Rozdział 7
Różniczkowalność
Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochod- nej.
7.1 Pochodna funkcji w punkcie
Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X ⊂ R będzie zbiorem niepustym, f : X → R oraz niech x0 ∈ X.
Funkcję określoną wzorem
ϕ(x) = f (x) − f (x0)
x − x0 , x ∈ X \ {x0} nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0.
Mówimy, że funkcja f ma pochodną w punkcie x0 lub, że jest różniczkowalna w punkcie x0, gdy istnieje skończona granica ilorazu różnicowego w punkcie x0.
Przez pochodmną funkcji f w punkcie x0 rozumiemy liczbę rzeczywistą, oznaczaną f0(x0), równą granicy ilorazu różnicowego w punkcie x0, to znaczy f0(x0) = lim
x→x0
ϕ(x).
Uwaga 7.1.1. Niech f : X → R oraz x0 ∈ X.
(a) Jeśli X jest zbiorem jednoelementowym X = {x0}, to iloraz różnicowy funkcji f w punkcie x0 nie istnieje.
(b) Jeśli istnieje pochodna funkcji f w punkcie x0 ∈ X, to x0 jest punktem skupienia zbioru X. W szczególności, jeśli X jest zbiorem skończonym, to pochodna funkcji nie istnieje w żadnym punkcie zbioru X.
Uwaga 7.1.2. Pochodna funkcji w punkcie może nie istnieć. Na przykład funkcja f : R → R określona wzorem f (x) = |x| nie ma pochodnej w punkcie x0 = 0.
Uwaga 7.1.3. Jeśli X = [a, b], to pochodną funkcji f : X → R w punkcie a jest granica prawostronna ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie a (o ile istnieje). Podobnie pochodną funkcji f w punkcie b jest granica lewostronna ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie b.
151
Lemat 7.1.4. Niech f : X → R, gdzie X ⊂ R oraz niech x0 ∈ X będzie punktem skupienia zbioru X. Niech α ∈ R. Wówczas następujące warunki są równoważne:
(a) istnieje pochodna funkcji f w punkcie x0 oraz f0(x0) = α,
(b) istnieje funkcja u : X → R ciągła w punkcie x0 taka, że u(x0) = α oraz (7.1) f (x) = f (x0) + (x − x0)u(x) dla x ∈ X.
Dowód. Ad. (a)⇒(b) Przyjmując
u(x) =
f (x)−f (x0)
x−x0 dla x ∈ X, x 6= x0
α dla x = x0 ,
z (a) mamy u(x0) = α = f0(x0) i w konsekwencji dostajemy ciągłość funkcji u w punkcie x0. Ponadto u spełnia (7.1), czyli mamy (b).
Ad. (b)⇒(a). Z (7.1) mamy f (x) − f (x0)
x − x0 = u(x) dla x ∈ X \ {x0},
więc z ciągłości funkcji u w punkcie x0 (wobec założenia, że x0 jest punktem skupienia zbioru X) mamy,
α = lim
x→x0
f (x) − f (x0) x − x0 ,
więc f0(x0) = α.
Bezpośrednio z powyższego lematu mamy
Wniosek 7.1.5. (warunek konieczny różniczkowalności funkcji w punkcie). Jeśli funkcja f : X → R jest różniczkowalna w punkcie x0 ∈ X, to f jest ciągła w punkcie x0.
Dowód. Z założenia i lematu 7.1.4 mamy, że istnieje funkcja u : X → R ciągła w punkcie x0 oraz zachodzi (7.1). Zatem prawa strona (7.1) jest ciągła w punkcie x0, więc
mamy tezę.
Twierdzenie 7.1.6. (o działaniach na pochodnej funkcji w punkcie). Niech f, g : X → R będą funkcjami różniczkowalnymi w punkcie x0 ∈ X. Wówczas f + g, f − g, f g oraz fg (przy założeniu, że g(x) 6= 0 dla x ∈ X) są różniczkowalne w punkcie x0, przy czym:
(a) (f + g)0(x0) = f0(x0) + g0(x0), (f − g)0(x0) = f0(x0) − g0(x0), (b) (f g)0(x0) = f0(x0)g(x0) + f (x0)g0(x0), fg0(x0) = f0(x0)g(x(g(x0)−f (x0)g0(x0)
0))2 .
Dowód. Wobec założenia o różniczkowalności f i g w punkcie x0, w myśl lematu 7.1.4 istnieją funkcje u, v : X → R ciągłe w punkcie x0, że
(7.2) f (x) = f (x0) + (x − x0)u(x) dla x ∈ X i u(x0) = f0(x0).
7.1. POCHODNA FUNKCJI W PUNKCIE 153 (7.3) g(x) = g(x0) + (x − x0)v(x) dla x ∈ X i v(x0) = g0(x0).
Ad. (a) Z (7.2) i (7.3) dla x ∈ X mamy
(f + g)(x) = (f + g)(x0) + (x − x0)(u + v)(x),
ponadto funkcja u + v jest ciągła w punkcie x0, oraz (u + v)(x0) = f0(x0) + g0(x0) Zatem z lematu 7.1.4 dostajemy pierwszą część (a) (1). Drugą część (a) dowodzimy analogicznie.
Ad. (b) Z (7.2) i (7.3) dla x ∈ X mamy
(f g)(x) = (f g)(x0) + (x − x0)(u(x)g(x0) + f (x0)v(x) + (x − x0)u(x)v(x)), ponadto funkcja
(u(x)g(x0) + f (x0)v(x) + (x − x0)u(x)v(x)) jest ciągła w punkcie x0
i w punkcie x0przyjmuje wartość f0(x0)g(x0)+f (x0)g0(x0). Stąd i z lematu 7.1.4 dostajemy pierwszą część (b).
Przy założeniu g(x) 6= 0 dla x ∈ X, podobnie jak powyżej mamy f
g(x) = f
g(x0) + f (x)g(x0) − f (x0)g(x) g(x)g(x0) = f
g(x0) + (x − x0)u(x)g(x0) − f (x0)v(x) g(x)g(x0) . Wobec wniosku 7.1.5 funkcja g jest ciągła w punkcie x0, zatem
u(x)g(x0) − f (x0)v(x)
g(x)g(x0) jest funkcją ciągłą w punkcie x0
i wartość tej funkcji w punkcie x0 wynosi f0(x0)g(x(g(x0)−f (x0)g0(x0)
0))2 . To, wraz z lematem 7.1.4
daje drugą część (b) i kończy dowód.
Twierdzenie 7.1.7. (o pochodnej w punkcie funkcji złożonej). Niech f = g ◦ h : X → R, gdzie h : X → R, g : Y → R, X, Y ⊂ R oraz h(X) ⊂ Y . Jeśli funkcja h jest różniczkowalna w punkcie x0 ∈ X, funkcja g jest zaś różniczkowalna w punkcie y0 = h(x0), to funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz
f0(x0) = g0(y0)h0(x0).
Dowód. Wobec lematu 7.1.4 istnieją funkcje u : X → R, v : Y → R ciągłe odpowied- nio w punktach x0, y0 takie, że
h(x) = h(x0) + (x − x0)u(x) dla x ∈ X i u(x0) = h0(x0),
1Część tę można udowodnić bezpośrednio z definicji. Mianowicie, z założenia o różniczkowalności funkcji f i g w punkcie x0 mamy
x→xlim0
f (x) + g(x) − f (x0) − g(x0) x − x0
= lim
x→x0
f (x) − f (x0) x − x0
+ lim
x→x0
g(x) − g(x0) x − x0
= f0(x0) + g0(x0),
więc (f +g)0(x0) = f0(x0)+g0(x0). Również pozostałe części tezy można wykazać bezpośrednio z definicji.
g(y) = g(y0) + (y − y0)v(y) dla y ∈ Y i v(y0) = g0(y0).
Zatem dla x ∈ X mamy
(7.4) f (x) = g(h(x)) = g(h(y0)) + (h(x) − h(x0))v(h(x)) = f (x0) + (x − x0)u(x)v(h(x)).
Z warunku koniecznego różniczkowalności mamy, że h jest funkcją ciągłą w punkcie x0. Zatem funkcja x 7→ u(x)v(h(x)) jest ciągła w punkcie x0. Ponadto u(x0)v(h(x0)) = h0(x0)g0(y0). To, wraz z (7.4) i lematem 7.1.4 daje tezę. Twierdzenie 7.1.8. (o pochodnej w punkcie funkcji odwrotnej). Niech X, Y ⊂ R będą zbiorami niepustymi oraz niech f : X → Y będzie bijekcją. Jeśli f ma w punk- cie x0 ∈ X pochodną różną od zera oraz funkcja f−1 : Y → X jest ciągła w punkcie y0 = f (x0), to funkcja odwrotna f−1 ma pochodną w punkcie y0 oraz
(f−1)0(y0) = 1 f0(x0).
Dowód. Zauważmy najpierw, że y0 ∈ Y jest punktem skupienia zbioru Y . Istotnie, ponieważ funkcja f ma pochodną w punkcie x0, to x0 jest punktem skupienia zbioru X oraz f jest funkcją ciągłą w punkcie x0 (patrz warunek konieczny różniczkowalności funk- cji w punkcie – wniosek 7.1.5). W konsekwencji istnieje ciąg (xn) ⊂ X \ {x0} taki, że
n→∞lim xn = x0 oraz lim
n→∞ f (xn) = y0. Oznaczając yn = f (xn) dla n ∈ N, z różnowartościo- wości funkcji f mamy (yn) ⊂ Y \ {y0} oraz lim
n→∞yn = y0. Zatem y0 jest punktem skupienia zbioru Y .
Z lemaru 7.1.4 istnieje funkcja u : X → R ciągła w punkcie x0, że u(x0) = f0(x0) oraz (7.5) f (x) − f (x0) = (x − x0)u(x) dla x ∈ X.
Zauważmy, że u(x) 6= 0 dla x ∈ X. Istotnie, z różnowartościowości funkcji f i (7.5) widzimy, że u(x) 6= 0 dla x ∈ X \ {x0}. Ponadto z założenia mamy u(x0) = f0(x0) 6= 0.
W konsekwencji u(x) 6= 0 dla x ∈ X. Stąd i z (7.5) dostajemy, (y − y0) 1
u(f−1(y)) = f−1(y) − f−1(y0),
przy czym z założenia, że funkcja f−1 jest ciągła w punkcie y0 widzimy, że y 7→ u(f−11(y))
jest funkcją ciągłą w punkcie y0 oraz 1
u(f−1(y0)) = 1
u(x0) = 1 f0(x0).
To, wraz z lematem 7.1.4 daje tezę.
Uwaga 7.1.9. W twierdzeniu 7.1.8, założenia f0(x0) 6= 0 nie można opuścić. Na przykład funkcja f (x) = x3, x ∈ R jest bijekcją zbioru R na R i odwrotną do niej jest f−1(y) =√3
y, y ∈ R. Zatem f i f−1 są ciągłe, czyli f jest homeomorfizmem. Ponadto f (0) = 0. Wprost z definicji pochodnej funkcji w punkcie sprawdzamy, że f0(0) = 0 oraz, że f−1 nie ma pochodnej w punkcie 0.
7.2. POCHODNA FUNKCJI 155 Lemat 7.1.10. Niech P ⊂ R będzie przedziałem oraz f : P → R będzie funkcją ciągłą i różnowartościową. Wówczas f (P ) jest przedziałem oraz funkcja g : P 3 x 7→ f (x) ∈ f (P ) jest homeomorfizmem.
Dowód. Ponieważ f jest funkcją ciągłą, więc w myśl lematu 6.5.1, f (P ) jest prze- działem lub zbiorem jednoelementowym. Stąd, wobec różnowartościowości f dostajemy, że f (P ) jest przedziałem.
Z twierdzenia 6.5.6 mamy, że f jest funkcją ściśle monotoniczną. Rozważmy przypadek, gdy f jest funkcją ściśle rosnącą. Wówczas łatwo sprawdzamy, że g−1 : f (P ) → P jest funkcją ściśle rosnącą. Pokażemy, że g−1 jest funkcją ciągłą. Przypuśćmy przeciwnie, że w pewnym punkcie y0 ∈ f (P ) funkcja g−1 nie jest ciągła. Wobec monotoniczności funkcji g−1 mamy, że w punkcie y0 funkcja g−1 ma nieciągłość pierwszego rodzaju (patrz wniosek 6.6.2). Zatem
lim
y→y−0
g−1(y) < g−1(y0) lub g−1(y0) < lim
y→y+0
g−1(y).
Jeśli lim
y→y0−
g−1(y) < g−1(y0), to oznaczając α = lim
y→y0−
g−1(y), β = g−1(y0), z monotoni- czności g−1 dostajemy, że (α, β) ⊂ P oraz g−1(f (P )) ∩ (α, β) = ∅. To jest niemożliwe, gdyż g−1(f (P )) = P . Analogicznie dochodzimy do sprzeczności, gdy g(y0) < lim
y→y0+
g(y).
Otrzymana sprzeczność daje, że g−1 jest funkcją ciągłą i w konsekwencji g jest home- omorfizmem.
Przypadek, gdy f jest funkcją ściśle malejącą rozważa się analogicznie jak powyższy.
Wniosek 7.1.11. Niech P, Q ⊂ R będą przedziałami oraz f : P → Q będzie bijek- cją ciągłą. Jeśli f ma pochodną w punkcie x0 ∈ P i f0(x0) 6= 0, to funkcja odwrotna f−1 : Q → P ma pochodną w punkcie y0 = f (x0) oraz
(f−1)0(y0) = 1 f0(x0).
Dowód. W myśl lematu 7.1.10 mamy, że f jest homeomorfizmem. Zatem z twierdzenia
o pochodnej funkcji odwrotnej 7.1.8 dostajemy tezę.
7.2 Pochodna funkcji
Definicja pochodnej funkcji. Niech X ⊂ R będzie zbiorem niepustym oraz f : X → R.
Niech E ⊂ X, E 6= ∅. Jeśli w każdym punkcie zbioru E istnieje pochodna funkcji f , to mówimy, że f jest funkcją różniczkowalną w zbiorze E. Wtedy funkcję przyporządko- wującą każdemu x ∈ E wartość pochodnej funkcji f w punkcie x nazywamy pochodną funkcji w zbiorze E.
Oznaczmy przez Df0 zbiór wszystkich punktów zbioru X, w których funkcja f ma pochodną. Jeśli Df0 6= ∅, to pochodną funkcji f w zbiorze Df0 nazywamy pochodną funkcji f i oznaczamy f0.
Jeśli f jest różniczkowalna w zbiorze X, to mówimy, że f jest funkcją różniczkowalną.
Zachodzą analogiczne twierdzenia dla pochodnej jak dla pochodnej funkcji w punkcie.
Bezpośrednio z wniosku 7.1.5 dostajemy
Wniosek 7.2.1. (warunek konieczny różniczkowalności). Jeśli funkcja f : X → R jest różniczkowalna, to funkcja f jest ciągła.
Bezpośrednio z twierdzenia 7.1.6 dostajemy
Twierdzenie 7.2.2. (o działaniach na pochodnej funkcji). Niech f, g : X → R będą funkcjami różniczkowalnymi. Wówczas f +g, f −g, f g oraz fg (przy założeniu, że g(x) 6= 0 dla x ∈ X) są różniczkowalne, przy czym:
(a) (f + g)0 = f0+ g0, (f − g)0 = f0− g0, (b) (f g)0 = f0g + f g0, gf0 = f0g−f gg2 0. Bezpośrednio z twierdzenia 7.1.7 dostajemy
Twierdzenie 7.2.3. (o pochodnej funkcji złożonej). Niech f = g ◦ h : X → R, gdzie h : X → R, g : Y → R, X, Y ⊂ R oraz h(X) ⊂ Y . Jeśli funkcje h i g są różniczkowalne, to funkcja f jest różniczkowalna oraz
f0 = (g0◦ h) · h0. Bezpośrednio z twierdzenia 7.1.8 dostajemy
Twierdzenie 7.2.4. (o pochodnej funkcji odwrotnej). Niech X, Y ⊂ R będą zbio- rami niepustymi oraz niech f : X → Y będzie homeomorfizmem. Jeśli f ma w każdym punkcie zbioru X pochodną różną od zera, to funkcja odwrotna f−1 : Y → X jest różnicz- kowalna oraz
(f−1)0 = 1 f0◦ (f−1). Z wniosku 7.1.11 dostajemy
Wniosek 7.2.5. Niech P, Q ⊂ R będą przedziałami oraz f : P → Q będzie bijekcją ciągłą.
Jeśli f ma w każdym punkcie przedziału P pochodną różną od zera, to funkcja odwrotna f−1 : Q → P jest różniczkowalna oraz
(f−1)0 = 1 f0◦ (f−1).
Uwaga 7.2.6. Zachodzą analogiczne własności do twierdzeń 7.2.1 – 7.2.5 dla funkcji f : X → R różniczkowalnej w zbiorze E ⊂ X.
Uwaga 7.2.7. W dalszym ciągu rozważając pochodną funkcji będziemy ograniczać się do przypadku, gdy funkcja jest określona w przedziale lub w zbiorze będącym sumą pewnej rodziny przedziałów.
7.2. POCHODNA FUNKCJI 157 Uwaga 7.2.8. W dalszym ciągu pochodną funkcji określonej wzorem będziemy zapisywać jako dany wzór funkcji objęty nawiasem i opatrzony znakiem ”prim”. Pochodną zaś w punkcie x0 – z dodatkowym indeksem u dołu x = x0. Na przykład 1x0 oznacza pochodną funkcji x1, zaś x10
x=3 oznacza pochodną funkcji 1x w punkcie 3.
Wykażemy teraz różniczkowalność pewnych funkcji.
Twierdzenie 7.2.9. (a) Każda funkcja stała w przedziale ma pochodną tożsamościowo równą zero.
(b) Dla dowolnego n ∈ N zachodzi (xn)0 = nxn−1 w R.
(c) Dla dowolnego n ∈ Z, n < 0 zachodzi (xn)0 = nxn−1 w R \ {0}.
Dowód. Ad. (a) Niech P będzie przedziałem oraz f : P → R będzie funkcją stałą.
Wtedy dla dowolnych x, x0 ∈ P mamy f (x) = f (x0) + (x − x0) · 0. Zatem z lematu 7.1.4 dostajemy f0(x0) = 0.
Ad. (b) Ponieważ dla dowolnego x0 ∈ R mamy x = x0+ (x − x0) · 1, więc (x)0x=x0 = 1 i w konsekwencji (x1)0 jest funkcją stałą równą 1. Zakładając, że (xn)0 = nxn−1 w R, z twierdzenia o pochodnej iloczynu mamy
(xn+1)0 = (xnx)0 = (xn)0x + xn(x)0 = nxn−1x + xn = (n + 1)xn w R.
Reasumując z zasady indukcji dostajemy (b) dla wszystkich n ∈ N.
Ad. (c) Dla n ∈ Z, n < 0 mamy −n ∈ N, więc z (b) i twierdzenia o pochodnej ilorazu 7.1.6(b), dostajemy
(xn)0 =
1 x−n
0
= nx−n−1
x−2n = nxn−1.
Z twierdzenia 7.2.9 i twierdzenia o pochodnej sumy, iloczynu i ilorazu (twierdzenie 7.2.2) dostajemy
Wniosek 7.2.10. Wielomiany i funkcje wymierne są różniczkowalne.
Twierdzenie 7.2.11. Niech a ∈ R. Wówczas (a) (ln x)0 = x1 w (0, +∞),
(b) (logax)0 = x ln a1 w (0, +∞), gdy a > 0, a 6= 1.
(c) (ex)0 = ex w R,
(d) (ax)0 = axln a w R, gdy a > 0, (e) (xa)0 = axa−1 w (0, +∞).
Dowód. Ad. (a) Z własności logarytmu dla dowolnych x, x0 ∈ (0, +∞), x 6= x0 mamy
(7.6) ln x − ln x0
x − x0 = lnxx
0
x − x0 = ln
1 + x − x0 x0
1
x−x0 = 1 x0 ln
1 + x − x0 x0
x0
x−x0 .
Ponieważ x−xx 0
0 6= 0 dla x 6= x0 oraz lim
x→x0
x−x0
x0 = 0, więc z własności granicy funkcji (patrz wniosek 6.1.10(a) (2)) i z ciągłości funkcji ln mamy
x→xlim0
ln
1 + x − x0 x0
x0
x−x0 = ln e = 1.
Stąd i z (7.6) dostajemy, że pochodną funkcji ln w punkcie x0 jest x1
0. To daje (a).
Ad. (b) Ponieważ dla a > 0, a 6= 1 oraz x > 0 mamy logax = ln xln a, więc z (a) i twierdzenia o pochodnej ilorazu dostajemy (b).
Ad. (c) Ponieważ funkcja ln jest funkcją odwrotną do funkcji R ∈ x 7→ ex ∈ (0, +∞) (3), więc z (a) i twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej dla dowolnego x0 ∈ R dosta- jemy
(ex)0x=x0 = 1
(ln)0(ex0) = 1
1 ex0
= ex0. To daje (c).
Ad. (d) Częćć (d) wynika natychmiast z (c), równości ax = ex ln adla a > 0 i twierdzenia o pochodnej złożenia funkcji.
Ad. (e) Część (e) wynika z (a), (c), równości xa = ea ln x dla x > 0 i twierdzenia o
pochodnej złożenia funkcji.
Twierdzenie 7.2.12. Funkcje trygonometryczne są różniczkowalne oraz (a) (sin x)0 = cos x oraz (cos x)0 = − sin x,
(b) ( tg x)0 = cos12x oraz ( ctg x)0 = −sin12x.
Dowód. Ad. (a) Z własności funkcji trygonometrycznych (wniosek 5.10.4(d)) dla do- wolnych x, x0 ∈ R, x 6= x0 mamy
sin x − sin x0
x − x0 = 2 sinx−x2 0 cosx+x2 0
x − x0 = sinx−x2 0
x−x0
2
cosx + x0 2 ,
Zatem przechodząc do granicy x → x0 (z własności 6.1.10(b)) dostajemy (sin x)0x=x0 = cos x0.
Ponieważ cos x = sin(π2 − x) dla x ∈ R, więc z powyższego i twierdzenia o pochodnej złożenia dostajemy (cos x)0 = − sin x. To daje (a).
Część (b) dostajemy natychmiast z (a) i twierdzenia o pochodnej ilorazu. Z twierdzenia 7.2.12 i twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej dostajemy
2patrz również twierdzenie o równoważności definicji granicy funkcji w punkcie w sensie Heinego i Cauchy’ego 6.1.2 i twierdzenie o granicy ciągu potęg – wniosek 4.3.4(a)
3zatem funkcja ta jest homeomorfizmem.
7.3. FUNKCJE RÓŻNICZKOWALNE W PRZEDZIALE 159 Wniosek 7.2.13. (a) Funkcje arcsin i arccos są różniczkowalne w przedziale (−1, 1) oraz
(arcsin x)0 = 1
√1 − x2, (arccos x)0 = −1
√1 − x2, w (−1, 1).
(b) Funkcje arctg i arcctg są różniczkowalne oraz ( arctg x)0 = 1
1 + x2, ( arcctg x)0 = −1
1 + x2 w R.
Dowód. Ad. (a) Funkcja f : [−π2,π2] → [−1, 1] określona wzorem f (x) = sin x dla x ∈ [−π2,π2] jest homeomorfizmem i funkcją odwrotną do niej jest arcsin. Ponieważ f (−π2) =
−1 i f (π2) = 1, więc f homeomorfizmem przedziału (−π2,π2) na (−1, 1). Pochodną funkcji f w (−π2,π2) jest funkcją cos, przyjmująca w tym przedziale wartości dodatnie, a więc f0(x) = √
1 − sin2x dla x ∈ (−π2,π2). Zatem, zgodnie z twierdzeniem o pochodnej funkcji odwrotnej 7.1.8, arcsin jest funkcją różniczkowalną w (−1, 1) oraz
(arcsin x)0 = 1
q
1 − sin2(arcsin x)
= 1
√1 − x2.
To daje pierwszą część (a). Drugą część (a) dowodzimy analogicznie jak powyższą.
Ad. (b) Ponieważ w przedziale (−π2,π2) mamy ( tg x)0 = cos12x = tg2x+1, więc podobnie jak w cęści (a) dostajemy ( arctg x)0 = 1+x12. Drugą część (b) dowodzimy analogicznie jak
powyższą.
ZADANIA
Zadanie 7.2.1. (a) Funkcje arcsin i arccos nie mają pochodnych w punktach −1, 1.
(b) Jeśli a ∈ R, a > 1, to to funkcja potęgowa xa ma pochodną w punkcie 0 równą zero.
(c) Jeśli a ∈ R, 0 < a < 1, to to funkcja potęgowa xa nie ma pochodnej w punkcie 0.
7.3 Funkcje różniczkowalne w przedziale
Lemat 7.3.1. Niech P będzie przedziałem oraz f : P → R będzie funkcją różniczkowalną w punkcie x0 ∈ P .
(a) Jeśli f0(x0) > 0, to istnieje δ > 0 takie, że
f (x) < f (x0) dla x ∈ (x0− δ, x0) ∩ P oraz f (x) > f (x0) dla x ∈ (x0, x0+ δ) ∩ P . (b) Jeśli f0(x0) < 0, to istnieje δ > 0 takie, że
f (x) > f (x0) dla x ∈ (x0− δ, x0) ∩ P oraz f (x) < f (x0) dla x ∈ (x0, x0+ δ) ∩ P . Dowód. Ad. (a) W myśl lematu 7.1.4 istnieje funkcja u : P → R ciągła w punkcie x0
taka, że u(x0) = f0(x0) oraz
(7.7) f (x) = f (x0) + (x − x0)u(x) dla x ∈ P.
Ponieważ u(x0) = f0(x0) > 0, więc wobec ciągłości funkcji u w punkcie x0, istnieje δ0 > 0, że dla każdego x ∈ P takiego, że |x − x0| < δ0 mamy |u(x) − u(x0)| < u(x0), a więc u(x) > 0. Wówczas dla x ∈ (x0 − δ0, x0) ∩ P mamy (x − x0)u(x) < 0, a więc z (7.7) dostajemy f (x) < f (x0). Podobnie, dla x ∈ (x0, x0+ δ0) ∩ P dostajemy f (x0) < f (x).
Analogicznie jak powyżej dowodzimy (b).
Z lematu 7.3.1 dostajemy natychmiast
Twierdzenie 7.3.2. (Fermata). Niech f : (a, b) → R będzie funkcją różniczkowalną w punkcie x0 ∈ (a, b).
(a) Jeśli f (x)6 f (x0) dla x ∈ (a, b), to f0(x0) = 0.
(b) Jeśli f (x)> f (x0) dla x ∈ (a, b), to f0(x0) = 0.
Dowód. Przy założeniach (a) i (b), wobec lematu 7.3.1 nie może być f0(x0) > 0 ani
f0(x0) < 0. Zatem f0(x0) = 0.
Twierdzenie 7.3.3. (Darboux). Niech P będzie przedziałem oraz f : P → R będzie funkcją różniczkową. Niech x1, x2 ∈ P , x1 < x2 oraz niech c ∈ R.
(a) Jeśli f0(x1) < c < f0(x2), to istnieje x0 ∈ (x1, x2), że f0(x0) = c.
(b) Jeśli f0(x1) > c > f0(x2), to istnieje x0 ∈ (x1, x2), że f0(x0) = c.
Dowód. Udowodnimy (a). Rozważmy najpierw przypadek, gdy c = 0. Wówczas f0(x1) < 0 < f0(x2). Zatem z lematu 7.3.1, istnieje δ > 0 takie, że
(7.8) f (x1) > f (x) dla x ∈ (x1, x1+ δ) ∩ P oraz f (x) < f (x2) dla x ∈ (x2− δ, x2) ∩ P.
Z warunku koniecznego różniczkowalności mamy, że f jest funkcją ciągłą, więc istnieje x0 ∈ [x1, x2], że f (x0) = min f ([x1, x2]). Wobec (7.8) dostajemy, że x0 ∈ (x1, x2). Zatem z twierdzenia Fermata 7.3.2 mamy f0(x0) = 0.
Załóżmy teraz, że f0(x1) < c < f0(x2). Wówczas biorąc funkcję g(x) = f (x)−cx, x ∈ P , dostajemy że g0(x) = f0(x) − c dla x ∈ P , więc g0(x1) < 0 < g0(x2). Zatem z pierwszej części dowodu, istnieje x0 ∈ (x1, x2), że g0(x0) = 0. Stąd mamy 0 = g0(x0) = f0(x0) − c, co daje (a).
Część (b) dowodzimy analogicznie jak część (a).
Z własności Darboux dla pochodnej dostajemy
Wniosek 7.3.4. Niech P będzie przedziałem oraz f : P → R będzie funkcją różniczkowal- ną. Wówczas f0 nie ma w P punktów nieciągłości pierwszego rodzaju. W szczególności, jeśli x0 ∈ P i pochodna f0 ma granicę skończoną w punkcie x0, to lim
x→x0
f0(x) = f0(x0).
Dowód. Przypuśćmy przeciwnie, że w pewnym punkcie a ∈ P pochodna f0 ma nie- ciągłość pierwszego rodzaju. Wówczas lim
x→a−f0(x) 6= f0(a) lub lim
x→a+ f0(x) 6= f0(a).
Jeśli lim
x→a− f0(x) < f0(a), to biorąc r ∈ R takie, że lim
x→a− f0(x) < r < f0(a), znaj- dziemy δ ∈ P takie, że δ < a oraz f0(x) 6 r dla x ∈ [δ, a). Biorąc c ∈ (r, f0(a))
7.3. FUNKCJE RÓŻNICZKOWALNE W PRZEDZIALE 161 dostajemy f0(δ) < c < f0(a) oraz f0(x) < c dla x ∈ [δ, a). To przeczy twierdzeniu Dar- boux 7.3.3. Analogicznie dochodzimy do sprzeczności, gdy lim
x→a− f0(x) > f0(a) oraz, gdy lim
x→a+ f0(x) 6= f0(a).
Uwaga 7.3.5. Pochodna funkcji różniczkowalnej w przedziale może mieć punkty niecią- głości drugiego rodzaju.
Twierdzenie 7.3.6. (Rolle’a). Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale [a, b] i różnicz- kowalną w przedziale (a, b). Jeśli f (a) = f (b), to istnieje x0 ∈ (a, b) takie, że f0(x0) = 0.
Dowód. Ponieważ funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym, więc z twierdzenia 6.7.8 istnieją x1, x2 ∈ [a, b] takie, że f (x1) = min f ([a, b]) oraz f (x2) = max f ([a, b]).
Wówczas dla każdego x ∈ [a, b] mamy f (x1)6 f (x) 6 f (x2).
Jeśli f (x1) = f (x2), to f jest funkcją stałą, więc f0(x) = 0 dla wszystkich x ∈ (a, b), co daje tezę w tym przypadku.
Jeśli f (x1) < f (x2), to f (x1) < f (a) lub f (a) < f (x2). Ponieważ f (a) = f (b), więc x1 ∈ (a, b) lub x2 ∈ (a, b). Stąd i z twierdzenia Fermata 7.3.2 mamy f0(x1) = 0, gdy x1 ∈ (a, b) lub f0(x2) = 0, gdy x2 ∈ (a, b). To kończy dowód.
Twierdzenie 7.3.7. (Lagrange’a o wartości średniej). Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale [a, b] i różniczkowalną w przedziale (a, b). Wówczas istnieje x0 ∈ (a, b), że
f (b) − f (a) = f0(x0)(b − a).
Dowód. Weźmy funkcję g : [a, b] → R określoną wzorem
g(x) = (f (b) − f (a))x − (b − a)f (x), x ∈ [a, b].
Z założeń o funkcji f mamy, że g jest funkcją ciągłą w [a, b] i różniczkowalną w (a, b).
Ponadto
g(a) = af (b) − af (a) − bf (a) + af (a) = bf (b) − bf (a) − bf (b) + af (b) = g(b).
Zatem, z twierdzenia Rolle’a 7.3.6, istnieje x0 ∈ (a, b) takie, że g0(x0) = 0. Ponieważ g0(x) = f (b) − f (a) − (b − a)f0(x) dla x ∈ (a, b),
więc f (b) − f (a) − (b − a)f0(x0) = 0. To daje tezę.
Twierdzenie 7.3.8. (Cauchy’ego o wartości średniej). Niech f, g będą funkcjami ciągłymi w przedziale [a, b] i różniczkowalnymi w przedziale (a, b). Wówczas istnieje x0 ∈ (a, b), że
(f (b) − f (a))g0(x0) = (g(b) − g(a))f0(x0).
Dowód. Weźmy funkcję h : [a, b] → R określoną wzorem
h(x) = (f (b) − f (a))g(x) − (g(b) − g(a))f (x), x ∈ [a, b].
Z założeń o funkcjach f i g mamy, że h jest funkcją ciągłą w [a, b] i różniczkowalną w (a, b). Ponadto h(a) = h(b). Zatem z twierdzenia Rolle’a 7.3.6 istnieje x0 ∈ (a, b) takie, że h0(x0) = 0. Ponieważ
h0(x) = (f (b) − f (a))g0(x) − (g(b) − g(a))f0(x) dla x ∈ (a, b),
więc (f (b) − f (a))g0(x0) − (g(b) − g(a))f0(x0) = 0. To daje tezę. Uwaga 7.3.9. Jeśli x0 ∈ R należy do przedziału otwartego (a, b), to łatwo sprawdzamy, że istnieje liczba θ ∈ (0, 1), że x0 = a + θ(b − a). W świetle tego twierdzenie Rolle’a można sformułować następująco:
Niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale [a, b] i różniczkowalną w przedziale (a, b).
Jeśli f (a) = f (b), to istnieje θ ∈ (0, 1) takie, że f0(a + θ(b − a)) = 0.
Analogicznie można sformułować twierdzenie Lagrange’a i Cauchy’ego.
Wniosek 7.3.10. Niech P będzie przedziałem oraz niech f : P → R będzie funkcją różni- czkowalną. Jeśli f0(x) = 0 dla x ∈ P , to f jest funkcją stałą.
Dowód. Niech a ∈ P . Wówczas z twierdzenia Lagrange’a 7.3.7, dla dowolnego x ∈ P takiego, że x < a istnieje x0 ∈ (x, a), że
f (x) − f (a) = f0(x0)(x − a) = 0,
więc f (x) = f (a). Analogicznie pokazujemy, że f (x) = f (a) dla x ∈ P takich, że x > a.
Wniosek 7.3.11. Niech P będzie przedziałem oraz niech f, g : P → R będą funkcjami różniczkowalnymi. Jeśli f0(x) = g0(x) dla x ∈ P , to f − g jest funkcją stałą.
Dowód. Z założenia mamy, że f − g ma pochodną tożsamościowo równą zeru. Zatem
z wniosku 7.3.10 mamy tezę.
7.4 Reguła de l’Hospitala
Lemat 7.4.1. Niech f, g : (a, b) → R, gdzie −∞ 6 a < b 6 +∞, będą funkcjami różniczkowalnymi i niech g0(x) 6= 0, dla wszystkich x ∈ (a, b). Niech
(7.9) lim
x→a
f0(x)
g0(x) = p, gdzie p ∈ R.
Wówczas g jest funkcją różnowartościową oraz zachodzą następujące:
7.4. REGUŁA DE L’HOSPITALA 163 (a) Dla każdego A ∈ R, A > p istnieje δ1 ∈ (a, b), że
(7.10) f (x) − f (y)
g(x) − g(y) < A dla dowolnych x, y, a < x < y < δ1. (b) Dla każdego B ∈ R, B < p istnieje δ2 ∈ (a, b), że
(7.11) f (x) − f (y)
g(x) − g(y) > B dla dowolnych x, y, a < x < y < δ2.
Dowód. Zauważmy najpierw, że g jest funkcją różnowartościową. Istotnie, w przeciw- nym razie istnieją x1, x2 ∈ (a, b) takie, że x1 < x2oraz g(x1) = g(x2). Wtedy z twierdzenia Rolle’a 7.3.6 istnieje x0 ∈ (x1, x2) w którym g0(x0) = 0. To przeczy założeniu, że g0(x) 6= 0 dla x ∈ (a, b).
Ad. (a) Z (7.9) mamy, że istnieje δ1 ∈ (a, b), że fg00(t)(t) < A dla t ∈ (a, δ1). Zatem, z twierdzenia Cauchy’ego o wartości średniej 7.3.8 dla każdego a < x < y < δ1 istnieje t ∈ (x, y), że
f (x) − f (y)
g(x) − g(y) = f0(t) g0(t) < A.
To daje (7.10).
Część (b) dowodzimy analogicznie jak część (a).
Twierdzenie 7.4.2. (reguła de l’Hospitala). Niech f, g : (a, b) → R, gdzie −∞ 6 a < b 6 +∞, będą funkcjami różniczkowalnymi i niech g0(x) 6= 0 dla wszystkich x ∈ (a, b).
Niech
(7.12) lim
x→a
f0(x)
g0(x) = p, gdzie p ∈ R.
(a) Jeśli lim
x→af (x) = 0 i lim
x→ag(x) = 0, to lim
x→a f (x) g(x) = p.
(b) Jeśli lim
x→ag(x) = +∞ lub lim
x→ag(x) = −∞, to lim
x→a f (x) g(x) = p.
Dowód. W myśl lematu 7.4.1, g jest funkcją różnowartościową. W szczególności funk- cja g może przyjmować wartość zero, co najwyżej w jednym punkcie. Zatem istnieje c ∈ (a, b) takie, że g(x) 6= 0 dla x ∈ (a, c).
Ad. (a) Załóżmy najpierw, że p ∈ R. Weźmy dowolne ε > 0 i oznaczmy A = p + ε, B = p − ε. Wtedy B < p < A, więc z lematu 7.4.1, istnieją δ1, δ2 ∈ (a, c) takie, że zachodzą (7.10) i (7.11). Wobec założenia lim
x→a f (x) = 0 i lim
x→a g(x) = 0, przechodząc w (7.10) i (7.11) do granicy przy x → a, dostajemy
p − ε 6 f (y)
g(y) 6 p + ε dla a < y < min{δ1, δ2}.
Stąd i z dowolności ε > 0 wynika, że lim
y→a f (y) g(y) = p.
Załóżmy teraz, że p = −∞. Biorąc dowolny A ∈ R mamy A > p, więc istnieje δ1 ∈ (a, c), że zachodzi (7.10). Przechodząc w (7.10) do granicy przy x → a, dostajemy
f (y)
g(y) 6 A dla a < y < δ1. Stąd i z dowolności A ∈ R dostajemy limy→a f (y)g(y) = −∞ = p.
Zakładając, że p = +∞, analogicznie jak w powyższym przypadku (przy zastosowaniu (7.11) zamiast (7.10)) dostajemy lim
y→a f (y) g(y) = p.
Ad. (b) Rozważmy najpierw przypadek, gdy p ∈ R. Weźmy dowolne ε > 0 i oznaczmy A = p + ε2, B = p − ε2. Wtedy B < p < A, więc istnieją δ1, δ2 ∈ (a, c) takie, że zacho- dzą (7.10) i (7.11). Przyjmując, że a < y < min{δ1, δ2} jest ustalone, wobec założenia
x→alim g(x) = +∞ lub lim
x→ag(x) = −∞ dostajemy, że lim
x→a
g(x)−g(y)
g(x) = 1. Zatem znajdziemy δ3 ∈ (a, min{δ1, δ2}), takie, że
g(x) − g(y)
g(x) > 0 dla a < x < δ3. Mnożąc teraz (7.10) i (7.11) przez g(x)−g(y)g(x) dostajemy
f (x) − f (y)
g(x) < Ag(x) − g(y)
g(x) , f (x) − f (y)
g(x) > Bg(x) − g(y)
g(x) dla a < x < δ3, więc
(7.13) p − ε
2 +f (y) − Bg(y)
g(x) < f (x)
g(x) < p + ε
2+ f (y) − Ag(y)
g(x) dla a < x < δ3. Ponieważ lim
x→a
f (y)−Ag(y)
g(x) = 0 oraz lim
x→a
f (y)−Bg(y)
g(x) = 0, więc znajdziemy takie δ4 ∈ (a, δ3), że (7.14)
f (y) − Ag(y) g(x)
< ε
2 oraz
f (y) − Bg(y) g(x)
< ε
2 dla a < x < δ4. Stąd i z (7.13) dostajemy
p − ε < f (x)
g(x) < p + ε dla a < x < δ4. To daje, że lim
x→a f (x) g(x) = p.
Rozważmy teraz przypadek, gdy p = −∞. Wówczas biorąc dowolne C ∈ R oraz A = C − 1 mamy A > p i analogicznie jak (7.13) dostajemy, że istnieje δ3 ∈ (a, c), że
f (x)
g(x) < A + f (y) − Ag(y)
g(x) dla a < x < δ3. Podobnie jak w (7.14), istnieje δ4 ∈ (a, δ3), że f (y)−Ag(y)
g(x)
< 1 dla a < x < δ4. Zatem f (x)
g(x) < A + 1 = C dla a < x < δ4.
7.5. POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW I WZÓR TAYLORA 165 To daje lim
x→a f (x)
g(x) = −∞.
Przypadek p = +∞ rozważamy analogicznie jak poprzedni. Uwaga 7.4.3. Analogicznie jak twierdzenia 7.4.2 dostajemy regułę de l’Hospitala dla gra- nicy w prawym końcu przedziału z analogicznym sformułowaniem. Z twierdzenia 7.4.2 i związku granicy z granicami jednostronnymi mamy:
(reguła de l’Hospitala). Niech f, g : (a, b) → R będą funkcjami różniczkowalnymi w (a, b) \ {x0}, gdzie x0 ∈ (a, b) oraz niech g0(x) 6= 0 dla wszystkich x ∈ (a, b) \ {x0}. Niech
(7.15) lim
x→x0
f0(x)
g0(x) = p, gdzie p ∈ R.
(a) Jeśli lim
x→x0 f (x) = 0 i lim
x→x0 g(x) = 0, to lim
x→x0
f (x) g(x) = p.
(b) Jeśli lim
x→x0
g(x) = +∞, lub lim
x→x0
g(x) = −∞, to lim
x→x0
f (x) g(x) = p.
7.5 Pochodne wyższych rzędów i wzór Taylora
Definicja pochodnej rzędu n. Niech X ⊂ R i f : X → R oraz niech E ⊂ X, E 6= ∅.
Jeśli pochodna f0 : Df0 → R funkcji f ma pochodną w punkcie x0 ∈ Df0, to mówimy, że f ma pochodną rzędu drugiego w punkcie x0lub drugą pochodną w punkcie x0. Pochodną tą oznaczamy f00(x0).
Jeśli funkcja f posiada pochodną drugiego rzędu w każdym punkcie zbiorze E, to mówimy, że f jest dwukrotnie różniczkowalna w zbiorze E. Wtedy funkcję przyporzą- dkowującą każdemu punktowi x ∈ E wartość f00(x) nazywamy pochodną rzędu drugiego funkcji f w zbiorze E lub drugą pochodną funkcji f w E.
Oznaczmy przez Df00 ⊂ X zbiór wszystkich punktów zbioru X w których funkcja f ma pochodną rzędu drugiego. Jeśli Df00 6= ∅, to drugą pochodną funkcji f w zbiorze Df00 nazywamy pochodną rzędu drugiego funkcji lub drugą pochodną funkcji f i oznaczamy f00. Jeśli f jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną w zbiorze X, to mówimy, że f jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną.
Zakładając, że określiliśmy pochodną rzędu n w punkcie i w zbiorze, analogicznie jak powyżej określamy pochodną rzędu n + 1 w punkcie, pochodną rzędu n + 1 w zbiorze, i (n + 1)-szą pochodną funkcji (4). Pochodną rzędu n oznaczamy f(n) : Df(n) → R, pochodną rzędu n w punkcie x0 zaś f(n)(x0).
4Jeśli funkcja f ma pochodną n-tego rzędu f(n) : Df(n) → R i pochodna ta jest różniczkowalna w punkcie x0∈ Df(n), to mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0pochodną (n+1)-szego rzędu lub (n+1)-szą pochodną w punkcie x0. Pochodną tą oznaczamy f(n+1)(x0).
Jeśli f ma pochodną (n + 1)-szego rzędu w każdym punkcie zbioru E, to mówimy, że f jest (n + 1)- krotnie różniczkowalna w zbiorze E. Wtedy funkcję przyporządkowującą każdemu punktowi x ∈ E wartość f(n+1)(x) nazywamy pochodną (n + 1)-szego rzędu funkcji f w zbiorze E lub (n + 1)-szą pochodną funkcji f w E.
Oznaczmy przez Df(n+1) ⊂ X zbiór wszystkich punktów zbioru X w których funkcja f ma pochodną (n + 1)-szego rzędu. Jeśli Df(n+1) 6= ∅, to pochodną (n + 1)-szego rzędu funkcji f w zbiorze Df(n+1)
nazywamy pochodną (n + 1)-szego rzędu funkcji lub (n + 1)-szą pochodną funkcji f i oznaczamy f(n+1). Jeśli f jest funkcją (n + 1)-krotnie różniczkowalną w zbiorze X, to mówimy, że f jest funkcją (n + 1)- krotnie różniczkowalną.
