Równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, czyli jaki ciężar podniesiesz, gdy poczujesz się wielką mrówką?

(1)

Równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, czyli jaki ciężar podniesiesz, gdy poczujesz się wielką mrówką?

Wprowadzenie Przeczytaj

Schemat interaktywny Sprawdź się

Dla nauczyciela

(2)

Otaczający nas świat jest bardzo złożony, różnorodny i bogaty. Aby można było opisać, jak powiązane są ze sobą różne zjawiska, które obserwujesz wokół siebie, zapisać pewne zależności występujące

w przyrodzie, medycynie czy życiu codziennym wygodnie jest posługiwać się równaniami.

Mrówka ważąca 5 mg może podźwignąć listek o masie 50 mg. Jaki ciężar możesz podnieść, jeżeli jesteś tak silny jak mrówka, a Twoja siła jest wprost proporcjonalna do masy ciała?

Jeżeli chcesz znaleźć odpowiedź na to i wiele innych pytań, zapraszam Cię do pogłębienia wiedzy o równaniach.

Twoje cele

Odróżnisz równanie od wyrażenia algebraicznego.

Określisz rodzaj równania ze względu na liczbę niewiadomych.

Rozpoznasz równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

Porównasz zapis matematyczny równania z zapisem słownym.

Opiszesz za pomocą równania sytuację przedstawioną graﬁcznie lub słownie.

Równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, czyli jaki ciężar

podniesiesz, gdy poczujesz się wielką mrówką?

(3)

Przeczytaj

Przykład 1

Na wadze szalkowej zostały ułożone:

jedna cegła,

jeden odważniki 0,5‑kilogramowy, jeden odważniki 1‑kilogramowy, jeden odważniki 2‑kilogramowy.

Wszystkie przedmioty zostały ułożone na wadze szalkowej, tak że waga pozostaje w równowadze. Na lewej szalce znalazła się cegła i odważnik 1 kg, natomiast na prawej szalce odważniki 2 kg i 0,5 kg.

W sytuacji gdy waga pozostaje w równowadze masa przedmiotów umieszczonych po obu stronach wagi jest taka sama. Zatem masa jednej cegły i masa 1‑kilogramowego odważnika równa jest masie 2‑kilogramowego odważnika i masie 0,5‑kilogramowego odważnika.

Jeżeli oznaczysz przez x masę jednej cegły to odpowiednio masę przedmiotów umieszczonych na lewej i prawej szalce wagi przedstawimy za pomocą następujących wyrażeń algebraicznych: lewa strona wagi: x + 1, prawa strona wagi: 2 + 0,5.

Pamiętając o tym, że waga pozostaje w równowadze, możemy zapisać:

x + 1 = 2 + 0,5.

Taki zapis nazywamy równaniem, a występującą w nim szukaną wielkość x nazywamy niewiadomą.

Deﬁnicja: Równanie

Równaniem nazywamy równość dwóch wyrażeń algebraicznych, z których w przynajmniej jednym występuje co najmniej jedna zmienna.

Szukaną wielkość nazywamy niewiadomą i oznaczamy zwykle małymi literami alfabetu np.: x, y, z, t, u.

Równaniem z jedną niewiadomą nazywamy równanie, w którym występuje dokładnie jedna niewiadoma.

Na przykład: 4x + 2 = x, 3t²= 1, x²+ 2x + 1 = 0, t⁴+ 1 = 2.

Równaniem pierwszego stopnia z jedną niewiadomą nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje w pierwszej potędze.

Na przykład: 2x + 5 = 1 − 4, x + 4 = − 7x, 2z − 1 = 9z, 2(v − 1) = 0.

Ciekawostka

Jednym z najstarszych dokumentów matematycznych, który opisuje sposób rozwiązywania równań, jest Papirus Rhinda. Został on sporządzony w XVII wieku p.n.e. przez egipskiego pisarza Ahmesa.

Papirus został odnaleziony w wyniku nielegalnych prac wykopaliskowych we wnętrzu piramidy Ramzesa II w ruinach egipskiego starożytnego miasta Teby, a następnie zakupiony przez Szkota Aleksandra Henryego Rhinda w 1858 roku.

(4)

Fragment Papirusu Rhinda

Źródło: Paul James Cowie, domena publiczna, [online], dostępny w internecie: commons.wikimedia.org.

Przykłady zadań, które znajdują się na papirusie

Szerokość papirusu wynosi 33 centymetry, a długość około 5,25 metrów. Papirus zawiera 87 zadań, popartych przykładami z różnych dziedzin matematyki, np.: z algebry i geometrii.

1. Suma pewnej wielkości i jej dwóch trzecich i jeszcze jej jednej siódmej wynosi 37. Jaka to liczba?

2. Znajdź taką wielkość, która powiększona o swoją siódmą część da liczbę 19.

Przykład 2

W pewnym gospodarstwie wiejskim położonym w środkowej Polsce hodowane są gęsi. Właściciel hodowli jest również posiadaczem kilkunastu pięknych stróżujących psów portugalskich. Zwierzęta znajdujące się w tym gospodarstwie mają razem 300 nóg i 135 głów. Zapisz równanie, dzięki któremu będzie można ustalić liczbę gęsi i psów w tym gospodarstwie.

Gęsi i psy mają razem 135 głów.

Zatem jeżeli oznaczymy przez x liczbę hodowanych gęsi w gospodarstwie, to liczbę psów portugalskich przedstawimy za pomocą wyrażenia algebraicznego (135 - x).

Gęsi i psy mają razem 300 nóg. Ponieważ każda gęś ma dwie nogi, to liczbę nóg wszystkich gęsi w tym gospodarstwie przedstawimy za pomocą wyrażenia algebraicznego 2 · x.

Ponieważ każdy pies ma cztery nogi, to liczbę nóg wszystkich psów w tym gospodarstwie przedstawimy za pomocą wyrażenia algebraicznego 4(135 − x).

Znając łączną liczbę nóg wszystkich zwierząt w tym gospodarstwie wiejskim, możemy zapisać równanie z jedną niewiadomą x.

2 · x + 4 · (135 - x) = 300

Rozwiązanie tego równania pozwoli ustalić liczbę gęsi i psów w tym gospodarstwie wiejskim.

Już wiesz

Równaniemożna zapisać za pomocą proporcji.

Proporcja jest to równość dwóch ilorazów. Jeżeli ilorazy

a b i

c

d dla b≠0 i d≠0 są równe to równość ab=cd jest proporcją. Wyrazy a i d nazywają się skrajnymi, a wyrazy b i c środkowymi.

Iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych.

(5)

ab=cd ad=bc

Słownik

równanie

równość dwóch wyrażeń algebraicznych, z których w przynajmniej jednym występuje co najmniej jedna zmienna

(6)

Schemat interaktywny

Poniżej przedstawiony jest schemat interaktywny przedstawiający klasyﬁkację równań ze względu na liczbę niewiadomych oraz stopień równania.

Klasyﬁkacja równań

Polecenie 1

Na podstawie schematu przyporządkuj podane równanie do odpowiedniego rodzaju. Sprawdź poprawność rozwiązania.

<math><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><msup><mi>y</mi><mn>3</mn></msup><mo>=

</mo><mn>7</mn></math>, <math><mn>4</mn><msup><mi>z</mi><mn>4</mn></msup><mo>-

</mo><mn>2</mn><msup><mi>z</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>0</mn></math>,

<mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn></math>, <math><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>=

</mo><mn>1</mn></math>, <math><msup><mn>3</mn><mn>2</mn></msup><mi>a</mi><mo>+

</mo><mn>3</mn><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mn>6</mn><mi>a</mi></math>,

równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

równanie z jedną niewiadomą, które nie jest pierwszego stopnia

równanie z więcej niż jedną niewiadomą

(7)

Sprawdź się

Ćwiczenie 1

Wskaż równania.

x2+y2-z2 2d=1 4a2+3a-5 2x-yy5 2z-1=1 Ćwiczenie 2

„Przeciągnij” równanie do odpowiedniego okienka.

<mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>x</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>2</mn></math>,

<math><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>4</mn><mi>a</mi><mo>=

</mo><mn>0</mn></math>, <math><mn>5</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn>

równanie z jedną niewiadomą

równanie z więcej niż jedną niewiadomą

Ćwiczenie 3

Spośród poniższych równań wybierz równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

2x-4y=3 x+4x+8=2x-1 k2-3k=0 3x5+4x2=-6x 10y-1=y-10 a-62=4

(8)

Ćwiczenie 4

Połącz w pary stwierdzenie z odpowiadającym mu równaniem.

Liczba 44 jest o 21 większa od x.

Liczba 44 jest o 21 mniejsza od x.

Liczba o 5 większa od x jest równa 36.

Liczba o 5 mniejsza od x jest równa 36.

Liczba 18 jest 5 razy większa od x.

Liczba 18 jest 5 razy mniejsza od x.

Trzykrotność liczby x jest o 10 większa od liczby 30.

Trzykrotność liczby x jest o 10

mniejsza od liczby 30.

Ćwiczenie 5

W trapezie równoramiennym podstawy są równe 5 i 17 , a wysokość h jest o 4 krótsza od długości ramienia. Wskaż równanie, które pozwoli obliczyć wysokość trapezu.

h+42-h2=62 h+42+h2=62 h+42-h2=52 h+42=h2-62 Ćwiczenie 6

Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

(9)

Ćwiczenie 7

Uzupełnij brakujące miejsca w tekście tak, aby zapisane równanie opisywało sytuację przedstawioną w tym tekście.

zwiększona, zmniejszona, większa, mniejsza 1,5x-300=x+100

Przed wakacjami kwota przeznaczona na zakup lodów w pewnym sklepie została ... o 50%.

W okresie zimowym została ona ... o 300 zł i teraz jest ... od początkowej kwoty tylko o 100 zł.

Ćwiczenie 8

Antek jest o 10 lat młodszy od Bartka. 5 lat temu Bartek był dwa razy starszy od Antka. Wskaż równanie opisujące sytuację przedstawioną w zadaniu.

x-5=2x-15; x-wiek Bartka x-5=2x-15; x-wiek Antka Ćwiczenie 9

Cena komputera wzrosła o 30 zł, gdy podatek VAT podniesiono z 22% na 23%. Wskaż równanie opisujące sytuację przedstawioną w zadaniu.

1% x=30; x - cena komputera przed podniesieniem podatku VAT 23% x=30; x - cena komputera przed podniesieniem podatku VAT Ćwiczenie 10

Na podstawie ilustracji uzupełnij równania.

Wielokąt

Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

a, 8

Jeśli obwód ﬁgury jest równy 30, to ...a+6=30.

Jeśli pole ﬁgury jest równe 56, to aa+2+ ... 2a+1=56 Ćwiczenie 11

Zapisz równanie do zadania o mrówce przedstawionego we wstępie lekcji. Czy potraﬁsz przewidzieć jaki ciężar podniesiesz, gdy poczujesz się wielką mrówką?

(10)

Dla nauczyciela

Autor: Jolanta Schilling Przedmiot: Matematyka

Temat: Równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, czyli jaki ciężar podniesiesz, gdy poczujesz się wielką mrówką?

Grupa docelowa: III etap edukacyjny, liceum, technikum Podstawa programowa:

III. Równania i nierówności. Zakres podstawowy. Uczeń:

1. przekształca równania i nierówności w sposób równoważny.

Kompetencje kluczowe:

kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji;

kompetencje w zakresie wielojęzyczności;

kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii;

kompetencje cyfrowe;

kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się.

Cele operacyjne:

Uczeń:

odróżnia równanie od wyrażenia algebraicznego;

określa rodzaj równania ze względu na liczbę niewiadomych;

rozpoznaje równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą;

porównuje zapis matematyczny równania z zapisem słownym;

opisuje za pomocą równania sytuację przedstawioną graﬁcznie lub słownie.

Strategie nauczania:

konstruktywizm.

Metody i techniki nauczania:

burza mózgów;

dyskusja;

rozmowa nauczająca z wykorzystaniem ćwiczeń interaktywnych i galerii graﬁk interaktywnych.

Formy pracy:

praca indywidualna;

praca w grupach;

praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

komputery z głośnikami i dostępem do internetu, słuchawki;

zasoby multimedialne zawarte w e‑materiale;

tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda.

Przebieg zajęć:

(11)

Faza wstępna

1. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć oraz wspólnie z uczniami ustala kryteria sukcesu.

2. Nauczyciel podaje przykłady równań i wyrażeń algebraicznych. Uczniowie odróżniają równania i wyrażenia algebraiczne.

Faza realizacyjna

1. Każdy uczeń otrzymuje od nauczyciela 10 przykładów różnych równań. Następnie stara się podzielić równania na grupy, według własnych kryteriów.

2. Uczniowie podzieleni na grupy 4 – 6 osobowe omawiają rezultaty swojej pracy i porównują dokonane podziały. Tworzą wspólny schemat ilustrujący rodzaje równań ze względu na liczbę niewiadomych i stopień równania.

3. Uczniowie oglądają graﬁkę interaktywną i omawiają ją wraz z nauczycielem.

4. Uczniowie w parach lub indywidualnie wykonują ćwiczenia interaktywne wskazane przez nauczyciela. Wspólnie omawiają odpowiedzi.

Faza podsumowująca

1. Jako podsumowanie nauczyciel zadaje uczniom pytania dotyczące określania rodzaju równania ze względu na liczbę niewiadomych i stopień równania.

2. Nauczyciel omawia przebieg zajęć, wskazuje mocne i słabe strony pracy uczniów, udzielając im tym samym informacji zwrotnej.

Praca domowa:

Uczniowie poszukują informacji o złotym podziale odcinka. Wykonują prezentację multimedialną o wykorzystaniu złotego podziału w malarstwie i architekturze (będzie ona wykorzystywana na następnych zajęciach).

Materiały pomocnicze:

Encyklopedia. Matematyka, wyd. Greg, Kraków 2019

Wskazówki metodyczne opisujące różne zastosowania multimedium:

Multimedium może być wykorzystane przez chętnych uczniów do samodzielnego przygotowania mapy myśli prezentującej rodzaje równań ( z konkretnymi przykładami znanych w matematyce równań).

Przetwarzam wzory matematyczne: 5%