3. Operacje elementarne na macierzach
Na macierzy moŜna wykonywać następujące operacje elementarne:
1. pomnoŜenie wszystkich elementów dowolnego wiersza przez liczbę róŜną od zera, 2. zamiana miejscami dwóch dowolnych wierszy,
3. dodanie do wszystkich elementów dowolnego wiersza elementów innego wiersza pomnoŜonych przez dowolną liczbę róŜną od zera.
Macierze otrzymane z danej macierzy w wyniku operacji elementarnych nazywamy macierzami równowaŜnymi.
Przykłady
⇔
⋅
2 6
2 2
3 1
2 1 3
2 2
3 1
w3
⇔
3 1
2 2
1 3
1 3
2 2
3 1
1 3
w w
⇔
⋅ +
1 3
8 4
3 1 2
1 3
2 2
3 1
1
2 w
w
⇔
−
3 2 1
1 1 1 4
3 2
1 1 1
1
2 w
w
Postać kanoniczna (bazowa) macierzy Macierz postaci
"
' O
O
R I k
gdzie I - macierz jednostkowa stopnia k ,k O', O" - macierze zerowe,
R - macierz reszt (macierz resztowa),
jest zwana postacią kanoniczną lub postacią bazową danej macierzy.
KaŜdą macierz o wymiarach m×n moŜna za pomocą ciągu operacji elementarnych sprowadzić do postaci kanonicznej.
Przykłady
( )
− ⋅ ⇔
−
⇔
⋅
−
−
−
⇔
⋅
−
−
⇔
⋅
−
4 2 1
2 3
1 2
1
3 0 0
4 0
3 1
2 8
0 4 0
3 1 2
8 0
2 2
3 1
3 1
3 2 2
3 1
w w
w w
w w
w
⇔
⋅
−
⇔
0 0
1 0
0 1 3
0 0
1 0
3
1 w1 w2
⇔
O I
2
−
− ⇔
⇔
⋅
−
2 1 0
1 0 1 2
1 0
1 1 1 2
4 3 2
1 1
1 1 2
1 2
w w w
w ⇔
[ I2 R ]
Macierz odwrotna
Macierz B nazywamy macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A , jeŜeli I
A B B
A⋅ = ⋅ = .
Macierz odwrotną do macierzy A będziemy oznaczać symbolem A−1. A zatem mamy równość
I A A A
A⋅ −1 = −1⋅ = . Sposoby wyznaczania macierzy odwrotnej:
1. z definicji,
2. metodą operacji elementarnych, 3. metodą wyznacznikową.
Przykład
Wyznaczyć na podstawie definicji macierz odwrotną do macierzy
= 7 2
3
A 1 .
PoniewaŜ macierz A jest macierzą stopnia drugiego, a więc macierz odwrotna teŜ musi być tego samego stopnia. RozwaŜmy macierz
= d c
b
B a ,
gdzie a, b , c, d są nieznane. Z definicji mamy I B A⋅ = , czyli
=
⋅
1 0
0 1 7
2 3 1
d c
b
a ,
skąd
=
⋅ +
⋅
⋅ +
⋅
⋅ +
⋅ +
1 0
0 1 7
2 7 2
3 3
d b c a
d b c
a .
PowyŜsza równość prowadzi do dwóch układów równań
=
⋅ +
⋅
=
⋅ +
0 7 2
1 3
c a
c a
=
⋅ +
⋅
=
⋅ +
1 7 2
0 3
d b
d b
skąd znajdujemy a=7, c=−2 oraz b=−3, d =1. Zatem
−
= −
1 2
3
B 7 .
Sprawdzimy teraz, czy B⋅A=I.
=
⋅ +
⋅
−
⋅ +
⋅
−
⋅
− +
⋅
⋅
− +
= ⋅
⋅
−
−
1 0
0 1 7 1 3 ) 2 ( 2 1 1 ) 2 (
7 ) 3 ( 3 7 2 ) 3 ( 1 7 7 2
3 1 1 2
3
7 .
Ostatecznie moŜemy stwierdzić, Ŝe wyznaczona macierz B , jest macierzą odwrotną do macierzy A , czyli
−
= −
−
1 2
3
1 7
A .
Przykład
Stosując metodę operacji elementarnych wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy
= 7 2
3
A 1 .
Metoda operacji elementarnych polega na utworzeniu macierzy
[
A I]
,a następnie wykonując operacje elementarne, sprowadzeniu tej macierzy do postaci
[
I B]
.Wtedy B=A−1.
Mamy więc kolejno
−
⇔ −
⋅
−
⇔ −
⋅
−
1 2
3 7 1 0
0 1 3
1 2
0 1 1 0
3 1 1 2
0 0 1 7 2
3
1 1 2
1 2
w w
w w
skąd wynika, Ŝe
−
= −
−
1 2
3
1 7
A .
Przykład
Stosując metodę wyznacznikową znaleźć macierz odwrotną do macierzy
= 7 2
3
A 1 .
Schemat metody wyznacznikowej
Niech A=An- macierz kwadratowa stopnia n. Wykonujemy kolejno następujące czynności
1. obliczamy detA (jeŜeli detA=0, macierz odwrotna nie istnieje), 2. obliczamy dopełnienia algebraiczne D , ij i, j=1,2,K,n,
3. tworzymy macierz dopełnień D=
[ ]
Dij ,4. tworzymy macierz dołączoną Ad =DT, 5. wyznaczamy macierz odwrotną według wzoru
Ad
A− = A⋅ det
1 1
.
W naszym przykładzie mamy
1. detA=1≠0, co oznacza, Ŝe macierz odwrotna istnieje;
2. D11 =(−1)1+1⋅7 =7, D12 =(−1)1+2 ⋅2 =−2, D21 =(−1)2+1⋅3 =−3, D22 =(−1)2+2⋅1 =1;
3.
−
= −
1 3
2
D 7 ;
4.
−
= −
1 2
3
d 7
A ;
5.
−
= −
−
⋅ −
− =
1 2
3 7 1
2 3 7 1
1 1
A .
Rząd macierzy
Niech A=Am×n - macierz prostokątna o wymiarach m×n. Rzędem macierzy A nazywamy maksymalną liczbę liniowo niezaleŜnych wierszy macierzy i oznaczamy symbolem r( A).
Uwagi
1. Rząd macierzy A jest równy wymiarowi podprzestrzeni liniowej generowanej przez wiersze tej macierzy.
2. Maksymalna liczba liniowo niezaleŜnych wierszy macierzy jest równa maksymalnej liczbie liniowo niezaleŜnych kolumn tej macierzy.
3. r(A)≤min(m,n).
Metody wyznaczania rzędu macierzy 1. z definicji,
2. za pomocą operacji elementarnych, 3. za pomocą wyznaczników.
Przykład
Korzystając z definicji wyznaczyć rząd macierzy
=
5 3 2
4 2 2
4 1 3
A .
Niech
[
3 1 4]
1 =
w , w2 =
[
2 2 4]
, w3 =[
2 3 5]
. Tworzymy kombinację liniową3 0
3 2 2 1
1⋅w +a ⋅w +a ⋅w =
a ,
czyli
[
3 1 4]
2[
2 2 4]
3[
2 3 5] [
0 0 0]
1⋅ +a ⋅ +a ⋅ =
a ,
skąd otrzymujemy układ równań
=
⋅ +
⋅ +
⋅
=
⋅ +
⋅ +
=
⋅ +
⋅ +
⋅
0 5
4 4
0 3
2
0 2
2 3
3 2
1
3 2
1
3 2
1
a a
a
a a
a
a a
a
który, jak łatwo sprawdzić ma rozwiązanie niezerowe, np. a1 =2, a2 =−7, a3 =4. Oznacza to, Ŝe r(A)<3.
Tworzymy wobec tego kombinację złoŜoną z dwóch wektorów, np.
2 0
2 1
1⋅w +a ⋅w =
a ,
czyli
[
3 1 4]
2[
2 2 4] [
0 0 0]
1⋅ +a ⋅ =
a ,
skąd dostajemy
=
⋅ +
⋅
=
⋅ +
=
⋅ +
⋅
0 4
4
0 2
0 2
3
2 1
2 1
2 1
a a
a a
a a
który ma rozwiązanie zerowe a1=a2 =0, co oznacza, Ŝe wektory w1 i w2 są liniowo niezaleŜne, a zatem r(A)=2.
Przykład
Wyznaczyć rząd macierzy za pomocą operacji elementarnych
=
5 3 2
4 2 2
4 1 3
A .
Idea tej metody polega na sprowadzeniu macierzy A do postaci kanonicznej (bazowej), tzn.
"
' O
O R Ik
Wtedy r(A)=k. Wobec tego
⇔
⋅
⇔
⋅
−
⋅
⇔
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
4 2 1
2 3
1 3
1 2
0 0 0
4 4 0
4 1 3
7 4
7 7 0
4 4 0
4 1 3
2 3
2 3
5 3 2
4 2 2
4 1 3
w w
w w
w
w w
⇔
⋅
⇔
−
0 0 0
1 1 0
1 0 1
0 0 0
1 1 0
3 0 3
0 0 0
1 1 0
4 1
3 w1 w2 31 w1
skąd wynika, Ŝe r(A)=2. Przykład
Wyznaczyć rząd macierzy za pomocą wyznaczników
=
5 3 2
4 2 2
4 1 3
A .
Rząd macierzy jest równy najwyŜszemu stopniowi wyznacznika róŜnego od zera, który moŜna utworzyć z elementów tej macierzy przez skreślenie pewnej liczby wierszy i kolumn (liczba skreślonych wierszy lub kolumn moŜe być równa zeru).
RozwaŜmy wyznacznik stopnia trzeciego
0 10 36 16 24 8 30 3 2
2 2
1 3
5 3 2
4 2 2
4 1 3
=
−
−
− + +
= ,
co oznacza, Ŝe r(A)<3. Weźmy więc wyznacznik stopnia drugiego 0
4 2 2 6
2 1
3 = − = ≠ ,
skąd wynika, Ŝe r(A)=2.
