Komentář k oddílu XVII.2: Soustavy lineárních diferenciálních rovnic. V předchozím oddílu jsme se zabývali obecnými soustavami diferenciálních

Koment´aˇr k odd´ılu XVII.2: Soustavy line´arn´ıch diferenci´aln´ıch rov- nic

O obsahu tohoto odd´ılu, z´akladn´ı znaˇcen´ı atp.:

• V pˇredchoz´ım odd´ılu jsme se zab´yvali obecn´ymi soustavami diferenci´al- n´ıch rovnic prvn´ıho ˇr´adu (vyˇreˇsen´ymi v˚uˇci derivaci). V tomto odd´ılu se budeme zab´yvat d˚uleˇzit´ym speci´aln´ım pˇr´ıpadem – soustavami line´arn´ıch diferenci´aln´ıch rovnic. V tomto pˇr´ıpadˇe je ˇrada vˇec´ı jednoduˇsˇs´ıch d´ıky abstraktn´ı teorii line´arn´ıch zobrazen´ı (odd´ıl IX.2). Napˇr´ıklad se d´a vcelku jednoduˇse popsat struktura mnoˇziny ˇreˇsen´ı.

• Soustavy, kter´ymi se budeme zab´yvat v tomto odd´ılu, maj´ı tvar x⁰₁ = a₁₁(t)x₁+ a₁₂(t)x₂+ · · · + a_1n(t)x_n+ b₁(t), x⁰₂ = a₂₁(t)x₁+ a₂₂(t)x₂+ · · · + a_2n(t)x_n+ b₂(t),

...

x⁰_n = a_n1(t)x₁+ a_n2(t)x₂+ · · · + a_nn(t)x_n+ b_n(t).

(∗)

Zde x₁, . . . , x_n jsou nezn´am´e funkce. D´ale, a_ij, i, j ∈ {1, . . . , n} a b_j, j ∈ {1, . . . , n} jsou zadan´e funkce spojit´e na nˇejak´em intervalu (α, β).

• Je zˇrejm´e, ˇze jde o speci´aln´ı pˇr´ıpad soustav z odd´ılu XVII.1. Pˇri tam pouˇz´ıvan´em znaˇcen´ı m´ame

G = (α, β) × Rⁿ,

f_j(t, x₁, . . . , x_n) = a_j1(t)x₁+ a_j2(t)x₂+ · · · + a_jn(t)x_n+ b_j(t), t ∈ (α, β), [x₁, . . . , x_n] ∈ Rⁿ, j ∈ {1, . . . , n}.

• I v tomto pˇr´ıpadˇe budeme pouˇz´ıvat vektorov´y tvar soustavy (∗), tj.

z´apis

x⁰ = A(t)x + b(t), (∗∗)

kde A je maticov´a funkce a b je vektorov´a funkce. Tyto funkce jsou d´any pˇredpisem

A(t) =











a₁₁(t) a₁₂(t) . . . a_1n(t) a₂₁(t) a₂₂(t) . . . a_2n(t)

... ... . .. ... a_n1(t) a_n2(t) . . . a_nn(t)











a b(t) =









 b₁(t) b₂(t)

... b_n(t)











pro t ∈ (α, β). D´ale, x je opˇet nezn´am´a vektorov´a funkce, kterou ten- tokr´at zapisujeme ve formˇe sloupcov´eho vektoru.

• Kaˇzd´e ˇreˇsen´ı soustavy (∗) je automaticky tˇr´ıdy C¹. Je to podobn´e jako v kapitol´ach XV a XVI nebo v d˚ukazu Vˇetiˇcky XVII.1.

Necht’ totiˇz x je ˇreˇsen´ım na nˇejak´em otevˇren´em intervalu I. Pak funkce x₁, . . . , x_n maj´ı v kaˇzd´em bodˇe intervalu I vlastn´ı derivaci, a tedy jsou spojit´e. Nav´ıc pro kaˇzd´e j ∈ {1, . . . , n} plat´ı

x⁰_j(t) = a_j1(t)x₁(t) + a_j2(t)x₂(t) + · · · + a_jn(t)x_n(t) + b_j(t), t ∈ I.

Protoˇze prav´a strana je spojit´a na I (vznikne aritmetick´ymi operacemi ze spojit´ych funkc´ı), je x⁰_j tak´e spojit´a na I.

• Soustavy tvaru (∗) respektive (∗∗) jsou line´arn´ı, protoˇze se daj´ı vyj´adˇrit pomoc´ı vhodn´eho line´arn´ıho zobrazen´ı. Jde o zobrazen´ı L : C¹((α, β), Rⁿ) → C((α, β), Rⁿ) definovan´e pˇredpisem

L(x)(t) = x⁰(t) − A(t) · x(t), t ∈ (α, β), x ∈ C¹((α, β), Rⁿ), je line´arn´ı. To plyne z vˇety o aritmetice derivac´ı a z vlastnost´ı mati- cov´eho n´asoben´ı.

K Vˇetˇe XVII.4:

• Tato vˇeta obsahuje dvˇe tvrzen´ı. Prvn´ı tvrzen´ı se t´yk´a existence a jedno- znaˇcnosti maxim´aln´ıho ˇreˇsen´ı. Druh´e ˇr´ık´a, ˇze maxim´aln´ıˇreˇsen´ı soustavy (∗) jsou definov´ana na cel´em intervalu (α, β).

• Prvn´ı tvrzen´ı plyne pˇr´ımo z Vˇety XVII.3. Rozmysleme si, ˇze jsou splnˇeny pˇredpoklady:

– Mnoˇzina G = (α, β) × Rⁿ je zˇrejmˇe otevˇren´a.

– Funkce f1, . . . , fn maj´ı, jak je uvedeno v´yˇse, tvar

f_j(t, x₁, . . . , x_n) = a_j1(t)x₁ + a_j2(t)x₂+ · · · + a_jn(t)x_n+ b_j(t), a tedy jsou zˇrejmˇe spojit´e na G.

– Pokud j ∈ {1, . . . , n} a i ∈ {1, . . . , n}, pak

∂f_j

∂x_i(t, x₁, . . . , x_n) = a_ji(t),

coˇz je funkce spojit´a na G (na promˇenn´ych x₁, . . . , x_n nez´avis´ı).

T´ım jsme ovˇeˇrili pˇredpoklady Vˇety XVII.3, a tedy ji m˚uˇzeme pouˇz´ıt.

To d´av´a d˚ukaz prvn´ıho tvrzen´ı vˇety.

• Druh´e tvrzen´ı nen´ı samozˇrejm´e, lze dok´azat z Vˇety XVII.12 z odd´ılu XVII.4.

K Vˇetiˇcce XVII.5:

• Pˇripomeˇnme, ˇze soustava (∗) je homogenn´ı, pokud vˇsechny funkce b₁, . . . , b_n jsou konstantn´ı nulov´e funkce, neboli vektorov´a funkce b je konstantn´ı nula.

• Bod (i) ˇr´ık´a, ˇze maxim´aln´ı ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice tvoˇr´ı vektorov´y podprostor prostoru C¹((α, β), Rⁿ).

V´yˇse jsme vysvˇetlili, ˇze kaˇzd´e ˇreˇsen´ı je tˇr´ıdy C¹. Druh´a ˇc´ast Vˇety XVII.4 ˇr´ık´a, ˇze kaˇzd´e maxim´aln´ı ˇreˇsen´ı je definovan´e na cel´em inter- valu (α, β). Proto je mnoˇzina vˇsech maxim´aln´ıch ˇreˇsen´ı podmnoˇzinou C¹((α, β), Rⁿ).

Ze jde o vektorov´ˇ y podprostor, plyne z Vˇety IX.5, protoˇze je to j´adro line´arn´ıho zobrazen´ı L.

• Bod (ii) pak plyne z Vˇety IX.6 aplikovan´e na line´arn´ı zobrazen´ı L.

Vˇeta XVII.6, fundament´aln´ı matice a Vˇeta XVII.7:

• V´yznam Vˇety XVII.6: Z Vˇetiˇcky XVII.5 v´ıme, ˇze mnoˇzina vˇsech ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy je vektorov´y podprostor prostoru C¹((α, β), Rⁿ) (protoˇze je to j´adro line´arn´ıho zobrazen´ı).

K tomu Vˇeta XVII.6 dod´av´a, ˇze tento podprostor m´a dimenzi n, tedy existuje b´aze, kter´a m´a n prvk˚u. Jde o podobn´e sch´ema jako ve Vˇetˇe XII.2 a ve Vˇetˇe XVI.3. I d˚ukaz bude podobn´y.

Podobnˇe jako v kapitol´ach XII a XVI, i tentokr´at naz´yv´ame b´azi pro- storu ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice term´ınem fundament´aln´ı syst´em. Vˇsechna ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy jsou pak line´arn´ı kombinace prvk˚u funda- ment´aln´ıho syst´emu.

• D˚ukaz Vˇety XVII.6: Postupujeme analogicky jako v kapitol´ach XII a XVI, jen nyn´ı pouˇz´ıv´ame Vˇetu XVII.4.

D˚ukaz opˇet rozdˇel´ıme do tˇr´ı krok˚u:

Krok 1: Volba prvk˚u b´aze. Zvolme nˇejak´e t₀ ∈ (α, β).

Podle Vˇety XVII.4 existuj´ı vektorov´e funkce x¹, x², . . . , xⁿ, kter´e jsou ˇreˇsen´ım homogenn´ı soustavy a nav´ıc splˇnuj´ı poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky

x¹₁(t₀) = 1, x¹₂(t₀) = 0, . . . x¹_n(t₀) = 0, x²₁(t₀) = 0, x²₂(t₀) = 1, . . . x¹_n(t₀) = 0,

... ... . .. ...

xⁿ₁(t₀) = 0, xⁿ₂(t₀) = 0, . . . xⁿ_n(t₀) = 1, neboli

x¹(t₀) = e¹, x²(t₀) = e², . . . , xⁿ(t₀) = eⁿ, kde e¹, . . . , eⁿ jsou kanonick´e b´azov´e vektory v Rⁿ.

Uk´aˇzeme, ˇze tˇechto n vektorov´ych funkc´ı tvoˇr´ı b´azi prostoru ˇreˇsen´ı.

Krok 2: Vektorov´e funkce x¹, x², . . . , xⁿ jsou line´arnˇe nez´avisl´e.

Uvaˇzme line´arn´ı kombinaci tˇechto vektorov´ych funkc´ı, kter´a je rovna nulov´emu vektoru (tj. konstantn´ı nulov´e vektorov´e funkci).

Neboli, mˇejme ˇc´ısla α1, α2, . . . , αn takov´a, ˇze α₁x¹+ α₂x²+ · · · + α_nxⁿ= o.

Toto znamen´a, ˇze

∀t ∈ (α, β) : α1x¹(t) + α2x²(t) + · · · + αnxⁿ(t) = o. (◦) Speci´alnˇe, pokud do rovnosti (◦) dosad´ıme t = t₀, dostaneme, s pouˇzit´ım poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek,

o =α₁x¹(t₀) + α₂x²(t₀) + · · · + α_nxⁿ(t₀)

= α₁e¹+ α₂e²+ · · · + α_neⁿ=









 α₁ α₂ ... α_n









 ,

tedy

α₁ = α₂ = · · · = α_n= 0.

Tedy ona line´arn´ı kombinace mus´ı b´yt trivi´aln´ı, coˇz dokonˇcuje d˚ukaz line´arn´ı nez´avislosti.

Krok 3: Kaˇzd´e ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy lze vyj´adˇrit jako line´arn´ı kom- binaci vektorov´ych funkc´ı x¹, . . . , xⁿ.

Necht’ y je libovoln´e ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy.

Uvaˇzme vektorovou funkci

z = y1(t0) · x¹+ y2(t0) · x²+ · · · + yn(t0) · xⁿ,

tj. vektorovou funkci, kter´a je line´arn´ı kombinac´ı vektorov´ych funkc´ı x¹, . . . , xⁿ s koeficienty y1(t0), y2(t0), . . . , yn(t0).

Protoˇze vektorov´a funkce x¹, . . . , xⁿ jsou ˇreˇsen´ım homogenn´ı rov- nice a mnoˇzina vˇsech ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice tvoˇr´ı vektorov´y podprostor (Vˇetiˇcka XVII.5(i)), je i funkce zˇreˇsen´ım homogenn´ı rovnice (jakoˇzto line´arn´ı kombinace ˇreˇsen´ı).

Nav´ıc, kdyˇz uv´aˇz´ıme poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky, kter´e splˇnuj´ı ˇreˇsen´ı x¹, . . . , xⁿ, vid´ıme, ˇze

z(t₀) = y₁(t₀) · x¹(t₀) + y₂(t₀) · x²(t₀) + · · · + y_n(t₀) · xⁿ(t₀)

= y₁(t₀) · e¹ + y₂(t₀) · e²+ · · · + y_n(t₀) · eⁿ

=









 y1(t0) y₂(t₀)

... y_n(t₀)











= y(t₀).

Tedy, vektorov´e funkce y a z jsou obˇe ˇreˇsen´ım homogenn´ı soustavy a nav´ıc splˇnuj´ı stejn´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky.

Z Vˇety XVII.4 nyn´ı plyne, ˇze se tato ˇreˇsen´ı rovnaj´ı, neboli y = z, tedy

y = y₁(t₀) · x¹+ y₂(t₀) · x²+ · · · + y_n(t₀) · xⁿ,

Tedy ˇreˇsen´ı y lze vyj´adˇrit jako line´arn´ı kombinaci vektorov´ych funkc´ı x¹, x², . . . , xⁿ.

To dokonˇcuje d˚ukaz.

• Fundament´aln´ı matice je maticov´a funkce, jej´ıˇz sloupce jsou prvky fun- dament´aln´ıho syst´emu.

Pˇresnˇeji: Necht’ x¹, . . . , xⁿ je fundament´aln´ı syst´em ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice. Jsou to vektorov´e funkce, takˇze z nich m˚uˇzeme vytvoˇrit mati- covou funkci, kter´a m´a v prvn´ım sloupci x¹, ve druh´em x² atd.

Tedy

Φ(t) = (x¹(t), x²(t), . . . , xⁿ(t)) =











x¹₁(t) x²₁(t) . . . xⁿ₁(t) x¹₂(t) x²₂(t) . . . xⁿ₂(t)

... ... . .. ... x¹_n(t) x²_n(t) . . . xⁿ_n(t)











pro t ∈ (α, β).

• Vˇeta XVII.7 a jej´ı d˚ukaz:

M´ame soustavu (∗) a pˇredpokl´adejme, ˇze Φ(t) je fundament´aln´ı matice homogenn´ı soustavy.

Oznaˇcme sloupce fundament´aln´ı matice x¹(t), . . . , xⁿ(t) – tyto vekto- rov´e funkce tedy tvoˇr´ı fundament´aln´ı syst´em ˇreˇsen´ı homogenn´ı sou- stavy.

(i): Tento bod ˇr´ık´a, ˇze vektorov´a funkce x je ˇreˇsen´ım homogenn´ı sou- stavy, pr´avˇe kdyˇz existuje c ∈ Rⁿ, pro kter´e plat´ı

∀t ∈ (α, β) : x(t) = Φ(t) · c.

To je ovˇsem t´emˇeˇr zˇrejm´e. Protoˇze x¹, . . . , xⁿtvoˇr´ı fundament´aln´ı syst´em ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice, je x ˇreˇsen´ım, pr´avˇe kdyˇz

∃c₁, . . . , c_n ∈ R : x = c₁x¹+ · · · + c_nxⁿ. Kdyˇz uv´aˇz´ıme, ˇze z definice maticov´eho n´asoben´ı plyne

Φ(t) · c = c₁x¹(t) + · · · + c_nxⁿ(t)

(viz napˇr´ıklad d˚ukaz Vˇety VI.16), je tvrzen´ı opravdu zˇrejm´e.

(ii): Tento bod ˇr´ık´a, ˇze pro kaˇzd´e t ∈ (α, β) je matice Φ(t) regul´arn´ı.

D˚ukaz provedeme sporem, podobnˇe jako d˚ukaz Vˇetiˇcky XVI.6.

Pˇredpokl´adejme, ˇze existuje nˇejak´e t₀ ∈ (α, β), pro kter´e matice Φ(t₀) nen´ı regul´arn´ı.

To ovˇsem znamen´a, ˇze existuje c ∈ Rⁿ \ {o}, pro kter´e plat´ı Φ(t₀)c = o. (Pokud Φ(t₀) nen´ı regul´arn´ı, pak line´arn´ı zobra- zen´ı reprezentovan´e touto matic´ı nen´ı prost´e – viz Vˇeta VI.19 a n´asleduj´ıc´ı pozn´amky, a tedy jeho j´adro obsahuje nenulov´y vektor – viz D˚usledek Vˇety IX.6.)

Plat´ı

Φ(t₀) · c = c₁x¹(t₀) + · · · + c_nxⁿ(t₀) tedy rovnost Φ(t₀)c = o znamen´a

c₁x¹(t₀) + · · · + c_nxⁿ(t₀) = o

Pokud definujeme

y = c₁x¹+ c₂x²+ · · · + c_nxⁿ, pak uveden´a rovnost ˇr´ık´a, ˇze

y(t₀) = o.

Tedy y je ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavu (jakoˇzto line´arn´ı kombinace ˇreˇsen´ı), kter´e splˇnuje stejn´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky jako konstantn´ı nulov´e ˇreˇsen´ı. Z Vˇety XVII.4 plyne, ˇze dvˇe ˇreˇsen´ı splˇnuj´ıc´ı stejn´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky, se rovnaj´ı, a proto y je konstantn´ı nulov´a funkce.

To ovˇsem znamen´a, ˇze

c₁x¹+ c₂x²+ · · · + c_nxⁿ= o.

Protoˇze x¹, . . . , xⁿ jsou line´arnˇe nez´avisl´e, mus´ı b´yt c₁ = c₂ =

· · · = cn= 0, neboli c = o.

To je ale spor s volbou c ∈ Rⁿ\ {o}.

Tento spor dokonˇcuje d˚ukaz.

Vˇeta XVII.8 a jej´ı d˚ukaz:

• Tato vˇeta d´av´a vzorec pro ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı soustavy za pˇredpokladu, ˇ

ze zn´ame fundament´aln´ı matici soustavy.

Je to analogie vzorce pro line´arn´ı rovnice prvn´ıho ˇr´adu z Kapitoly XV (viz koment´aˇr ke zm´ınˇen´e kapitole).

• T´eto vˇetˇe ˇr´ık´ame

”variace konstant“, protoˇze vych´az´ı z podobn´eho principu jako metoda variace konstanty z kapitoly XV a metoda va- riace konstant z odd´ılu XVI.3.

• D˚ukaz by se dal udˇelat tak, ˇze se ovˇeˇr´ı, ˇze uveden´y vzorec m´a poˇzadovan´e vlastnosti. Budeme ale postupovat jinak – uk´aˇzeme si, jak se vzorec od- vod´ı a proˇc je pˇrirozen´y.

• Odvozen´ı provedeme v nˇekolika kroc´ıch:

Krok 1: Necht’ Φ je fundament´aln´ı matice homogenn´ı soustavy, x¹, . . . , xⁿ jsou jej´ı sloupce. Pak x¹, . . . , xⁿtvoˇr´ı fundament´aln´ı syst´em ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy.

Z Vˇety XVII.7(i) v´ıme, ˇze vˇsechna ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy jsou tvaru

x(t) = Φ(t) · c, kde c ∈ Rⁿ.

Idea variace konstant je (podobnˇe jako v Kapitole XV a v odd´ılu XVI.3) hledat ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice ve tvaru

x(t) = Φ(t) · c(t), (◦)

kde c je vhodn´a vektorov´a funkce. Tento tvar dosad´ıme do sou- stavy (∗∗).

Krok 2: K tomu potˇrebujeme spoˇc´ıtat derivaci vektorov´e funkce x:

Plat´ı

x⁰(t) = Φ⁰(t) · c(t) + Φ(t) · c⁰(t). (♣) Tato rovnost plyne z definice maticov´eho n´asoben´ı a z pravidla pro derivaci souˇcinu. Staˇc´ı si pˇredstavit, jak maticov´e n´asoben´ı funguje.

Pro ty, kdo si to nedok´aˇzou pˇredstavit, je zde podrobn´y v´ypoˇcet:

M´ame

x(t) = Φ(t)·c(t) = c₁(t)x¹(t)+· · ·+c_n(t)xⁿ(t) =







c₁(t)x¹₁(t) + · · · + c_n(t)xⁿ₁(t) ...

c₁(t)x¹_n(t) + · · · + c_n(t)xⁿ_n(t)





. Tedy

x⁰(t) =







c⁰₁(t)x¹₁(t) + · · · + c⁰_n(t)xⁿ₁(t) + c₁(t)(x¹₁)⁰(t) + · · · + c_n(t)(xⁿ₁)⁰(t) ...

c⁰₁(t)x¹_n(t) + · · · + c⁰_n(t)xⁿ_n(t) + c₁(t)(x¹_n)⁰(t) + · · · + c_n(t)(xⁿ_n)⁰(t)







= c⁰₁(t)x¹(t) + · · · + c⁰_n(t)xⁿ(t) + c₁(t)(x¹)⁰(t) + · · · + c_n(t)(xⁿ)⁰(t)

= Φ(t) · c⁰(t) + Φ⁰(t) · c(t)

Krok 3: Protoˇze Φ je fundament´aln´ı matice, plat´ı

Φ⁰(t) = A(t)Φ(t). (♠)

Je totiˇz

Φ(t) = (x¹(t), . . . , xⁿ(t)), a tedy

Φ⁰(t) = ((x¹)⁰(t), . . . , (xⁿ)⁰(t)) = (A(t)x¹(t), . . . , A(t)xⁿ(t)) = A(t)Φ(t), kde ve druh´e rovnosti jsme pouˇzili fakt, ˇze x¹, . . . , xⁿ jsou ˇreˇsen´ı homogenn´ı soustavy.

Krok 4: Dosad’me nyn´ı tvar (◦) do nehomogenn´ı soustavy (∗∗). D´ıky (♣) dostaneme

Φ⁰(t)c(t) + Φ(t)c⁰(t) = A(t)Φ(t)c(t) + b(t).

Prvn´ı ˇclen na lev´e stranˇe uprav´ıme pomoc´ı (♠) a dostaneme A(t)Φ(t)c(t) + Φ(t)c⁰(t) = A(t)Φ(t)c(t) + b(t),

Krok 5: Protoˇze Φ(t) je regul´arn´ı matice pro kaˇzd´e t (Vˇeta XVII.7(ii)), (♥) m˚uˇzeme upravit na

c⁰(t) = Φ(t)⁻¹b(t). (♦)

Pozn´amka o metodˇe ˇreˇsen´ı: Pˇredchoz´ı kroky n´am d´avaj´ı metodu nalezen´ı partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı soustavy za pˇredpokladu, ˇze zn´ame fundament´aln´ı matici:

Reˇsen´ı hled´ˇ ame ve tvaru (◦). Vektorov´a funkce c⁰ mus´ı splˇnovat (♥), coˇz je soustava line´arn´ıch rovnic (s parametrem t). Tu vyˇreˇs´ıme (bud’ eliminac´ı nebo pouˇzit´ım vzoreˇcku (♦)). Nyn´ı spoˇc´ıt´ame pri- mitivn´ı funkce k funkc´ım c₁, . . . , c_n. Ty dosad´ıme do (◦) a m´ame ˇreˇsen´ı.

Dokonˇcen´ı d˚ukazu – vzorec pro ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy: Hled´ame ˇreˇsen´ı soustavy (∗∗) s poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou x(t₀) = x⁰. Postupu- jeme podobnˇe jako v Kapitole XV:

Poloˇzme

c(t) = Z t

t0

Φ(s)⁻¹b(s) ds.

Pak plat´ı (♦), tedy i (♣), a tedy x^p(t) = Φ(t)

Z t t0

Φ(s)⁻¹b(s) ds

je ˇreˇsen´ım nehomogenn´ı rovnice. Nav´ıc splˇnuje x^p(t₀) = 0.

Vˇsechna ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice maj´ı tedy tvar x(t) = Φ(t)h + Φ(t)

Z t t0

Φ(s)⁻¹b(s) ds, kde h ∈ Rⁿ. Pak

x(t₀) = Φ(t₀)h,

tedy, chceme-li, aby x(t₀) = x⁰, mus´ıme (a z´aroveˇn m˚uˇzeme) zvo- lit

h = Φ(t₀)⁻¹x⁰. Dost´av´ame tedy ˇreˇsen´ı ve tvaru

x(t) = Φ(t)Φ(t0)⁻¹x⁰+ Φ(t) Z t

t0

Φ(s)⁻¹b(s) ds, coˇz je pˇresnˇe tvar ze znˇen´ı vˇety.