)

²

+1 E( √

n) , (d) x _n = n−10[ ₁₀ ⁿ ]+ ² _n ; (e) x _n = n− _n ⁵ −5E( ⁿ ₅ ) ; (f) x n = ²⁴ _n + ₁₀ ⁿ − [ ₁₀ ⁿ ];

46. Dowie´ s´ c (nie stosuja

_ι

c twierdzenia Stolza), ˙ze lim n→∞ 1

n (1 + ¹ ₂ + ¹ ₃ + . . . + _n ¹ ) = 0.

47. Zbada´ c ograniczono´ s´ c i wyznaczy´ c kresy zbioru:

(a) { √

ⁿ

n + 100 : n ∈ N}; (b) { _x

2

^x +1 : x ∈ R}; (c) {2 ^x + 2 ^1−x : x ∈ R}; (d) { ⁿ ₂

n²

: n ∈ N}; (e) { ¹⁰⁰⁰ _n!

ⁿ

: n ∈ N};

(f) { √

n − E( √

n − 1) : n ∈ N}; (g) { n(m+n) ^m : m, n ∈ N}; (h) {

^m

^{√ 1} _n +

n

√ ¹

m : m, n ∈ N}.

4