Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska
Optymalizacja liniowa - zbiór zadań
Irena Musiał – Walczak
Spis treści
Zadania
Rozdział 1. Zbiory wypukłe i ich wierzchołki ……….. str. 2
Rozdział 2. Metoda graficzna dla zagadnień programowania liniowego (ZPL)… ……5
Rozdział 3. Metoda simpleks dla zagadnień ZPL……… . . 8
Rozdział 4. Zastosowanie ZPL do zadań z teorii gier………18
Rozdział 5. Zagadnienia transportowe………21
Rozdział 6. Metoda podziału i ograniczeń dla programowania całkowitoliczbowego...25
Rozdział 8. Zagadnienia sprowadzalne do zagadnień liniowych……….…31
Rozdział 7. Metoda podziału i ograniczeń dla programowania binarnego……… 28
Odpowiedzi Rozdział 1……….33
Rozdział 2 ………38
Rozdział 3……….43
Rozdział 4……….68
Rozdział 5……….75
Rozdział 6………..84
Rozdział 7………..96
Rozdział 8………104
Rozdział 1. Zbiory wypukłe. Wierzchołki zbioru wypukłego.
1. Wykazać, że zbiór C ={(x,y): x⋅ y≥1, x>0, y>0} jest wypukły.
2. Powłokę wypukłą punktów A(0,0), B(1,0), C(0,1), D(-1,0), E(0,-1), F(0,2) zapisać jako kombinację wypukłą wierzchołków otrzymanego wielokąta.
3. Zapisać powłokę wypukłą zbioru A = {(0,0),(0,1),(1,0)}.
4. Powłokę wypukłą punktów (0,1,4), (1,0,3), (1,-1,0), (2,2,2) zapisać jako kombinację wypukłą wierzchołków otrzymanego wielościanu. Podać punkty, które nie są
wierzchołkami i zapisać je jako kombinacje wypukłe wierzchołków .
5. Jak można zapisać punkt (1,2) z D za pomocą wierzchołków zbioru wypukłego ograniczonego D o wierzchołkach : w1(0,0), w2(2,1), w3(1,3) ?
6. Wykazać, że zbiór A={(x,y)∈R2: x2 ≤ y} jest wypukły.
7. Wykazać, że iloczyn skończonej liczby zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym.
8. Wykreślić w R2 zbiory określone nierównościami. Znaleźć wierzchołki tych zbiorów.
a) x+ y ≥1, x− y≤1, −x+2y ≤0, x,y ≥0 b) x+ y ≥4, x− y≥0, x−2y≤1, x,y ≥0
9. Wyznaczyć wszystkie wierzchołki zbioru dopuszczalnego określonego układem równań :
=
− +
=
− +
= +
−
1 3 2
2 3
4 3 2
3 2 1
4 2 1
x x x
x x x
x x x
dla nieujemnych współrzędnych. Czy znając wszystkie wierzchołki możemy wyznaczyć minimum funkcji f(x)= x1+2x2 −x4?
10. Udowodnić, że wektory tworzące macierz kwadratową nieosobliwą są liniowo niezależne.
11. Udowodnić, że jeśli m wektorów jest liniowo niezależne, to dowolny wektor w przestrzeni m-wymiarowej można jednoznacznie przedstawić jako kombinację liniową elementów z bazy.
12. Dany jest zbiór dopuszczalny określony nierównościami:
0 , , 2 2 ,
0 1 2 1 2
2
1−x ≥ x − x ≤ x x ≥
x . Podać przykład funkcji celu , która osiąga
maksimum w tym zbiorze, minimum , jest nieograniczona z góry, z dołu.
13. Sprawdzić czy dany wektor jest wierzchołkiem wielościennego zbioru wypukłego określonego układem poniższych warunków. Jeśli jest, podać rodzaj wierzchołka (niezdegenerowany lub zdegenerowany).
3 3 0
5
2 1
3 2
3 1
3 2 1
≤ +
≤ +
≤
−
≤ + +
x x
x x
x x
x x x
xi ≥0 i=1,...3
= 1
2 1 x
14. Sprawdzić czy dany wektor jest wierzchołkiem wielościennego zbioru wypukłego określonego układem poniższych warunków. Jeśli jest, podać rodzaj wierzchołka (niezdegenerowany lub zdegenerowany).
1
1 2 3
2 2 1
3 2 1
2 1
≤
≤ +
≤ +
−
≤ +
x x x
x x x
x x
xi ≥0 i =1,...3
= 1
0 1 x
15. Sprawdzić czy dany wektor jest wierzchołkiem wielościennego zbioru wypukłego określonego układem poniższych warunków. Jeśli jest, podać rodzaj wierzchołka (niezdegenerowany lub zdegenerowany).
1 ,
1 ,
1 ,
1
1 0
4 3
2 1
3 2
4 3 1
≤
≤
≤
≤
= +
≥ +
−
x x
x x
x x
x x x
xi ≥0 i =1,...4
= 1
0 1 1 x
16. Sprawdzić czy dany wektor jest wierzchołkiem wielościennego zbioru wypukłego określonego układem poniższych warunków. Jeśli jest, podać rodzaj wierzchołka (niezdegenerowany lub zdegenerowany).
6 4
4 3 2
4 2
1
≤
− +
≤ + +
x x x
x x
x xi ≥0 i=1,...4
= 0 6 0 3 x
17. Znaleźć wierzchołki zbioru określonego nierównościami:
a) , 0
4 2
4 2
2 1 2
1 2
1 ≥
≤ +
≤
+ x x
x x
x
x b) , 0
4 0
2 1 2
1 2
1 ≥
≤ +
≥
− x x
x x
x x
18. Znając jeden wierzchołek przejść do drugiego
0 , , 10
8 3 4
12 4
2
7 2 3
3 2 1 3
2 1
2 1
3 2 1
≥
≤ +
−
−
≤
−
≤ +
−
x x x x
x x
x x
x x x
Rozdział 2. Metoda graficzna dla ZPL
19. Metodą graficzną wyznaczyć rozwiązania optymalne następujących zagadnień:
a) min(−x1−x2) przy ograniczeniach
0 , 3
3 4
2 1 2
1 2 1
≥
≤
≤
≤ +
x x x
x x x
b) min(−x1−x2) przy ograniczeniach
0 6
3 3
2 2
2 1 2
1 2 1
≥
≤ +
≥ +
x x x
x x x
,
c) max(x1+x2) przy ograniczeniach
0 6
2 3
0
2 1 2
1 2 1
≥
≤ +
≤
−
x x x
x x x
,
d) min(2x1−x2) przy ograniczeniach
0 6
2
4
2 1 2
1 2 1
≥
≤ +
≤ +
x x x
x x x
,
e) max(5x1+x2) przy ograniczeniach
0 2
10 2
4 4
2 1 2
1 2 1
2 1
≥
−
≥
−
≤ +
≤
−
x x x
x x x
x x
,
f) min(3x1+3x2) przy ograniczeniach
0 1
6 3 2
2 1 2
1
2 1
≥
≥ +
≤ +
x x x
x
x x
,
g) min(−x1+x2) przy ograniczeniach
0 2
2
2 2
2 1 2
1 2 1
≥
≥ +
≤ +
−
x x x
x x x
,
h) max(2x1−x2) przy ograniczeniach
0 4
2 9 3
6
2 1 2
1 2 1
2 1
≥
−
≥
−
≤ +
≤ +
x x x
x x x
x x
,
i) max(x1−x2) przy ograniczeniach
0 1
2 5
2 1 2
1 2 1
2 1
≥
≤ +
−
≤
−
≤ +
x x x
x x x
x x
,
j) min(2x1+x2) przy ograniczeniach
0 0
2 1 1
2 1 2
1 2 1
2 1
≥
≤ +
−
≥
−
≥ +
x x x
x x x
x x
,
k) max(x1+x2) przy ograniczeniach
0 2
2
0 10 3
2
2 1 2
1 2 1
2 1
≥
≤
−
≤ +
−
≥ +
x x x
x x x
x x
,
l) min(4x1+4x2) przy ograniczeniach
0 1
3 1
2 1 2
1 2 1
2 1
≥
≥ +
−
≥ +
−
−
≥ +
x x x
x x x
x x
,
m) min(−x1−x2) przy ograniczeniach
0 9
18 2
1 3 2
1 2 2
2 1 2
1 2 1
2 1
≥
≤ +
−
≤
−
≥ +
x x x
x x x
x x
,
n) max(x1+3x2) przy ograniczeniach
0 2
2 3
2 1 2
1 2 1
≥
≤ +
−
≤ +
x x x
x x x
,
o) min(x1+2x2) przy ograniczeniach
0 2
2
1 2 2
2 1 2
1 2 1
≥
≤ +
≥ +
x x x
x x x
,
p) min(−2x1−3x2) przy ograniczeniach
0 6
9 4
2 1 2
1 2 1
2 1
≥
≤ +
≤ +
≥ +
−
x x x
x x x
x x
,
q) min(−2x1−3x2) przy ograniczeniach
0 9
3
4
2 1 2
1 2 1
≥
≤ +
≥ +
−
x x x
x x x
,
20. Do wykonania elementów A i B używa się dwóch materiałów budowlanych M1 i M2.
Zużycie ich na jednostkę elementów oraz ich zasoby podaje zestawienie:
A B zasoby
M1 3 2 100
M2 1 2 60
Wyznaczyć liczbę elementów A i B , aby nie przekraczając zapasów, osiągnąć maksymalny zysk przy jednostkowym zysku ze sprzedaży elementów A i B równym odpowiednio 8 i 10 zł.
Rozdział 3. Metoda simpleks dla ZPL
21. Krok po kroku rozwiązać metodą simpleks zagadnienie: wyznaczyć min(x1−x3) przy ograniczeniach
4 3 2 1 0 3
3
1 2
4 2 1
3 2 1
, , , ,
, ≥ =
= +
= +
−
i x x
x x
x x x
i
22. Metodą simpleks wyznaczyć:
a) min(−x1−2x2) przy ograniczeniach
0 2
2
2
2 1 2
1 2 1
≥
≤ +
−
≤
−
x x x
x x x
,
b) max(2x1+2x2) przy ograniczeniach
0 1
4
2 1 2
1 2 1
≥
≤ +
−
≤ +
x x x
x x x
,
c) min(4x1−x2+2x3+x4) przy ograniczeniach
4 3 2 1 0 4
5
12 2
3
4 2
1
4 3 2 1
, , , , =
≥
≤
− +
−
≤ + +
−
i x x
x x
x x x x
i
d) min(x2−x3) przy ograniczeniach
0 13
5
8 2 4
16 2
3
3 2 1 3
2 3 2
3 2 1
≥
≤
−
≤
−
= + +
x x x x
x x x
x x x
, ,
e) min(−x1−3x2) przy ograniczeniach
0 2
2 3
2 1 2
1 2 1
≥
≤ +
−
≤ +
x x x
x x x
, f) min(x1+2x2) przy ograniczeniach
0 2
2
1 2 2
2 1 2
1 2 1
≥
≤ +
≥ +
x x x
x x x
,
g) min(−x1+x2) przy ograniczeniach
0 6
3 2
1
2 1 2
1 2 1
≥
≥ +
−
≤ +
−
x x x
x x x
,
h) max(2,5x1+4x2+3x3) przy ograniczeniach
0 14
6 2
14 5
3 5 4
3 2 1 3
2 1
3 2 1
≥
≤ + +
≤ + +
x x x x
x x
x x x
, , ,
23. Wyznaczyć min(−2x1+x2 −x3+2x4) przy ograniczeniach
5 4 3 2 1 0 32
4
8 4 2
4 2
1
5 1
3 2 1
, , , , , =
≥
= + +
= +
= +
+
−
i x x
x x
x x
x x x
i
24. Wyznaczyć min(4x1+32x2+8x3) przy ograniczeniach
0 3
4
1 2
3 2 1 2
1
3 2 1
≥
≥ +
≥ + +
−
x x x x
x
x x x
, ,
25. Wyznaczyć min (2x1+x2−x3−x4) przy ograniczeniach:
4 , 3 , 2 , 1 0 7
6 3
2
2 2
4 3 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
=
≥
= + + +
= +
− +
=
− +
−
i x x
x x x
x x x x
x x x x
i
26. Wyznaczyć max(x1+4x2+x3) przy ograniczeniach:
0 7 3 11 4
3 2 1
3 2 1
=
− +
= + +
x x x
x x
x xj ≥0, j=1,2,3
27. Wyznaczyć min(3x1−2x2) przy ograniczeniach
0 0
10 2
4
2 1 2
4 1 1
2 1
2 1
≥
≤ +
−
≤ +
−
≤
−
x x x
x x x
x x
,
28. Wyznaczyć max(x1+2x2) przy ograniczeniach
3 2 1 0 1
2 2 3 2 1
3 2 1
, , , =
≥
≤
−
−
≤ + +
i x x
x x
x x x
i
29. Wyznaczyć max i min funkcji f(X)=2x1−x4 przy ograniczeniach
4 3 2 1 0 8
5 2
20 5
3 2 1
4 2
3 2 1
, , , , =
≥
≤
− +
≤ +
≤ +
+
i x x
x x
x x
x x x
i
30. Wyznaczyć max(x1+x2) przy ograniczeniach
3 2 1 0 10
3 2
2 2
0
2 1
3 2 1
2 1
, , , =
≥
≥ +
= +
−
≥
−
i x x
x
x x x
x x
i
31. Wyznaczyć max (x1+2x2+3x3) przy ograniczeniach
3 2 1 0 16
10
6 2
10 5
3 2
3 2 1
3 2 1
,
= ,
≥
≥ +
= +
−
≤ + +
−
i x
x x
x x x
x x x
i
32. Wyznaczyć min(−x1−x2) przy ograniczeniach
0 , 0
2 2
2 1 2
1 2 1
≥
≥ +
−
≥ +
x x x
x x x
33. Wyznaczyć min(x1+x2) przy ograniczeniach
3 2 1 0 8
4 2
2 2
2 2
2 1
3 2 1
2 1
, , , =
≥
≥ +
= +
−
≤ +
i x x
x
x x x
x x
i
34. Wyznaczyć min(x1+x2−x3) przy ograniczeniach
3 2 1 0 0
1 6
4 2
2 3 2
3 2 1
3 2
1
3 2 1
,
= ,
≥
= +
−
= +
+
= + +
i x
x x x
x x
x
x x x
i
35. Wyznaczyć min(2x1−3x2+5x3) przy ograniczeniach
3 2 1 0 2
8 3 2
3 2 1
3 2 1
3 2 1
,
= ,
≥
≤ +
−
−
≤
− +
≤ +
−
i x
x x x
x x x
x x x
i
36. Wyznaczyć min(2x1−3x2−x3) przy ograniczeniach
3 2 1 0 7
4 2
4 2
3 2
3 2
3 2 1
,
= ,
≥
≥ +
≤ +
≥
− +
i x
x x
x x
x x x
i
37. Wyznaczyć min (2x1+x2−x3−x4) przy ograniczeniach:
4 , 3 , 2 , 1 0 3
2 1
3 1
4 3 2 1
4 3 2 1
=
≥
≤
−
≥
− +
−
= +
− +
i x
x x
x x x x
x x x x
i
38. Wyznaczyć min (−2x1−x2 −x3−5x4−x5) przy ograniczeniach:
5 , 4 , 3 , 2 , 1 0 2
1 2
5 3 4
3 1 3 1 1
3 1
4 3 3
1 6 1
1
2 2 1
1
=
≥
=
−
−
−
= + +
= +
i x
x x x x
x x x
x x
i
39. Wyznaczyć max(2x2+3x3) przy ograniczeniach
3 2 1 0 5
2 2
3 5
6
1
2 3 2 5 1
2 3 2 15 1
2 3 2 3 1
,
= ,
≥
−
≤
− +
≤ +
−
−
≤ +
−
−
i x
x x x
x x
x
x x x
i
40. Wyznaczyć min ( 4)
2 3 1 2 2 1
3x +x −x − x
− przy ograniczeniach:
4 , 3 , 2 , 1 0 3
3 4 1 3 3 1 3 2
1 1 2 1
3 4 1 3 2 1
3 1 2 2 1
3 14 3 4
2 3 3 2
4 1
=
≥
≤ +
+
−
−
≤
−
−
≤ + + +
−
i x
x x x x
x x
x
x x x x
i
41. Wyznaczyć max (x1+2x2+x3+3x5) przy ograniczeniach:
5 , 4 , 3 , 2 , 1 0 2
4 6 2 5
4 2
2
2 2
5 4 3 2 2
5 1
5 4 3 2 1
3
4 2 2
1 1 2 3
=
≥
≤
− +
− +
≤ +
− +
−
≤ +
+
i x
x x x x
x
x x x x
x x
x
i
42. Wyznaczyć min (x1+2x2+3x3+6x4) przy ograniczeniach
4 , 3 , 2 , 1 0 5
2 1
4 2
4 3 2 1
=
≥
≥ +
≥ + + +
i x
x x
x x x x
i
Sformułować symetryczne zadanie dualne i rozwiązać je.
43. Wyznaczyć min(x1+2x2) przy ograniczeniach
0 5
1 6 3 2
2 1 2
1 2 1
≥
≥ +
−
≥ +
x x x
x x x
, ,
Sformułować symetryczne zadanie dualne i rozwiązać je.
44. Wyznaczyć min(−x1−2x2) przy ograniczeniach
0 4
2 1
2 1 2
1 2 1
≥
≤ +
−
≤ +
−
x x x
x x x
, Sformułować symetryczne zadanie dualne i rozwiązać je.
45. Wyznaczyć min(−3x1−x2) przy ograniczeniach
0 4
2
3
2 1 2
1 2 1
≥
≤ +
≤ +
x x x
x x x
,
Sformułować symetryczne zadanie dualne i rozwiązać je.
46. Wyznaczyć min (−6x1−4x2−8x3) przy ograniczeniach
5 , 4 , 3 , 2 , 1 0 2
3
1 5
5 3
2 1
4 3 2 1
=
≥
= + +
+
= + + +
i x
x x
x x
x x x x
i
Sformułować niesymetryczne zadanie dualne i rozwiązać je.
47. Wyznaczyć min(−x1−x2) przy ograniczeniach
0 , 4
2 4 2
2 1 2
1 2 1
≥
≤ +
≤ +
x x x
x x x
Sformułować symetryczne zadanie dualne i rozwiązać je.
48. Wyznaczyć max(3x1−2x2) przy ograniczeniach
0 0
6 0
2 1 2
1
2 1 2
1
≥
≤
−
= +
≥ +
x x x
x
x x x
x
,
Sformułować zadanie dualne i rozwiązać je.
49. Wyznaczyć min (5x1+x3−x4) przy ograniczeniach:
4 3 2 1 0 2
2
0 10 3
2
3 2 1
4 3 1
3 1
, ,
= ,
≥
=
− +
= + +
−
≥ +
i x x
x x
x x x
x x
i
