Nierówność liniowa z jedną niewiadomą. Wprowadzenie Przeczytaj Schemat interaktywny Sprawdź się Dla nauczyciela

(1)

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą

Wprowadzenie Przeczytaj

Schemat interaktywny Sprawdź się

Dla nauczyciela

(2)

Jedną z ważnych operacji w matematyce jest porównywanie liczb lub wyrażeń algebraicznych. Na przykład nierówność -3 > - 12

jest prawdziwa, a nierówność

√

^{2 ≥ 1, 42}

jest fałszywa.

W tym materiale przypomnisz sobie jak powstają nierówności i jak zapisywać związki między wyrażeniami algebraicznymi za pomocą nierówności.

Twoje cele

Określisz rodzaj nierówności ze względu na liczbę niewiadomych.

Rozpoznasz nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

Rozpoznasz liczby spełniające daną nierówność.

Porównasz zapis matematyczny nierówności z opisem słownym.

Opiszesz za pomocą nierówności sytuację przedstawioną graﬁcznie lub słownie.

Nierówność liniowa z jedną niewiadomą

Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

(3)

Przeczytaj

Przykład 1

Na wadze szalkowej zostały ułożone:

trzy opakowania ciastek, jeden odważnik 1 – kilogramowy, jeden odważnik 0, 5 – kilogramowy.

Na lewej szalce znajdują się dwa opakowania ciastek i jeden odważnik 0, 5 kg , natomiast na prawej szalce jest jedno opakowanie ciastek i odważnik 1 kg .

W sytuacji, gdy waga przechylona jest na lewą stronę, masa przedmiotów umieszczonych na lewej szalce jest większa od masy przedmiotów umieszczonych na prawej szalce. Zatem masa dwóch opakowań ciastek i odważnika 0, 5 kg

jest większa od masy jednego opakowania ciastek i odważnika 1 kg .

Jeżeli oznaczysz przez x

masę jednego opakowania ciastek to odpowiednio masę przedmiotów umieszczonych na lewej i prawej szalce wagi przedstawimy za pomocą następujących wyrażeń algebraicznych:

lewa strona wagi: 2x + 0,5 prawa strona wagi: x + 1

Pamiętając o tym, że waga jest przechylona na lewą stronę, możemy zapisać:

2x + 0,5 > x + 1

Taki zapis nazywamy nierównością, a występującą w nim szukaną wielkość x nazywamy niewiadomą.

Przykład 2

Lena miała banknot 10 zł

. Kupiła kilka kartonów soku pomarańczowego po 2, 50 zł każdy.

W sklepie otrzymała ponad 2 zł

reszty. Ile kartonów soku pomarańczowego kupiła Lena?

Jeżeli Lena otrzymała ponad 2 zł reszty, to za soki zapłaciła mniej niż 8 zł

. Mogła zatem kupić co najwyżej trzy kartony soku pomarańczowego.

Warunek ten można opisać za pomocą nierówności:

10 − 2, 5 ⋅ x < 8 gdzie:

x

– oznacza liczbę kartonów soku pomarańczowego zakupionych przez Lenę.

(4)

Ważne!

Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem >

, <

, ≤ , ≥

nazywamy nierównością algebraiczną.

Przykłady nierówności algebraicznych:

3x³- 5 > 2x , 3ab > 4a² , 2x + 5 ≤ x - 1 , 3xyz < 1 , 7z⁵≥ 2z - 9 .

Deﬁnicja: Nierówność pierwszego stopnia (liniowa) z jedną niewiadomą

Nierównością pierwszego stopnia (liniową) z jedną niewiadomą nazywamy nierówność, w której występuje dokładnie jedna niewiadoma w pierwszej potędze.

Np.: 2x - 3 ≤ 7 + x , 2x - 3 ≤ 7 + x

, 2

1 3x +

1 2 < 4x , x ≤ 0

, -2x + 3 ≥ x - 6 .

Nierówności, w których występują znaki <

lub >

nazywamy nierównościami ostrymi.

Nierówności, w których występują znaki ≤ lub ≥

nazywamy nierównościami nieostrymi.

Nierówność pierwszego stopnia (liniowa) z jedną niewiadomą jest to nierówność, którą można sprowadzić do postaci:

ax + b > 0 lub ax + b ≥ 0 gdzie:

a i b

– są ustalonymi liczbami rzeczywistym oraz a ≠ 0 .

Przykład 3

Suma trzech kolejnych liczb niepodzielnych przez 4 jest mniejsza od 105

. Zapiszemy nierówność, która pozwoli wyznaczyć trójkę największych takich liczb. Trzy kolejne liczby

(5)

niepodzielne przez 4 możemy zapisać w następujący sposób:

4n + 1 , 4n + 2 , 4n + 3 , dla n ∈ N .

Zatem nierówność będzie miała postać:

4n + 1 + 4n + 2 + 4n + 3 < 105 .

Ciekawostka

Jedną z najsłynniejszych nierówności jest tak zwana „nierówność trójkąta”, która mówi o tym, że suma długości dwóch dowolnych boków trójkąta musi być większa niż długość trzeciego boku. Jej twórcą jest grecki matematyk, Euklides.

a < b + c b < a + c c < a + b

Słownik

nierówność pierwszego stopnia (liniowa) z jedną niewiadomą

nierówność, w której występuje dokładnie jedna niewiadoma w pierwszej potędze

(6)

Schemat interaktywny

Polecenie 1

Poniżej przedstawiony jest schemat interaktywny przedstawiający klasyﬁkację nierówności ze względu na liczbę niewiadomych oraz stopień nierówności. Zapoznaj się z poniższym schematem.

Polecenie 2

Na podstawie schematu przyporządkuj podaną nierówność do odpowiedniego rodzaju. Sprawdź poprawność rozwiązania.

</mfrac><mo>≥</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></math>, <math><mn>5</mn><mi>d</mi><mo>-

</mo><mn>3</mn><mi>e</mi><mo>≤</mo><mn>2</mn></math>, <math><mn>6</mn>

<mi>x</mi><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>≤</mo><mo>-</mo><mn>3</mn><mi>x</mi></math>,

<math><mfrac><mn>1</mn><mn>5</mn></mfrac><msup><mi>x</mi><mn>4</mn></msup><mo>+

</mo><mi>y</mi><mo><</mo><mo>-</mo><mn>4</mn></math>, <math><mn>4</mn><msup>

</msup><mo>></mo><mn>1</mn></math>, <math><mn>5</mn><msup><mi>x</mi>

</msup><mo>+</mo><mn>8</mn><mi>v</mi><mo><</mo><mn>25</mn></math>, <math>

</math>

nierówność pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

nierówność z jedną niewiadomą, która nie jest pierwszego stopnia:

(7)

nierówność z więcej niż jedną niewiadomą

(8)

Sprawdź się

Ćwiczenie 1

Przeciągnij nierówność do odpowiedniego obszaru.

</math>, <math><msup><mi>z</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>y</mi>

Nierówność z jedną niewiadomą:

Nierówność z więcej niż jedną niewiadomą:

Ćwiczenie 2

Wybierz nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

-x - 5y > 4

7x - 5x + 2 ≤ - 4x - 2 s³+ 2s ≥ 9

3z²+ 4z⁴< - z

10y - 1 =

y 2 - 10 z²> 0

2a+ 1 3 ≥ 9

(9)

Ćwiczenie 3

Połącz w pary nierówność i zbiór liczb, które ją spełniają.

</mfenced></math>, <math><mo> </mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow>

<mi> </mi><mn>8</mn><mfrac><mn>7</mn><mn>8</mn></mfrac></mrow></mfenced></math>,

</mfenced></math>

x > 3 x ≤ 7 x ≥ - 3 Ćwiczenie 4

Połącz w pary stwierdzenie z odpowiadającą mu nierównością.

</mrow></mfenced><mo>></mo><mn>13</mn></math>, <math><mn>3</mn><mfenced>

<mn>13</mn></math>, <math><mn>2</mn><mfenced><mrow><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>-

</mo><mn>5</mn></mrow></mfenced><mo>≥</mo><mn>13</mn></math>, <math><mn>2</mn>

Jeśli liczbę x pomnożymy przez 3 i od otrzymanego iloczynu

odejmiemy liczbę 5 , a następnie otrzymaną różnicę podwoimy to otrzymamy liczbę mniejszą od 13.

Jeśli liczbę x pomnożymy przez 3 i od otrzymanego iloczynu

odejmiemy liczbę 5 , a następnie otrzymaną różnicę podwoimy to otrzymamy liczbę nie mniejszą od 13.

(10)

Jeśli podwoimy liczbę x i od otrzymanego iloczynu

odejmiemy liczbę 5 , a następnie otrzymaną różnicę pomnożymy przez 3 to otrzymamy liczbę większą od 13.

Jeśli podwoimy liczbę x i od otrzymanego iloczynu

odejmiemy liczbę 5 , a następnie otrzymaną różnicę pomnożymy przez 3 to otrzymamy liczbę nie większą od 13.

Ćwiczenie 5

Jabłka przed obniżką o 2 zł kosztowały a zł. Po obniżce cena 3 kg jabłek była niższa niż cena 2 kg jabłek przed obniżką. Zaznacz prawidłową nierówność to opisującą.

3(a + 2) < 2a 3(a - 2) < 2a 2(a + 2) < 3a 3(a - 2) > 2a

(11)

Ćwiczenie 6

Zaznacz poprawną nierówność opisującą sytuację przedstawioną na rysunku.

5x + 2 < 2x + 3 5x + 2 > 2x + 3 5x + 2 < 2x + 2 Ćwiczenie 7

Przeciągnij w brakujące miejsca odpowiednie słowa, aby zapisana nierówność opisywała poniższą sytuację.

więcej, mniej, więcej, mniej

W portfelu są monety 2 zł i 5 zł. Monet pięciozłotowych jest o 3 ... niż dwuzłotówek.

Ile co najmniej dwuzłotówek jest w portfelu, jeżeli w portfelu jest ... niż 100 zł?

2x + (x + 3) · 5 < 100 Ćwiczenie 8

Wybierz taką liczbę, aby nierówność opisywała poniższą sytuację. Suma trzech kolejnych liczb nieparzystych, z których największą jest x jest mniejsza od 19.

-6, -2, 1, 6, 3, -1, 2

3x - < 19

Ćwiczenie 9

Oceń prawdziwość poniższego zdania.

Jeżeli x i y

są dowolnymi liczbami rzeczywistymi i x < y to x²< y²

.

(12)

Ćwiczenie 10

Wpisz znak > lub < wiedząc, że x < y, z < 0 oraz x > 0 i y > 0.

<, < , < , > , > , >

xz yx

-xz -yz

xz² yz²

Ćwiczenie 11

Sprawdź, czy istnieje trójkąt o bokach 1 + 2

√

²

, 5

√

^{2 - 1}

, 3

√

^{2 - 2}

.

(13)

Dla nauczyciela

Autor: Jolanta Schilling Przedmiot: Matematyka

Temat: Nierówność liniowa z jedną niewiadomą Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres podstawowy Podstawa programowa:

III. Równania i nierówności. Zakres podstawowy.

Uczeń:

1) przekształca równania i nierówności w sposób równoważny.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

Uczeń:

kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji kompetencje w zakresie wielojęzyczności

kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

kompetencje cyfrowe

kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się Cele operacyjne:

Uczeń:

określa rodzaj nierówności ze względu na liczbę niewiadomych rozpoznaje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą rozpoznaje liczby spełniające daną nierówność

porównuje zapis matematyczny nierówności z zapisem słownym

tworzy opis za pomocą nierówności sytuacji przedstawionej graﬁcznie lub słownie Strategie nauczania:

konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

odwrócona klasa burza mózgów dyskusja Formy pracy:

praca indywidualna praca w grupach

praca całego zespołu klasowego Środki dydaktyczne:

komputery z głośnikami i dostępem do Internetu, słuchawki

(14)

zasoby multimedialne zawarte w e‑materiale tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda Przebieg lekcji

Przed lekcją:

1. Nauczyciel prosi uczniów o przypomnienie sobie wiadomości na temat rodzajów równań.

Faza wstępna:

1. Uczniowie metodą burzy mózgów przypominają podstawowe pojęcia związane z równaniami (aby w dalszej części lekcji określić rodzaje nierówności).

2. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć oraz wspólnie z uczniami ustala kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie pracują w grupach metodą odwróconej klasy. Najpierw wymieniają się między sobą wiadomościami dotyczącymi rodzajów równań, które przypomnieli w domu.

2. Każdy uczeń otrzymuje od nauczyciela 10 przykładów różnych nierówności. Następnie stara się podzielić nierówności na grupy, według własnych kryteriów.

3. Uczniowie podzieleni na grupy 4 – 6 osobowe omawiają rezultaty swojej pracy i porównują dokonane podziały. Tworzą wspólny schemat ilustrujący rodzaje nierówności ze względu na liczbę

niewiadomych i stopień nierówności.

4. Uczniowie oglądają schemat interaktywny i omawiają go wraz z nauczycielem.

5. Uczniowie w parach lub indywidualnie wykonują ćwiczenia interaktywne wskazane przez nauczyciela. Wspólnie omawiają odpowiedzi.

Faza podsumowująca:

1. Jako podsumowanie nauczyciel zadaje uczniom pytania dotyczące określania rodzaju nierówności ze względu na liczbę niewiadomych i stopień nierówności.

2. Nauczyciel omawia przebieg zajęć, wskazuje mocne i słabe strony pracy uczniów, udzielając im tym samym informacji zwrotnej.

Praca domowa:

Zadaniem uczniów jest przypomnieć w domu jaka liczbę nazywamy rozwiązaniem równania i co to jest zbiór rozwiązań równania.

Materiały pomocnicze:

E‑podręcznik z matematyki Wskazówki metodyczne:

Multimedium może być wykorzystane przez chętnych uczniów do samodzielnego przygotowania mapy myśli prezentującej rodzaje nierówności.