Algebra liniowa, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 1. – rozwiązania
2 października 2018
1. Zaznaczyć na płaszczyźnie R2 zbiory rozwiązań równań:
• 2x + 3y = 6,
Jest to prosta L przechodząca przez punkty (0, 2) oraz (3, 0).
• ax + 3y = 0 w zależności od parametru a ∈ R,
Jest to prosta przechodząca przez punkt (0, 0) oraz nachylona pod kątem zależnym od parametru a w taki sposób, że przechodzi przez punkt (1,−a3 ).
• 2x + 3y = c w zależności od parametru c ∈ R.
Jest to prosta równoległa do prostej L i przechodząca przez punkt (c2, 0).
Jakie i ile mają rozwiązań (w zależności od parametrów a, c ∈ R) następujące układy równań:
•
(2x + 3y = 6 ax + 3y = 0 ,
Jeśli a = 2 ten układ jest sprzeczny, czyli zbiór rozwiązań jest pusty. W przeciwnym przypadku, ma dokładnie jedno rozwiązanie (2−a6 ,a−22a ).
•
(2x + 3y = 6 2x + 3y = c .
Jeśli c = 6 zbiorem rozwiązań jest zbiór wszystkich punktów leżących na prostej L. W przeciwnym wypadku układ jest sprzeczny, czyli nie ma żadnych rozwiązań.
2. Rozwiązać (np. metodą wyznaczania kolejnych zmiennych przez podstawienia lub działań stronami) ukła- dy równań:
•
x + 2y − z = 6 2x + 5y − 2z = 2 x + 3y + z = 5
x = 6 − 2y + z, więc mamy:
(12 − 4y + 2z + 5y − 2z = 2 6 − 2y + z + 3y + z = 5 , a zatem:
(y = −10 y + 2z = −1 ,
a zatem 2z = −1 + 10, zatem z = 92 oraz x = 612.
•
x + y + w + z = 4 2x + y + w + z = 9 x + 2y + w + z = 9 x + y + 2w + z = 10
Odejmując od drugiego równania pierwsze dowiadujemy się, że x = 5, od trzeciego pierwsze, że y = 5, a od czwartego pierwsze, że w = 6. Zatem 16 + z = 4, czyli z = −12.
1
3. Znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu −2x4− 4x3+ 32x2+ 4x − 30.
Zgadujemy od razu, że 1 jest pierwiastkiem. No to dzielimy przez dwumian (x−1) (np. pod kreską). Zostaje:
−2x3− 6x2+ 26x + 30 (bo (−2x3− 6x2+ 26x + 30) · (x − 1) = −2x4− 4x3+ 32x2+ 4x − 30). Zgadujemy, że również −1 jest pierwiastkiem i dzielimy przez x + 1. Zostaje: −2x2− 4x + 30. Już tradycyjnymi metodami dostajemy, że pozostałymi pierwiastkami są: −5 i 3.
2
