################################################################################
Optyka kwantowa w przestrzeni fazowej
Wolfgang P. Schleich
Tytuł oryginału : „Quantum Optics in Phase Space”
WILEY-VCH 2001
Tłumaczenie wspomagane przekładem rosyjskim - Fizmatlit 2005
************************************************************************************************
Tłumaczenie : R. Waligóra Pierwsze tłumaczenie : 2013
Ostatnia modyfikacja : 2014-08-30 Tłumaczenie całości książki ( bez dodatków ).
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Wstęp ogólny
1) Skróty i oznaczenia zastosowane w tłumaczeniu (własne ).
CP – czasoprzestrzeń EM – elektromagnetyczne MQ – mechanika kwantowa KTP – kwantowa teoria pola QED – elektrodynamika kwantowa QO – optyka kwantowa
Wielkości wektorowe zapisywane będą czcionką pogrubioną F, a , ...
Dopiski własne oznaczono symbolami (* ... *)
W tłumaczeniu dla stałej Diraca ħ ( zredukowanej stałej Plancka ) przyjęto oznaczenie h
************************************************************************************************
CZĘŚC II
************************************************************************************************
Rozdział 12 Funkcje w przestrzeni fazowej.
W poprzednim rozdziale omówiliśmy szereg przykładów stanów pola EM. Wiele z ich własności staje się bardziej poglądowe, kiedy przedstawimy je w przestrzeni fazowej. Pojawia się jednakże pytanie – w jakiej przestrzeni fazowej ? W MK możemy związać dynamikę układu z zachowaniem funkcji rozkładu w przestrzeni fazowej. Dla układu o jednym stopniu swobody taka przestrzeń fazowa utworzona jest przez dwie zmienne sprzężone, takie jak współrzędna i pęd – dla oscylatora mechanicznego lub natężenie pól – elektrycznego i magnetycznego dla przypadku oscylatora EM.
W MQ, jednakże zasada nieokreśloności Heisenberga nie dopuszcza wyobrażenia o stanie układu jako o punkcie w przestrzeni fazowej. Dopuszczalny jest jedynie obszar przestrzeni fazowej o minimalnym polu równym 2πh.
Dlatego też może być dziwne, że istnieje podejście ku MQ oparte na przestrzeni fazowej. Opisaliśmy już dokładnie podejście z użyciem funkcji Wignera. W niniejszym rozdziale pokazujemy, ze stany koherentne pozwalają określić w MQ również i inne rozkłady w przestrzeni fazowej.
12.1 Wignerowska przestrzeń fazowa nie jest jedyna.
Na pierwszy wzgląd wydaje się dziwne, ze istnieje wiele kwantowych funkcji rozkładu w przestrzeni fazowej, szczególnie jeśli przekonamy się że liczba takich funkcji jest nieskończona.
Na jednakże interesuje jaki jest z ich pożytek ?
W poprzednich rozdziałach wykorzystywaliśmy, głownie funkcje Wignera, po to aby zilustrować własności pewnego danego stanu koherentnego. W niniejszym rozdziale krótko omówimy zastosowanie uogólnionych rozkładów w przestrzeni fazowej w celu obliczenia kwantowo-mechanicznych średnich i ustanawiamy związek z funkcją Wignera.
12.1.1 Komu potrzebne są funkcje zmiennych fazowych ?.
Za spinem zawsze ciągnie się zasada nieokreśloności. Wszystkie rozkłady w przestrzeni fazowej posiadają szereg własności, całkowicie różnych od klasycznych rozkładów prawdopodobieństw. Przeciwnie, funkcja Q :
Q(α) ≡ (1/π) < α | ρ^ | α >
wprowadzona w niniejszym rozdziale jako wartość średnia ( nadzieja matematyczna ) macierzy gęstości w stanie koherentnym, jest zawsze dodatnia. Nie pozwala ona jednakże obliczyć rozkładów granicznych, tj. rozkład
prawdopodobieństw dla jednej ze zmiennych sprzężonych z pomocą całkowania rozkładu fazowego po drugiej zmiennej.
Tym niemniej funkcja ta jest bardzo użyteczna, ponieważ jak się przekonamy dalej jest ona dogodna do obliczenia innych kwantowo mechanicznych wartości średnich.
Jeszcze jednym rozkładem fazowym, opartym na stanach koherentnych, jest P-rozkład. Funkcja ta została wprowadzona jednocześnie i niezależnie przez R. J. Glaubera i E.C.G. Sudarshan’a. Dlatego też zdecydowałem się nazwać taka funkcje rozkładu zmiennych fazowych P-rozkłądem Glaubera-Sudarshan’a. P-rozkład może stać się bardzo osobliwy, ponieważ może on zawierać pochodne od δ-funkcji. W wyniku takich osobliwości rozkładów kwantowych w przestrzeni fazowej - dziwnych z punktu widzenia ogólnych rozkładów prawdopodobieństw, nazwiemy je rozkładami
quasi-prawdopodobieństw.
Oprócz tego, każde z takich rozkładów odpowiada szczególnemu wyborowi uporządkowania operatorów.
Q-rozkład, rozkład Wignera i P-rozkład związane są odpowiednio z uporządkowaniem – antynormalnym, symetrycznym i normalnym. Z pomocą takich funkcji rozkładu możemy tak jak w mechanice statystycznej, obliczyć wartości średnie operatorów kwantowo-mechanicznych, jednakże przy warunku, że na początku w odpowiedni sposób uporządkowaliśmy operatory.
Przypomnijmy, że klasyczna funkcja rozkładu Pcl(x, p) pozwala nam obliczyć wartość średnią funkcji O(x, p) dwóch zmiennych sprzężonych na drodze uśrednienia ich za pomocą takiego rozkładu, tj. :
Obliczymy teraz wartość średnią < O^(x^, p^ ) > operatora kwantowo-mechanicznego O^, wykorzystując rozkład
kwantowy w przestrzeni fazowej, analogicznie z rozkładem klasycznym. Ponieważ dwa operatory x^ i p^ nie komutują, nie jest jasne jak powinniśmy zapisać operator O^ w c-liczbowej reprezentacji, figurującej w zapisanej powyżej całce.
Oczywiście, powinniśmy odwołać się do uporządkowania operatorów. Dla każdej konkretnej procedury uporządkowania istnieje określona funkcja rozkładu w przestrzeni fazowej, która zawsze daje prawidłową wielkość kwantowo-
mechanicznej wartości średniej. Stwierdzenie to jest głównym tematem niniejszego rozdziału.
12.1.2 Jeszcze jeden opis przestrzeni fazowej.
Do tej pory nasza analiza przestrzeni fazowej oscylatora mechanicznego o masie M i częstością Ω była oparta na takich zmiennych jak współrzędna x i pęd p. Jednakże, w zastosowaniu do oscylatora polowego, a szczególnie z punktu widzenia stanów koherentnych, bardziej dogodnie jest wykorzystać zmienne fazowe :
αr ≡ Re α , αi ≡Im α , α- jest zespoloną wartością własną operatora anihilacji a^.
W istocie Q- i P-rozkłady formułowane są z użyciem wielkości αr i αi, w miejsce x i p.
Możemy bezpośrednio dokonać przejścia pomiędzy takimi dwoma zbiorami zmiennych, jak tylko przypomnimy sobie standardowe wyrażenia :
dla x i p poprzez amplitudy αr i αi.
Wykorzystaliśmy tutaj oznaczenie κ ≡sqrt( MΩ/h). Spotkaliśmy już przypadek szczególny zależności (12.2) w równaniu (10.47), gdzie masę polowego oscylatora przyjmowaliśmy równą jedności.
Oprócz tego, odpowiednie fazowej objętości dx • dp i dαr • dαi związane są zależnością :
dx • dp = 2h dαr • dαi (12.3)
Zależności te pozwalają dokonania bezpośredniego porównania różnych rozkładów fazowych z funkcją Wignera.
Przykładowo, w rozdziale 4 wprowadziliśmy funkcje Wignera :
stanu koherentnego α0 ≡ α0r + iα0i , która odpowiada przesunięciu. Znaleźliśmy funkcje Wignera dla stanu ściśniętego :
gdzie s > 0 jest parametrem ściśnięcia. Dla s = 1 otrzymujemy stan koherentny.
Jeśli teraz dokonamy przejścia do przestrzeni fazowej, związanego z α, wyrażenia te przyjmują postać :
i
Wykorzystaliśmy tutaj równania (12.2) i (12.3) w celu przekształcenia, odpowiednio zmiennych i objętości fazowej.
Zatem, w takich bezwymiarowych zmiennych, szerokości ∆αr i ∆αi stanu ściśniętego, które zdefiniowaliśmy na jednakowym poziomie wykładniczego zaniku funkcji Wignera, mają postać :
Te dwie nieokreśloności, z dokładności do czynnika 2, są do siebie odwrotne. W następnym podrozdziale pokażemy, że nie następuje to wtedy, kiedy przedstawiamy stan ściśnięty z pomocą Q-funkcji.
12.2 Q-funkcja Husimi-Kano.
W rozdziale 3 wprowadziliśmy funkcje Wignera jako poglądową reprezentacje stanu kwantowego. Pokazaliśmy również, ze taki rozkład realizuje się w przestrzeni fazowej, utworzonej przez zmienne fazowe – współrzędną i pęd. W przypadku pola EM takimi zmiennymi są natężenie pola elektrycznego i magnetycznego. Funkcja Wignera, jednakże nie jest rozkładem naturalnym w przestrzeni fazowej. W niniejszym podrozdziale wprowadzimy tzw. Q-funkcje, która posiada tą dogodną własność, ze na całej przestrzeni fazowej jest ona dodatnia. Na początku definiujemy Q-funkcje i zilustrujemy jej własności na różnych przykładach.
12.2.1 Definicja Q-funkcji.
Q-funkcje czystego stanu kwantowego | ψ > definiujemy następująco :
Przypominamy, że dwie liczby rzeczywiste αr i αi ( lub | α | , ϑ ) opisują stan koherentny | α>. Zatem, wielkość Q zależna jest od takich dwóch zmiennych, tj. αr i αi tworzą przestrzeń zmiennych fazowych Q-funkcji.
Alternatywna forma :
podanej powyżej definicji wraz z opisem :
ρ^ ≡ | ψ > < ψ | (12.6)
stanu czystego | ψ > z pomocą macierzy gęstości, prowadzi bezpośrednio do następującego uogólnienia :
Q-funkcji (12.5) na przypadek stanu mieszanego, który opisywany jest przez macierz gęstości ρ^.
Zatem, Q-funkcja przedstawia sobą wartość średnią macierzy gęstości w stanie koherentnym.
12.2.2 Q-funkcje niektórych stanów kwantowych.
W niniejszym podrozdziale obliczymy i omówimy Q-funkcje niektórych określonych stanów kwantowych. Oprócz tego, porównujemy je z odpowiadającymi im funkcjami Wignera.
Stan koherentny. Pierwszym przykładem będzie stan koherentny | α0 >. Wykorzystując warunek nieortogonalności (11.21) dwóch stanów koherentnych | α > i | α0 >, znajdujemy, że :
Z pomocą zależności :
sprowadzamy to wyrażenie do postaci :
Zatem, Q-funkcja stanu koherentnego | α0 > ma postać dzwonu Gaussa, zlokalizowanego wokół αr = α0r i αi = αoi , tak jak to pokazano na rysunku 12.1. Taki dzwon gaussowski jest symetryczny – poziomica, na której funkcja Gaussa zmniejsza się e razy, przedstawia sobą okrąg o jednostkowym promieniu.
Rys. 12.1 a) Q-funkcja stanu koherentnego | α0 > ma postać „dzwonu” Gaussa, zlokalizowanego wokół
αr = α0r i αi = αoi ; b) Poziomica Q-funkcji, odpowiadająca jej zmniejszeniu o e razy. Wybraliśmy tutaj α0 = 2 + 3i
Niekiedy dla uproszczenia po prostu przedstawiamy okrągłą poziomice, odpowiadającą wykładniczemu zanikowi Q-funkcji. Zauważmy, że Q-funkcja stanu koherentnego ma zawsze postać funkcji Gaussa, niezależnie od wartości parametrów α0r i α0i. Oprócz tego, od parametrów tych nie zależy również promień okrągłej poziomicy. Okoliczność ta odzwierciedla ten fakt, że fluktuacje operatora pola elektrycznego w stanie koherentnym nie są zależne od przesunięcia α0 – stan koherentny przedstawia sobą przesunięty stan podstawowy oscylatora harmonicznego. Dlatego też fluktuacje w tym stanie są określone tylko przez własności oscylatora harmonicznego, a nie przez parametry przesunięcia.
Na zakończenie niniejszego podrozdziału zauważymy, że rozpatrzony rozkład jest szerszy od odpowiadającej mu funkcji Wignera, zadanej przez równanie (12.4).
Stan Foka. Teraz skupimy się na Q-funkcji stanu | n > o określonej liczbie fotonów. Podstawiając stan | n > do definicji (12.5) funkcji Q i przypominając sobie, że rozkład liczby fotonów w stanie koherentnym jest poissonowski, otrzymujemy :
Zauważmy, ze przy omówieniu rozkładu fotonów Wn( | α > ), Wn rozpatrywaliśmy jako funkcje liczby kwantowej n dla ustalonego stanu koherentnego | α >. W kontekście obecnej analizy utrzymujemy liczbę n jako ustaloną i rozpatrujemy, jak rozkład Poissona zależy od αr i αi.
Zauważmy również, że do Q-funkcji stanu Foka wchodzi tylko wartość absolutna :
| α | ≡ sqrt( αr2 + αi2 )
zmiennej fazowej, ale nie jej faza ϑ. Dlatego też Q-funkcja stanu z zadaną liczbą fotonów jest symetryczna osiowo ( rys. 12.2)
Rys. 12.2 Q-funkcja stanu Foka | n > jest osiowo symetryczna i nie posiada żadnej wyróżnionej fazy.
Wybraliśmy tutaj n = 8.
Stan próżniowy. Szczególnie interesujący przypadek, to przypadek stanu próżniowego, tj. stanu Foka z n = 0.
Zgodnie z równaniem (12.9) funkcja Q w tym przypadku ma postać :
tj. rozkładu Gaussa o środku w początku współrzędnych przestrzeni fazowej.
Jeśli przypomnimy sobie, ze Q-funkcja stanu koherentnego ma postać :
to taka abstrakcyjna definicja :
stanu koherentnego jako wynik działania operatora przesunięcia D^(α0) na próżnie implikuje bardzo prosty obraz – dzwon gaussowski, zlokalizowany wokół początku współrzędnych przestrzeni fazowej o zmiennych ( αr ,αi ) przesuwa się w otoczenie punktu ( α0r , α0i ).
Stan ściśnięty. Jeszcze jednym ważnym stanem pola promieniowania jest stan ściśnięty, który omawialiśmy dokładnie w zastosowaniu do mechanicznego oscylatora. Teraz omówimy krótko jego Q-funkcje :
która została obliczona w zadaniu 12.1. Widzimy, ze Q-funkcja jest rozkładem Gaussa o różnych szerokościach wzdłuż współrzędnych αr i αi tak jak to pokazano na rysunku 12.3.
Rys 12.3 W odróżnieniu od przypadku stanu koherentnego, Q-funkcja stanu ściśniętego | ψsq > jest asymetryczna w przestrzeni fazowej. Jest ona ściśnięta w jednym kierunku. Wybraliśmy tutaj γ = 2 + 3i i s = 10.
Należy jednakże podkreślić, że szerokości :
nie znajdują się w stosunku odwrotnym do siebie, tak jak to miało miejsce dla szerokości ∆αr(W) i ∆αi(W) odpowiedniej funkcji Wignera (12.5). Najwyraźniej widać to w przypadku stanu silnie ściśniętego, kiedy s << 1. W tym przypadku otrzymujemy następujące szerokości funkcji Q :
w odróżnieniu od szerokości :
Zatem, w granicy silnego ściśnięcia szerokość ∆αi(Q) funkcji Q przybliża się do odpowiedniej funkcji Wignera.
Jednakże szerokość ∆αr(Q) dąży do wartości stałej, podczas gdy odpowiednia funkcja charakterystyczna Wignera dąży do zera. Innymi słowy, funkcja Wignera stanu ściśniętego staje się nieskończenie wyciągnięta i nieskończenie cienka, a pole powierzchni :
∆αr(W) ∆αi(W) = ½ pozostaje stała.
Funkcja Q – przeciwnie do tego, staje się nieskończenie wyciągnięta, zawsze zachowując skończoną szerokość.
Tym sposobem przejawia się fakt, że powierzchnia :
∆αr(Q) ∆αi(Q) = ½ ( s + 1 )/ √2
dąży do nieskończoności, kiedy s wzrasta. Aby zrozumieć taki dziwny fakt, w zadaniu 12.5 przypominamy, że obliczenie Q-funkcji zawiera dodatkowe uśrednienie, a mianowicie funkcja Q przedstawia sobą funkcja Wignera, uśrednioną z rozkładem Gaussa.
Stan termiczny. Do tej pory omawialiśmy Q-funkcje stanów czystych. Teraz omówimy stan mieszany jednego modu. W podrozdziale 2.3.4 rozpatrzyliśmy pole w stanie termicznym, zadane przez macierz gęstości :
< n^ > - - oznacza tutaj średnią liczbę fotonów w polu.
Aby obliczyć Q-funkcje, przedstawiamy wyrażenie (12.12) dla macierzy gęstości do definicji (12.7) funkcji Q i wykorzystując wzory dla amplitudy prawdopodobieństwa :
rozkładu liczby fotonów w stanie koherentnym, otrzymujemy następujący wynik :
Przypominając sobie rozkład funkcji ekspotencjalnej w szereg, możemy dokonać sumowania otrzymując następujące wyrażenie :
które po niewielkich przekształceniach algebraicznych przyjmuje postać :
Zatem, Q-funkcja stanu termicznego przedstawia sobą dzwon gaussowski, umiejscowiony w otoczeniu początku współrzędnych przestrzeni fazowej αr - αi tak jak to pokazano na rysunku 12.4. Na mocy tego, że do takiej funkcji wchodzi tylko wartość absolutna | α | zmiennej fazowej, rozkład gaussowski jest radialnie symetryczny.
Rys. 12.4 Q-funkcja stanu termicznego pola świetlnego przedstawia sobą dzwon gaussowski umiejscowiony w otoczeniu początku współrzędnych przestrzeni fazowej. Jest on radialnie symetryczny i nie wyróżnia żadnego kierunku w przestrzeni fazowej. Dla niezerowej temperatury rozkład jest szerszy, niż dla stanu próżniowego. Szerokość określona jest przez średnią liczbę fotonów < n^ >. Wybraliśmy tutaj < n^ > = 8.
Szerokość rozkładu Gaussa określona jest przez średnią liczbę fotonów < n^ >. Zauważmy, że dla próżni, tj. dla stanu z <
n^ > = 0, otrzymujemy następujący wzór :
który jest zgodny z wyrażeniami (12.8) i (12.10) dla Q-funkcji, odpowiednio stanu koherentnego :
| α0 > = | 0 >
albo stanu Foka :
| n = 0 >
Dla niezerowej średniej liczby fotonów < n^ > rozkład Gaussa jest szerszy, niż dla stanu próżniowego.
Fazowy stan termiczny. Symetria radialna Q-funkcji stanu Foka jasno pokazuje, że stan o określonej liczbie fotonów nie posiada żadnego wyróżnionego kierunku w przestrzeni fazowej. Jest to poissonowski „pączek” ( doughnut ), pokazany na rysunku 12.2.
Przeciwnie do tego, stan koherentny | | α | eiϑ > przedstawia sobą rozkład Gaussa, umiejscowiony wokół punktu o amplitudzie | α | i fazą ϑ. Dlatego ma ono wyróżniony kierunek. Jest to dziwne, jeśli przypomnimy sobie, że stan koherentny jest superpozycją stanów o określonej liczbie fotonów : każdy stan Foka nie posiada wyróżnionej fazy, a superpozycja takich stanów prowadzi do naruszenia symetrii w przestrzeni fazowej, tj. do w pełni określonej fazy.
Zatem, oczekujemy, ze Q-funkcja termodynamicznego stanu fazowego, który omawialiśmy w podrozdziale 2.3.4 określona przez macierz gęstości :
również posiada wyróżnioną fazę.
Teraz dla bardziej szczegółowej analizy tego zagadnienia obliczymy Q-funkcje :
termicznego stanu fazowego.
Przywołaliśmy tutaj typową dla przejawów kwantowej interferencji sytuacje, kiedy to dla otrzymania całkowitego prawdopodobieństwa sumujemy amplitudy prawdopodobieństwa, a nie same prawdopodobieństwa.
Niestety taka interferencja amplitud prawdopodobieństwa wnosi dodatkowe utrudnienia natury matematycznej.
Amplituda prawdopodobieństwa rozkładu fotonów w stanie koherentnym zawiera czynnik (n!)– ½ w wyniku obecności którego trudno jest wykonać sumowanie w sposób analityczny. Dlatego też zmuszeni jesteśmy odwołać się do obliczeń numerycznych takiej sumy.
Na rysunku 12.5 pokazaliśmy Q-funkcje, obliczona w taki właśnie sposób. Przedstawia ona sobą klino-podoby rozkład, wyciągnięty wzdłuż osi rzeczywistej przestrzeni fazowej. To potwierdza idee, że interferencja stanów Foka prowadzi do pojawienia się wyróżnionego kierunku w przestrzeni fazowej.
Aby poczuć jak zachowuje się taka Q-funkcja, w zadaniu 12.2 obliczamy sumę w przybliżeniu, ale analitycznie, otrzymując :
Jak widać, w odróżnieniu od Q-funkcji stanu termicznego podane wyrażenie zawiera nie tylko kwadrat modułu | α |2 zmiennej fazowej, ale również kąt ϑ.
Rys. 12.5 Q-funkcja termicznego stanu fazowego | ϕ0>, przedstawiona w postaci trójwymiarowej a) oraz za pomocą odpowiadających jej poziomic b). Wskazano obecność wyróżnionego kierunku w przestrzeni fazowej. W niniejszym przykładzie średnia liczba fotonów jest równa < n^ > = 20, a wyróżniony kat fazowy jest równy zero.
12.3 Uśrednienie przy pomocy funkcji w przestrzeni fazowej.
W poprzednim podrozdziale omówiliśmy Q-funkcje różnorodnych stanów kwantowych. Takie rozkłady służą jako jeszcze jedne poglądowy przykład stanów kwantowych. Oprócz tego, w porównaniu z funkcja Wignera, Q-funkcje mają tą własność, że są one zawsze dodatnie. To prowadzi nas do pytania : dlaczego by nie wykorzystywać Q-funkcji, zamiast funkcji Wignera ?
Przypomnijmy, że funkcja Wignera podkreśla istotę interferencji i dlatego jest użyteczna, kiedy chcemy badać zjawiska interferencyjne. Pytanie jednakże jakie się pojawia brzmi – jeśli pominąć reprezentacje poglądową stanu kwantowego, jaka jest jeszcze użytek z funkcji rozkładu w przestrzeni fazowej ?
W niniejszym podrozdziale pokażemy, ze Q-funkcja może być wykorzystana dla obliczenia średniej wartości antynormalnego uporządkowanego iloczynu operatorów kreacji i anihilacji.
12.3.1 Argument heurystyczny.
Na początku obliczymy wartość średnia prostej kombinacji operatorów kreacji i anihilacji, a następnie – w dalszym podrozdziale uogólnimy taką procedurę.
W niniejszym podrozdziale ograniczymy się do analizy jednego modu.
Rozpatrzmy bezwymiarowy operator natężenia pola elektrycznego :
Є^(a^, a^† ) ≡π^ = (1/√2i )( a^ – a^† ) (12.16)
Powróćmy do wyrażenia (10.68) dla operatora pola elektrycznego E^, zauważmy, że rozpatrywany przez nas operator posiada całą strukturę operatorową E^, jeśli pominąć próżniowe pole elektryczne Є0 i funkcje modową uł.
Wielkość klasyczna, która odpowiada Є^, ma postać :
Zamieniliśmy tutaj operatory anihilacji i kreacji a^ i a^† na zespolone c-liczby, odpowiednio α i α*. Niekiedy będziemy odsyłali do tej procedury jako klasyczne przybliżenie.
W podrozdziale 11.2.7 obliczyliśmy dwa pierwsze momenty operatora pola elektrycznego E^ w stanie koherentnym | α0 >.
Z pomocą definicji (12.16) bezwymiarowego operatora pola elektrycznego wyrażenia (11.22) i (11.23) przyjmują postać :
Przy wyprowadzeniu tych wzorów wykorzystaliśmy równanie dla wartości własnych operatora anihilacji.
Teraz obliczymy wartość średnią operatora pola elektrycznego Є^ w stanie koherentnym, zakładając, że Q-funkcja może być wykorzystana jako klasyczna funkcja rozkładu w przestrzeni fazowej. Wtedy to Q-funkcja występuje w charakterze funkcji wagowej przy całkowaniu klasycznej reprezentacji Є(α, α* ) operatora Є^(a^, a^† ) po zmiennych α i α*.
Pierwszy moment pola elektrycznego. W takim schemacie znajdujemy kwantowo-mechaniczną wartość średnią
< Є^(a^, a^† ) >, obliczając całkę :
którą z pomocą wyrażeń (12.8) i (12.17) – odpowiednio dla Q-funkcji stanu koherentnego i natężenia klasycznego pola elektrycznego, możemy sprowadzić do postaci :
Z pomocą zależności całkowych :
znajdujemy :
< Є^(a^, a^† ) > = √2 α0i
tj. istotnie prawidłowy wynik kwantowy (12.18a).
Drugi moment. Póki co operatory kreacji i anihilacji wchodziły do wyrażeń w sposób liniowy. Teraz dokonamy podobnych obliczeń dla drugiego momentu :
wielkości Є^. Na początku powinniśmy jednak odpowiedzieć na pytanie, jaka jest odpowiednia forma odpowiadająca wielkości klasycznej. W związku z takim pytaniem powinniśmy omówić zagadnienie uporządkowania operatorów.
Zauważmy zatem, że jeśli w granicy klasycznej zamieniamy ponownie operatory a^ i a^† na zespolone c-liczby, to otrzymujemy :
Otrzymujemy jednakże zupełnie inny wynik, jeśli wykorzystamy zależność komutacyjną [a^ i a^† ] = 1 zanim dokonamy takiej zamiany. W tym przypadku wejściowym wyrażeniem jest albo jedno, albo drugie z poniższych wyrażeń :
Symbol N oznacza, że iloczyn zestawiony z operatorów anihilacji i kreacji, uporządkowany w taki sposób, ze operatory kreacji są zawsze umiejscowione na lewo od operatorów anihilacji. Takie wyrażenie nazywamy uporządkowanym normalnie.
Pod symbolem A operator kreacji stoi zawsze po prawej stronie operatora anihilacji. Taki typ uporządkowania nazywamy uporządkowaniem antynormalnym (* antinormally ordered *).
Jeśli teraz zamienimy a^ i a^†, odpowiednio na α i α*, to zauważymy, ze dwa klasyczne wyrażenia :
które odpowiadają normalnemu lub antynormalnemu uporządkowaniu operatorów, są w istocie różne.
Pobudzeni prawidłowym obliczeniem pierwszego momentu oraz, koniecznością odpowiedzenia na pytanie czy procedura uporządkowania normalnego lub antynormalnego operatorów, prowadzi do prawidłowego kwantowo-mechanicznego wyniku, obliczymy teraz całki :
które odpowiadają klasycznym reprezentacją w przestrzeni fazowej wartości średniej < Є^(a^, a^† )>.
Dokonując całkowania, znajdujemy wyrażenie :
które z pomocą zależności :
prowadzi do następujących ścisłych wzorów :
Porównując te wyrażenia z prawidłowym kwantowo-mechanicznym wynikiem (12.18b) :
< Є^(a^, a^† ) > = 2α0i2 + ½
zauważamy, że pokrywa się z nim tylko uporządkowanie antynormalne. To prowadzi do wniosku, że Q-funkcja pozwala nam uśredniać uporządkowania antynormalne iloczynów operatorów anihilacji i kreacji.
Z tego wszystkiego wyłania się następująca procedura obliczenia wartości średniej operatora O^(a^, a^† ), składającego się z iloczynów operatorów kreacji i anihilacji, które nie zostały jeszcze ułożone w określonym porządku.
Na początku dokonujemy uporządkowania antynormalnego operatora O^(a^, a^† ), wykorzystując w tym celu zależność antykomutacji :
[ a^, a^† ] = 1
tj. obliczamy A[ O^(a^, a^† )]. Dalej znajdujemy klasyczne wyrażenie O(a)(α, α*) takiego antynormalnie
uporządkowanego iloczynu, zamieniając a^ i a^† na α i α*. Dalej dokonujemy uśrednienia klasycznej wielkości O(a) wykorzystując Q-funkcje, tj. :
W następnym podrozdziale dowiedziemy tą zależność.
12.3.2 Dokładna analiza.
W poprzednim podrozdziale pokazaliśmy, że możemy obliczyć pierwszy i drugi moment operatora pola elektrycznego w stanie koherentnym, wykorzystując w tym celu Q-funkcje. Obecnie chcemy uogólnić ten fakt, na operator O^(a^, a^† ), który zawiera dowolną kombinacje operatorów kreacji i anihilacji.
Zagadnienie polega na znalezieniu dogodnego sposobu obliczenia wartości średniej :
< O^ > = Tr(O^ρ^ ) (12.20)
operatora O^ w stanie kwantowym, który opisywany jest przez macierz gęstości ρ^. Chociaż jest wiele sposobów aby to zrobić, w niniejszym podrozdziale opiszemy tylko dwa z nich.
Przykład z drugim momentem operatora pola elektrycznego pokazał, że z pomocą zależności komutacyjnych możemy przedstawić jeden i tylko jeden operator w wielu formalnie różnych formach, które jednakże są równoważne sobie.
Zatem, możemy przedstawić oba te operatory ρ^ i O^ w formie uporządkowanej normalnie lub antynormalnie.
Możemy otrzymać również reprezentacje mieszaną, w której ρ^ jest uporządkowanym normalnie, a Q^ jest uporządkowany antynormalnie (lub na odwrót ). Wszystkie te formy są równoważne.
Dla obliczeń jednakże niektóre formy zapisu okazują się bardziej wygodne i w szczególności zapewniają związek z procedurą całkowania w klasycznej przestrzeni fazowej. Pozwalają nam one obliczyć wartość średnią z pomocą klasycznego całkowania.
Wartości średnie antynormalnie uporządkowanych operatorów. Dalej obliczymy wartość średnią, wykorzystując uporządkowaną normalnie macierz gęstości ρ^(n) oraz uporządkowany antynormalnie operator O^(a). Oprócz tego pokazujemy, ze w tym przypadku wzór :
< O^ > = Tr( O^(a)ρ^(a) ) (12.21)
otrzymuje interpretacje jako uśrednienie w klasycznej przestrzeni fazowej z Q-funkcją w charakterze funkcji rozkładu.
Na początku dokonamy uporządkowania antynormalnego operatora O^, wykorzystując zależności komutacyjne [ a^, a^† ] = 1
i znajdujemy operator uporządkowany antynormalnie :
z c-liczbowymi współczynnikami Oij(a)
Dalej znajdujemy reprezentacje macierzy gęstości ρ^ z użyciem operatorów anihilacji i kreacji, co bezpośrednio prowadzi do Q-funkcji. Jak dalej pokażemy, taka reprezentacja jest uporządkowana normalnie.
Przypominamy, że Q-funkcja, która określona jest przez wyrażenie :
zależy od części rzeczywistej i urojonej α lub od α i α*, dlatego możemy rozłożyć taką funkcje w szereg :
względem potęg α i α*. Współczynnikami takiego rozkładu są c-liczby ρkł(n) Kiedy bowiem podstawimy reprezentacje operatorową :
macierzy gęstości do wyrażenia (12.23), definiującego funkcje Q i wykorzystamy równanie dla wartości własnych operatora anihilacji, dojdziemy do podanej powyżej zależności.
Teraz jesteśmy gotowi obliczyć wartość średnią < O^ > operatora O^. Podstawiając macierz gęstości (12.25) w formie normalnie uporządkowanej i operator O^ w formie uporządkowanej antynormalnie (12.22) znajdujemy :
Z pomocą następującej tożsamości :
Tr (A^B^) = Tr(B^A^ )
która jest słuszna dla śladu iloczynu dwóch operatorów A^ i B^, możemy skombinować oddzielnie potęgi operatorów anihilacji i kreacji otrzymując :
Ślad obliczamy wykorzystując stany koherentne, dochodząc do następującego wyrażenia :
Z pomocą równania dla wartości własnych w przypadku stanów koherentnych znajdujemy :
lub
Jeśli teraz wykorzystamy reprezentacje c-liczbową :
dla antynormalnie uporządkowanego operatora O^ oraz rozkład (12.24), wyrażenie to przyjmie postać :
Zatem, otrzymujemy średnią wartość operatora O^, który składa się z dowolnej kombinacji operatorów kreacji i anihilacji, poprzez całkowanie klasycznej reprezentacji antynormalnie uporządkowanego operatora wraz z Q-funkcją.
Wartości średnie operatorów uporządkowanych normalnie. (* Expectation Values of Normally Ordered Operators *) W niniejszym podrozdziale obliczamy wartość średnią :
operatora O^, zapisanego w formie uporządkowanej normalnie O^(n), z pomocą antynormalnie uporządkowanej macierzy gęstości ρ^(n). Pokazujemy, że i w tym przypadku otrzymujemy interpretacje z użyciem uśrednienia w przestrzeni fazowej z pomocą tzw. P-funkcji Glaubera-Sudarshan’a.
Operator O^ zapisujemy w postaci normalnie uporządkowanych iloczynów potęg operatorów anihilacji i kreacji, tj. :
z c-liczbowymi współczynnikami rozkładu Qij(n).
Macierz gęstości ρ^ przedstawiamy w postaci uporządkowanych antynormalnie iloczynów potęg operatorów anihilacji i kreacji, tj. :
współczynniki ρij(a) są c-liczbami.
Teraz możemy z pomocą takich wyrażeń obliczyć wartość średnią O^. Rozpoczniemy od wyrażenia :
które wynika z (12.27) i (12.28). Wykorzystując własności śladu, możemy połączyć operatory anihilacji i kreacji, znajdując :
Obliczamy ślad, wykorzystując stany koherentne :
i z pomocą równania dla wartości własnych stanów koherentnych dochodzimy do wyrażenia :
Zwróćmy uwagę, że wyrażenie w nawiasie pierwszym jest c-liczbową reprezentacją :
normalnie uporządkowanego operatora Q(n). To skłania nas do wprowadzenia nowej funkcji rozkładu :
Należy podkreślić, że taki rozkład nie jest Q-funkcją, ponieważ współczynniki rozkładu ρkł(a), pojawiające się przy rozkładzie antynormalnie uporządkowanej macierzy gęstości, mówiąc ogólnie, różnią się od współczynników rozkładu ρkł(n) przy uporządkowaniu normalnym. W następnym podrozdziale omówimy taki rozkład dokładniej.
Mamy zatem :
tj. możemy dokonać uśrednienia kwantowo-mechanicznego operatora O^, na początku porządkując go normalnie i zamieniając operatory na c-liczby, a następnie obliczając całkę po przestrzeni fazowej z pomocą P-rozkładu.
12.4 P-rozkład Glaubera-Sudarshan’a
W poprzednim rozdziale wprowadziliśmy P-funkcje :
po to, aby obliczyć wartość średnią kwantowo-mechanicznego operatora z pomocą całkowania po przestrzeni fazowej.
Wielkości ρij(a) są współczynnikami rozkładu antynormalnie uporządkowanej macierzy gęstości. Teraz pokażemy, że zdefiniowana w ten sposób P-funkcje pozwala nam przedstawić macierz gęstości w postaci diagonalnej w bazie stanów koherentnych. Oprócz tego, omawiamy jej związek z Q-funkcją. Rozdział ten kończymy podając różne przykłady.
12.4.1 Definicja P-rozkładu.
Do tej pory przedstawialiśmy macierz gęstości w bazie stanów o określonej liczbie fotonów | m >. Znaleźliśmy tą reprezentacje, mnożąc warunek zupełności :
zbioru stanów Foka lewo i prawostronnie przez macierz gęstości.
Z warunku :
ρ^ = 1 • ρ^ • 1 (12.31)
W podobny sposób możemy wykorzystać warunek zupełności :
dla stanów koherentnych, aby znaleźć następującą reprezentacje :
dla macierzy gęstości.
Zauważmy, że reprezentacja w bazie stanów koherentnych, całkowicie analogiczne do reprezentacji w bazie stanów Foka, włączając w to w ogólnym przypadku, elementy niediagonalne < α | ρ^ | β >.
Zatem, zawiera on operatory rzutowania | α > < β |, w których α może różnić się od β. Oprócz tego, reprezentacja ta zawiera dwa całkowania po przestrzeni fazowej.
Możemy jednakże zapisać macierz gęstości również w reprezentacji diagonalnej :
po stanach koherentnych. Zauważmy, że taka reprezentacja jest całkowicie różna od innej reprezentacji w bazie stanów koherentnych, które są opisywane przez wyrażenie (12.32). W pierwszej kolejności, do danej reprezentacji każdy stan koherentny | α > wchodzi tylko w postaci kombinacji | α > < α |, tj. w postaci diagonalnej. Oprócz tego wymaga on tylko jednego całkowania po przestrzeni fazowej. Glaubera i Sudarshan niezależnie od siebie wyprowadzili taką funkcje.
Na pierwszy wzgląd, taka reprezentacja diagonalna wydaje się dziwna. Możemy jednakże dowieść podanej powyżej zależności, jeśli podstawimy rozkład (12.29) względem potęg α i α* do prawej części wyrażenia (12.33). Przypominając sobie równanie dla wartości własnych operatora anihilacji, znajdujemy następujące wyrażenie :
który wraz z warunkiem zupełności dla stanów koherentnych prowadzi bezpośrednio do reprezentacji uporządkowanej antynormalnie (12.28) macierzy gęstości.
Należy podkreślić, że tzw. P-rozkład Glaubera-Sudarshan’a nie jest właściwym rozkładem prawdopodobieństwa.
Najwyraźniej widać to na przykładzie stanu koherentnego | α0 >.
Ponieważ w tym przypadku macierz gęstości ma postać : ρ^ = | α0 > < α0 |
to P-rozkład w rozpatrywanej reprezentacji :
powinien być δ-funkcją Diraca, tj. : P(α) = δ( α – α0 )
Dlatego P-funkcje należy rozumieć w sensie funkcji uogólnionej rozkładu. W następnym podrozdziale pokażemy, że P- funkcja może być bardziej osobliwa, niż δ-funkcja. Dla m-tego stanu Foka przedstawia ona m-tą pochodna δ-funkcji. A dla stanu ściśniętego zawiera ona nawet pochodne nieskończonego rzędu.
12.4.2 Związek pomiędzy Q- i P-funkcjami.
P-rozkład, tak samo jak i Q-funkcja zależy od części rzeczywistej i urojonej amplitudy α stanu koherentnego | α >.Mają one jednakże zupełnie różną formę : na przykładzie stanu koherentnego widzieliśmy już, że P-rozkład jest δ-funkcją, podczas gdy Q-funkcja przedstawia sobą dzwon Gaussa o niezerowej szerokości. Teraz ustanowimy związek pomiędzy takimi dwoma rozkładami w przestrzeni fazowej dla dowolnej macierzy gęstości.
W tym celu uśrednimy równanie :
definiujące P-rozkład i znajdujemy :
Przypominając sobie wyrażenie :
| < α | β > |2 = exp( – | α – β | )2
dla iloczynu skalarnego stanów koherentnych, znajdujemy :
Zatem, Q-funkcja przedstawia sobą P-rozkład, scałkowany po przestrzeni fazowej wraz z czynnikiem wagowym, zadanym przez funkcje Gaussa. Ta ostatnia jest Q-funkcją stanu koherentnego | β >. Zależność ta prowadzi do następującej
interpretacji : Q-funkcja stanu kwantowego pojawia się, kiedy czytamy P-rozkład, wykorzystując stan koherentny.
Zauważmy, że równanie (12.35) jest zgodne z procedurą uśrednienia, którą omawialiśmy w podrozdziale 12.3.
Przypominamy sobie bowiem, że Q-funkcja przedstawia sobą wartość średnią macierzy gęstości w stanie koherentnym | α>.
Możemy obliczyć taka wartość średnią, dokonując na początku uporządkowania antynormalnego macierzy gęstości, a następnie bierzemy klasyczną granicę, tj. zamieniamy operatory na c-liczby. To daje nam wyrażenie (12.29) dla P-funkcji.
Dalej dokonujemy całkowania po przestrzeni fazowej wraz z Q-funkcją Qα interesującego nas stanu kwantowego, tj. stanu koherentnego. W ten sposób dochodzimy do wyrażenia :
Równanie (12.35) pokazuje również, że Q-funkcja stanu kwantowego jest zawsze szersza od odpowiadającego mu P-rozkładu, ponieważ rozkład ten jest uśredniany wraz z rozkładem Gaussa. Te dwa rozkłady pomagają nam obliczyć wartości średnie operatorów kwantowo-mechanicznych. Jednakże takie operatory mogą być uporządkowane w różny sposób, co jest właśnie odzwierciedlane w różnej postaci tych rozkładów. Zatem, rozkłady te istnieją w różnych przestrzeniach fazowych.
12.4.3 P-funkcja i Q-funkcje.
Q-funkcja reprezentuje sobą wartość średnią macierzy gęstości w stanie koherentnym. Zatem, Q-funkcja jest określona w sposób jawny. Przeciwnie do tego P-funkcja jest określona niejawnie. Jest to reprezentacja diagonalna macierzy gęstości w stanie koherentnym. W poprzednim podrozdziale otrzymaliśmy następującą zależność :
która pozwala znaleźć nam Q-funkcje przy warunku, że znamy już P-funkcje. Jak jednakże odwrócić tą zależność ? Zagadnienie to będziemy rozpatrywali obecnie.
Możemy ustanowić prostą zależność pomiędzy składowymi Fouriera tych dwóch funkcji rozkładu. Aby ujawnić taką zależność w najbardziej jasny sposób, definiujemy przekształcenie Fouriera :
P-funkcji i w podobny sposób :
- oznacza przekształcenie Fouriera Q-funkcji.
Podstawiamy wyrażenie (12.36) dla Q-funkcji, wyrażonej przez P-funkcje, do obrazu Fouriera (12.38) Q-funkcji, znajdując :
a po zamianie porządku całkowania otrzymujemy :
Całki Gaussa zawarte w nawiasach obliczamy wprowadzając zmienne całkowania : α‘i ≡ αi – βi
i wykorzystując wzór :
W wyniku otrzymujemy następujący związek :
lub
pomiędzy obrazami Fouriera Q~ i P~ Q- i P-funkcji.
Teraz podstawiamy powyższe wzory do przekształcenia odwrotnego :
dla P-rozkładu i dochodzimy do wyrażenia :
Zależność ta pozwala nam znaleźć P-rozkład dla dowolnego stanu kwantowego po jego Q-funkcji. W tym celu na początku powinniśmy obliczyć przekształcenie Fouriera Q-funkcji, a następnie obliczamy wskazaną powyżej całkę.
W dodatku K postępujemy zgodnie z takim schematem w celu otrzymania P-funkcji różnych stanów kwantowych, które omawiamy w dalszym rozdziale.
Równanie (12.43) pokazuje również, co mogłoby się stać, kiedy P-funkcja nie istnieje jako funkcja analityczna, a tylko jako dystrybucja ( funkcja wagowa ?)
W takiej całce dwuwymiarowa anty-gaussowska funkcja exp(ξr2 + ξi2 ) jest mnożona przez obraz Fouriera funkcji Q.
Ponieważ wykładnik eksponenty ma dodatni znak, całka jest zbieżna tylko przy warunku, że Q~(ξr ,ξi ) zanika szybciej, niż rośnie eksponenta. Całka jednakże zawsze istnieje w sensie dystrybucji, tak jak to pokazał Sudarshan.
Przeciwnie do tego, Q-funkcja istnieje zawsze. Warunek normalizacji :
Q-funkcji gwarantuje, że zeruje się ona przy ξr , ξi → ∞.
Oprócz tego, równanie (12.43) rzuca światło na ten fakt, że Q-funkcja jest zawsze szersza, niż P-funkcja. Równanie (12.40) pokazuje, ze w wyniku obecności funkcji Gaussa z ujemnym wykładnikiem eksponenty obraz Fouriera Q-funkcji jest
zawsze węższy niż obraz Fouriera P-funkcji. Dlatego odwrotne przekształcenie Fouriera Q~ tj. sama Q-funkcja, jest zawsze szersza, niż P-funkcja.
12.4.4 Przykłady P-rozkładów.
W poprzednim podrozdziale podaliśmy ogólną receptę, jak otrzymać P-funkcje stanu kwantowego z jego Q-funkcji. W niniejszym podrozdziale omówimy własności P-funkcji różnych stanów kwantowych. W szczególności pokazujemy, że stany o nieklasycznych własnościach, takie jak np. stany o określonej liczbie fotonów lub stany ściśnięte posiadają P- funkcje, które mają sens tylko jako dystrybucje. Są one określone poprawnie tylko kiedy pojawiają się pod znakiem całki.
Stan termiczny. Nasza analizę rozpoczniemy od przykładu stanu termicznego. Zgodnie z dodatkiem K, P-funkcja takiego stanu ma postać :
Kiedy porównamy to wyrażenie z odpowiednią Q-funkcją :
to zauważymy, że obie te funkcje maja postać funkcji Gaussa, mają one jednakże różne szerokości – szerokość P-funkcji, która jest określona poprzez warunek, że rozkład Gaussa zmniejsza się e razy, jest równa < n^ >, podczas gdy szerokość Q- funkcji wynosi < n^ > – 1. Zatem, jest ona większa o jeden dodatkowy kwant. To konkretyzuje nasze wcześniejsze stwierdzenie, że Q-funkcja jest zawsze szersza od odpowiadającej jej P-funkcji.
W granicy < n^ > >> 1, tj. kiedy taki kwant nie odgrywa żadnej roli, powyższa różnica przestaje istnieć. Z fizycznego punktu widzenia można to zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie z podrozdziału 2.3.4 jak średnia liczba fotonów jest związana z temperaturą T pola w stanie termicznym oraz ze stałą Boltzmanna :
Dlatego, jeśli zakładamy, że energia termiczna kBT jest znacznie większa od odległości pomiędzy poziomami kwantowymi o energii hΩ, to znajdujemy :
< n^ > ≅ kBT /hΩ
Zatem, granica < n^ > >> 1 odpowiada przypadkowi większych temperatur, kiedy możemy zaniedbać dyskretność liczby fotonów i różnicę pomiędzy n i n + 1.
Różnica pomiędzy Q- i P-funkcjami przejawia się szczególnie jasno, kiedy rozpatrujemy takie dwie funkcje rozkładu dla stanu termicznego pola w granicy < n^ > → 0, wtedy znajdujemy, że Q-funkcja ma postać funkcji Gaussa :
jednocześnie P-funkcja jest funkcją delta, tj. :
Nie jest to dziwne, jeśli przypomnimy sobie równanie (12.45) , w którym przejście graniczne < n^ > → 0 oznacza, ze temperatura dąży do zera. W takiej granicy stan termiczny staje się próżnią, która jest również stanem koherentnym.
Stan Foka. P-funkcja stanu termicznego jest w pełni analogiczna do funkcji Gaussa, tylko w przypadku granicznym stanu próżniowego przekształca się ona w δ-funkcje Diraca. Teraz pokażemy, ze stan z zadaną liczbą fotonów jest bardziej osobliwy, niż stan próżniowy. Jego P-funkcja zawiera pochodne wyższych rzędów.
W dodatku K znajdujemy, że P-funkcja :
n-tego stanu Foka określona jest przez operator Ln(∆), działający na δ-funkcje. Taki operator wyraża się przez dwuwymiarowy operator Laplace’a :
W wyniku pojawienie się n-tego wielomianu Laguerre’a Ln pojawiają się potęgi laplasjanu aż do n-tego rzędu, które działają na δ-funkcje. Zatem, n-fotonowy stan prowadzi do pochodnych aż do 2n-tego rzędu δ-funkcji.
Przypominając jawne wyrażenia L0(x) = 1 i L1(x) = 1 – x dla dwóch wielomianów Laguerre’a niższego rzędu znajdujemy : P| 0 >(α) = δ(α)
dla stanu próżniowego oraz :
dla stanu Foka o jednym fotonie.
Stan ściśnięty. Stan z n fotonami posiada P-funkcje która zawiera 2n-tą pochodną od δ-funkcji. Stan ściśnięty, w skrajnym przypadku w jednym kierunku jest węższy niż stan koherentny. Dlatego jego P-funkcja powinna być bardziej złożona, niż δ-funkcja. W dodatku K znajdujemy, ze P-funkcja stanu ściśniętego ma postać :
Ponieważ zawiera ona pochodne nieskończenie wysokiego rzędu od δ-funkcji, jest ona bardziej osobliwa niż P-funkcja stanu Foka. Wyrażenie to tym niemniej jest użyteczne za każdym razem, kiedy stoi ono pod znakiem całki, co jest standardową sytuacją dla funkcji rozkładu.
Zadania.
12.1 Q-funkcja stanu ściśniętego.
Obliczyć Q-funkcje (12.11) stanu ściśniętego.
Podpowiedź. Rozpoczynamy od amplitudy Q-funkcji :
i wykorzystujemy reprezentacje współrzędnościowe :
odpowiednio dla stanu koherentnego | α > i dla stanu ściśniętego | ψsq >
αr i αi - są odpowiednio częściami rzeczywistą i urojoną α, a stan | ψsq > jest charakteryzowany przez parametr ściśnięcia s i przesunięcia γ = γr + iγi.
12.2 Q-funkcja termicznego stanu fazowego.
Otrzymać analityczne wyrażenie (12.15) dla Q-funkcji termicznego stanu fazowego.
Podpowiedź. Wykorzystać gaussowską granicę rozkładu Poissona i zamienić sumowanie na całkowanie.
Zobacz Daubler et. all (1993) 12.3 Uporządkowanie normalne.
Dane są operatory a^ i a^† z zależnością komutacyjną [ a^ , a^† ] = 1.
W dalszej kolejności | α > oznacza stan koherentny ; | n > i | m > - stany fokowskie, F^ - jest dowolnym operatorem.
Pokazać, że :
a) Operator F^ jest określony jednoznacznie przez funkcje : f(α*, α) = < α | F^ | α >
b) Jeśli f(α*, α) może być rozłożone w szereg potęgowy tj. :
to operator F^ może być przedstawiony w postaci :
c) Operator | 0 >< 0 | może być przedstawiony w postaci :
d) Operator exp( λa^†a^ ) ( λ - parametr zespolony ) może być przedstawiony w postaci :
e) Operator | n > < m | może być przedstawiony w postaci :
f) Operator | α > < α | może być przedstawiony w postaci :
12.4 Uporządkowanie antynormalne.
W niniejszym zadaniu operatory a^ i a^† spełniają zależność komutacyjna o postaci [ a^ , a^† ] = 1, a | α > - oznacza stan koherentny.
a) Dla funkcji g(α), która jest analityczną funkcją α, mamy :
b) Ślad operatora F^ ma postać :
c) Dla dowolnego operatora F^ spełniona jest następująca tożsamość :
d) Funkcja f(α*, a) określona jest następująco :
Jeśli f(α*, a) może być rozłożona w szereg potęgowy :
to
e) Z pomocą c) określić funkcje f(α*, α), odpowiadającą operatorowi F^ tak, że :
Co można powiedzieć o istnieniu funkcji f(α*, α) ?
f) Określić funkcje f(α*, α), odpowiadająca operatorowi exp( λa^†a^ ) ( λ - parametr zespolony ) tak, aby :
g) Pokazać :
h) Co można powiedzieć o zbieżności takiego rozkładu ? 12.5 s-sparametryzowane rozkłady w przestrzeni fazowej.
s-sparametryzowane rozkłady quasi prawdopodobieństw przestrzeni fazowej definiujemy następująco :
Pokazać, że mają miejsce następujące własności : a) W(α, s) jest funkcją unormowaną :
b) s = – 1 daje Q-funkcje :
c) s = 1 daje P-funkcje :
d) s = 0 daje funkcje Wignera odpowiednich zmiennych :
Podpowiedź. Wyrazić a^ i a^† poprzez operatory współrzędnej i pędu, a następnie obliczyć ślad z pomocą stanów własnych operatora współrzędnej.
e) Otrzymać równanie typu dyfuzyjnego :
f) Obliczyć W(α, s) dla stanu koherentnego | α0 >.
g) Obliczyć W(α, s) dla stanu Foka | n > : 1) Otrzymać następującą zależność :
Ln – wielomiany Laguerre’a.
Podpowiedź. Obliczyć ślad z pomocą stanów Foka.
2) Obliczyć W(α, s) Wynik :
Podpowiedź. Na początku pokazać, że wielomiany Laguerre’a spełniają następującą zależność :
Z pomocą tego wzoru całe zagadnienie sprowadza się do całkowania funkcji wykładniczej.
h) Dla stanów Foka pokazać, że przypadek graniczny s → –1 daje Q-funkcje.
Podpowiedź. Mogą się tutaj przydać wzory z zadania 12.4 a, c.
12.6 Różne reprezentacje funkcji Wignera.
Pokazać, że funkcja Wignera może być przedstawiona jako dwa przesunięcia i przekształcenie parzystości.
Dowieść następujące zależności :
P^ - jest operatorem parzystości, α = (1/√2)( x + ip )
Literatura.
************************************************************************************************
Rozdział 13 Interferometria optyczna
W jak sposób możemy określić stanu kwantowego tj. jak można zmierzyć rozkłady w przestrzeni fazowej ?
W niniejszym rozdziale przedstawiamy i analizujemy dwa podejścia, które pozwalają osiągnąć powyżej postawiony cel.
W metodzie tomografii stanu kwantowego wykorzystuje się jeden dzielnik wiązki (dzielnik świetlny ), po to aby zmieszać mod polowy z sygnałem oscylatora lokalnego (* homodyny *) uzyskując rozcięcie funkcji Wignera na zbiór cienkich warstw. Z funkcji rozkładu dla takich warstw, otrzymywanej dla różnych wartości fazy oscylatora lokalnego, możemy odtworzyć funkcje Wignera za pomocą przekształcenia Radona, które to omówiliśmy w podrozdziale 4.5.1. W ten sposób metoda ta bezpośrednio mierzy porozcinane rozkłady i matematycznie oblicza funkcje Wignera.
(* How can we measure the internal structure of a quantum state, that is how can we measure phase space distributions?
In the present chapter we introduce and analyze two approaches which achieve this goal: The method of quantum state tomography uses a single beam splitter to mix a field mode with a local oscillator and cuts the Wigner function into many slices. From the distributions of these slices for various local oscillator phases we can reconstruct the Wigner function with the help of the Radon transformation discussed in Sec. 4.5.1. Hence, this method measures directly
the cut distributions and evaluates mathematically the Wigner function. *)
W przeciwieństwie do tej metody, 8-kanałowy detektor homodynowy wykorzystuje 4 dzielniki świetlne oraz urządzenie przesuwające fazę, po to, aby jednocześnie zrealizować dwa homodynowe pomiary pola świetlnego. W tym przypadku statystyka fotozliczeń bezpośrednio daje Q-funkcje w pewnej skali bez żadnych dalszych operacji matematycznych.
Jednakże jednoczesny pomiar dwóch zmiennych sprzężonych staje się możliwy tylko przy uwzględnieniu dodatkowego szumu, który wpada na dzielnik świetlny poprzez otwarty port wejściowy.
(* In contrast the eight-port homodyne detector uses four beam splitters and a phase shifter to make two simultaneous homodyne measurements on the light field. The count statistics in this case provides directly the scaled Q-function without any further mathematical operations. However, the simultaneous measurement of two conjugate variables has only been made possible by allowing additional noise entering through the open input port at the entrance beam splitter. *)
Obie te metody wykorzystują istotnie jeden lub kilka dzielników świetlnych. Po to, aby zorientować się w odpowiedzi na pytanie, dlaczego proste homodynowanie lub 8-kanałowy detektor homodynowy pozwalają nam odtworzyć rozkłady w przestrzeni fazowej, należy rozpatrzyć działanie dzielnika świetlnego na kwantowe stany pola promieniowania. W szczególności, powinniśmy zrozumieć, jak dzielnik świetlny zmienia stan kwantowy, tj. jak stany pól padających przekształcają się w stany pól wychodzących.
W tym celu w podrozdziale 13.1 przeanalizujemy jak działa dzielnik świetlny. Zachowanie stanów pola wygląda szczególnie prosto, kiedy wykorzystujemy rozkład Glaubera-Sudarshan’a, który to omówiliśmy w poprzednim rozdziale.
W rozdziale 13.2 analizujemy działanie detektora homodynowego. Wyprowadzamy tutaj odpowiednią statystykę fotonów w dwóch wyjściowych portach i pokazujemy, że w przypadku granicznym silnego pola oscylatora lokalnego możemy zmierzyć rozkład natężenia pola elektrycznego. W podrozdziale 13.3 omawiamy 8-kanałowy detektor homodynowy i pokazujemy, że obserwowana statystyka fotozliczeń jest określona z dokładnością do skali Q-funkcji.
W podrozdziale 13.4 wiążemy takie podejście ze starym problemem operatora fazy. W istocie bowiem taki wielokanałowy interferometr prowadzi do idei, jak wprowadzić mierzalne operatory fazowe, które okazują się ściśle związane z
problemem EPR.
13.1 Dzielnik wiązki. (* Beam Splitter *)
W rozdziale 10 na przykładzie rezonatora mającego formę pojemnika, krótko wyłożono jak kwantowa teoria
promieniowania podchodzi do opisu określonego urządzenia optycznego. Rozpoczynamy od równań Maxwella, opisujemy pole EM w cechowaniu Coulomba z pomocą potencjału wektorowego, wydzielając w nim czynnik, zależny od czasu i jest określony przez równanie dla oscylatora i cześć przestrzenną, która spełnia równanie Helmholtza. Warunki brzegowe, nakładane przez rezonator wraz z równaniem Helmholtza zadają przestrzenna strukturę pola EM – warunki te określają jego mody. Kwantowanie związane jest z tą częścią, która zależy od czasu i przejawia się jako oscylacyjne wzbudzenia takich modów.
Jeśli chcemy na podstawie kwantowej teorii promieniowania zrozumieć działanie dzielnika świetlnego oraz jego własności kwantowe, należy postępować zgodnie z powyższą receptą : na początku znajdujemy mody własne, a następnie
skwantować je, tak jak opisano w poprzednim rozdziale. Jakie są jednakże w naszym przypadku warunki brzegowe, które określają takie mody ?
Warunki brzegowe zadane są przez sam dzielnik świetlny. Dlatego potrzebujemy model w celu opisu dzielnika świetlnego.
Najbardziej elementarnym modelem jest ośrodek dielektryczny, zajmujący ograniczony obszar przestrzeni. Dla uproszczenia załóżmy, że jest to cienka płytka, rozdzielająca interesującą nas przestrzeń. Zanim omówimy proces kwantowania pola świetlnego oraz promieniowania padającego na dzielnik świetlny oraz wychodzące z niego, musimy znaleźć mody pola dla takiego zagadnienia. W tym celu powinniśmy rozwiązać równanie Helmholtza z odpowiednimi warunkami brzegowymi w przypadku obecności rozdzielającego przestrzennie ośrodka dielektrycznego.
W obszarze poza tym ośrodkiem, tj. w przestrzeni swobodnej, rozwiązaniami równań Helmholtza są po prostu fale płaskie exp(± i kr )
Postać rozwiązań wewnątrz ośrodka zależy od konkretnych własności dielektryka. Warunki brzegowe zapewniają zszycie rozwiązań wewnątrz i na zewnątrz dzielnika świetlnego.
Tym samym dzielnik świetlny wiąże rozwiązania po jednej jego stronie z rozwiązaniami po drugiej stronie. W najprostszym przypadku liniowego ośrodka dielektrycznego otrzymujemy liniowy związek wszystkich modów.
Dlatego możemy wyrazić amplitudę ał’ ł’-tego modu po jednej stronie dzielnika świetlnego poprzez amplitudy ał ł-tego modu po drugiej jego stronie. Związek dwóch amplitud zadany jest przez macierz Tł’ł :
Elementy macierzowe Tł’ł określone są przez konkretny ośrodek dielektryczny i warunki brzegowe. Oprócz tego, pewne ograniczenia na tą macierz nakłada prawo zachowania energii.
W celu przejścia do pola kwantowego rozpatrujemy amplitudy ał jako wielkość kwantową i zamieniamy ją na operator a^ł. To daje nam prawo przekształcenia operatorów modowych po obu stronach dzielnika świetlnego. W ten sposób możemy opisać działanie dzielnika świetlnego z pomocą przekształcenia operatorów. Dokładnie w ten sposób można opisać jego działanie z pomocą przekształceń stanów.
13.1.1 Analiza klasyczna.
Dla najprostszej analizy ograniczymy się do dwóch modów wchodzących i zwiążemy je z dwoma modami wychodzącymi, tak jak to pokazano na rysunku 13.1. Na początku z ogólnych rozważań otrzymamy 2 × 2-macierz przekształcenia, a następnie pokażemy jak przekształcają się operatory i stany kwantowe.
Rys. 13.1 Schemat działania dzielnika świetlnego. Ośrodek dielektryczny przekształca amplitudy a1’ i a2’ modów wchodzących 1’ i 2’ w amplitudy a1 i a2 modów wchodzących 1 i 2. Sytuacja nie jest całkowicie symetryczna, ponieważ prawo zachowania energii wymaga przesunięcia fazowego π przy odbiciu jednego z dwóch modów. Taka asymetria pokazana jest linia przerywaną po jednej stronie lustra.
Dalej chcemy wyrazić amplitudę dwóch modów wychodzących przez amplitudy modów wchodzących. Dwa mody wchodzące, po jednej z każdej strony dzielnika świetlnego, oznaczymy jako 1’ i 2’, a ich amplitudy jako a1’ i a2’.
Takie oznaczenie zawiera pewne ułatwienie, ponieważ w dalej takie klasyczne amplitudy staną się operatorami anihilacji dla modów 1’ i 2’. Dwa mody wchodzące po jednym z każdej strony od dzielnika świetlnego oznaczono jako 1 i 2, a odpowiadające im amplitudy, to a1 i a2.
Teraz możemy wyrazić amplitudy a1 i a2 przez amplitudy a1’ i a2’. Należy zauważyć, ze do każdej z amplitud a1 i a2 dają wkłady dwa procesy – proces przechodzenia i odbicia światła. Po uwzględnieniu tego faktu otrzymujemy przekształcenie :
Wielkości ti i ri są odpowiednio współczynnikami przejścia (transmisji ) i odbicia wiązki. Ich wartości liczbowe są zależne od konkretnych własności dzielnika świetlnego, tj. zależą od ośrodka dielektrycznego.
Oprócz tego, dla dzielnika świetlnego bez strat prawo zachowania energii nakłada warunek :
na kwadraty wartości absolutnych takich amplitud, tj. na intensywność modów. Zależność ta jest spełniona dla dowolnych amplitud wchodzących a1’ i a2’ i nakłada ograniczenie na współczynniki odbicia i transmisji. Podstawiając do danego warunku amplitudy a1 i a2 z równania (13.1), otrzymujemy :
