Determinizm i redukcjonizm w świetle matematyki współczesnej

Teresa Grabińska

Determinizm i redukcjonizm w

świetle matematyki współczesnej

Studia P h ilo so p h ia e C hristianae A T K

28(1992)1

T E R E SA G R A B IŃ SK A

DETERMINIZM I REDUKCJONIZM W ŚWIETLE MATEMATYKI WSPÓŁCZESNEJ

1. R egu larn ość rozw iązań rów n ań różn iczkow ych a determ in izm zja w isk fizyczn ych . 2. Z w iązek m ięd zy d eterm in izm em a redu k cjon izm em . 3. H o listy czn a konceipcja stru k tu ry o b iek tu w św ie tle geom etrii frak - ta ln ej. 4. D eterm in isty czn y p rzeb ieg p rocesów w św ie tle teo rii atirakto- rów . 5. N ow a rola m a tem a ty k i w ob ec fra k ta ln y ch i atrak torow ych m od eli zja w isk . 6. D eterm in izm opisu fra k ta ln eg o i in d eterm in izm chaosu.

1. R EG U LA RN O ŚĆ R O ZW IĄ ZA Ń R Ó W N AŃ R ÓŻNICZKO W YCH A D ETERM INIZM Z JA W ISK FIZY C ZN Y C H

Opis zachowania się większości (a do niedawna — niemal wszystkich) procesów fizycznych jest przedstawiony przez rów nania całkowe i całkowo-różniczkowe. Wśród nich rów na­ nia różniczkowe liniowe zajm ują szczególnie ważne miejsce, ponieważ dostarczają dokładnych i regularnych rozwiązań. Zgodnie z tym i rozwiązaniami, wielkości fizyczne reprezento­ wane przez ciągłe funkcje różniczkowalne (lub operatory) za­ chowują się w sposób deterministyczny.

Determ inizm modeli fizycznych utożsamia się z reg ular­ nością opisu procesów fizycznych. Regularność to oznacza, że rów nania różniczkowe liniowe wraz z odpowiednio dobrany­ mi w arunkam i początkowymi (brzegowymi) wyznaczają cią­ głą zmienność danej wielkości w czasie i przestrzeni (lub względem innego param etru). Przyporządkowanie wartości danej wielkości fizycznej wartościom jej p aram etru jest jed­ noznaczne. D eterm inistyczna regularność różniczkowych mo­ deli fizycznych jest zgodna ze stanowiskiem ontologicznym ścisłego determinizmu, wedle którego każde zjawisko pow in­ no mieć swoją przyczynę, zaś związek między przyczyną a skutkiem powinien być jednoznaczny. W tym ściśle deter­ ministycznym ujęciu, proces jest łańcuchem przyczyn i sk u t­ ków, następujących po sobie w sposób ciągły.

Wyłącznie determ inistyczne ujmowanie zjawisk w p rzyro­ dzie (nie tylko fizycznych) było w ielokrotnie krytykow ane za­ równo przez filozofów jak i przedstawicieli nauk szczegóło-

w ych. Ci ostatni, w odniesieniu choćby do opisu zjaw isk k w an to w y ch o prob ilisty czny m ch ara k te rz e lu b osobliwości kosm ologicznych, próbow ali szukać ujęć ogólniejszych od u ję ­ cia ściśle determ inistycznego, naw iązu jących np. do ró w n ań różniczkow ych nieliniow ych.

2. ZW IĄZEK M IĘD ZY D ETERM INIZM EM A REDUK CJO NIZM EM

Jeżeli p rz y jm u je się stanow isko głoszące, że zw iązek p rz y ­ czynow o-skutkow y prow adzi na poziom ie ontologicznym do h ie ra rc h ii poziom ów s tru k tu ry obiektów , to wów czas każdy proces jest w y nik iem bardziej'· elem en tarn y ch zjaw isk, ż; k tó ­ ry c h każde jest z kolei, w ynikiem jeszcze .bardziej e le m e n ta r­ n y ch ... itd. Poniew aż procesy e lem en tarn e przebiegają .na ele m en ta rn y c h poziom ach s tru k tu ry badanego obiektu, po d ob ­ n a h iera rc h ia przenosi się na składow e s tru k tu ry obiektu.

Stanow isko w yrażone w konieczności red u k o w an ia każdego złożonego zjaw iska (obiektu) i p raw nim rządzących do p ro st­ szych praw , obow iązujących dla b ard ziej elem en tarn y ch zja­ w isk (części składow ych) nazyw a się stanow iskiem redukcjo*· nizm u. (O graniczam y się tu . do red u k cjo n izm u dotyczącego określonej k lasy zjaw isk ■— fizycznych). Stanow isko ścisłego d eterm in izm u i stanow isko red u k cjo nizm u w y m ag ają w y ra ź ­ nego rozróżnienia m iędzy przyczy n ą i sk u tk iem —. odnośnie zjaw isk oraz całością i częścią — odnośnie obiektów , a także p o stu lu ją jednoznaczny (w yrażony np. za , pomocą fu n k cji anality czn ej) zw iązek m iędzy zjaw iskam i. D eterm in izm i r e ­ dukcjonizm w yznaczają p ersp e k ty w ę m etodologiczną n au k o ­ w ych teorii fizykalnych.

N iedeterm in isty czn e i holistyczne podejście do opisu zja ­ w isk fizycznych zw ykle było tra k to w a n e jako wyłącznie, filo­ zoficzne \ bez żadnych ilościow ych konsekw encji w y n ik a ją ­ cych z rów nań. P rzy czy n tak ie j sy tu a c ji było kilka. Jed n a z nich, n iew ątpliw ie w ażna dla fizyki, polegała na b ra k u przez długi czas odpow iedniego a p a ra tu m atem atycznego. A p a ra t taki został ro zw in ięty w o statnim dziesięcioleciu głów ­

1 S. K azim ier, M o d y f ik a c ja p r a w f i z y c z n y c h a k w e s t i a w y j a ś n i a n i a

p r z e s u n ię ć p r ą ż k ó w w i d m o w y c h g a l a k t y k , Stu d ia F ilo zo ficzn e 7. (1980),

105— 113; M. Z abierow ski, S t r u c t u r a l i s m in c o n t e m p o r a r y m e t r o l o g y , R eports on P h ilosop h y 6 (1982), 99— 107; M. Z abierow ski, O p e w n y m

p r o g r a m ie b a d a w c z y m w k o s m o lo g ii i kosm ogonii, Z Z agadnień F ilo ­

nie dzięki tem u, że okazał się n a tu ra ln y w rozw ijający ch się w spółcześnie nau k ach kom p u tero w y ch (com puter science).

Jego podstaw y m ożna odnieść do tzw. m ate m a ty k i patologicz­

nej, teorii w ym iarów nietopologicznych, osobliwego c h a ra k ­ te ru rozw iązań i p ro b lem aty k i nieliniow ych ró w n ań różnicz­ kow ych. Nowa m atem aty k a, zw ana geom etrią fra k ta łn ą , um o­ żliw ia taki opis obiektów , w k tó rych zw iązek m iędzy częścią a całością nie w ym aga h iera rc h ii poziom ów elem entarności. N atom iast m atem aty k a zw ana czasem „em piryczną” um ożli­ w ia badanie m odeli zjaw isk, któ ry ch reg ularn ość jest odm ien­ na od regularności ściśle d e te rm in is ty c z n e j2.

3. HO LISTY C ZN A K O NC EPC JA ST R U K T U R Y OBIEK TU W ŚW IETLE GEOM ETRII FR A K T A L N E J

Przed m io tem geom etrii fra k ta ln e j jest badanie w łasności obiektów m atem atyczn ych , k tó re posiadają w łasność fra g - m en tacji w każdej skali. O biekty te n azy w ają się f r a k ta la m i3. (W szczególności, jeśli na każdym poziomie fra g m en ta cji po­ w ielona jest ta sam a stru k tu ra , to m am y w ted y do czynienia z fra k ta la m i sam opodobnym i). P ierw szym i m atem aty cznym i fra k tala m i b yły nieróżniczkow alne fu n k cje nieskończenie kol­ czaste, (np. fu n k cja W eierstrassa, D irichleta, Bolzano), fu n ­ k cje nieciągłe w każdym punk cie (np. fu n k cja Peano) oraz zbiory ty p u zbioru C antora. W szystkie te k o n stru k c je m ate ­ m aty czn e w yróżniały się tym , że w y rażające je fu n k cje nie by ły analityczne. W spom niane i inne fra k ta le (samopodobne) definiow ane są za pom ocą p ro ced u ry ich k o n stru k cji. K ażdy kro k p ro cedu ry w yznacza fra g m en ta cję p ew n ej w yjściow ej s tru k tu ry , pow ielaną w odpow iedniej p roporcji, w niesk o ń ­ czonej liczbie kroków .

Ze w zględu n a nieskończony c h a ra k te r fra g m e n ta c ji i ko­ lejn e zm iany skali pow ielania, globalna s tru k tu ra obiektu jest na ogół ogrom nie skom plikow ana i nie da się je j opisać za pom ocą żadnej różniczkow alnej a często i ciągłej k rzy w ej: obiek ty o tak ie j s tru k tu rz e nie podlegają opisowi w języku

2 T. G rabińska, O p o t r z e b i e u o góln ienia m e t o d o lo g i i d e t e r m i n i s t y c z ­

na r e d u k c j o n is t y c z n e j , Zag a d n ien ia N a u k o z n a m s tw a X X III (1987), 329—

— 341.

3 B. B. M andelbrot, Fra ctals, Form s, Chance, a n d D im ensio n,

W. H. F reem an and Comp., S an F rancisco, 1977; B. B. M andelbrot,

T h e F racta l G e o m e t r y of N a tu re , W. H. F reem an and Comp., San

g eom etrii różniczkow ej. G eom etria tak ich obiektów jest bo­ gatsza od geom etrii euklidesow ej gładkich linii,' pow ierzchni i brył. Te o statn ie odznaczają się sy m e trią skalow ania oraz sy m e trią tra n sla c y jn ą . N ato m iast fra k ta le tra c ą sy m etrię tra n sla c y jn ą . Ten dodatkow y stopień sw obody uniem ożliw ia posługiw anie się k lasycznym rozróżnianiem m iędzy s tru k tu rą lokalną a globalną. Nie pozw ala n a w yodrębnienie części z ca­ łości, bo każdy fra g m e n t s tru k tu ry fra k ta ln e j jest w św ietle p ro ced u ry k o n stru k c ji tak ą sam ą „całością” dla n astęp n y ch krak ó w frag m entacji. W geom etrii fra k ta ln e j zw iązek w e­ w n ę trz n e j s tru k tu ry obiektu z jego cecham i globalnym i oka­ zuje się zasadniczy. Nieskończona kolczastość brzegów śn ie­ żynki v an der W aerdena, nieskończona podzielność zbioru C antora, nieskończona ilość specyficznych dziur d y w anu S ie r­ pińskiego, oznaczają pow tarzaln o ść globalnej s tr u k tu ry w skali coraz to m niejszej i w y znaczają rela cję m iędzy całością a każdą częścią, k tó ra jest zgodna z rela cją m iędzy częściam i w ygenerow anym i na różn ych etapach frag m entacji,

W p rzy p ad k u fra k ta li red u k o w an ie całości obiektu do czę­ ści b ard ziej e le m en tarn y ch (na podobieństw o red u k ow ania np. w ieloboku euklidesow ego do jego boków) nie jest m ożli­ we. Ż aden fra g m e n t s tr u k tu ry nie jest autonom iczny, a po ­ n ad to stanow i „całość” dla części realizow anych w n a s tę p ­ nych kro k ach pro ced u ry i pozostaje z nim i w ty m sam ym s tru k tu ra ln y m związku. Z „diachronicznego” p u n k tu w idze­ n ia — fra k ta l, z definicji, nie może zostać rozłożony n a ele­ m e n ta rn e składow e, poniew aż jest tożsam y z nieskończoną p ro ce d u rą pow ielania wciąż te j sam ej stru k tu ry . Z „syn chro­ nicznego” p u n k tu w idzenia, tzn. ograniczając się do określo­ n e j skończonej skali an alizy fra k ta la , np. „oglądania przez lu p ę ” zbioru C antora, m ożna w yodrębnić w nim części sk ła ­ dowe: zbiór C antora p rzed staw iałb y się w te d y jako kolekcja 2n odcinków o długości 3—n, gdzie n oznacza k o lejn y krok p ro ced u ry frag m en tacji, odpow iadającej stopniow i rozdziel­ czości lupy.

4. D ETE R M IN IST Y C Z N Y PR ZEBIEG PRO CESÓW W ŚW IETLE T EO RII A TR A K TO R Ó W

W iększość zjaw isk p rzy ro d niczy ch m a w łasności znacznie odbiegające od w łasności w yidealizow anych, ciągłych i g ład­ kich m odeli, jakich dostarczają geom etria różniczkow a i linio­ w a ró w n an ia różniczkow e. Do zjaw isk takich należą np. r u ­ chy B row na, k sz ta łt linii geograficznych, ziarnista s tru k tu ra

m ate rii w ielkoskalow ej, procesy tu rb u le n tn e , p erkolacja, przejścia fazowe. N iektóre z w ym ienionych zjaw isk m ają przebieg nieliniow y, zaś rozw iązania odpow iednich ró w n ań różniczkow ych obciążone są licznym i osobliwościam i m ate m a ­ tycznym i, k tó re zab u rzają reg ularn o ść opisu zjaw iska, np. rozw iązania są n iestab iln e w określonych p u n ktach. M etody rozw iązyw ania nieliniow ych ró w n ań różniczkow ych są zw y­ kle przybliżone, a tra je k to rie przebiegu procesów w określo­ n e j przestrzen i p aram etró w nie są w yznaczone przez fu n k cje analityczne, ale przez p ro ced u ry ite r a c y jn e 4.

Z jaw iska w przy ro d zie są na ogół procesam i nierów now a­ g o w y m i5, tzn. p rzebiegają „z d a la ” od sta n u rów now agi te r ­ m odynam icznej. W p rzy p ad k u zjaw isk ogólniejszych niż p rz y ­ rodnicze stan rów now agi nie m usi być opisyw any za pom ocą p a ra m etró w term odynam icznych, czy też fizycznych, np. w p rzy p ad k u procesów społecznych. P rocesy nierów now agow e są często opisyw ane przez ró w n an ia nieliniow e, k tó ry c h roz­ w iązania m ogą być re g u la rn e lu b chaotyczne. Isto tn e jest to, że w arun ki, k tó re opisują przejście od reg u larn eg o zachow a­ nia u kład u do zachow ania chaotycznego są un iw ersaln e w ty m sensie, że są w spólne w ielu bardzo różnym zjaw iskom n a tu ra ln y m i niezależnie od różnych p rzestrzen i p a ra m etró w

c h a ra k te ry z u ją c y ch te zjaw iska.

P ro ced u ra ite ra c y jn a w yznacza rozw iązanie ró w n an ia nie­ liniow ego a ty m sam ym c h a ra k te ry sty k i opisyw anego zjaw i­ ska; pociąga jednak za sobą porzucenie, w łaściw ego tra d y ­ cyjnem u opisowi różniczkow em u, w zajem nego p rzy po rządk o­ w an ia ciągłych przedziałów w ielkości fizycznych. Dla p ro c e ­ d u r ite rac y jn y ch ch arak te ry sty c z n e są n ato m iast pew ne w y ­ różnione- p u n k ty (pow ierzchnie itd., w zależności od w y m iaru p rzestrzen i stanów ), k tó re w yznaczają zachow anie ite ro w a n ej fu n k c ji (opisującej proces); ściślej — są one jak by p u n k tam i zbieżności itero w an ej fu nkcji. Z pow odu te j w łasności „p rzy- ■ ciągania” p u n k ty te nazyw a się a tr a k to r a m i6. P rzyb liżan ie się fu n k cji od a tra k to ra m a na ogół c h a ra k te r okresow y (w zdłuż tzw, orbity). Istn ieją jed n ak szczególnego ro d zaju a t r a k t o r y —

4 S: L u n dquist, Chaos, o r d e r p a tt e r n s , fr a c ta ls — an O v e r v i e w w : O r d e r and Chaos in N olinear P h y sic a l S y s t e m s , S. L u n d q u ist et al

(red.), P len u m P ress, N ew York, 1988, 3— 37.

5 K. G um iński, T e r m o d y n a m i k a p r o c e s ó w n ie o d w r a c a l n y c h , PW N, W arszaw a, 1986.

5 H. G. Schuster, D e te r m i n i s t i c Chaos, P h y sik — V erlag, W einheim , 1984.

tzw. dziw ne, k tó re w y stę p u ją w szędzie tam , gdzie zachow a­ n ie ite ro w a n ej fu n k cji zależy bardzo silnie od n a w e t m in i­ m aln y ch zm ian w aru n k ó w brzegow ych łub p a ra m e tró w w y ­ stęp u jący ch w rów n aniach itero w an ej fu nk cji. Taki dziw ny a tra k to r, przedstaw io ny jako pew ien k sz ta łt w p rzestrzen i fa ­ zow ej odznacza się tym , że procesy przeb ieg ające w zdłuż tr a ­ je k to rii w yznaczonych przez niego, są całkow icie n iep rzew i­ dyw alne — sta ją się chaotyczne.

In te resu jąc e jest, jakie c h a ra k te ry sty k i opisujące „ n a tu rę chaosu” m ożna odnaleźć w w y n ik u analizy zachow ań chao­ tycznych? Otóż okazuje się, że dzięki głów nie sym ulacjom kom puterow ym , m ożna było odnaleźć zarów no cechy jakościo­ w e jak i ilościowe. Część z nich zw iązana jest z tym , że wzorce uporządkow anych zachow ań (a tra k to ry okresow e) przechodzą w sta n y chaotyczne. G łów nie ten rodzaj sprzężenia m iędzy po­ rząd k iem a chaosem jest znaczący dla c h a ra k te ry sty k i chaosu. P rzejściu tem u tow arzyszy generow anie d y sk retn y ch o rb it opisujących tra je k to rie okresow e, zgodnie z przepisem na ge­ n ero w an ie s tr u k tu ry nieskończenie „p e rfo ro w a n ej” linii, k tó ­ r ą tw orzy zbiór C antora. A tra k to r dziw ny jest jak by u rze­ czyw istnieniem takiego cantorow skiego pow ielania o rb it i sam jest fra k ta le m w yznaczającym chaos (silny) — zw ykle o m a­ ły m w ym iarze. P rzejście do stab iln y ch a tra k to ró w do chaosu zależy od k ry ty c z n ej w artości pew nego p u n k tu (k ry ty czn ej tra je k to rii, pow ierzchni itd.). A więc poza a tra k to re m dziw ­ n y m zjaw isko nieliniow e przebiega reg u larn ie, ale reg u la rn ie w in n y m sensie niż ściśle d eterm in isty czn y — bo w yznaczo­ n y m przez stabiln e a tra k to ry . Tego ro d zaju jakościow a cha­ ra k te ry s ty k a procesów nieliniow ych jak i nieliniow ych fu n ­ kcji, niezależnie od szerokiego sp e k tru m ich typów , nosi zna­ m ię p e w n e j praw idłow ości. Idea tej praw idłow ości jest za­ w a rta w stw ierdzeniu, że p rzy ro d a posiada ograniczoną ilość w zorców zachow ań, k tó re prow adzą do chaosu. W zorce te m ają pew ne cechy jakościow e (tzw. uniw ersalność s tru k tu ­ raln a) jak i ilościowe (tzw. uniw ersalność m etryczna). W m iarę zm iany p a ra m etró w rów nania, a tra k to ry okresow e p ow ielają się na podobieństw o fra g m en ta cji fra k ta ln e j (mówi się w tedy, że m am y do czynienia z chaosem słabym ). C haos słab y jest jedynie w a ru n k ie m koniecznym do pow stania chao­ su silnego, poniew aż w procesach n a tu ra ln y c h może zdarzyć się tak, że jed n a z re k u re n c y jn ie g enerow anych o rb it okaże się stab iln a i chaos słab y nie będzie mógł osiągnąć sw ej silnej granicy. Ta re k u re n c y jn a reg u larno ść opisana jest

,przez dw a p a ra m e try liczbowe, k tó re są stale dla szerokiej k lasy fu n k cji nieliniow ych

W iele trudności z realizacją p ro g ram u L ap lace’a w ystępo­ w ało n iejed n o k ro tn ie w nau k ach fiz y k a ln y c h 8. D eterm in i­ sty czny przebieg zjaw isk, zgodnie z k tó ry m każdy p u n k t roz­ w iązania niesie całą in fo rm ację o przyszłości i przeszłości przebiegu zjaw iska, okazał się n iew y starczający do w y ja śn ie ­ nia większości rea ln y ch procesów. W y stąpiła potrzeb a znale­ zienia ogólniejszego ty p u regularności, k tó re j regu larn ość de­ term in istyczn a b y łab y w yidealizow anym przypadkiem . P ro ce­ dura ite rac y jn a m odeluje zw iązek m iędzy przebiegiem re g u ­ larn y m zjaw iska (a tra k to r okresow y) a przebiegiem całkow i­ cie losow ym (atrak to r dziwny). Oprócz regularności w y stęp u ­ jącej na orbicie, k tó rą m ożna p rzy jąć za q u a si-d e te rm in i- styczną, w y stęp u je ro d zaj regularności rekurencyjnej·. orbity system atycznie, w określonym stosunku ilościowym, podw a­ jają się. A więc, proces w zależności od w artości pew nych p aram etró w (w arunków brzegow ych), może przebiegać na w iele sposobów, z k tó ry ch każdy zbliżony jest do d e te rm in i­ stycznego, n ato m iast praw idłow ości zm ian ty ch sposobów za­ chow ań określone są przez fo rm u ły rek u re n c y jn e . S ta n cha­ osu, w k tó ry m b ad an y obiekt zachow uje się n iep rzew idy w al­ nie, jest tego samego pochodzenia, co każda ze stab ilny ch orbit. Różnica polega na odm ienności geom etrii: kiedy a tr a k ­ to r s ta je się frak talem , opis zjaw iska p rze staje być reg u larn y . N ie tylko m ożna odnaleźć u n iw ersaln e w artości przejścia od słabego do silnego chaosu. Sam stan chaosu (silnego) takie un iw ersaln e c h a ra k te ry sty k i posiada. Są podejm ow ane próby budow ania tzw. g ram a ty k i c h a o s u 9.

5. NOW A ROLA M A TE M A TY K I W OBEC F R A K T A LN Y C H I A TR AK TO R OW Y CH M O D ELI Z JA W ISK

F ra k ta le i a tra k to ry są zdefiniow ane za pomocą p ro ce d u ry fra g m en ta cji lu b ite ra c ji i w ty m sensie n ie są tra d y c y jn y m i obiektam i m atem atycznym i. Podobnie, w ielu ich w łasności nie m ożna uzyskać na drodze rozum ow ania dedukcyjnego. Są

7 M. J. F eigen b au m , Journal o f S ta tistica l P h y sics 19 (1978), 25; 21 (1979), 669; M. J. F eig en b a u m , C om m unications o f M ath em atical P h y ­ sics 77 .(1980), 65.

8 T. G rabińska, J. W oleń sk i i M. Z ab ierow sk i, T h e L a p la c e ’s D e m o n

T o d a y , R eports on P h ilo so p h y 7 (1983), 113—-120.

9.1. P rocaaccia, U n iv e r s a l p r o p e r tie s of d y n a m i c a l l y c o m p l e x system s:

one często rez u lta tem sym ulow ania kom puterow ego zjaw isk w ystęp u jący ch w przyrodzie. Zarów no więc a p a ra t fo rm aln y teo rii fra k ta li jak i teorii a tra k to ró w oraz m eto dy bad ań w y ­ k rac z a ją poza tra d y c y jn ą m atem atyk ę. M am y więc do czy­ n ien ia z dziedziną z pogranicza m ate m a ty k i i n au k em pirycz­ nych, nazyw an ą też „ m atem aty k ą em piryczną” 10.

Dotychczasow a rola m ate m a ty k i w nau k ach fizykalnych polegała na tym , że stanow iła rez e rw u a r a p a ra tu form alnego i teoretycznego do opisu zjaw isk fizycznych. W św ietle geo­ m etrii fra k ta in e j i m ate m a ty k i em pirycznej rela cja ap rio- ryczności m atem aty k i wobec n iere g u la rn ej i zm iennej em pirii ulega osłabieniu, a czasem odw róceniu. M atem atyk a p rzestaje być jedynie kolekcją a tra k c y jn y c h m odeli, k tó re m ogą uzy­ skać in te rp re ta c ję fizyczną. S ta je się rów nież zbiorem tw ie r­ dzeń, o trzy m an y ch w in n y sposób niż d edukcyjny: g e n e ra ­ torem tych tw ierd zeń są k om puterow e techniki sym ulow ania w łasności obiektów em pirycznych. K o m p u ter sta je się więc jednocześnie narzędziem m ate m a ty k i em pirycznej jak i n a ­ rzędziem b adania zjaw isk n a tu r a ln y c h n. Ilu stra c ją niech b ę­ dzie tzw. w zrost fra k ta ln y , opisany w tzw. m odelu DLA

(diffusion — limited aggregation).

W ystępujące w przyrodzie obiekty, pow stałe w w y n ik u p ro ­ cesów nierów now agow ych, m ają bardzo skom plikow aną s tr u k ­ turę, k tó ra jednak posiada określoną sym etrię. S tru k tu ry ta ­ kie (np. cienka w a rstw a lub szron) tylko z pozoru w y d a ją się przypadkow e. W istocie, cząsteczki (np. m eta lu lub wody) posiadają rodzaj pam ięci o k o lejn y ch stadiach procesu, w k tó ry m uczestniczą. Ma to odzw ierciedlenie w korelacjach lub u k ry ty c h sym etriach. Takie procesy m ogą być m odelo­ w ane za pom ocą p ro ced u ry tw orzącej stru k tu rę , np. tzw. ag regacji w w y n ik u ograniczonej dyfu zji D L A 12. T en n a j­ prostszy m odel tzw. procesów w zro stu zdefiniow any jest następ ująco : 1° w y b ieram y pew ien p u n k t 0 na płaszczyźnie, na k tó re j d y fu n d u je cząstka 1 w sposób losow y dopóty, do­ póki nie znajdzie się w określonej odległości od p u n k tu 0, gdzie się zatrzy m uje, 2° d rug a dy fu n d u jąca cząstka 2 dopóty

10 D. R. H ofstad ter, S tr a n g e a ttra c to rs: m a t h e m a t i c a l p a t t e r n s d e l i ­

c a t e l y p o is e d b e t w e e n o r d e r - an d chaos, S cien tfic A m erican, N o v em ­

ber 1981, 16— 29.

11 R. J u llien , A g g r e g a ti o n p h e n o m e n a a n d - f r a c t a l a ggregates, Con- T em porary P h y sics 28 (1987), 477— 493; L. M. Sander, F racta l g r o w t h

p r o c e s s e s , N ature 322 (1986), 789— 793.

błądzi losowo, dopóki nie zatrzy m a się w określonym sąsiedz­ tw ie p u n k tu 0 lub cząstki 1, 3° trzecia d y fu n d u jąea cząstka 3 dopóty błądzi w określonym sąsiedztw ie, dopóki nie zatrzy m a się w określonym sąsiedztw ie p u n k tu 0 lu b cząstki 1, lub

cząstki 2, itd...

P ro ced u ra DLA pozw ala sym ulow ać ko m pu terow y obraz stru k tu ry . In te resu jąc e jest to, że chociaż oczekuje się, że s tru k tu ry zdefiniow ane za pom ocą p ro c e d u ry DLA są fra k - talam i, to nie m ożna tego udow odnić posługując się środkam i form alny m i. Nie m ożna także inaczej określić (wyliczyć) w y ­ m ia ru frak taln eg o o trzym an ej s tru k tu ry niż go po p ro stu zm ierzyć na o trzy m an y m obrazie kom puterow ym . N ato m iast w artość liczbowa tego w y m iaru p ok ry w a się z w artością o trzy m an ą w fizycznym (kinetycznym ) m odelu w zrostu.

6. DETERM INIZM O PISU FR A K T A LN E G O I IN DER TER M INIZM C H A O SU

M echanicyzm przyniósł ze sobą determ in izm ścisły, w edle którego każde zjaw isko fizyczne m a konieczną przyczynę, zaś przed m io tem w iedzy jest od k ryw an ie p ra w ogólnych, k tó re opisują w sposób jednoznaczny zw iązek m iędzy przyczyną a skutkiem . W św ietle p raw ogólnych zjaw iska n a tu ra ln e p rze stają być tajem nicą, ich przebieg zależy jedynie od w a ­ ru n k ó w brzegow ych. P rz y ro d a z p u n k tu w idzenia D em ona L aplace’a b y łab y ostatecznie zdeterm inow ana.

D eterm inizm ścisły im p lik u je p o stu la t ciągłości w czasie i p rzestrzen i (spełniony w geom etrii różniczkow ej), k tó ry sfo rm u łu jem y w n a stę p u jąc y sposób: stan fizyczny obiektu jest w yznaczony w p ew n ej chw ili t i m iejscu w p rzestrzen i x na podstaw ie stan u w chw ili (t— dt) i w bezpośrednim otocze­ n iu p rzestrzen n y m dx układu. Tę w ersję po stu latu ciągłości p odajem y jako uogólnienie p o stu la tu ciągłości w czasie, k tó ry G a w ę c k i18 nazyw a p o stu latem d eterm in izm u m atem atycznego oraz p o stu la tu ciągłości Gawęckiego, k tó ry w yw odzi on ze sform ułow ania zasady przyczynow ości przez W in ternitza u, acz­ kolw iek nazb y t optym istycznie p rz y sta je na to, że sform uło­ w anie zasady przyczyności przez W in ternitza jest w łaściw ą in te rp re ta c ją sform ułow ania zasady przyczynow ości K a n t a 15.

13 B. J. G aw ęck i, Z a g a d n ie n ie p r z y c z y n o w o ś c i w f i z y c e , P A X , W ar­ sza w a 1969.

14 J. W internitz, K a u s a li tä t , R e l a t iv i tä t, u n d S te t ig k e i t, K a n tstu d ien 25 (1920), 220— 232.

P o stu la t ciągłości nie obow iązuje w geom etrii fra k ta ln e j, ale nie jest w yłącznie — jak sądzim y — a try b u te m determ inizm u ścisłego.

Jeżeli zw iązek przyczynow y jest w zorow any na tym , k tó ry im p lik u je d eterm inizm ścisły, to w m iarę rozw oju w iedzy przy rod n iczej i odk ryw an ia różnego ty p u zw iązku przyczyno­ wego pojęcie d eterm in izm u m usiałoby ulegać stopniow aniu ie. Z nane są dy skusje n a d pojęciem d eterm in izm u w fizyce sta ­ tysty czn ej, m echanice k w an to w ej i k o sm o lo g ii17. W św ietle rozw oju zastosow ań geom etrii fra k ta ln e j i m a te m a ty k i „em pi­ ry c z n e j” do opisu zjaw isk przyrodniczych, należałoby w p ro ­ w adzić now ą osłabioną w ersję determ inizm u.

M iast konstruow ać now ą osłabioną (w stosunku do d e te r­ m inizm u ścisłego) w ersję determ inizm u, p rzy jm u je m y in n y p u n k t w idzenia, k tó ry m ożna w czasach now ożytnych w y p ro ­ w adzić w łaśnie od K an ta. W jego sform ułow aniu zasada p rz y - czyności m ówi tylko tyle, że zdarzenia n a stę p u ją po sobie zgodnie z określoną praw idłow ością. Można dopatrzeć się tu pnzede w szystkim w a ru n k u reg ularn o ści zjaw isk. P ra w id ło ­ wość, k tó ra tę reg ularno ść w yraża, może być w postaci zw iązku kauzalnego, ale także kondycjonalistycznego, gene­ tycznego, funkcyjnego, funkcjonalnego, holistycznego, teolo­ gicznego lub następstw a. Zgodni byliby śm y w ty m m iejscu z koncepcją determ inizm u M e ta llm a n n a 18. Tw ierdzi on, że każdy rodzaj zdeterm inow ania zaw iera w sobie schem at w y ­ znaczania następującego sta n u na podstaw ie znajom ości stan u poprzedniego i zw iązku m iędzy kolejn y m i stan am i (który w y ­ raża praw idłow ość).

Jeżeli w ięc praw idłow ość np. po w staw ania s tr u k tu ry fra k ­ ta ln e j lu b w zrostu frak taln eg o jest w yrażona przez procedu rę k o n stru k c ji (sym ulacji), to każd y k o lejn y etap określony jest n a p o dstaw ie znajom ości etap u poprzedniego i zw iązku m ię­ dzy kolejn y m i etapam i (w yrażonego przez procedury). Jeżeli zjaw isko nieliniow e może przebiegać w różny (ale reg u la rn y ) sposób, w zależności od w artości w a ru n k ó w brzegow ych, to też m am y tu do czynienia ze zdeterm inow aniem . Jednocześnie w pierw szym p rzy p ad k u (gdy w b ard ziej realisty czn y ch p ro ­

16; W. K ra jew sk i, Z w i ą z e k p r z y c z y n o w y , PW N, W arszaw a 1967. 17 M. Z abierow ski, T. G rabińska, D e t e r m i n i z m f i z y c z n y a k o s m o lo ­

gia, Studia. P h ilosop h iae C h ristian ae 16 (1980), 153— 162.

18 J. M etałlm an, E l e m e n t y te o r ii poznania, lo giki f o r m a ln e j i m e t o ­

ced u rach k o n stru k c ji stosuje się opis probabilistyczny), jak i w dru gim (gdy stabilność reg u larn eg o zachow ania zacżyna b y ć bardzo czuła na zm ianę w aru n k ów brzeg o w y ch ). n ie ­ odzow ne jest podejście statystyczne. Sądzim y więc, podobnie ja k M etallm ann, że zjaw iska (także o n a tu rz e fra k ta ln e j) są zdeterm inow ane w sposób ścisły lub statystyczn y. P ra w id ło ­ w ością, k tó ra opisuje zw iązek m iędzy k o lejn ym i etap am i zja­ w isk fra k ta ln y c h i nieliniow ych, jest p ro ced u ra k o n stru k cji (sym ulacji) lub iteracji. (Problem em od rębn ej n a tu ry jest funkcjo no w anie kategorii p ro ced ury n a poziom ie ontologicz- nym ).

P rzy jęcie tezy M etallm anna o determ in izm ie uw alniania .nas od kłopotliw ej (także z p u n k tu w idzenia opisu fra k ta l­ nego) rela cji m iędzy determ inizm em (ścisłym ) a red u k c jo ­ nizm em : zw iązek m iędzy kolejnym i stan am i obiektu może być tak że holistyczny lu b stru k tu ra listy c z n y . W pierw szym p rz y ­ p a d k u g w a ra n tu je go p ro ce d u ra k o n stru k c ji (fragm entacji), w d rugim — p ro ced u ra sym ulacji lu b p ro ced ura iteracji. N ie m ożem y jed nak zaakceptow ać stanow iska M etallm anna od­ nośnie odrzucenia indeterm in izm u. P rzeb ieg zjaw isk nielinio­ w y c h może się stać chaotyczny w sensie silnym . W tedy zde­ term ino w an ie staty sty czn e nie w y stę p u je ze w zględów za­ sadniczych: podstaw ow y w yróżnik zd eterm inow ania zjaw iska, k tó ry podał M etallm an n nie m a w ty m w y p a d k u zastosow a­ nia. O biekt w stanie silnego chaosu zachow uje się n ied e term i- nistycznie: nie m ożna określić zw iązku m iędzy k o lejn ym i s ta ­ nam i. P ra w d ą jest, że stan silnego chaosu (a tra k to r dziwny)

jest spow inow acony m atem atycznie ze słabym chaosem (w k tó ry m opis sta ty sty c z n y jest m ożliwy), że chaos m a n a ­ tu rę fra k taln ą , że m ożna badać jego s tru k tu rę jako s tru k tu rę obiektu m atem atycznego. Nie zm ienia to w szakże fak tu , że g d y a tra k to r dziw ny w y stąp i w procesie n a tu ra ln y m , to p ro ­ ces ten sta je się indeterm inisty czn y .

D ETER M IN ISM A N D R ED U C TIO N ISM IN THE LIG H T OF EM PIRICA L M A TH EM A TIC S

S um m ary

T he fra cta l con cep tu alisation of n atu ral phenom ena and its relation to th e iterated solu tion s of n on lin ear d ifferen tia l eq u ation s are d iscu s­ sed. T he tra d itio n a l con n ection b etw een d eterm in ism and reductiom ism sh ou ld be once m ore revised , w h e n fra cta l m od els axe ta k en in to

account: a h o listic cou p lin g o f part and th e w h o le is p referred. T h e con sid eration of regu lar so lu tio n s o f th e n on lin ear d iffe r e n tia l equations a n d th e ir ch aotic coun terp art im p lies th e M etallm an cla im about strict and s ta tis tic d eterm inism . T he in d eterm in ism o f chaos, h o w e v e r , cannot b e called in question.