Algebra liniowa z geometria

- konspekt wyk ladu 2016/17

Barbara Roszkowska -Lech November 18, 2016

3 Przestrzenie wektorowe

Definicja 3.1. Przestrzenia, wektorowa, (liniowa,) nad cia lem K nazywamy zbi´or V z odwzorowaniami

V × V → V (u, v) 7→ u + v zwanym dodawaniem wektor´ow, K × V → V (a, v) 7→ a · v zwanym mno˙zeniem wektora przez skalar, oraz z wyr´o˙znionym elementem w V zwanym wektorem zerowym i oznaczanym przez 0 je´sli spe lnione sa, naste,pujace warunki zwane aksjomatami przestrzeni wektorowej. Dla kazdych u, v, w ∈ V oraz a, b, ∈ K

1. u + (w + v) = (u + w) + v laczno´s´c dodawania wektor´ow , 2. u + w = w + u przemienno´s´c dodawania wektor´ow ,

3. 0 + u = u + 0 = u wektor 0 jest elementem neutralnym dodawania, 4. ∀_u∈V∃_u⁰_∈V u + u⁰ = 0 istnienie elementu odwrotnego w dodawaniu, 5. a · (b · v) = (a · b) · v laczno´s´c mno˙zenia przez skalary,

6. a · (u + v) = a · u + a · v rozdzielno´s´c mno˙zenia wzgle,dem dodawania wektor´ow

7. (a + b) · v = a · v + b · v rozdzielno´s´c mno˙zenia wzgle,dem dodawania skalar´ow,

1

8. 1 · v = v 1 jest elementem neutralnym mno˙zenia.

Elementy zbioru V nazywamy wektorami a elementy cia la K skalarami.

Przestrze´n wektorowa, V nad cia lem K oznaczamy V [K], a tam gdzie nie be,dzie to prowadzi´c do nieporozumie´n tylko V .

Przyk lady przestrzeni liniowych

1. Niech L be,dzie podcia lem cia la K. Wtedy K jest przestrzenia, wek- torowa, na dcia lem L.

2. Zbi´or Kⁿ = {(x₁, x₂, . . . , x_n)|x_i ∈ K, i = 1, 2, . . . n} wszystkich n el- ementowych cia,g´ow o wyrazach z cia la K z dzia laniami okre´slonymi naste,pujaco:

(x₁, x₂, . . . , x_n) + (y₁, y₂, . . . , y_n) = (x₁+ y₁, x₂+ y₂, . . . , x_n+ y_n), a(x₁, x₂, . . . , x_n) = (ax₁, ax₂, . . . , ax_n)

jest przestrzenia, liniowa, nad cia lem K

3. Niech M_mⁿ(K) oznacza zbi´or wszystkich macierzy o wyrazach z cia la K.

Suma, macierzy A = [a^ij], B = [b_ij] nazywamy taka, macierz C = [c^ij] ∈ M_mⁿ(K), taka, ˙ze c^ij = a_ij + b_ij, dla ka˙zdego i = 1, · · · , m, j = 1, · · · , n. Iloczynem macierzy A przez skalar c ∈ K nazywamy taka macierz D = [d_ij] ∈ M_mⁿ(K), ˙ze d_ij = ca_ij dla dla ka˙zdego i = 1, · · · , m, j = 1, · · · , n. Zbi´or M_mⁿ(K) z tak okre´slonymi dzia laniami jest przestrzenia liniowa nad cia lem K.

4. Niech K[x] bedzie zbiorem wszystkich wielomian´ow o wsp´olczynnikach w ciele K. Czyli

K[x] = {a₀+ a₁x + . . . + a_nxⁿ|n ∈ N ∪ {0}, a₀, a₁, · · · , a_n∈ K}.

Okre´slamy dodawanie i mno˙zenie wielomian´ow przez skalary. Z tymi dzia laniami k[x] jest przestrzenia, wektorowa, nad K.

5. Niech K bedzie cia lem, a X niepustym zbiorem.. Oznaczmy M ap(X, K) :=

{f ; f : X → K}. Zbi´or M ap(X, K) z dodawaniem (f + g)(x) = f (x) + g(x) i mno˙zeniem przez skalary (af )(x) = a(f (x)) jest przestrzenia, wektorowa, nad cia lem K.

Definicja 3.2. Niech V bedzie przestrzenia, liniowa, nad cia lem K. Niepusty podzbi´or U ⊆ V nazywamy podprzestrzenia, V , je´sli dla dowolnych u, w ∈ U oraz dla dowolnego a ∈ K

u + w ∈ U, au ∈ U.

Je´sli U jest podprzestrzenia, V to be,dziemy ten fakt zapisywa´c symbol- ocznie U < V . Je´sli U jest podprzestrzenia, V to U zawiera wektor zerowy 0 oraz dla dowolnego wektora u ∈ U zawiera wektor −u. Ponadto U jest przestrzenia, liniowa, nad K z dzia laniami indukowanymi z V .

Przyk lady podprzestrzeni przestrzeni liniowych

1. Dla dowolnej przestrzeni liniowej V podzbi´or {0}, z lo˙zony tylko z wek- tora zerowego jest podprzestrzenia, V . Nazywamy ja podprzestrzenia, zerowa,. Ponadto V jest swoja, w lasna, podprzestrzenia,.

2. Niech Km[x] oznacza zbi´or wszystkich wielomian´ow jednej zmiennej o wsp´olczynnikach w ciele K stopnia ≤ m. Wtedy K_m[x] < K[x].

3. Niech U be,dzie jednorodnym uk ladem r´owna´n z n niewiadomymi o wsp´olczynnikach w ciele K i macierza, A. Wtedy Zbi´or wszystkich rozwia,za´n tego uk ladu jest podprzestrzenia przestrzeni Kⁿ. Rozw(A, 0) <

Kⁿ.

4. Niech x₀ ∈ x i niech W = {f ∈ M ap(X, K) : f (x₀) = 0}. Wtedy W jest podprzestrzenia, przestrzeni liniowej Map(X, K).

Twierdzenie 3.3. Niech u ⊆ V . Wtedy naste,puja,ce warunki sa, r´ownowa˙zne 1. U < V

2. ∀_a,b∈K∀_u,w∈U au + bv ∈ U

3. ∀_{a1,a2,··· ,ak∈K}∀_{u1,u2,··· ,uk∈U} a₁u₁+ a₂u₂+ · · · + a_kv_k ∈ U .

Twierdzenie 3.4. Niech dla ka˙zdego t ∈ T, U_t bedzie podprzestrzenia, przestrzeni liniowej V . Wtedy cze,´s´c wsp´olna, wszytkich podprzestrzeni U^t, T

t∈T

U_t jest podprzestrzenia, przestrzeni V .

Definicja 3.5. Niech A ⊂ V . Podprzestrze´n L(A) := T

A⊂U <VU be,da,ca cze,scia, wsp´olna wszystkich podprzestrzeni V zawieraja,cych zbi´or A nazywamy podprzestrzenia, generowana przez zbi´or A.

Je´sli L(A) = V to m´owimy, ˙ze A jest zbiorem generator´ow przestrzeni V Definicja 3.6. Niech V be,dzie przestrzenia, liniowa, nad cia lem K oraz niech v₁, v₂, · · · , v_n ∈ V, a₁, a₂, · · · , a_n∈ K. Wektor v = a₁v₁+ a₂v₂+ · · · + a_nv_n nazywamy kombinacja, liniowa, wektor´ow v¹, v₂, · · · , v_n o wsp´o lczynnikach a₁, a₂, · · · , a_n.

Zauwa˙zmy, ˙ze z twierdzenia 3.3 wynika, ˙ze U jest podprzestrzenia, przestrzeni V wtedy i tylko wtedy gdy U jest zamknie,te ze wzgle,du wszytkie kombinacje liniowe wektor´ow z U .

Twierdzenie 3.7. Niech A ⊂ V . Wtedy

L(A) = {v ∈ V ; ∃_n∈N, ∃_{v1,v2,··· ,vn}, ∃_{a1,a2,··· ,an} v = a₁v₁+a₂v₂+· · ·+a_nv_n}.

Twierdzenie 3.8. Niech A, A⁰ ∈ M_mⁿ(K) oraz v1, v2, · · · , vm be,da, wierszami macierzy A a v⁰₁, v₂⁰, · · · , v_m⁰ wierszami macierzy A⁰. Je´sli macierze A i A⁰ sa, wierszowo r´ownowa˙zne to L(v₁, v₂, · · · , v_m) = L(v₁⁰, v⁰₂, · · · , v_m⁰ ).

Przyk lady

1. Kn[x] = L(1, x, · · · , xⁿ)

2. Kⁿ = L(e₁, e₂, · · · , e_n) gdzie e_i = [0, · · · , 0, 1, 0, · · · 0].

3. L(xⁿ, xⁿ⁺¹, · · · ) jest podprzestrzenia, przestrzeni wielomian´ow K[x] za- wieraja,ca, wszystkie wielomiany podzielne przez xⁿ.

Definicja 3.9. Niech V bedzie przestrzenia, liniowa, nad cia lem K. Uk lad wektor´ow v₁, v₂, · · · , v_kprzestrzeni wektorowej V nazywamy liniowo zale˙znym, je´sli istnieja, a¹, a₂, · · · , a_k ∈ K nie wszystkie r´owne 0, takie ˙ze a₁v₁+ a₂v₂+

· · · + a_kv_k = 0. Uk lad wektor´ow v₁, v₂, · · · , v_k jest liniowo niezale˙zny, je´sli a₁v₁+ a₂v₂+ · · · + a_kv_k = 0 ⇔ a₁ = a₂ = · · · = a_k= 0.

Zauwa˙zmy, ze je´sli kt´ory´s z wektor´ow v_i jest zerowy to taki uk lad jest liniowo zale˙zny.

Twierdzenie 3.10. Uk lad v1, v2, · · · , vk jest liniowo zale˙zny ⇔ jeden z wek- tor´ow v_i jest kombinacja, liniowa, pozosta lych.

Uwaga 3.11. Niech c¹(A), c²(A), · · · , cⁿ(A) beda, kolumnami macierzy A ∈ M_mⁿ. Wtedy uk lad c¹(A), c²(A), · · · , cⁿ(A) jest uk ladem liniowo niezale˙znym wtedy i tylko wtedy gdy jednorodny uk lad r´owna´n o macierzy A ma tylko zerowe rozwia,zanie.

Wniosek 3.12. Niech macierz A be,dzie wierszowo r´ownowa˙zna z macierza, A⁰. Wtedy kolumny macierzy A sa, liniowo niezale˙zne wtedy i tylko wtedy, gdy liniowo niezale˙zne sa, kolumny macierzy A⁰.

Podobny wniosek mo˙zna te˙z udowodni´c o wierszach wierszowo r´ownowa˙znych macierzy A oraz A⁰. Dok ladniej, je´sli v₁, · · · , v_m be,da wierszami macierzy A, a v₁⁰, · · · , v_m⁰ be,da wierszami macierzy A⁰ wierszowo r´ownowa˙znej z macierza, A to uk lad v₁, · · · , v_m jest liniowo niezale˙zny wtedy i tylko wtedy gdy uk lad v⁰₁, · · · , v_m⁰ jest liniowo niezalezny. Ponadto zauwa˙zmy, ˙ze niezerowe wiersze kazdej macierzy schodkowej tworza, uk lad liniowo niezale˙zny a je´sli jeden z wierszy jest zerowy to taki uk lad jest zale˙zny. Wnioskujemy stad, ˙ze wiersze macierzy dowolnej A tworza, uk lad liniowo niezale˙zny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz ta jest r´ownowa˙zna z macierza, schodkowa bez zerowych wierszy.

Twierdzenie 3.13. Niech v₁, v₂, · · · , v_k be,dzie uk ladem liniowo niezale˙znym i niech v ∈ V . Wtedy wektor v ∈ L(v₁, v₂, · · · , v_k) wtedy i tylko wtedy, gdy uk lad (v, v1, v2, · · · , vk) jest liniowo zale˙zny.

Twierdzenie 3.14. (Tw. Steinitza) Niech uk lad wektor´ow (w₁, w₂, · · · , w_k) w przestrzeni wektorowej V = L(v₁, v₂, · · · , v_m) bedzie liniowo niezale˙zny.

Wtedy

• k ≤ m,

• z uk ladu v₁, v₂, · · · , v_m mo˙zna wybra´c poduk lad v_i1, · · · , v_im−k, taki, ˙ze L(v₁, v₂, · · · , v_m) = L(w₁, w₂, · · · , w_k, v_i1, · · · , v_im−k).

Twierdzenie Steinitza nazywane jest twierdzeniem o wymianie. M´owi ono, ˙ze je´sli uk lad (w₁, · · · , w_k) jest liniowo niezale˙zny w przestrzeni V = L(v₁, v₂, · · · , v_m) to w uk ladzie (v₁, v₂, · · · , v_m) mo˙zna wymieni´c pewnych k wektor´ow na wektory w₁, w₂, · · · , w_k i uzyska´c nowy uk lad generuja,cy przestrze´n V .

Wnioski

1. Je´sli W jest podprzestrzenia, przestrzeni V = L(v¹, v₂, · · · , v_m) to w W istnieje uk lad liniowo niezale˙zny (w₁, w₂, · · · , w_k), (k ≤ m), taki ˙ze W = L(w₁, w₂, · · · , w_k).

2. Je´sli L(w₁, w₂, · · · , w_k) = L(w⁰₁, w₂⁰, · · · , w_l⁰) i uk lady (w₁, w₂, · · · , w_k) oraz (w⁰₁, w₂⁰, · · · , w_l⁰) sa, liniowo niezale˙zne to k = l.

Definicje, liniowej niezale˙zno´sci dla sko´nczonych uk lad´ow wektor´ow w przestrzeni liniowej V mo˙zna rozszerzyc na przypadek uk lad´ow niesko´nczonych. Uk lad wektor´ow B przestrzeni V nazywamy liniowo niezale˙znym gdy ka˙zdy jego sko´nczony poduk lad jest liniowo niezale˙zny.

Bazy i wymiary przestrzeni wektorowych

Definicja 3.15. Uk lad wektor´ow B nazywamy baza, przestrzeni liniowej V , je´sli

• Uk lad B jest liniowo niezale˙zny,

• Uk lad B generuje przestrze´n V , czyli V = L(B).

Twierdzenie 3.16. Uk lad wektor´ow B = (v₁, v₂, · · · , v_n) jest baza, przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny wektor v ∈ V mo˙zna jednoznacznie przed- stawi´c jako kombinacje, liniowa, wektor´ow v¹, v₂, · · · , v_m).

Twierdzenie 3.17. Niech B = (v₁, v₂, · · · , v_n) bedzie uk ladem wektor´ow w przestrzeni V . Wtedy naste,puja,ce warunki sa, r´ownowa˙zne

1. B jest baza, przestrzeni V .

2. B jest maksymalnym uk ladem liniowo niezale˙znym.

3. B jest minimalnym uk ladem generator´ow przestrzeni V

Twierdzenie 3.18. Je´sli przestrze´n wektorowa V posiada baze, n elementowa, to ka˙zda baza V ma n element´ow.

Definicja 3.19. M´owimy, ˙ze przestrze´n V ma wymiar n, je´sli V posiada baze, n elementowa,. Piszemy wtedy, ze dimV = n. Ponadto przyjmujemy, ˙ze wymiar przestrzeni zerowej wynosi 0, a je´sli V nie ma sko´nczonej bazy, to V nazywamy przestrzenia, niesko´nczenie wymiarowa, i piszemy dimV = ∞.

Je´sli dimV = n, to ka˙zdy n-elementowy liniowo niezale˙zny uk lad wek- tor´ow w przestrzeni V jest baza, V. Je´sli dimV = n, to ka˙zdy n elementowy uk lad wektor´ow w przestrzeni V jest baza, V.

Twierdzenie 3.20. Podprzestrze´n przestrzeni rozpie,tej na sko´nczonym uk ladzie wektor´ow jest sko´nczenie wymiarowa. Je´sli W jest podprzestrzenia, w V oraz dimV = n, to dimW ≤ n. Ponadto, jesli dimV = dimW , to V = W.

Twierdzenie 3.21. Niech V be,dzie przestrzenia wektorowa, nad cia lem K.

W´owczas

1. Ka˙zdy liniowo niezale˙zny uk lad wektor´ow mo˙zna uzupe lni´c do bazy V.

2. Z ka˙zdego uk ladu generator´ow V mo˙zna wybra´c baze,.