Definicja 1 (Otoczenie, s¸ asiedztwo punktu). 1. Otoczeniem o promieniu r > 0 punktu P 0 na p laszczy´ znie lub w przestrzeni nazywamy zbi´ or

Definicja 1 (Otoczenie, s¸ asiedztwo punktu). 1. Otoczeniem o promieniu r > 0 punktu P 0 na p laszczy´ znie lub w przestrzeni nazywamy zbi´ or

O(P 0 , r) := {P | |P 0 P | < r}.

2. S¸ asiedztwem o promieniu r > 0 punktu P ₀ na p laszczy´ znie lub w przestrzeni nazywamy zbi´ or

S(P ₀ , r) := {P | 0 < |P ₀ P | < r}.

Definicja 2 (punkt wewn¸ etrzny zbioru, wn¸ etrze zbioru, zbi´ or otwarty, zbi´ or ograniczony). 1.

M´ owimy, ˙ze punkt P jest punktem wewn¸ etrznym zbioru A, je˙zeli zna- jdzie si¸ e takie jego otoczenie, kt´ ore w ca lo´ sci zawiera si¸ e w zbiorze A.

2. Wn¸ etrzem zbioru nazywamy zbi´ or wszystkich jego punkt´ ow wewn¸ etrznych.

3. Zbi´ or nazywamy otwartym, je˙zeli ka˙zdy jego punkt jest punktem wewn¸ etrznym.

4. Zbi´ or A nazywamy ograniczonym, je˙zeli jest zawarty w otoczeniu pewnego punktu.

5. Zbi´ or nazywamy nieograniczonym, je˙zeli nie jest ograniczony.

Definicja 3 (punkt brzegowy, brzeg zbioru, zbi´ or domkni¸ ety, punkt skupienia). 1.

Punkt P nazywamy punktem brzegowym zbioru A, je˙zeli ka˙zde jego otoczenie zawiera zar´ owno punkty zbioru A, jak i jego dope lnienia.

2. Brzegiem zbioru nazywamy zbi´ or wszystkich jego punkt´ ow brzegowych.

3. Zbi´ or, kt´ ory zawiera sw´ oj brzeg nazywamy domkni¸ etym.

4. Punkt P nazywamy punktem skupienia zbioru A, je˙zeli ka˙zde jego s¸ asiedztwo zawiera punkty zbioru A.

Definicja 4 (obszar, obszar domkni¸ ety). 1. Zbi´ or otwarty A nazywamy ob- szarem, je˙zeli dowolne jego dwa punkty mo˙zna po l¸ aczy´ c laman¸ a w ca lo´ sci zawart¸ a w zbiorze A.

2. Obszar domkni¸ ety to obszar wraz z do l¸ aczonymi punktami brzegowymi.

Definicja 5. Funkcj¸ a dw´ och zmiennych nazywamy funkcj¸ e, kt´ orej dziedzin¸ a jest podzbi´ or zbioru R ² , za´ s przeciwdziedzin¸ a zbi´ or R.

Uwaga 1. Je˙zeli nie podaje si¸ e jawnie dziedziny takiej funkcji, a jedynie jej formu l¸ e (wz´ or), to rozumiemy, ˙ze nale˙zy rozwa˙za´ c jej tzw. dziedzin¸ e natu- raln¸ a, czyli taki podzbi´ or R ² , dla kt´ orego wz´ or ma sens.

Przyk lad 1. Znajdziemy dziedziny naturalne funkcji (a) f (x, y) = p

25 − x ² − y ² ,

(b) f (x, y) = _x−y ¹ .

Definicja 6. Wykresem funkcji f : D → R, D ⊂ R ² nazywamy zbi´ or W f := {(x, y, z) ∈ R ³ | (x, y) ∈ D ∧ f (x, y) = z} ⊂ R ³ . Przyk lad 2. 1. f (x, y) = Ax + By + C; wykresem jest p laszczyzna

2. f (x, y) = x ² + y ² ; wykresem jest paraboloida obrotowa 3. f (x, y) = x ² − y ² ; wykresem jest paraboloida hiperboliczna 4. f (x, y) = ± p

R ² − x ² − y ² , (R > 0); wykresem jest g´ orna (odp. dolna) p´ o lkula sfery o ´ srodku w punkcie (0, 0, 0) i promieniu R;

5. f (x, y) = p

x ² + y ² ; wykresem jest sto˙zek powstaj¸ acy z obrotu p´ o lprostej z = x, y = 0(x ≥ 0) wok´ o l osi z.

Definicja 7. Liczb¸ e g nazywamy granic¸ a funkcji f : D → R, D ⊂ R ² w punkcie P 0 = (a, b) b¸ ed¸ acym punktem skupienia zbioru D, je˙zeli

∀ > 0 ∃δ > 0 ∀P 0 < |P P 0 | < δ ⇒ |f (P ) − g| < .

Piszemy wtedy lim

P →P

f (P ) = g lub lim

x→a y→b

f (x, y) = g.

Przyk lad 3. Wyznaczymy nast¸ epuj¸ ace granice

• lim

(x,y)→(1,2)

x

+y

+1 x+y ;

• lim

(x,y)→(1,1) x

−y

x−y ;

Przyk lad 4. Wyka˙zemy z definicji, ˙ze

• lim

(x,y)→(0,0)

x ² + y ² + 3 = 3;

• lim

(x,y)→(0,0) y x

+1 = 0.

Przyk lad 5. Uzasadnimy, ˙ze podana granica nie istnieje lim

(x,y)→(0,0) 3x

y x

+y

. Definicja 8. Funkcj¸ e f : D → R, D ⊂ R ² nazywamy ci¸ ag l¸ a w punkcie P ₀ , je˙zeli jest okre´ slona w tym punkcie, a ponadto

lim

P →P

f (P ) = f (P 0 ).

M´ owimy, ˙ze funkcja f jest ci¸ ag la w zbiorze D, je˙zeli jest ci¸ ag la w ka˙zdym punkcie tego zbioru.

Przyk lad 6. Poka˙zemy, ˙ze funkcja f (x, y) = _{2+sin x} ^2xy jest ci¸ ag la w punkcie (0, 0).

Przyk lad 7. Poka˙zemy, ˙ze funkcja

( 2x

x

+y

, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0) nie jest ci¸ ag la w punkcie (0, 0).

Definicja 9 (pochodne cz¸ astkowe). Za l´ o˙zmy, ˙ze funkcja f jest okre´ slona przy- najmniej w otoczeniu punktu (a, b). Je˙zeli istniej¸ a sko´ nczone granice

• ^∂f _∂x (a, b) = lim

h→0

f (a+h,b)−f (a,b)

h ,

• ^∂f _∂y (a, b) = lim

k→0

f (a,b+k)−f (a,b)

k ,

to nazywamy je pochodnymi cz¸ astkowymi pierwszego rz¸ edu funkcji f w punkcie (a, b) ze wzgl¸ edu, odpowiednio, na x, y. Je˙zeli funkcja f ma pochodne cz¸ astkowe w ka˙zdym punkcie zbioru otwartego D ⁰ , to funkcje ^∂f _∂x , ^∂f _∂y nazywamy pochodnymi cz¸ astkowymi rz¸ edu pierwszego funkcji f w zbiorze D ⁰ . Zamiast

∂f

∂x , ^∂f _∂y , b¸ edziemy pisa´ c r´ ownie˙z f x , f y .

Przyk lad 8. 1. Wyznaczymy pochodne cz¸ astkowe pierwszego rz¸ edu funkcji f (x, y) = _x+y ^x w punkcie (2, −3).

2. Wyznaczymy pochodne cz¸ astkowe pierwszego rz¸ edu podanych funkcji (a) f (x, y) = x ² + y ² ;

(b) f (x, y) = 2x − 3y + 6;

(c) f (x, y) = x ² y − xy + 2019;

(d) f (x, y) = sin xy;

(e) f (x, y) = y ² cos(2x − y);

(f ) f (x, y) = x ln y + y ln x;

(g) f (x, y) = √

2xy;

(h) f (x, y) = arctan

√ x x+y ; (i) f (x, y) = √

xe ^−y .

Definicja 10. Je˙zeli funkcja f posiada pochodne cz¸ astkowe w otoczeniu punktu (a, b), to pochodne cz¸ astkowe rz¸ edu drugiego w tym punkcie okre´ slamy wzorami

• ^∂ _∂x

^f

(a, b) = 

∂

∂x

 ∂f

∂x



(a, b);

• ^∂ _∂y

^f

(a, b) = 

∂

∂y

 _∂f

∂y



(a, b);

• _∂x∂y ^∂

^f (a, b) = 

∂

∂x

 _∂f

∂y



(a, b);

• _∂y∂x ^∂

^f (a, b) = 

∂

∂y

 ∂f

∂x



(a, b).

Funkcje pochodnych cz¸ astkowe rz¸ edu drugiego w zbiorze otwartym D ⁰ ⊂ R ² okre´ slamy analogicznie jak dla pochodnych pierwszego rz¸ edu. Funkcje te nazy- wamy odpowiednio ^∂ _∂x

^f

, ^∂ _∂y

^f

, _∂x∂y ^∂

^f , _∂y∂x ^∂

^f , albo f xx , f yy , f xy , f yx .

Przyk lad 9. Dla poni˙zszych funkcji wska˙zemy wszystkie pochodne cz¸ astkowe rz¸ edu drugiego

1. f (x, y) = sin(x ² + y ² );

2. f (x, y) = x ³ + 2x ² y + 3xy ² + 4x − 5y + 2019;

3. f (x, y) = xye ^xy .

Twierdzenie 1 (Schwarza o pochodnych mieszanych). Je˙zeli pochodne cz¸ astkowe

∂

f

∂x∂y , _∂y∂x ^∂

^f , s¸ a ci¸ ag le w punkcie (a, b), to s¸ a r´ owne, tzn.

∂ ² f

∂x∂y (a, b) = ∂ ² f

∂y∂x (a, b).

Definicja 11 (pochodna kierunkowa). Je˙zeli istnieje sko´ nczona granica f v (a, b) = lim

t→0

f (a + th, b + tk) − f (a, b)

t ,

to nazywamy j¸ a pochodn¸ a kierunkow¸ a funkcji f w kierunku wektora jed- nostkowego (wersora) v = [h, k] w punkcie (a, b). Odwzorowanie f _v : D _v → R okre´ slone w zbiorze wszystkich tych punkt´ ow (x, y) dziedziny funkcji f , w kt´ orych istnieje pochodna kierunkowa f _v (x, y), nazywamy pochodn¸ a kierunkow¸ a w kierunku wektora v.

Wniosek 1. Pochodne cz¸ astkowe pierwszego rz¸ edu wzgl¸ edem x, y s¸ a po prostu pochodnymi kierunkowymi wzgl¸ edem odpowiednio wektor´ ow [1, 0], [0, 1].

Twierdzenie 2 (praktyczny wz´ or na pochodn¸ a kierunkow¸ a). Je˙zeli funkcja f ma ci¸ ag le pochodne cz¸ astkowe pierwszego rz¸ edu w punkcie (a, b), to dla wektora jednostkowego v = [h, k]

f _v (a, b) = ∂f

∂x (a, b)h + ∂f

∂y (a, b)k.

Przyk lad 10. Obliczymy pochodn¸ a kierunkow¸ a funkcji f (x, y) = (x + 2y) ² w punkcie (1, 2) w kierunku wektora v = [1, 0].

Definicja 12 (gradient). Wektor grad f (a, b) =  _∂f

∂x (a, b), ^∂f _∂y (a, b) 

nazywamy gradientem funkcji f w punkcie (a, b).

Przyk lad 11. Obliczymy gradient funkcji f (x, y) = sin  π p

x ² + y ² 

w punkcie

(a, b) = (3, 4).

Uwaga 2 (geometryczna interpretacja gradientu). Gradient wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w danym punkcie.

Definicja 13 (r´ o˙zniczka zupe lna). Je˙zeli funkcja f posiada pochodne cz¸ astkowe rz¸ edu pierwszego ^∂f _∂x (a, b), ^∂f _∂y (a, b), to funkcj¸ e df (a, b) zmiennych ∆x, ∆y okre´ slon¸ a wzorem

df (a, b)(∆x, ∆y) = ∂f

∂x (a, b)∆x + ∂f

∂y (a, b)∆y nazywamy r´ o ˙zniczk¸ a zupe ln¸ a funkcji f w punkcie (a, b).

Przyk lad 12. Wyznaczymy r´ o˙zniczk¸ e zupe ln¸ a funkcji f (x, y) = p

x ² + y ² w punkcie (a, b) = (3, −4).

Stwierdzenie 1 (obliczenia przybli˙zone). Je˙zeli funkcja f posiada ci¸ ag le pochodne cz¸ astkowe rz¸ edu pierwszego w punkcie (a, b), to

f (a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b) ≈ df (a, b)(∆x, ∆y).

Przyk lad 13. Wykorzystuj¸ ac powy˙zsze stwierdzenie obliczymy przybli˙zon¸ a warto´ s´ c wyra˙zenia (1, 04) ^3,01 .

Definicja 14 (r´ o˙zniczka n-tego rz¸ edu). Za l´ o˙zmy, ˙ze funkcja f posiada ci¸ ag le

pochodne cz¸ astkowe do rz¸ edu n-tego w l¸ acznie w pewnym otoczeniu punktu (a, b).R´ o ˙zniczk¸ a n-tego rz¸ edu funkcji f w punkcie (a, b) b¸ edziemy nazywa´ c funkcj¸ e zmiennych

∆x, ∆y zadan¸ a wzorem

d ⁿ f (a, b)(∆x, ∆y) =  ∂

∂x ∆x + ∂

∂y ∆y

 n

f | _(a,b) .

Twierdzenie 3 (wz´ or Taylora). Za l´ o˙zmy, ˙ze funkcja f posiada ci¸ ag le pochodne cz¸ astkowe do rz¸ edu n-tego w l¸ acznie w pewnym otoczeniu punktu (a, b), za´ s punkt (x, y) nale˙zy do tego otoczenia. Na odcinku l¸ acz¸ acym punkty (a, b) i (x, y) ist- nieje punkt (x _c , y _c ), dla kt´ orego

f (x, y) = f (a, b) + df (a, b)(x − a, y − b)

1! + d ² f (a, b)(x − a, y − b) 2!

+ . . . + d ⁿ⁻¹ f (a, b)(x − a, y − b)

(n − 1)! + d ⁿ f (x c , y c )(x − a, y − b)

n! .

Ostatni sk ladnik w powy˙zszym wzorze nazywamy n-t¸ a reszt¸ a, kt´ or¸ a oznaczamy R n .

Definicja 15 (ekstrema lokalne). M´ owimy, ˙ze funkcja f posiada minimum lokalne (odp. maksimum lokalne) w punkcie (a, b), je˙zeli znajdzie si¸ e s¸ asiedztwo S tego punktu takie, ˙ze dla dowolnego punktu (x, y) ∈ S spe lniona jest nier´ owno´ s´ c

f (x, y) ≥ f (a, b), (f (x, y) ≤ f (a, b)).

Twierdzenie 4 (warunek wystarczaj¸ acy ekstremum lokalnego dla funkcji dw´ och zmiennych). Za l´ o˙zmy, ˙ze funkcja f posiada ci¸ ag le pochodne cz¸ astkowe rz¸ edu drugiego w otoczeniu punktu (a, b), a ponadto

∂f

∂x (a, b) = ∂f

∂y (a, b) = 0.

Niech D = D(a, b) = ^∂ _∂x

^f

(a, b) · ^∂ _∂y

^f

(a, b) − h

∂

f

∂x∂y (a, b) i 2

.

1. Je˙zeli D > 0 i ^∂ _∂x

^f

(a, b) > 0, to funkcja f posiada w punkcie (a, b) mini- mum lokalne.

2. Je˙zeli D > 0 i ^∂ _∂x

^f

(a, b) < 0, to funkcja f posiada w punkcie (a, b) maksi- mum lokalne.

3. Je˙zeli D < 0, to funkcja f nie ma w punkcie (a, b) ekstremum lokalnego.

Uwaga 3. Je˙zeli D = 0, to nale˙zy zastosowa´ c inne narz¸ edzia (np. skorzysta´ c bezpo´ srednio z definicji), ˙zeby orzec, czy w danym punkcie (a, b) jest ekstremum lokalne.

Przyk lad 14. Znajdziemy ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x ² − 2x + y ² + 6y.

Definicja 16 (ekstrema absolutne). • Liczb¸e m nazywamy najmniejsz¸ a warto´ sci¸ a (minimum globalnym) funkcji f na pewnym podzbiorze A jej dziedziny, je˙zeli istnieje punkt (a, b) ∈ A taki, ˙ze f (a, b) = m i dla ka˙zdego punktu (x, y) ∈ A, f (x, y) > m.

• Liczb¸e M nazywamy najwi¸ eksz¸ a warto´ sci¸ a (maksimum globalnym) funkcji f na pewnym podzbiorze A jej dziedziny, je˙zeli istnieje punkt (a, b) ∈ A taki, ˙ze f (a, b) = M i dla ka˙zdego punktu (x, y) ∈ A, f (x, y) < M.

Jak znale´ z´ c ekstrema globalne funkcji dw´ och zmiennych na obszarze domkni¸ etym?

Je˙zeli funkcja z = f (x, y) jest ci¸ ag la na obszarze domkni¸ etym i ogranic- zonym, to osi¸ aga w tym obszarze warto´ s´ c najmniejsz¸ a i swoj¸ a warto´ s´ c na- jwi¸ eksz¸ a. Warto´ s´ c najwi¸ eksz¸ a i najmni¸ ejsz¸ a znajdziemy post¸ epuj¸ ac w nast¸ epuj¸ acy spos´ ob:

• we wn¸etrzu obszaru domkni¸etego wyznaczamy punkty, w kt´ orych funkcja mo˙ze mie´ c ekstrema lokalne;

• obliczamy warto´sci funkcji f w znalezionych punktach;

• wyznaczamy warto´s´ c najmniejsz¸ a i najwi¸ eksz¸ a na brzegu obszaru;

• por´ ownujemy warto´ sci funkcji we wszystkich otrzymanych punktach, wybier-

amy najwi¸ eksz¸ a i najmniejsz¸ a z nich.

Definicja 17 (funkcja uwik lana). Je˙zeli istnieje funkcja y = f (x) spe lniaj¸ aca w ka˙zdym punkcie pewnego podzbioru A warunek F (x, f (x)) = 0, to nazywamy j¸ a funkcj¸ a uwik lan¸ a okre´ slon¸ a w zbiorz A r´ ownaniem F (x, y) = 0.

Przyk lad 15. Funkcja f (x) = √

4 − x ² jest funkcj¸ a uwik lan¸ a okre´ slon¸ a na przedziale [−1, 1] r´ ownaniem x ² + y ² − 4 = 0.

Twierdzenie 5 (istnienie, jednoznaczno´ s´ c i r´ o˙zniczkowalno´ s´ c funkcji uwik lanej).

Je˙zeli funkcja z = F (x, y)

• ma ci¸ ag le pochodne cz¸ astkowe rz¸ edu pierwszego w pewnym otoczeniu punktu (a, b);

• F (a, b) = 0;

• F y (a, b) 6= 0,

to istnieje dok ladnie jedna ci¸ ag la funkcja uwik lana y = f (x) okre´ slona w pewnym otoczeniu O punktu a za pomoc¸ a r´ ownania F (x, y) = 0, przy czym spe lnia ona warunki

• f (a) = b;

• f ⁰ (x) = − ^F _F

^{(x,f (x))}

y

(x,f (x)) dla ka˙zdego x ∈ O.