Zadania domowe z Analizy IR. Seria 3. 24.12.2019 1. Obliczy´ c ca lki nieoznaczone:

Zadania domowe z Analizy IR. Seria 3. 24.12.2019 1. Obliczy´ c ca lki nieoznaczone:

(a) R (x ² − 2x + 3)e ^x dx; (b) R sin ³ x dx; (c) R _{x dx}

cos

²

x ; (d) R √x(log x) ² dx; (e) R _x

⁴

_dx

x

²

+1 ; (f) R (x

²

+1)dx x

⁴

+1 ; (g)

R (x+1)dx

(x

²

+x+2)(x

²

+4x+5) ; )h) R √ x dx

1+x

⁴

; (i) R dx x √

x

ⁿ

+1 ; (j) R ^√ x dx

√ 1−x

³

; (k) R dx x √

x

ⁿ

−1 ; (l) R x dx

x

³

+1 ; (m) R (x

²

−1)dx x

⁴

+1 ; (n) R (x

²

+1)dx

x

⁴

+1 ; (o) R tan ² x dx; (p) R ₁

x

²

arcsin x dx; (q) R arcsin q _x

1+x dx; (r) R x ⁻

³²

log(1 + √

x)dx; (s) R log |1−x|

x

ⁿ⁺¹

dx; (t) R ( _{arctan x} ^x −1) ⁻² dx; (u) R sin(log x)dx; (w) R ^{√ cos x dx} _{2+cos 2x} ; (x) R tan 2x dx

2−3 cos

²

x ; (y) R sin x cos

³

x dx 2+sin

²

x ; (z) R √

e ^2x + 2e ^x + 4 dx; (aa) R e ^{−x x} _n!

ⁿ

dx; (ab) R dx x

³

√

x

²

+x ; (ac) R dx 1+x+ √

x

²

+x ; (ad) R dx x+ √

x−x

²

; (ae) R dx 1+ √

x−x

²

; 2. Obliczy´ c ca lki oznaczone:

(a) R 2 1

dx x

³

√

x

²

+1 ; (b) R 1 0

q 2+x

2−x dx; (c) R 3 2

dx

x log x ; (d) R 1 0

√ 1 + 4x ² dx; (e) R

³₄

0

dx (1+x) √

1+x

²

; (f) R 2 1

√ x

²

+x x+1 (g) R ∞

0 dx

x

³

+1 (h) R ∞ 1

√ dx

x

²

+1 (i) R 1

0 log ³ xdx; (j) R 1 0

arctan √ x (1+x) √

x dx; (k) R π 0

dx

1+tan

^p

x dla p ∈ R; (l) R π 0

sin nx sin x dx, n ∈ N; (m) R π

0 cos ⁿ x cos nx dx; (n) R π 0

dx

3+2 cos x ; (o) R π

−π dx

1+sin

²

x ; (p) R π 0

dx

1+2 sin x(sin x+cos x) ; (q) R x

⁴

dx x

²

+1 ; (r) R b

a (x − a) ^m (b − x) ⁿ dx, m, n ∈ N, a < b; (s) R 1

0 (1 − x ² ) ⁿ dx, n ∈ N; (t) R log 2 0

√ e ^x − 1 dx;

3. Obliczy´ c pochodne funkcji:

(a) f (x) := R x

³

x

²

sin(t ² ) ; (b) g(x) := R cos x sin x

√ dt 1+t

⁴

. 4. Zbada´ c funkcje

_ι

f (x) := R x

0 t

²

+t

√ t

²

−2t+2 dt

5. Dowie´ s´ c, ˙ze je´ sli funkcja f : R → R jest cia

ι

g la oraz spe lnia warunek ∀x ∈ R : R x+1

x f (t)dt = 0, to jest okresowa.

6. Wyrazi´ c F _n+1 (x) przez F _n (x), je´ sli:

(a) F n (x) := R ( _x

2

^x +1

²

) ⁿ dx (b) F n (x) := R dx

x(x

²

+1)

ⁿ

(wyliczy´ c F 4 (x)) (c) F n (x) := R x

^p

dx

log

ⁿ

x , p ∈ R (d) F ⁿ (x) :=

R x ^p−n e ^x dx, p ∈ [0, 1[ (e) R dx

x

ⁿ

(1+x) (wyprowadzi´ c wz´ or na F _n (x)) 7. Znale´ z´ c wz´ or rekurencyjny, wyra˙zaja

_ι

cy F n+2 (x) przez F n (x), je´ sli:

(a) F n (x) := R cos ⁿ x dx (b) F n (x) := R _dx

sin

ⁿ

x (c) F n (x) := R _dx

x

ⁿ

(x

²

+1) (znale´ z´ c wzory na F 2k (x) i F 2k+1 (x)) (d) F _n (x) := R _x

ⁿ

_dx

√ x

²

+1 (e) F _n (x) := R x ⁿ cos x dx

8. Rozwa˙zaja

_ι

c sumy Riemanna odpowiednio dobranej ca lki wyliczy´ c granice:

(a) lim _n→∞ n P n k=1

1

n

²

+k

²

= ^π ₄ ; (b) lim _n→∞ ( _n+1 ¹ + _n+2 ¹ + . . . + _kn ¹ ) = log k dla 2 ≤ k ∈ N ; (c) lim _n→∞ P n

k=1 2

n^k

n+

_k¹

= _{log 2} ¹ .

9. (C) Dla k ∈ Z + oznaczmy c _k := R a

0 x ^k cos x dx, gdzie a := ^π ₂ . Wykaza´ c, ˙ze:

(a) c 2n = (−1) ⁿ (2n)! P n k=0

(−1)

^k

a

^2k

(2k)! ; (b) c 2n+1 = (−1) ⁿ (2n + 1)!( P n k=0

(−1)

^k

a

^2k+1

(2k+1)! − 1);

(c) 0 ≤ _(k+1)(k+2) ^a − _a

k+1

^c

^k

≤ _(k+4)! ^k!a

³

; (d) lim _{k→∞ a} ^k

_k+1²

c _k = a = ^π ₂ . 10. Dowie´ s´ c, ˙ze je´ sli funkcja f : [a, b] → R jest cia

ι

g la i nieujemna, to:

lim n→∞

ⁿ

q R b

a (f (x)) ⁿ dx = sup f ([a, b]).

11. Niech f (x) := e

¹²

^x

²

R x

0 e ⁻

¹²

^t

²

dt dla t ∈ R. Dowie´s´c, ˙ze: (a) Dla n ∈ N zachodzi wz´or f (x) = P n k=1

x

^2k−1

(2k−1)!! + r n (x), gdzie r n (x) := ^e

1 2x2

(2k−1)!!

R x

0 t ²ⁿ e ⁻

¹²

^t

²

dt; (b) lim n→∞ r n (x) = 0 dla x ∈ R ska

ι

d wynika wz´ or: f (x) = P ∞

k=1 x

^2k−1

(2k−1)!! .

1