Wyk lady z uk lad´ ow dynamicznych

Wyk lady z uk lad´ ow dynamicznych

Opracowa la J. Kotus

Spis tre´sci

1. Podstawowe pojecia i twierdzenia r´_, owna´n r´o ˙zniczkowych

zwyczajnych 4

1.1 R´ownanie r´o˙zniczkowe zwyczajne rzedu n w przestrzeniach Banacha_, 4

1.2 R´ownania liniowe w przestrzeniach Banacha 7

1.3 Interpretacja w przestrzeniach sko´nczenie wymiarowych 9 1.4 Uk lady r´owna´n liniowych o sta lych wsp´o lczynnikach 11

2. Stabilno´s´c punkt´ow r´ownowagi 13

2.1 Stabilno´s´c i asymptotyczna stabilno´s´c 13

2.2 Klasyfikacja punkt´ow r´ownowagi 18

3. Dyfeomorfizmy i potoki 24

3.1 Rozmaito´sci r´o˙zniczkowe 23

3.2 Dzia lanie grup na rozmaito´sciach 26

3.3 Zwiazek mi_, edzy potokami a polami wektorowymi_, 27

3.4 Punkty krytyczne p´ol wektorowych 30

4. Hiperboliczno´s´c 31

4.1 Punkty hiperboliczne dyfeomerfizm´ow i potok´ow 31

5. Linearyzacja 34

5.1 Zagadnienie linearyzacji p´ol wektorowych i dyfeomorfizm´ow 34 5.2 Twierdzenie Grobmana-Hartmana dla dyfeomorfizm´ow w IRⁿ 40 5.3 Twierdzenie Grobmana-Hartmana dla dyfeomorfizm´ow

zdefiniowanych na rozmaito´sciach 45

5.4 Twierdzenie Grobmana-Hartmana dla p´ol wektorowych 45

6. Lokalne rozmaito´sci stabilne i niestabilne 46 6.1 Twierdzenie Hadamarda-Perrona dla dyfeomorfizm´ow

zdefiniowanych na rozmaito´sciach 46

6.2 Globalne rozmaito´sci stabilne i niestabilne 49

7. W lasno´sci typowe w przestrzeni Diff^r i C^r(TM) 50 7.1 Lokalna strukturalna stabilno´s´c punkt´ow hiperbolicznych 51 8. Zachowanie sie potoku w otoczeniu orbity zamkni_, etej_, 52

8.1 Przekszta lcenie Poincar’ego 53

8.2 Hiperboliczne orbity zamnkniete_, 58

8.3 Lokalne strukturalna stabilno´s´c hiperbolicznych orbit zamknietych._, 57

8.4 Zbiory graniczne 58

9. Punkty nieb ladz_, ace_, 60

10. Pola wektorowe i dyfeomorfizmy Morse’a-Smale’a 63

11. Strukturalna stabilno´s´c dyfeomorfizm´ow i p´ol wektorowych I 66 11.1 Warunki konieczne do strukturalnej stabilno´sci 67 11.2 Warunki dostateczne do strukturalnej stabilno´sci 68

12. Zbiory minimalne 69

13. Zbiory hiperboliczne 72

13.1 Solenoid 72

13.2 Podkowa Smale’a 78

14. Strukturalna stabilno´s´c dyfeomorfizm´ow i p´ol wektorowych II 83

14.1 Warunki dostateczne 84

14.2 Podkowa Smale’a dla przekszta lcenia H´enona 85

1 Podstawowe poj ecia i twierdzenia r´

owna´ n r´ o ˙zniczkowych zwyczajnych

1.1 R´ ownanie r´ o ˙zniczkowe zwyczajne rz edu n w w przestrzeniach

Banacha

Oznaczenia

B- przestrze´n Banacha,

Bⁿ= B × . . . × B, n ≥ 1, n ∈ IN

IR - zbi´or liczb rzeczywistych, I ⊂ R- przedzia l U ⊂ Bⁿ⁺¹ -zbi´or otwarty

F : K = I × U :→ IR - dana funkcja

Definicja 1.1. Wyra˙zenie postaci

F (t, y(t), y⁰(t), y⁰⁰(t), . . . , y⁽ⁿ⁾(t)) = 0 ∀t ∈ I (1.1) nazywamy r´ownaniem r´o˙zniczkowym zwyczajnym n-tego rzedu, gdzie y = y(t)_, nieznana funkcja zwana rozwiazaniem r´_, ownania (1.1).

Uwaga 1.2. R´ownanie postaci (1.1) nazywamy r´ownaniem nierozwik lanym wzgledem_, pochodnej.

Definicja 1.3. Jesli r´ownanie (1.1) mo˙zna zapisa´c w postaci

y⁽ⁿ⁾= f (t, y(t), y⁰(t), y⁰⁰(t), . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾(t)) = 0 ∀t ∈ I, (1.2) gdzie

f : I × D ⊂ IR × Bⁿ → B

to r´ownanie (1.2) przedstawia r´ownanie r´o˙zniczkowe zwyczajne rzedu n w postaci_, normalmej.

Definicja 1.4. Rozwiazaniem r´_, ownania ro´zniczkowego (1.1) nazywamy ka˙zda funkcj_, e_, y : I → B, taka ˙ze_,

1. y ∈ Dⁿ(I) (y jest funkcja n-krotnie r´_, ozniczkowalna)_,

2. ∀t ∈ I F (t, y(t), y⁰(t), y⁰⁰(t), . . . , y⁽ⁿ⁾(t)) = 0 czyli r´ownanie (1.1) jest spe lnione to˙zsamo´sciowo 3. ∀t ∈ I (t, y(t), y⁰(t), y⁰⁰(t), . . . , y⁽ⁿ⁾(t)) ∈ K

Lemat 1.5 (o r´ownowa ˙zno´sci). Niech D ⊂ IR × B, (t0, y0) ∈ D, f ∈ C(D, B) ZC y⁰ = f (t, y), y⁰(t₀) = y₀

RC y = y₀+Rt

t0f (s, y(s))ds,

gdzie RC to r´ownanie ca lkowe Voltery II rodzaju. Wtedy ka˙zde rozwiazanie ZC jest rozwi_, azaniem_, RC i odwrotnie.

Definicja 1.6. Rozwiazaniem zupe lnym (wysyconym) nazywamy takie rozwi_, azanie r´_, ownania r´o˙zniczkowego, kt´orego, kt´orego ka˙zde przed lu˙zenie pokrywa sie z tym rozwi_, azaniem._,

Definicja 1.7. Niech f : I × B → B, I = [a, b]. M´owimy, ˙ze f spe lnia warunek Lipschitza ze wzgledu na drug_, a zmienn_, a ze sta l_, a L > 0 (ozn. f ∈ Lip_, 2(L)) , gdy

∀y₁, y₂ ∈ B, ∀t ∈ I, ||f (t, y₁) − f (t, y₂)|| ≤ L||y₁− y₂||

Twierdzenie 1.8 (Twiedzenie Picarda-Lind¨olefa). Niech I = [a, b], B-przestrze´n Banacha, B(u₀, r)-kula w przestrzeni B,

f ∈ C(I × B(u₀, r), B), f ∈ Lip₂(L), (t₀, y₀) ∈ I × B (dowolny punkt).

Wtedy istnieje dok ladnie jedno rozwiazanie zupe lne rozwiazania zagadnienia_,

 y⁰ = f (t, y)

y(t₀) = y₀ (1.3)

okre´slone na [α, β] ⊂ I.

Uwaga 1.9. Podamy przyk lady ilustrujace istot_, e za lo˙ze´_, n podanych wy˙zej twierdze´n

• Przyk lad r´ownania kt´ore nie posiada rozwiazania_, y⁰ = f (t) f = χ_Q= 0 t /∈ Q

1 t ∈ Q prawa strona r´ownania nie jest funkcja ci_, ag l_, a._,

• Zagadnienie Cauchy’ego, kt´ore nie ma jednoznaczno´sci rozwiazania_,

 y⁰ = 3y^2/3 y(0) = 0

Rozwiazaniami tego r´ownania sa np.(a) funkcje y(t) ≡ 0 dla t ∈ IR, (b) y(t) = t_, ³ dla t ∈ IR, oraz

y(t) = 0 t ≤ 0 t³ t ≥ 0 Funkcja y^2/3 nie spe lnia warunku Lipschitza.

• Ciag lo´_, s´c prawej strony r´ownania w przestrzeni Banacha niesko´nczenie wy- miarowej nie gwarantuje istnienia rozwiazania - przyk lad Dieudonn´_, e

• Ciag lo´s´_, c prawej strony r´ownania w przestrzeni Banacha sko´nczenie wymiarowej gwarantuje istnienia rozwiazania_,

- Twierdzenie Peano

i) I wersja Niech I = [a, b], J = [c, d], f ∈ C(I × J, IR). Wtedy dla dowolnego (t₀, y₀) ∈ I × (c, d) istnieje zupe lne rozwiazanie zagadnienia_,

 y⁰ = f (t, y) y(t₀) = y₀ okre´slone na [α, β] ⊂ [a, b]

ii) II wersja Niech I = [a, b], f : I × IR → IR bedzie funkcj_, a ci_, agl_, a i ograniczon_, a._, Wtedy dla dowolnego (t0, y0) ∈ I × (c, d) istnieje zupe lne rozwiazanie zagadnienia_,

 y⁰ = f (t, y) y(t0) = y0

okre´slone na I

1.2 R´ ownania liniowe w przestrzeniach Banacha

Oznaczenia

B- przestrze´n Banacha

L(B) - przestrze´n operator´ow liniowych i ciag lych z B do B jest algebr_, a Banacha_, Niech A ∈ C(I, L(B)), I = [0, a) lub I = [0, +∞). Rozpatrzmy r´ownanie

 x⁰ = A(t)x + g(t)

x(t₀) = x₀ (1.4)

gdzie t₀ ∈ I, x ∈ B, g ∈ C(I, B). Wtedy r´ownanie (1.4) spe lnia za lo˙zenia twierdzenia Picarda - Lind¨olefa, wiec posiada rozwi_, azanie zupe lne okre´slone na I_,

Definicja 1.10. R´ownanie (1.4) nazywamy r´ownaniem liniowym niejednorod- nym na przestrzeni Banacha B. Je´sli za´s g(t) ≡ 0 dla t ∈ I to r´ownanie (1.4) nazywamy r´ownaniem liniowym jednorodnym i zapisujemy x⁰ = A(t)x.

Definujemy funkcje ˜_, A : L(B) → L(B) nastepuj_, aco_, A(U ) = A(U ),˜

gdzie A ∈ L(B) ustalony operator. Wtedy ˜A jest funkcja liniow_, a_,

A(aU˜ ₁+ bU₂) := A(aU₁+ bU₂) = aA(U₁) + bA(U₂) = a ˜A(U₁) + b ˜A(U₂) i ciag l_, a,_,

|| ˜A(U )||_L(B) = ||A(U )||_L(B) ≤ ||A||_{L(U )}||U ||_L(B) ( ˜A jest funkcja ograniczon_, a, zatem jest ci_, ag la) czyli_,

A ∈ L(L(B)).˜

Dana jest rodzina operator´ow A : I → L(B). Wprowadzamy funkcje_, A : I → L(L(B))˜

dla U ∈ L(B) A(t)U := A(t)U (bylo udowodnione, ˙ze ˜˜ A jest ciag ly)_,

Definicja 1.11. Dana jest rodzina operator´ow A : I → L(B). rozpatrujemy r´ownanie

 U⁰ = ˜A(U )

U (0) = E (1.5)

gdzie ˜A(U ) = A(t)U . Korzystajac z (1.4) dowodzi si_, e, ˙ze r´_, ownanie (1.5) posiada rozwiazanie_, zupe lne postaci U : I → L(B) ( jest to rodzina operator´ow)

• Operatory U (t) posiadaja operatory odwrotne w L(B)._,

• Odwzorowania t → U (t) oraz t → U⁻¹(t) sa ci_, ag le (nawet r´_, ozniczkowalne)

• Odwzorowania (t, x) → U (t)x oraz (x, t) → U⁻¹(t)x ze zbioru I × B → B sa ci_, ag le_,

Definicja 1.12. Wprowadzamy operator R : I² → L(B) zdefiniowany wzorem R(t, t₀) = U (t)U⁻¹(t₀)

W lasno´sci operatora R

1. Dla ka˙zdej ustalonej pary (t, t₀) ∈ I² operator R(t, t₀) jest liniowy i ciagly_, 2. Oprator R jest ciag ly wzgl_, edem t i t_{, 0}

3. R(t0, t0) = E

4. R(t₁, t₂)R(t₂, t₃) = R(t₁, t₃) 5. [R(t, s)]⁻¹ = R(s, t)

6. ||R(t, t₀)||L(B) ≤ e

Rt

t0||A(s)||L(B)ds

, t ≥ t₀ 7. Rozwiazanie zagadnienia_,

y⁰ = A(t)y, y(t₀) = y₀ jest postaci

y(t) = R(t, t₀)y₀, t ∈ I Operator R(t, s) przesuwa rozwiazania od s do t._,

8. Rozwiazanie zagadnienia niejednorodnego_,

y⁰ = A(t)y + g(t), y(t₀) = y₀ ma posta´c

y(t) = R(t, t₀)y₀+ Z t

t0

R(t, s)g(s)ds, t ∈ I Przy czym je´sli operator A nie zale˙zy od t czyli jest sta ly, to

R(t, t0) = U (t)U⁻¹(t0) = U (t − t0), t ≥ t0

1.3 Interpretacja otrzymanych fakt´ ow w przestrzeniach sko´ nczenie wymiarowych

1. x⁰ = A(t)x + b(t), b ∈ C(I, IRⁿ), A ∈ C(I, L(IRⁿ))

Operator liniowy z IRⁿ do IRⁿ mo˙zna uto˙zsamia´c z macierza. Zatem A(t)x = M (t)x_, gdzie A(t) = [a_kl(t)]_n×n-macierz kwadratowa. Wtedy

x⁰_k =

n

X

l=1

a_kl(t)x_l+ b_k(t)

2. Dla r´ownania jednorodnego otrzymali´smy jako rozwiazanie operator rodzin_, e operator´_, ow U : I → L(B). Zatem istnieje macierz ˜X(t), kt´ora spe lnie r´ownanie

d

dtX(t) = A(t) ˜˜ X(t), X(0) = E˜

gdzie E macierz jednostkowa. ˜X(t)-macierz fundamentalna podstawowa

W lasno´sci ˜X(t) X(t)- r´˜ o˙zniczkowalna

X(t) posiada macierz odwrotn˜ a ˜_, X(t)⁻¹

X(t) ˜˜ X(s) = ˜X(t + s) X(−t) = ˜˜ X(t)⁻¹

Uwaga 1.13. Je´sli I zastapimy przez IR, to jednoparametrowa rodzina macierzy fun-_, damentalnych (za parametr przyjmujemy czas t) tworzy grupe ze wzgl_, edu na sk ladanie_, czyli mno˙zenie macierzy tzn.

(a) IR 3 t → ˜X(t)

(b) IR × IR 3 (t, s) → ˜X(t) ˜X(s) = ˜X(t + s) (c) zachodzi w lasno´sc laczno´_, sci

IR × IR × u 3 (t, s, u) → ( ˜X(t) ˜X(s)) ˜X(u) = ˜X(t + s) ˜X(u) = ˜X(t + s + u) = X(t) ˜˜ X(s + u) = ˜X(t)( ˜X(s) ˜X(u))

(d) istnieje element neutralny tzn. ∃ ˜X(0) = E taki, ˙ze ∀t ∈ IR X(t) ˜˜ X(0) = ˜X(0) ˜X(t) = ˜X(t)

(e) istnieje element odwrotny tzn. ∀ ˜X(t) ∃ ˜X(t)⁻¹ taki ˙ze ˜X(t) ˜X(t)⁻¹ = ˜X(t − t) = X(0) = E˜

3. R(t, t₀) - macierz oraz R(t, t₀) = ˜X(t) ˜X(t₀)⁻¹, X(0)˜ ⁻¹ = E

4. Ka˙zde rozwiazanie zagadnienia jednorodnego opisane jest wzorem_, y(t) = R(t, t0)y0 = ˜X(t) ˜X(t0)⁻¹y0

Je´sli A = const to y(t) = ˜X(t − t₀)y₀ dla t > t₀

5. Ka˙zda kolumna macierzy ˜X(t) jest rozwiazaniem r´_, ownania, a wektory tworzace kolumny_, sa liniowo niezale˙zne bo ˜_, X(t) jest nieosobliwa.

6.

Twierdzenie 1.14 (Liouville’a). Je´sli macierz X(t) jest rozwiazaniem r´_, ownania y⁰ = A(t)y

to

detX(t) = detX(t₀)e

Rt

t0trA(s)ds

gdzie trA(t) = Pn

k=1a_kk(t).

Wniosek 1.15. Je´sli dla pewnego t₀ zachodzi, ˙ze detX(t₀) 6= 0, to detX(t) 6= 0 dla

∀t ∈ I

7. Zagadnienie niejednorodne

y⁰ = A(t)y + b(t), y(t₀) = y₀

Niech X(t) macierz fundamentalna r´owniania jednorodnego y⁰ = A(t)y Wtedy rozwiazanie_, zagadnienia niejednorodnego jest postaci

y(t) = X(t)X(t₀)⁻¹y₀+ X(t) Z t

t=t0

X(s)⁻¹b(s)ds

1.4 Uk lady r´ owna´ n liniowych o sta lych wsp´ o lczynnikach

Niech

y ∈ IRⁿ, A = [a_ij]_n×n, a_i,j ∈ IR Rozwiazania r´_, ownania liniowego o sta lych wsp´o lczynikach

 y⁰ = Ay

y(0) = y₀ (1.6)

maja posta´_, c

y(t) = e^Aty₀ gdzie

e^At= I + t

1!A + t²

2!A²+ t³

3!A³+ . . .

Wielomianem charakterystycznym macierzy A nazywamy wielomian w_A(λ) = det(A − λI),

gdzie I oznacza macierz jednostkowa stopnia n._,

R´ownaniem charakterystycznym macierzy A nazywamy r´ownaie wA(λ) = det(A − λI) = 0

czyli

det











a₁₁− λ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂− λ . . . a_2n

... ... ... ... a_n1 a_n1 . . . a_nn− λ











= 0

Za´s jego pierwiastki (rzeczywiste i zespolone) nazywamy warto´sciami w lasnymi macierzy A.

Ka˙zdy niezerowy wektor ~v (o rzeczywistych lub zespolonych) wsp´o lrzednych nazywamy_, wektorem w lasnym macierzy A odpowiadajacej warto´sci w lasnej λ tej macierzy, je´sli_,

A~v = λ~v (co mo˙zna zapisa´c nastepuj_, aco)_,











a₁₁− λ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂− λ . . . a_2n

... ... ... ... a_n1 a_n1 . . . a_nn− λ











×









 v₁ v₂ ... v_n











=









 0 0 ... 0











Niech λ bedzie k-krotn_, a warto´sci_, a wl_, asn_, a macierzy A. Ka˙zdy niezerowy wektor ~_, v nazy- wamy uog´olnionym wektorem w lasnym macierzy A odpowiadajacym warto´sci w lasnej λ, je˙zeli_, spe lnia r´ownanie

(A − λI)^k~v = ~0.

Dla ka˙zdej k krotnej warto´sci w lasnej macierzy A istnieje dok ladnie k liniowo niezale˙znych uog´olnionych wektor´ow w lasnych. Zbi´or tych wektor´ow nazywamy seria wektor´_, ow w lasnych odpowiadajacych warto´sci w lasnej._,

Metoda Eulera wyznaczania uk ladu fundamentalnego r´ownania (1.6)

1) Je˙zeli λ jest rzeczywista jednokrotn_, a warto´sci_, a w lasn_, a macierzy A, a ~_, v odpowiadajacym_, jej wektorem w lasnym, to funkcja

e^λt~v jest rozwiazaniem uk ladu (1.6)._,

2) Je˙zeli λ = α + iβ, λ = α − iβ, β > 0 sa zespolonymi i jednokrotnymi warto´sciami_, w lasnymi macierzy A, a ~v wektorem w lasnym odpowiadajacym warto´sci λ = α + iβ, to_, funkcje

Re(e^λt~v) Im(e^λt~v) sa rozwi_, azaniami uk ladu (1.6)_,

3) Je˙zeli λ jest k-krotna rzeczywist_, a warto´sci_, a w lasn_, a macierzy A, to ka˙zda z k funkcji_, wektorowych

e^λtB~v₁, e^λtB~v₂, . . . , e^λtB~v_k,

gdzie ~v₁, ~v₂, . . . , ~v_ktworza seri_, e uog´_, olnionych wektor´ow w lasnych odpowiadajacych warto´sci_, λ, za´s B jest macierza okre´slona wzorem_,

B = I + t(A − λI) + t²

2!(A − λI)²+ . . . t^k−1

(k − 1)!(A − λI)^k−1 jest rozwiazaniem uk ladu (1.6)._,

2 Stabilno´ s´ c punkt´ ow r´ ownowagi

2.1 Stabilno´ s´ c i asymptotyczna stabilno´ s´ c

Definicja 2.1. Autonomicznym uk ladem r´owna´n r´o˙zniczkowych nazywamy uk lad r´owna´n postaci











y₁⁰ = f₁(y₁, . . . , y_n) y₂⁰ = f₂(y₁, . . . , y_n)

... ... y⁰_n = f_n(y₁, . . . , y_n)

(2.1)

Uwaga 2.2. Uk lad r´owna´n r´o˙zniczkowych jest autonomiczny, je˙zeli jego prawe strony nie sa jawnie zale˙zne od zmiennej niezale˙znej t czyli od czasu. Czasami taki uk lad nazywamy_, tak˙ze stacjonarnym. W notacji wektorowej autonomiczny uk lad r´owna´n r´o˙zniczkowych mo˙zna zapisa´c w postaci

~

y⁰ = ~f (~y).

Definicja 2.3. Punkt y^∗ = (y₁^∗, y^∗₂, . . . , y_n^∗) nazywamy puktem r´ownowagi uk ladu (2.1) je˙zeli











f₁(y^∗₁, . . . , y_n^∗) = 0 f₂(y₁, . . . , y_n) = 0

...

f_n(y₁^∗, . . . , y_n^∗) = 0

(2.2)

Ka˙zdy punkt r´ownowagi wyznacza rozwiazanie sta le_,

y₁(t) ≡ y₁^∗, y₂(t) ≡ y₂^∗, . . . , y_n(t) ≡ y_n^∗, t ∈ IR.

Definicja 2.4. Punkt r´ownowagi y^∗ = (y₁^∗, y₂^∗, . . . , y_n^∗) uk ladu (2.1) nazywamy stabilnym, je˙zeli dla dowolnego  > 0 istnieje δ > 0 taka, ˙ze ka˙zde rozwiazanie y(t) = (y_{, 1}(t), y₂(t), . . . , y_n(t)) tego uk ladu z warunkiem poczatkowym_,

y₁(0) = y₁⁰, y₂(t) = y⁰₂, . . . , y_n(t) = y⁰_n) spe lniajacym warunek_,

||y(0) − y^∗|| = q

(y₁⁰− y₁^∗)²+ (y₂⁰− y₂^∗)²+ . . . + (y_n⁰ − y_n^∗)² < δ (2.3) istnieje na [0, ∞) i spe lnia tam warunek

||y(t) − y^∗|| =p

(y1(t) − y₁^∗)² + (y2(t) − y₂^∗)²+ . . . + (yn(t) − y_n^∗)² <  W przeciwnym przypadku punkt r´ownowagi nazywamy niestabilnym.

Definicja 2.5. Punkt r´ownowagi y^∗ = (y^∗₁, y^∗₂, . . . , y_n^∗) uk ladu (2.1) nazywamy asympto- tycznie stabilnym, je˙zeli jest stabilny i je˙zeli istnieje δ0 > 0, takie, ˙ze ka˙zdego rozwiazanie_, y(t) = (y₁(t), y₂(t), . . . , y_n(t)) z warunkiem poczatkowym_,

(y₁(0) = y⁰₁, y₂(t) = y₂⁰, . . . , y_n(t) = y_n⁰)

spe lniajacym warunek_,

||y(0) − y^∗|| = q

(y₁⁰− y₁^∗)²+ (y₂⁰− y₂^∗)²+ . . . + (y_n⁰ − y_n^∗)² < δ. (2.4) spe lnia te˙z warunki

t→+∞lim y1(t) = y^∗₁, lim

t→+∞y2(t) = y₂^∗, lim

t→+∞yn(t) = y^∗_n (2.5) Przyk lady Wyznaczy´c i zbada´c stabilno´s´c punkt´ow r´ownowagi. Dla punkt´ow stabilnych zbada´c ich asymptotyczna stabilno´s´_, c.

(a) Niech

y⁰+ y = 1.

Latwo zauwa˙zy´c, ˙ze jedynym punktem r´ownowagi jest y^∗ = 1. Dowolne rozwiazanie_, r´ownania spe lniajace warunek pocz_, atkowy y(0) = y_{, 0} jest postaci

y(t) = 1 − (1 − y₀)e^−t.

Niech  > 0 bedzie dowolnie ma le. Mamy znale´_, z´c taka liczb_, e δ > 0, ˙ze dla ka˙zdego_, t ≥ 0 bedzie spe lniona nier´_, owno´s´c |y(t) − 1| < , o ile tylko |y₀− 1| < δ. Poniewa˙z dla t ≥ 0 mamy

|y(t) − 1| = |1 − (1 − y₀)e^−t− 1| ≤ |1 − y₀|,

wiec ˙z_, adana nier´_, owno´s´c bedzie spe lniona gdy przyjmiemy, ˙ze δ = . Zatem punkt_, r´ownowagi jest stabilny. Ponadto mamy,

t→+∞lim y(t) = lim

t→∞[1 − (1 − y₀)e^−t] = 1 = y^∗, co oznacza, ˙ze punkt r´ownowagi jest asymptotycznie stabilny.

(b) R´ownanie

y⁰ = 1 − y²

ma dwa punkty r´ownowagi y₁^∗ = 1, y₂^∗ = −1. Dowolne rozwiazanie spe lniaj_, ace warunek_, poczatkowy y(0) = y_{, 0} ma posta´c

y(t) = (y₀− 1) + (1 + y₀)e^2t

−(y0− 1) + (1 + y0)e^2t.

Zbadamy stabilno´s´c punktu r´ownowagi y₁^∗ = 1. Niech  > 0 bedzie dowolnie ma le._, Poniewa˙z

|y(t) − 1| =    

(y₀− 1) + (1 + y₀)e^2t

−(y₀− 1) + (1 + y₀)e^2t − 1    

= 2|y₀ − 1|

| − (y₀ − 1) + (1 + y₀)e^2t| Dla t = 0 otrzymamy

2|y₀− 1|

| − (y0− 1) + (1 + y0)| = 2|y₀− 1|

2 = |y₀− 1|

Dla t > 0 dostaniemy

2|y₀− 1|

| − (y₀− 1) + (1 + y₀)e^2t| < |y₀− 1|

Zatem dla t ≥ 0 otrzymamy |y(t) − 1| ≤ |y₀ − 1|. Zatem wystarczy przyja´_,c δ = .

Czyli y^∗₁ = 1 jest stabilnym punktem r´ownowagi. Ponadto dla dowolnego warunku poczatkowego y_, 0 > −1 mamy

t→∞lim y(t) = lim

t→∞

(y₀− 1) + (1 + y₀)e^2t

−(y0− 1) + (1 + y0)e^2t = 1.

Tak wiec stabilno´s´_, c badanego punktu r´ownowagi jest asymptotyczna. Poniewa˙z

t→−∞lim y(t) = lim

t→∞

(y₀− 1) + (1 + y₀)e^2t

−(y₀− 1) + (1 + y₀)e^2t = −1.

to drugi punkt r´ownowagi y₂^∗ = −1 jest niestabilny.

(c) Niech

 x⁰ = 2y y⁰ = −2x

Dla rozwa˙zanego uk ladu r´owna´n jedynym punktem r´ownowagi jest punkt (x^∗, y^∗) = (0, 0). Ponadto rozwiazanie tego uk ladu spe lniaj_, ace warunki pocz_, atkowe x(0) = x_{, 0}, y(0) = y₀, ma posta´c

 x(t) = x₀cos 2t + y₀sin 2t y(t) = −x₀sin 2t + y₀cos 2t

Dane jest ma le  > 0. Szukane jest δ takie, ˙ze px²₀+ y²₀ < δ. Dla dowolnego t ≥ 0 mamy

px²(t) + y²(t) =p

(x₀cos 2t + y₀sin 2t)²+ (−x₀sin 2t + y₀cos 2t)² = q

x²₀+ y₀²

wiec wystarczy przyjac δ = . Zatem pocz_, atek uk ladu wsp´_, o lrzednych jest stabilnym_, punktem r´ownowagi. Nie jest natomiaast asymtotycznie stabilny, gdy˙z nie istnieja gra- nice

→∞limx(t) = lim

→∞(x₀cos 2t + y₀sin 2t)

→∞limy(t) = lim

→∞(−x₀sin 2t + y₀cos 2t).

(d) Niech

 x⁰ = −3x + 4y y⁰ = x − 3y

Dla rozwa˙zanego uk ladu r´owna´n jedynym punktem r´ownowagi jest punkt (x^∗, y^∗) = (0, 0). Ponadto rozwiazanie tego uk ladu spe lniaj_, ace warunki pocz_, atkowe x(0) = x_{, 0}, y(0) = y₀, ma posta´c

 x(t) = ¹₂(2y₀+ x₀)e^−t− ¹₂(2y₀− x₀)e^−5t y(t) = ¹₄(2y0+ x0)e^−t+¹₄(2y0− x0)e^−5t

Dane jest ma le  > 0. Szukane jest δ takie, ˙zepx²₀+ y₀² < δ Dla dowolnego t ≥ 0 mamy x(t)²+ y(t)² = 1

4 5(2y₀+ x₀)e^−2t+ 5(2y₀− x₀)e^−10t− 6(2y₀+ x₀)(2y₀− x₀)e^−6t
(2.6) Latwo pokaza´c ˙ze prawa strona 2.6 jest funkcja malej_, ac_, a zmiennej t dla t ≥ 0. Zatem_,

x(t)²+ y(t)² ≤ x(0)²+ y(0)² = x²₀+ y₀²

dla t ≥ 0. Wystarczy znowu przyjac δ = . Pokazali´smy, ˙ze pocz_, atek uk ladu wsp´_, o lrzednych_, jest stabilnym punktem r´ownowagi. Ponadto

t→∞lim x(t) = lim

t→∞

 1

2(2y₀− x₀)e^−t− 1

2(2y₀− x₀)e^−5t



= 0

t→∞lim y(t) = lim

t→∞

 1

4(2y₀+ x₀)e^−t +1

4(2y₀− x₀)e^−5t



= 0 Poczatek uk ladu wsp´_, o lrzednych jest aymptotycznie stabilny._,

2.2 Klasyfikacja punkt´ ow r´ ownowagi

Podamy klasyfikacje punkt´_, ow r´ownowagi na p laszczy´znie prostych uk lad´ow liniowych ( tzn.

takich dla kt´orych macierz uk ladu jest nieosobliwa).

Warto´sci w lasne Nazwa Stabilno´s´c

Rzeczywiste r´o˙zne λ₁, λ₂

λ₁ > 0, λ₂ > 0 weze l_, niestabilny

λ₁ < 0, λ₂ < 0 weze l_, asymptotycznie stabilny

λ₁λ₂ < 0 siod lo niestabilny

Rzeczywiste r´owne λ = λ₁ = λ₂

λ > 0, 1 wektor w lasny weze l zdegenerowany_, niestabilny

λ < 0, 1 wektor w lasny weze l zdegenerowany_, asymptotycznie stabilny λ > 0, 2 wektory w lasne weze l gwia´_, zdzisty niestabilny

λ < 0, 2 wektory w lasne weze l gwia´_, zdzisty asymptotycznie stabilny zespolone λ₁ = α + iβ, λ₂ = α − iβ

gdzie β 6= 0

α > 0 ognisko niestabilny

α < 0 ognisko asymptotycznie stabilny

α = 0 centrum stabilny

Podamy teraz przyk lady r´owna´n ilustrujace podan_, a wy˙zej klasyfikacje._, 1. Weze l niestabilny_,

 x⁰ = 5x + 4y y⁰ = x + 2y

2. Weze l asymptotycznie stabilny_,

 x⁰ = −2x + 3y y⁰ = x − 3y

Portret fazowy 3. Siod lo niestabilne

 x⁰ = 4x − 3y y⁰ = 5x − 4y

Portret fazowy

4. Weze l zdegenerowany niestabilny_,

 x⁰ = 3x − 4y y⁰ = x − y

Portret fazowy

5. Weze l zdegenerowany asymptotycznie stabilny_,

 x⁰ = x − 4y y⁰ = 4x − 7y

Portret fazowy

6. Weze l gwia´_, zdzisty niestabilny

 x⁰ = x y⁰ = y

Portret fazowy

7. Weze l gwia´_, zdzisty asymptotycznie stabilny

 x⁰ = −x y⁰ = −y

Portret fazowy

8. Ognisko niestabilne

 x⁰ = x − y y⁰ = x + y

Portret fazowy

9. Ognisko asymptotycznie stabilne

 x⁰ = x − 5y y⁰ = x − 3y

Portret fazowy 10. Centrum

 x⁰ = x + 2y y⁰ = −5x − y

Portret fazowy

Zajmiemy sie teraz przypadkiem tr´_, ojwymiarowym. Rozpatrzmy uk lad r´owna´n postaci X⁰ = AX.

Za lo´zmy, ˙ze A ma jednokrotne warto´sci w lasne. Wtedy uk lad rozpada sie na produkt jed- nowymiarowego i dwuwymiarowego uk ladu. Wielomian charakterystyczny jest stopnia 3 ma zatem 3 r´o˙zne pierwiastki rzeczywiste λ₁, λ₂, λ₃ lub jeden rzeczywisty λ₁ i dwa zespolone sprze˙zone λ_{, 2}, λ₃ = λ₂. Mo˙zliwe sa zatem nast_, epuj_, ace przypadki._,

1. λ₁ < λ₂ < λ₃ < 0 (kontrakcja wzd lu˙z trzech kierunk´ow odpowiadajacych warto´sciom_, λ₁, λ₂, λ₃

2. λ₁ < λ₂ < 0 < λ₃ (kontrakcja wzd lu˙z dw´och kierunk´ow odpowiadajacych warto´sciom_, λ1, λ2 i rozciaganie wzdlu˙z trzeciego λ_, 3)

3. Reλ_1,2 < λ₃ < 0 (kontrakcja wzd lu˙z kierunku odpowiadajacego warto´sci λ_{, 3} oraz silniej- sza kontrakcja wraz z obrotem w p laszczy´znie odpowiadajacej warto´sciom λ_, 1, λ2

4. λ₃ < 0Reλ_1,2 < 0 (kontrakcja wzd lu˙z kierunku odpowiadajacego warto´sci λ_{, 3} oraz s labsza kontrakcja wraz z obrotem w p laszczy´znie odpowiadajacej warto´sciom λ_, 1, λ2

5. Re < λ_1,2 < 0 < λ₃ (rozciaganie wzd lu˙z kierunku odpowiadaj_, acego warto´sci λ_{, 3} oraz kontrakcja wraz z obrotem w p laszczy´znie odpowiadajacej warto´sciom λ_{, 1}, λ₂

6. 0 < λ₁ < λ₂ < λ₃ (rozciaganie wzd lu˙z trzech kierunk´_, ow odpowiadajacych warto´sciom_, λ₁, λ₂, λ₃

7. λ₁ < 0 < λ₂ > λ₃ (rozciaganie wzd lu˙z dw´_, och kierunk´ow odpowiadajacych warto´sciom_, λ₁, λ2 i kontrakcja wzdlu˙z trzeciego λ₃)

8. 0 < λ3 < Reλ1,2 (rozciaganie wzd lu˙z kierunku odpowiadaj_, acego warto´sci λ_, 3 oraz silniej- sza rozciaganie wraz z obrotem w p laszczy´_, znie odpowiadajacej warto´sciom λ_{, 1}, λ₂

9. 0 < Reλ_1,2 < Reλ₃ (rozciaganie wzd lu˙z kierunku odpowiadaj_, acego warto´sci λ_{, 3} oraz slabsze rozciaganie z obrotem w p laszczy´_, znie odpowiadajacej warto´sciom λ_{, 1}, λ₂

Ta klasyfikacja nie obejmuje tak˙ze przypadk´ow zdegenerowanych gdy np. λ₁ ∈ IR, λ₂ = λ₃ ∈ CI oraz l1 = Reλ2 = Reλ3.

3 Dyfeomorfizmy i potoki

3.1 Rozmaito´ sci r´ o ˙zniczkowe

Definicja 3.1. Przestrze´n topologiczna Hausdorffa M nazywamy rozmaito´_, scia r´_, o˙zniczkowa_, klasy C^r, 0 ≤ r ≤ ∞ i wymiaru m < ∞ je˙zeli istnieje pokrycie M zbiorami otwartymi {U_α} i rodzina homeomorfizm´ow φ_α : U_α → IR^m taka, ˙ze V_α = φ_α(U_α) jest zbiorem otwartym w IR^m. Pare (U_{, α}, φ_α) nazywamy mapa. Mapy (U_{, α}, φ_α), (U_β, φ_β) nazywamy zgodnymi, je´sli

• U_α∩ U_β 6= ∅

• odwzorowania φβ ◦ φ⁻¹_α : φα(Uα∩ Uβ) → φβ(Uα∩ Uβ) i φ_α◦ φ⁻¹_β : φ_β(U_α∩ U_β) → φ_α(U_α∩ U_β)

sa dyfeomorfizmami klasy C_, ^r.

Zbi´or {(U_α, φ_α)} nazywamuy atlasem. Dwa atlasy nazywamy r´ownowa˙znymi gdy ich suma mnogo´sciowa jest atlasem tzn. je˙zeli dowolna mapa pierwszego atlasu jest zgodna z dowolna_, mapa drugiego atlasu. Struktur_, e r´_, o˙zniczkowa rozmairo´_, sci M nazywamy klase r´_, ownowa˙zno´sci atlas´ow.

Definicja 3.2. Niech M₁, M₂bed_, a rozmaito´_, sciami r´o˙zniczkowalnymi klasy C^r. Odwzorowanie f : M₁ → M₂ nazywamy r´o˙zniczkowalnym klasy C^r je´sli w lokalnych wsp´o lrzednych na M_{, 1} i

M₂ jest klasy C^r tzn. je´sli φ₁ : U₁ → V₁ ⊂ IR^m, φ₂ : U₂ → V₂ ⊂ IR^m sa lokalnymi mapami i_, x ∈ U₁, f (x) ∈ U₂, w´owczas φ₂◦ f ◦ φ₁⁻¹ : V₁ → V₂ ma by´c r´o˙zniczkowalne klasy C^r.

Definicja 3.3. Krzywa na rozmaito´_, sci M wychodzac_, a w chwili t = 0 z punktu x ∈ M_, nazywamy odwzorowanie r´o˙zniczkowalne klasy C^r γ : I → M , I ⊂ IR takie, ˙ze γ(0) = x.

Niech x_i, i = 1, . . . , m oznaczaja lokalne wsp´_, olrzedne w otoczeniu x ∈ M . Wtedy v_i := d

dt|t=0

(x_i◦ γ) inaczej v_i = x⁰_i|t=0

oznacza i-ta wsp´_, o lrzedn_, a wektora pr_, edko´_, sci krzywej γ punkcie x. (zw. te˙z wektorem stycznym do tej krzywej w punkcie x).

Definicja 3.4. Przestrzenia styczn_, a do rozmaito´_, sci M w punkcie x nazywamy zbi´or wszyst- kich wektor´ow predko´_, sci krzywych wychodzacych z punktu x. Przestrzeni_, a styczn_, a do roz-_, maito´sci M w punkcie x oznaczamy symbolem T_xM . Jej elementy nazywamy wektorami stycznymi. Przestrze´n TxM ma strukture przestrzeni liniowej._,

Definicja 3.5. Wiazk_, a styczn_, a nazywamy sum_, e przestrzeni stycznych do rozmaito´_, sci M we wszystkich jej punktach

T M = [

x∈M

TxM = {(x, v) : x ∈ M, v ∈ TxM }

Twierdzenie 3.6. T M jest rozmaito´scia r´_, ozniczkowa klasy C_, ^r wymiaru 2m.

Istnieja dwa naturalne odwzorowania i : M → T M, i(x) = (x, 0) (przekr´_, oj zerowy wiazki)_, oraz rzut p : T M → M, p((x, v)) = x.

Definicja 3.7. M - rozmaito´s´c r´o˙zniczkowa klasy C^r, f : M → M bedzie odwzorowanie_, r´o˙zniczkowalne klasy C^r. Pochodna odwzorowania f w punkcie x ∈ M nazywamy odwzo-_, rowanie f∗ : T_xM → T_{f (x)}M kt´ore przeprowadza wektor predko´_, sci v krzywej γ : I → M wychodzacej z punktu x w wektor pr_, edko´_, sci krzywej f ◦ γ : I → M wychodzacej z f (x) tzn._,

f∗|x

 dγ dt|t=0



= d

dt|t=0(f ◦ γ)

˜

x = ψ(x) = [˜x₁, . . . , ˜x_m] - punkt x zapisany w lokalnych wsp´o lrzednych_,

f = φ(x) = [ ˜˜ f₁, . . . , ˜f_m]- odwzorowanie f zapisane w lokalnych wsp´o lrzednych_,

f∗ = Df =

"

∂ ˜f_j

∂ ˜x_i

#

i,j=1,...,m

f∗- macierz Jacobiego zapisana w lokalnych wsp´o lrzeednych, v = [v_{, 1}, . . . , v_m]

f∗(~v) =

m

X

i=1

∂ ˜f_j

∂ ˜x_iv˜_i,

~˜

v = [˜v − 1, . . . , ˜vm] -wektor ~v zapisany w olkalnych wsp´o lrzednych._,

Definicja 3.8. Polem wektorowym v klasy C^r na rozmaito´sci M nazywamy odwzorowanie v : M → T M takie, ˙ze p ◦ v : M → M jest identyczno´scia tzn p(v(x)) = x_,

Przestrze´n p´ol wektorowych klasy C^rzdefiniowanych na M znaczamy symbolem C^r(T M ).

3.2 Dzia lanie grup na rozmaito´ sciach

Definicja 3.9. Niech M oznacza zbi´or. Przekszta lceniem T : M → M nazywa´c bedziemy_, odwzorowanie r´o˙znowarto´sciowe.

Definicja 3.10. [ Dzia laniem grupy G na zbiorze M.] Je´sli ka˙zdemu elementowi grupy g ∈ G przyporzadkowany jest przekszta lcenie T_{, g} : M → M , produktowi dowolnych dw´och element´ow z G odpowiada produkt przekszta lce´n odpowiadajacych tym elementom_,

T_{f g} = T_fT_g

oraz elementowi odwrotnemu odpowiada przeksztalcenie odwrotne do przekszta lcenia przy- porzadkowanego temu elementowi_,

T_g⁻¹ = T_g⁻¹, to powiemy ˙ze grupa G dzia la na M .

Uwaga 3.11. Dzia lanie grupy G na zbiorze M jest homomorfizmem grupy G w grupe_, wszystkich przekszta lce´n zbioru M .

Definicja 3.12. Jednoparametrowa grupa przekszta lce´_, n zbioru nazywamy dzia lanie IR ( grupa abelowa ze wzgledu na dodawanie) na zbiorze. Zazwyczaj oznaczamy j_, a nast_, epuj_, aco {φ_{, t}}_t∈IR.

Definicja 3.13. Jednoparametrowa grupa przekszta lce´_, n zbioru M nazywamy tak˙ze potokiem na przestrzeni fazowej M .

Definicja 3.14. Dzia lanie grupy G na zbiorze M nazywamy jednoparametrowa_, grupa przekszta lce´_, n z dyskretnym czasem. Dla takiego dzia lania

T_n= (T )ⁿ, czyli jest n-ta iteracj_, e T ._,

Definicja 3.15. Niech M bedzie g ladk_, a rozmaito´_, scia r´_, ozniczkowa. Jednoparametrow_, a grup_, a_, dyfeomorfizm´ow rozmaito´sci M nazywamy jednoparametrowa grup_, e przekszta lce´_, n {φ_t}_t∈IR kt´orej elementami sa dyfeomorfizmy φ_{, t} : M → M taka, ˙ze φ : IR × M 3 (t, x) → φ_{, t}(x) ∈ M zale˙zy g ladko od obu argument´ow.

∀t ∈ IR φ(t, ·) = φ_t: M → M dyfeomorfizm φ(t, x0) : IR → M trajektoria punktu x0 ∈ M

Uwaga 3.16. Odtad potokiem na rozmaito´_, sci M nazywa´c bedziemy jednopara-_, metrowa grup_, a dyfeomorfizm´_, ow rozmaito´sci M .

Przyk lady

• M = IR φ_t(x) = e^ktx (rozciaganie)_,

• M = IR²

φt(x, y) =

 cos t sin t

− sin t cos t



× x y



czyli φ_t jest obrotem o kat t._,

3.3 Zwi azek mi

edzy potokami a polami wektorowymi

Definicja 3.17. Niech {φ_t}_t∈Rpotok dyfeomorfizm´ow na rozmaito´sci M . Poniewa˙z {φ_t(x)}_t∈R zale˙zy g ladko od x i t to mo˙zemy policzy´c pochodna_,

X(x) =~ d

dt|t=0(φt(x))

Wektor ~X nazywamy wektorem predko´_, sci potoku na przestrzeni fazowej M . Tak otrzymujemy g ladkie pole wektorowe na M .

Niech U oznacza otwarty podzbi´or IRⁿ lub U = T M -wiazka styczna do rozmaito´sci M , o_, kt´orej zak ladamy, ˙ze jest g ladka.

Definicja 3.18. Rozpatrujemy nieautonomiczne pole vektoroe X : I × M → T M I × M 3 (t, x) → X(t, x) ∈ T_xM.

Takie pole wektorowe zadaje uk lad r´owna´n r´o˙zniczkowych zwyczajnych na rozmaito´sci M tzn.

dx

dt = X(t, x). (3.1)

Gdy pole wektorowe X(x, t) = X(x), czyli nie zale˙zy od czasu, to otrzymamy automiczny uk lad r´owna´n r´o˙zniczkowych zwyczajnych na rozmaito´sci M .

dx

dt = X(x). (3.2)

Definicja 3.19. Rozwiazaniem r´_, ownania spe lniajacym warunek pocz_, atkowy_,

 _d

dtφ(t) = X(t, φ(t))

x₀ = φ(t₀) (3.3)

nazywamy krzywa φ : J → M , J ⊂ I tak_, a ˙ze_{, dt}^dφ(t) = X(t, φ(t)) oraz φ(t₀) = x₀.

Definicja 3.20. Punktem krytycznym pola wektorowego X ∈ C¹(T M ) nazywamy punkt x0 ∈ M taki, ˙ze X(t, x₀) ≡ 0 dla ka˙zdego t ∈ IR. Wtedy φ(t) ≡ x₀ nazywamy po lo˙zeniem r´ownowagi pola X.

Twierdzenie 3.21. [ Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczno´sci rozwiaza´_, n] M- g ladka rozmaito´sc, X ∈ C¹(T M )- pole wektorowe klasy C¹. Rozpatrzmy r´ownanie zadane przez X

tzn. d

dtφ(t) = X(t, φ(t)), (3.4)

gdzie (t^∗, x^∗ = φ(t)) ∈ I × M, x^∗ ∈ M . Wtedy istnieja otoczenia I_{, 0} ⊂ I punktu t^∗ oraz U ⊂ M punktu x^∗ takie, ˙ze je´sli x0 ∈ U , to zagadnienie poczatkowe x(t_, 0) = x0 rownania (3.4) ma dok ladnie jedno rozwiazanie φ(t) = φ(t, x_{, 0}), t ∈ I₀. Je´sli pole wektorowe jest analityczne, to φ(t, x₀) te˙z jest analityczne.

Rozwiaznia φ_{, t}(x) tworza lokalny potok tzn. φ_{, t}(x) ◦ φ_s(x) = φ_t+s(x) dla t, s, t + s ∈ I₀

Uwaga 3.22. Poniewa˙z pole X jest klasy C¹, a rozmaito´s´c jest klasy C¹, to lokalne mapy sa_, dyfeomorfizmami. Stad w lokalnych wsp´_, o lrzednych pole ˜_, X jest klasy C¹, wiec spe lniony jest_, lokalnie warunek Lipschitza ze wzgledu na zmienn_, a ˜_, x ∈ IRⁿ. Zatem w danej mapie spe lnione sa za lo˙zenia twierdzenia Picarda-Lind¨_, olefa z czego wynika teza twierdzenia.

Twierdzenie 3.23. [Twierdzenie o zale ˙zno´sci od warunk´ow poczatkowych ] Je´_, sli w za lo˙zeniach Twierdzenia 3.21 pole wektorowe X bedzie klasy C_, ², to φ(t, x₀) jest klasy C¹ ( ze wzgledu na (t, x_, 0).) Og´olniej X klasy Cⁿ, to potok jest klasy Cⁿ⁻¹.

Twierdzenie 3.24. [Twierdzenie o zale ˙zno´sci od parametrow] M-g ladka rozmaito´s´c, X ∈ C^r(T M ), r ≥ 2- pole wektorowe klasy C^r. Rozpatrzmy r´ownanie zadane przez X tzn.

d

dtφ(t) = X(t, φ(t), λ), (3.5)

gdzie (t, x^∗, λ) ∈ I × M × V, x^∗ ∈ M, λ ∈ V ⊂ IR^k. Wtedy rozwiazanie r´_, owniania (3.5) sa_, klasy C^r−1 ze wzgledu na wszystkie zmienne._,

Twierdzenie 3.25. M ⊂ IRⁿ zwarta rozmaito´s´c r´o˙zniczkowa klasy C^r, r ≥ 2, dimM = m < n, pole wektorowe X ∈ C^r(T M ), r ≥ 2. Istnieje w´owczas jednoparametrowa grupa dyfeomorfizm´ow φ : IR × M → M dla kt´orej pole X jest polem predko´_, sci potoku {φ_t}_t∈R tzn.

X(x) = d(φ_t(x)) dt |t=0.

Uwaga 3.26. Za lo˙zenie zwarto´sci rozmaito´sci jest istotne.

Poniewa˙z X jest zwarta, to mamy pokrycie X za pomoca sko´_, nczenie wielu zbior´ow (U_i, ψ_i). W ka˙zdej mapie mamy jednoznaczno´s´c rozwiaza´_, n, to dla to w cze´sci wsp´_, olnej map jednoczno´s´c gwarantuje, ˙ze rozwiazania musz_, a by´_, c takie same czyli jedno jest przed lu˙zezeniem drugiego.

Stad potok lokalny przed lu˙za si_, e do globalnego._,

3.4 Punkty krytyczne p´ ol wektorowych

Niech X bedzie polem wektorowym zdefiniowanym w otoczeniu 0 w IR_, ⁿ, X(0) = 0, φ_toznacza potok generowany przez pole X

φ⁰_t(x) = X(φt(x)) (3.6)

Ro˙zniczkujemy (3.6) wzgledem zmiennej przestrzennej x._,

∂

∂xφ⁰_t(x) = ∂

∂xX(φ_t(x)) (3.7)

Mo˙zemy zmieni´c kolejno´s´c r´orniczkowania w (3.7) (uzasadni´c).

∂

∂t

∂

∂xφ_t(x) = ∂

∂xX(φ_t(x)) = DX(φ_t(x)) ∂

∂xφ_t(x) Oznaczmy

A(t) = ∂

∂xφ_t(x)|x=0

W´owczas A(t) spe lnia r´ownanie r´orniczkowe

 _∂

∂tA(t) = DX(0)A(t) φ_t(0) = 0

Jego rozwiazania s_, a postaci_,

A(t) = e^tDX(0)A(0), gdzie

A(0) = ∂

∂xφ₀(x) = I.

poniewa˙z φ₀(x) jest identyczno´scia. St_, ad_,

A(t) = e^tDX(0).

Uwaga 3.27. Z wcze´sniejszych rachunk´ow wynika, ˙ze φ_t(0) = 0 dla ka˙zdego t ∈ IR.

Definicja 3.28. Przekszta lcenie liniowe DX(0) (czasami piszemy te˙z D₀X) nazywamy hesjanem pola X w punkcie 0.

4 Hiperboliczno´ s´ c

4.1 Punkty hiperboliczne dyfeomerfizm´ ow i potok´ ow

Definicja 4.1. Przekszta lcenie liniowe A : IRⁿ → IRⁿ nazywamy hiperbolicznym je´sli nie ma ono warto´sci w lasnych o module 1.

Definicja 4.2. Punkt sta ly x₀ dyfeomorfizmu f (okre´slonego na otwartym podzbiorze w Rⁿ) nazywamy hiperbolicznym, je˙zeli D_x0f jest przekszta lcenie hiperbolicznym. Punkt okresowy dy- feomorfizmu f (okre´slonego na otwartym podzbiorze w Rⁿ) nazywamy hiperbolicznym, je´sli jest on hiperbolicznym punktem sta lym dyfeomorfizmu fⁿ ( czyli D_x0fⁿ jest przekszta lcenie hiperbolicznym.)

Definicja 4.3. M ⊂ Rⁿ g ladka zwarta rozmaito´s´c, f : M → M g ladki dyfeomorfizm, x0 ∈ M jest punktem okresowym hiperbolicznym okresu n je´sli Dfⁿ: T_pM → T_pM jest hiperbolicznym przekszta lceniem liniowym.

Przyklady Niech φ : IR² → IR²

L = a b c d



1. Pokaza´c, ˙ze L jest przekszta lceniem z torusa T² = IR²/ZZ² na T² wtedy i tylko wtedy gdy a, b, c, d ∈ ZZ.

2. Pokaza´c, ˙ze L jest przekszta lceniem wzajemnie jednoznacznym torusa T² wtedy i tylko wtedy gdy gdy detL = ±1

3. Za lo˙zmy, ˙ze L jest hiperboliczny czyli nie ma warto´sci w lasnych o module 1. Pokaza´c,

˙ze istnieja dwie warto´sci w lasne rzeczywiste λ, µ takie, ˙ze |λ| < 1, |µ| > 1. Niech u i v bed_, a warto´sciami w lasnymi odpowiadaj_, acymi tym warto´sciom w lasnym tzn._,

L(~u) = λ~u, L(~v) = µ~v Wtedy proste

L⁻ = {t~u : t ∈ IR}, L⁺= {t~v : t ∈ IR}

sa podprzestrzeniami odpowiadaj_, acymi tym warto´sciom w lasnym. Pokza´_, c, ˙ze je´sli Π jest rzutem

Π : IR² → T², Π(x, y) = (e^2πix, e^2πiy),

to obrazy prostych L⁻, L⁺ sa g_, esto nawini_, ete na torusie, dlatego nazywamy je obmot-_, kami.

Uwaga 4.4. Przekszta lcenie L opisane w powy˙zszym przyk ladzie nazyweamy algebraicznym automorfizmem torusa

Definicja 4.5. Je´sli X jest polem wektorowym klasy C¹, okre´slonym w otoczeniu x0 ∈ Rⁿ i X(x₀) = 0, to x₀ nazywamy niezdegenerowanym punktem krytycznym, je´sli przekszta lcenie liniowe DX(x₀) (hesjan) jest odwracalne.

Definicja 4.6. Je´sli X jest polem wektorowym klasy C¹, okre´slonym w otoczeniu x₀ ∈ Rⁿ i X(x₀) = 0, to x₀ nazywamy hiperbolicznym puktem krytycznym je´sli przekszta lcenie liniowe DX(x₀) (hesjan) nie ma warto´sci w lasnych o cze´_,sci rzeczywistej r´ownej zero.

Uwaga 4.7. Je´sli x₀ jest hiperbolicznym punktem krytycznym pola X a φ_t potokiem

generowanym przez to pole, to punkt x₀ jst puktem sta lym hiperbolicznym dyfeomorfizmu φt czyli Dφt : IRⁿ → IRⁿ jest przekszta lceniem hiperbolicznym (tzn. nie posiada warto´sci w lasnych o module r´ownym 1).

Dow´od Poniewa˙z

Dφ_t(x₀) = e^tDX(x0), wiec ka˙zda warto´s´_, c w lasna λ operatora Dφ_t(x₀) ma posta´c

λ = e^tµ,

gdzie µ jest warto´scia w lasna hesjanu DX(x_{, 0}). Stad je´sli_, Reµ 6= 0 to |λ| 6= 1

Definicja 4.8. Warto´sci w lasne hesjanu pola wektorowego w punkcie krytycznym nazywamy wyk ladnikami charakterystycznymi punktu krytycznego.

Definicja 4.9. M ⊂ IRⁿ g ladka zwarta rozmaito´s´c r´o˙zniczkowa, X g ladkie pole wektorowe zdefiniowane na M , X(x₀) = 0, φ_t potok pola wektorowego generowany przez X. Wtedy w lokalnych wsp´o lrzednych otrzymamy pole ˜_, X okre´slone na otoczeniu punktu ˜x₀ ∈ IRⁿ. Punkt x0 jest krytycznym punktem hiperbolicznym pola X je´sli ˜x0 jest hiperbolicznym punktem kry- tycznym pola ˜X.

Przyk lad Rozpatrzmy pole wektorowe

X(x, y) = [2y², 4x − 4x³] Hesjan tego pola wektorowego dany jest macierza_,

DX(x, y) =

 0 2

4 − 12x² 0



Pole wektorowe ma 3 punkty krytyczne (0, 0), (−1, 0) i (1, 0). Punkt (0, 0) jest hiperboliczny bo wyk ladniki charakterysyczne sa postaci ±_, √

2 za´s punkty (−1, 0) i (1, 0) nie sa hiperboliczne_, bo wyk ladniki charakterystyczne sa postaci ±4i._,

5 Linearyzacja

5.1 Zagadnienie linearyzacji p´ ol wektorowych i dyfeomorfizm´ ow

Dane jest pole wektorowe X w IRⁿ klasy C¹ (przyjmijmy, ˙ze zdefiniowane w otoczeniu 0).

Zak ladamy, ˙ze X(0) = 0 (zatem 0 jest punktem krytycznym pola)

Dla zilustrowania problemu przyjmijmy, ˙ze pole X jest dwuwymiarowe tn. ze zadane jest w IR². Wtedy

X = (f, g) oraz

f (x, y) = f (0, 0) + ∂f

∂xx +∂f

∂xy + o((x, y)) g(x, y) = g(0, 0) + ∂g

∂xx + ∂g

∂xy + o((x, y)) Niech

A = ∂_xf ∂yf

∂_xg ∂_yg



Zatem

X(x, y) = A(x, y) + o((x, y))

Problem 1

Czy mo˙zna por´owna´c potok pola wektorowego X w otoczeniu punktu krytycznego (miejsca zerowego) z potokiem pola liniowego (x, y) → A(x, y)?

Przyklad 1 Rozpatrzmy r´ownanie opisujace ruch wahad la fizycznego_,

 x⁰ = y

y⁰ = − sin x (5.1)

Czyli pole wektorowe wyra˙za sie wzorem_,

X(x, y) = (y, − sin x).

Miejscami zerowymi pola X czyli punktami krytycznymi sa punkty postaci:_, (kπ, 0), k ∈ ZZ.