Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2019/2020

(1)

Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2019/2020

dr inż. Sebastian Korczak

(2)

Wykład 11

Analiza transmitancji – przykład.

Algebra schematów blokowych.

Regulator dwustanowy i proporcjonalny.

(3)

Przykład

Obliczyć i naszkicować odpowiedź na wymuszenie skokowe oraz charakterystykę Bodego dla układu o transmitancji G(s) = 3s.

(4)

Przykład

(5)

Przykład

L(ω) [dB] _{ω [rad/s]}

(6)

Przykład

ω [rad/s]

φ(ω) [rad]

(7)

Algebra schematów blokowych

(8)

Algebra schematów blokowych transmitancja

X(s) Y(s)

G(s)

(9)

Algebra schematów blokowych węzeł informacyjny

X(s)

X(s) X(s)

X(s)

Jedno wejście,

(10)

Algebra schematów blokowych węzeł sumacyjny

A(s) ₊

B(s)

+

(11)

Algebra schematów blokowych węzeł sumacyjny

A(s) ₊

B(s)

+

A(s)+B(s)-C(s)

–

C(s)

(12)

Algebra schematów blokowych połączenie szeregowe

G₁(s)

x(s) y(s) x(s) y(s)

G_R(s) G₂(s)

(13)

Algebra schematów blokowych połączenie szeregowe

G₁(s)

x(s) y(s) x(s) y(s)

G_R(s) G₂(s)

G_R(s)=G₁(s) G₂(s)

(14)

Algebra schematów blokowych połączenie równoległe

G₁(s)

x(s) y(s) x(s) y(s)

G_R(s) G₂(s)

G_R(s)= - G₁(s) + G₂(s) + G₃(s) -

+ G₃(s)

+

(15)

Algebra schematów blokowych połączenie ze sprzężeniem zwrotnym

G₂(s) +

–

x(s) y(s) x(s) y(s)

G_R(s) G₁(s)

(16)

G₂(s) +

+

x(s) y(s) x(s) y(s)

G_R(s) G₁(s)

G_R= G₁

1 ⁻ G₁G₂

(17)

G₂(s) –

+

x(s) y(s) x(s) y(s)

G_R(s) G₁(s)

G_R= ⁻ G₁ 1 ⁻ G₁G₂

(18)

Przykład 1

G₁(s)

G₄(s) +

–

G₂(s)

G₃(s)

+ –

x(s) y(s)

(19)

Przykład 1

G₁(s)

G₄(s) +

–

G₂(s)

G₃(s)

+ –

x(s) y(s)

G_A= G₂ 1+G₂G₃

(20)

Przykład 1

G₁(s)

G₄(s) +

–

G₂(s)

G₃(s)

+ –

x(s) y(s)

G_A

G_A= G₂ 1+G₂G₃

(21)

Przykład 1

G₁(s)

G₄(s) +

–

G₂(s)

G₃(s)

+ –

x(s) y(s)

G_A G_B=G_A⋅ G₄

G_A= G₂ 1+G₂G₃

(22)

Przykład 1

G₁(s)

G₄(s) +

–

G₂(s)

G₃(s)

+ –

x(s) y(s)

G_A= G₂ 1+G₂G₃ G_B

G_A= G₂ 1+G₂G₃ G_B=G_A⋅G₄

(23)

Przykład 1

G₁(s)

G₄(s) +

–

G₂(s)

G₃(s)

+ –

X(s) Y(s)

G_A= G₂ 1+G₂G₃ G_B

G_A= G₂ 1+G₂G₃

G_B=G_A⋅G₄

G_R= Y ( s)

X (s)= G₁

1+G₁^⋅ G_B

(24)

Przykład 1

G₁(s)

G₄(s) +

–

G₂(s)

G₃(s)

+ –

X(s) Y(s)

G_A= G₂ 1+G₂G₃ G_B=G_A⋅G₄

G_R= Y ( s)

X (s)= G₁

1+G₁^⋅ G_B

G_A= G₂ 1+G₂G₃ G_B=G_A⋅G₄

(25)

Przykład 2

G₁(s) G₄(s)

+

G₂(s) G₃(s)

+

x(s) – y(s)

(26)

Przykład 2

G₁(s) G₄(s)

+

G₂(s) G₃(s)

+

x(s) – y(s)

problem krzyżujących się linii (ale nie połączonych)

(27)

zmiana kolejności węzłów informacyjnych

X(s)

(28)

zmiana kolejności węzłów informacyjnych

X(s) X(s)

(29)

Przykład 2

G₁(s) G₄(s)

+ +

G₂(s) G₃(s)

+

x(s) – y(s)

(30)

Przykład 2

G₁(s) G₄(s)

+ +

G₂(s) G₃(s)

+

x(s) – y(s)

(31)

Przykład 2

G₁(s) G₄(s)

+ +

G₂(s) G₃(s)

+

x(s) – y(s)

G_A=G₂G₃

(32)

Przykład 2

G₁(s) G₄(s)

+ +

G₂(s) G₃(s)

+

x(s) – y(s)

G_A(s)

G_A=G₂G₃

(33)

Przykład 2

G₁(s) G₄(s)

+ +

G₂(s) G₃(s)

+

x(s) – y(s)

G_A(s)

G_A=G₂G₃

G_B= G₁ 1 G G

(34)

Przykład 2

G₁(s) G₄(s)

+

G₂(s) G₃(s)

+

x(s) – y(s)

G_A

G_A=G₂G₃

G_B(s)

G_B= G₁ 1⁻ G₁G_A

(35)

Przykład 2

G₁(s) G₄(s)

+

G₂(s) G₃(s)

+

x(s) – y(s)

G_A

G_A=G₂G₃

G_B= G₁ 1⁻ G₁G_A

G_B

G_B(s)

(36)

Przykład 2

G₁(s) G₄(s)

+

G₂(s) G₃(s)

+

x(s) – y(s)

G_A

G_A=G₂G₃

G_B= G₁ 1⁻ G₁G_A

G_B

G_B(s) 1

(37)

Przykład 2

G₁(s) G₄(s)

+

G₂(s) G₃(s)

+

x(s) – y(s)

G_A

G_A=G₂G₃

G_B= G₁ 1⁻ G₁G_A

G_B

G_C= − G₄+1

G_B(s) 1

(38)

1

Przykład 2

G₁(s) G₄(s)

+

G₂(s) G₃(s)

+

x(s) – y(s)

G_A

G_A=G₂G₃

G_B= G₁ 1⁻ G₁G_A

G_B G_C(s)

G_C=⁻ G₄+1

G_B(s)

(39)

Przykład 2

G_A=G₂G₃

G_B= G₁ 1⁻ G₁G_A G_C=⁻ G₄+1

G_C(s) G_B(s)

x(s) y(s)

(40)

1

Przykład 2

G₁(s) G₄(s)

+

G₂(s) G₃(s)

+ –

G_A

G_A=G₂G₃

G_B= G₁ 1⁻ G₁G_A

G_B

G_C=⁻ G₄+1

G_C

G_R= Y (s)

X ( s)=G_BG_C

x(s) y(s)

(41)

G(s) + +

X(s) Y(s)

A(s)

G(s)

+ G(s)

+

X(s) Y(s)

A(s)

przeniesienie węzła sumacyjnego za blok transmitancji

(42)

+ + A(s)

B(s) C(s)

- +

zmiana kolejności węzłów sumacyjnych

+ - A(s)

B(s) C(s)

+ + Przykład 1

(43)

- + A(s)

B(s) C(s)

+ -

A(s)

B(s) C(s)

Przykład 2 - UWAGA NA ZNAKI!

(44)

- + A(s)

B(s) C(s)

+ -

+ + A(s)

B(s) C(s)

- + Przykład 2 - UWAGA NA ZNAKI!

(45)

G(s) G(s) G(s)

zmiana kolejności bloku transmitancji i węzła informacyjnego

(46)

Przykład 3

1 / (s+1)

5k +

+ +

x(s) – y(s)

(47)

Przykład 3

1 / (s+1)

5k +

+ +

x(s) – y(s)

1 / (s+1) +

+ +

x(s) – y(s)

(48)

Przykład 3

1 / (s+1)

5k +

+ +

x(s) – y(s)

1 / (s+1)

(49)

Przykład 3

1 / (s+1)

5k +

+ +

x(s) – y(s)

1 / (s+1)

(50)

Przykład 3

1 / (s+1)

5k +

+ +

x(s) – y(s)

1 / (s+1)

1 1

(51)

Przykład 4

3s

10

2/(s+1)

x(s) y(s)

+ –

+ + –+

+

(52)

Przykład 4

3s

10

2/(s+1)

x(s) y(s)

+ –

+ + –+

+

(53)

Przykład 4

3s-1

10

2/(s+1)

x(s) + y(s)

+ –+

+

(54)

Przykład 4

10

2/(s+1)

x(s) + y(s)

+ – +

+

(55)

Przykład 4

10

2/(s+1)

x(s) + y(s)

+ – +

+

(56)

Przykład 4

10

2/(s+1)

x(s) + y(s)

+ –+

+ 10

(57)

Przykład 4

10

2/(s+1)

x(s) + y(s)

+ –+

+ 10

(58)

Przykład 4

10

2/(s+1)

x(s) + y(s)

+

– +

+

10

10 ⁻ 2

s +1+3 s ⁻ 1

(59)

Przykład 4

10

2/(s+1)

x(s) + y(s)

+

– +

+

10

10− 2

s+1+3 s⁻ 1

(60)

Przykład 4

10

2/(s+1)

y(s)

+

– +

+ 10

10− 2

s+1+3 s⁻ 1 10+10− 2

s+1+3 s⁻ 1

x(s)

(61)

Przykład 4

10

2/(s+1)

x(s) ⁺ y(s)

+

– +

+ 10

10− 2

s+1+3 s⁻ 1 3 s²+22 s+17

s+1

(62)

Sterowanie w zamkniętej pętli

OBIEKT

u(t )=x (t ) y (t )

REGULATOR

y_d(t )

pożądane wyjście

obiektu sygnał

sterujący

wyjście obiektu wejście

obiektu

+ -

e (t )

błąd sterowani

a

(63)

Podstawowe regulatory

 dwustanowy

 trójstanowy

 Proporcjonalny (P)

 Całkujący (I)

 Różniczkujący (D)

 Proporcjonalno-całkująco-różniczkujący (PID)

u(t )

sygnał sterujący

e(t )

błąd sterowani

a

(64)

Regulator dwustanowy

wejście wyjście

(65)

wejście wyjście

wyjście rzeczywisty

Regulator dwustanowy

(66)

Regulator dwustanowy

u(t )

sygnał sterujący

e(t )

błąd sterowani

a

u(t )

e(t )

u(t )=

{

^u^max , jeżeli e>e₀

u_min, jeżeli e< ⁻ e₀

}

u_max

u_min e₀

− e₀

(67)

Przekaźnik mechaniczny

źródło: https://www.components.omron.com/relay-basics/basic

Element elektroniczny (optoizolator, MOSFET)

źródło: https://www.sparkfun.com/products/15105

Regulator dwustanowy

(68)

Regulator trójstanowy

wejście wyjście

(69)

u(t ) e(t )

Regulator proporcjonalny (P)

wejście wyjście

u(t )=k_P^⋅ e(t )

(70)

Sterowanie prędkością

(cruise control, autocruise, tempomat)

f (t ) v (t )

REG.

v_d(t )

prędkość zadana

+ -

e(t )

prędkość zmierzona siła napędowa

(71)

Adaptacyjne sterowanie prędkością (adaptive cruise control)

d (t ) v (t )

Regulator

v_d(t )

prędkość

zadana prędkość

zmierzona siła napędowa

siła hamująca

b (t )

odległość do

poprzedzającego pojazdu

(72)

Sterowanie temperaturą silnika

Silnik

pompa termostat

Chłodnica Przelew (bypass) Nagrzewnica

temperatura cieczy

Termo-włącznik wentylatora

(73)

Przykład 1

m dv (t )

dt = f (t ) ⁻ d (t ) G ( s)=V ( s)

F (s )= 1 ms+ c

Sterowanie prędkością (tempomat)

pojazd na płaskim podłożu m – masa pojazdu,

f(t) – siła napędowa,

d(t)=c*v(t) – opór powietrza, v(t) – prędkość pojazdu

(74)

Przykład 1

m dv (t )

dt = f (t ) ⁻ d (t ) G ( s)=V ( s)

F (s )= 1 ms+ c

POJAZD

f (t ) v (t )

REGULATOR

v_d(t )

Prędkość zadana

+ -

e(t )

Prędkość zmierzona Siła

napędowa

pojazd na płaskim podłożu m – masa pojazdu,

f(t) – siła napędowa,

d(t)=c*v(t) – opór powietrza, v(t) – prędkość pojazdu

Błąd prędkości

(75)

Przykład 1

POJAZD

G(s) = 1/(ms+c)

F (s) V (s)

REGULATOR “P”

G_P(s) = k

V _d(s)

+ -

E (s)

zadana

prędkość zmierzona

prędkość siła

napędowa

(76)

Przykład 1

G_Z(s)= G_P(s)G(s) 1+G_P(s)G (s)

POJAZD

G(s) = 1/(ms+c)

F (s) V (s)

REGULATOR “P”

G_P(s) = k

V _d(s)

+ -

E (s)

zadana

prędkość siła

napędowa

(77)

Przykład 1

V (s) V _d(s)

zadana prędkość

G_R(s)= k

m s+c+ k

wejście: v_d(t )=v₀1(t ) Transformata wejścia: V _d(s)=v₀ 1 s

(78)

Przykład 1

V (s) V _d(s)

zadana prędkość

G_R(s)= k

m s+c+ k

wejście: v_d(t )=v₀1(t ) Transformata wejścia: V _d(s)=v₀ 1 s

V ⁽s⁾=V _d (s ⁾G_Z ⁽s ⁾= v₀ k

s ⁽m s+c+ k ⁾= v₀ k c +k

c +k m

s

(

^s+ ^{c+ k}_m

)

wyjście:

(79)

Przykład 1

v ⁽t ⁾=v₀ k

c +k

(

¹⁻ ^exp

(

⁻ ^{c +k}_m ^t

))

v_d ⁽t ⁾

T = m

c+ k

[

Ns/m^kg =s

]

v₀ k c+k

v₀

v ⁽t ⁾

(80)

Przykład 1

v₀

dla k₂>k₁ dla k₁

v ⁽t ⁾=v₀ k

c +k

(

¹⁻ ^exp

(

⁻ ^{c +k}_m ^t

))

(81)

Przykład 1

v₀

dla k₃^≫ k₂

teoretyczna

v ⁽t ⁾=v₀ k

c +k

(

¹⁻ ^exp

(

⁻ ^{c +k}_m ^t

))

(82)

Przykład 1

v₀

rzeczywista – dla ograniczenia maksymalnej siły napędowej

dla k₃^≫ k₂

teoretyczna

v ⁽t ⁾=v₀ k

c +k

(

¹⁻ ^exp

(

⁻ ^{c +k}_m ^t

))

(83)

Przykład 1

dla k₂>k₁ dla k

siła

napędowa

f (t )

(84)

Przykład 1

dla k₃^≫ k₂

teoretyczna siła

napędowa

f (t )

(85)

Przykład 1

f _max

dla k₃^≫ k₂

teoretyczna siła

napędowa

rzeczywista

f (t )

(86)

Przykład 1

UWAGA!

ograniczenia wartości sygnałów

=

układ nieliniowy

=

model liniowy (opis z użyciem transmitancji) nie jest prawdziwy,

ale można go stosować z ograniczeniami

(87)

Ograniczenie wartości sygnałów (saturacja)

wejście wyjście

(88)

wejście wyjście

Strefa nieczułości

(89)

Przykład 1

G_Z(s)= k

m s+c+ k , G_Z( j ω)= k

mj ω+c +k P (ω)= k (c + k )

m²ω²+(c+k )² , Q (ω)= ⁻ k m ω

m² ω²+(c+k )²

P(ω) Q (ω)

ω=0

ω= ∞

k 2(c + k )

k c+k

dla k >0 0

(90)

Przykład 1

L(ω)=20 log A (ω)=20 log|k| ⁻ 20 log √^m²^ω²^{+(c+k )}² A(ω)=√^P²^+Q²^=|k|/√^m²^ω²^+c+k

φ (ω)=arctan Q

P =arctan

(

⁻ c +k^{m ω}

)

φ(ω) [rad]

− π 4

ω [rad/s]

c+k m

L(ω) [dB]

ω [rad/s]

c+k m

− 20 dB/dek

(91)

Przykład 1

PODSUMOWANIE

regulator proporcjonalny + element inercyjny I rzędu

 stały błąd w stanie ustalonym

 zwiększenie wzmocnienia regulatora = spadek błędu stanu ustalonego i spadek czasu narastania

 ograniczenie maksymalnej wartości sygnału sterującego = ograniczenie minimalnego czasu narastania

 ograniczenia sygnałów = układ jest nieliniowy

(92)

Przykład 1

PODSUMOWANIE

regulator proporcjonalny + element inercyjny I rzędu

 stały błąd w stanie ustalonym

 zwiększenie wzmocnienia regulatora = spadek błędu stanu ustalonego i spadek czasu narastania

 ograniczenie maksymalnej wartości sygnału sterującego = ograniczenie minimalnego czasu narastania

 ograniczenia sygnałów = układ jest nieliniowy