10.1.2019, kl 1b Relacje
Relacj¡ pomi¦dzy zbiorami X i Y nazywamy dowolny podzbiór R ⊂ X × Y . Jest to bardzo ogólna de nicja.
My b¦dziemy pracowa¢ gªównie z dwoma rodzajami relacji: relacjami równowa»no±ci i funkcjami.
Mówimy, »e element x ∈ X jest w relacji z elementem y ∈ Y , je±li (x, y) ∈ R. Zapisujemy to jako xRy.
Relacj¡ na zbiorze X nazywamy dowolny podzbiór zbioru X ×X. W matematyce cz¦sto pewne rzeczy uto»- samiamy. Nadamy temu powiedzeniu ±cisªe znaczenie: Relacj¦ R na zbiorze X nazwiemy relacj¡ równowa»no±ci, je±li
1. ∀x∈XxRx(zwrotno±¢),
2. ∀x,y∈XxRy =⇒ yRx(symetryczno±¢), 3. ∀x,y∈XxRy ∧ yRz =⇒ xRz (przechodnio±¢).
Dla elementu a ∈ R mo»emy rozwa»y¢ podzbiór tych elementów zbioru X, które s¡ równowa»ne z a, czyli takie x ∈ X, »e aRx. Taki podzbiór nazywamy klas¡ równowa»no±ci elementu a i oznaczamy j¡ przez [a]R. Dzi¦ki wªasno±ciom (i)-(iii) relacji równowa»no±ci, otrzymujemy podziaª zbioru X na klasy równowa»no±ci:
Twierdzenie. Niech R b¦dzie relacj¡ równowa»no±ci na zbiorze X.
(i) Dowolny element x ∈ X nale»y do pewnej klasy równowa»no±ci relacji R, tj. ∀x∈X∃a∈Xx ∈ [a]R. (ii) Dowolne ró»ne klasy równowa»no±ci s¡ rozª¡czne, tj. ∀a,b∈X[a]R= [b]R∨ [a]R∩ [b]R= ∅.
Z drugiej strony, dowolny podziaª zbioru X na rozª¡czne niepuste podzbiory, zadaje relacj¦ równowa»no±ci, której klasami równowa»no±ci s¡ wªa±nie te podzbiory.
Zadanie 1. Sprawdzi¢, »e na zbiorze liczb caªkowitych Z mamy relacj¦ równowa»no±ci przystawania modulo m ∈ N:
x ≡my, je±li m|x − y.
Opisa¢ klasy abstrakcji relacji ≡m. Ile ich jest?
Zadanie 2. Wypisz wszystkie relacje równowa»no±ci na zbiorze {1, 2, 3}.
Zadanie 3. Na zbiorze Z × N de niujemy relacj¦
(k, l)R(m, n) ⇐⇒ kn = lm.
Uzasadnij, »e jest to relacja równowa»no±ci. Opisa¢ klasy abstrakcji [(0, 1)]Ri [(−3, 2)]R. Z jakim zbiorem liczbowym mo»na uto»sami¢ zbiór klas abstrakcji tej relacji?
Zadanie 4. Podaj przykªad relacji, która jest przechodnia, symetryczna, ale nie jest zwrotna.
Zadanie 5. Zbiór X ma n elementów. Ile jest relacji równowa»no±ci na zbiorze X (a) maj¡cych dokªadnie dwie klasy równowa»no±ci,
(b) maj¡cych n − 1 klas równowa»no±ci.
Zadanie 6. Niech Bnrówna si¦ liczbie relacji równowa»no±ci na zbiorze n-elementowym. Przyjmijmy B0= 1. Wykaza¢,
»e
Bn+1=
n
X
k=0
n k
Bk.
Zadanie 7. Dwa podzbiory A, B zbioru liczb naturalnych uznajemy za równowa»ne, je±li A4B jest zbiorem sko«- czonym. Wykaza¢, »e jest to relacja równowa»no±ci i opisa¢ klasy wyznaczone przez podzbiory {1} oraz N.
