Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. Wykład 10 10. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 10.1. Pojęcia wstępne. 10.2. Równania różniczkowe cząstkowe liniowe i quasi-liniowe rzędu pierwszego.

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem.

Wykład 10 10. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

10.1. Pojęcia wstępne.

10.2. Równania różniczkowe cząstkowe liniowe i quasi-liniowe rzędu pierwszego.

10.1. Pojęcia wstępne

Równania różniczkowe cząstkowe (RRCz) stanowią obszerną dziedzinę matematyki, łączącą się z innymi gałęziami matematyki jak: analiza matematyczna, analiza funkcjonalna, geometria różniczkowa, topologia... Początki badania równań cząstkowych można znależć w pracach XVIII wieku Daniela Bernoulliego i Jeana d’Alamberta poświęconych badaniu rozwiązań równania struny. Natomiast współczesnej teorii równań nie sposób przedstawić bez pomocy metod analizy funkcjonalnej. Przykłady ilustrujące sposoby rozwiązywania poszczególnych równań są często niełatwe z uwagi na długie rachunki. Niektóre z tych przykładów miały w swoim czasie przełomowe znaczenie dla rozwoju matematyki. Np. teoria szeregów Fouriera wyrosła z prób rozwiązywania równania falowego i równania ciepła;

natomiast teoria przestrzeni Hilberta ma swoje korzenie w badaniach równań Laplace’a i Poissona. Faktycznie nie istnieje coś takiego jak ogólna teoria równań różniczkowych cząstkowych. Na ogół twierdzenia dotyczą jednego równania lub konkretnej klasy równań.

10A1 Definicja (równanie różniczkowe cząstkowe)

Równanie różniczkowe, w którym niewiadomymi są funkcje wielu zmiennych (tzn.

równanie, w którym występują pochodne cząstkowe) nazywamy równaniem różniczkowym cząstkowym (RRCz). Najwyższy rząd pochodnej w tym równaniu będziemy nazywali rzędem RRCz.

10A+B2 Przykłady:

2.1. RRCz postaci

1

1

, , , , ,... 0

, , ⁿ

m i i

i n

u u

F x u

x x x

   

    

  (1) jest RRCz rzędu ,m gdzie x( ,x₁ ,x_n) ⁿ jest zmienną niezależną, zaś

( ) ( ,...,1 _n)

uu x u x x szukaną funkcją, jeżeli najwyższy rząd pochodnej w tym równaniu wynosi m .

2.2. Równanie postaci

, , 0

i

F x u u x

  

  

  lub dokładniej ₁

1

, , _n, , , , 0

n

u u

F x x u

x x

   

   

  (2) jest RRCz rzędu pierwszego.

2.3. Równanie (2), w którym funkcja F jest liniowa względem funkcji niewiadomej u oraz wszystkich jej pochodnych, nazywamy liniowym (RRCzL). W szczególności, RRCzL rzędu pierwszego ma postać:

1

( ) ( ) ( )

n i

i i

A x u B x u f x

 x

  



 (3)

a rzędu drugiego:

2

, 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

n n

ij k

i j i j k k

u u

A x B x C x u f x

x x x

 

    

  

 

(4)

RRCzL (3) (lub (4)) nazywamy jednorodnym jeżeli prawa część ( )f x  0 (niejednorodnym dla ( )f x 0).

2.3. Równanie (2) postaci

1

( , ) ( , )

n i

i i

A x u u B x u

 x

 



 (5)

nazywamy quasi-liniowym.

10A3 Uwaga (rozwiazanie RRCz)

Funkcję uu x( )u x( ,...,₁ x_n)określoną i ciągłą wraz a odpowiednimi pochodnymi w obszarze D  ⁿ, które spełnia w tym obsarze równanie (1), nazywamy rozwiązaniem regularnym. Rozważa się również rozwiązania równania (1), które nie spełniają założeń regularności w całym obszarze D.

10A+B4 Przykłady. Rozwiązać poniżej podane RRCz.

4.1. Rozwiązać RRCz rzędu pierwszego:

( , )

( ) ( ), u x y

x y

x  

  

 gdzie ,  są klasy C⁰.

Rozwiązanie. Całkując względem x, mamy rozwiązanie ogólne

0

( , ) ( ) ( ) ( ),

x

x

uu x y 



 t dt y  x C y gdzie ( )C y jest dowolną funkcją klasy C . ¹ 4.2. Rozwiązać RRCz rzędu drugiego:

2 ( , ) u x y 0.

x y

 

 

Rozwiązanie. Mamy:

2

0 u u .

x y y x

   

       Całkując względem y : u ( ), x  x

 

 a

zatem względem ,x otrzymamy rozwiązanie ogólne

0

( ) ( ),

x

x

u



 t dt  y ^{gdzie ,  są} dowolnymi funkcjami klasy C ¹.

4.3. Rozwiązać RRCz rzędu pierwszego: u 2 u.

x y

 

  

Rozwiązanie. Wprowadzimy nowe zmienne niezależne: 1 2 ,

x y

   1

2 .

x y

   Wtedy 1

( ),

x 2   y  oraz   ( , ) ¹( ), ( , )

uu x y u^2      ^z   . Stąd

u z z z z

x x x

 

   

           

      

1 1

2 2 ,

2 2

u z z z z

y    

 

        

co jest równoważne z 0.



 

 Całkując, otrzymamy rozwiązanie ogólne zz( , )  C( )

lub 1

( , ) ,

uu x y C x  2y gdzie C jest dowolną funkcją klasy C jednej zmiennej ¹ niezależnej.

4.4. Rozwiązać RRCz rzędu pierwszego u( , , ) 0 x y z z

 

 o funkcji niewiadomej ( , , ).

uu x y z

Rozwiązanie. Całkując podane RRCz względem z, otrzymamy rozwiązanie (całkę) ogólne uC x y( , ), gdzie ( , )C x y jest dowolną funkcją dwóch zmiennych niezależnych. Aby określić rozwiązanie (całkę) szczególną trzeba podać warunki

dodatkowe, które będziemy nazywali warunkami granicznymi dla RRCz. W zależności od interpretacji fizycznej warunki graniczne nazywamy warunkami początkowymi albo warunkami brzegowymi. Na przykład, korzystając z warunku początkowego

3

0 0

( , , ) ( , ) dla ( , , ) ,

u x y z  x y x y z  D otrzymamy całkę szczególną

( , , ) ( , ) dla ( , , ) 3, uu x y z  x y x y z  D gdzie funkcja  jest z góry podana.

10B5 Uwaga-ćwiczenie

W powyższych przykładach rozwiązanie (całka) RRCz pierwszego rzędu zależy od jednej dowolnej funkcji, drugiego rzędu – od dwóch dowolnych funkcji itd. Czy ten fakt jest ogólny?

Przypuśćmy, że równanie (1) można zapisać w postaci

1 1

1 1

,..., , , , , ,...

, , ⁿ

m k

n i i

m

i n

u u u

f x x u

x x x x

 

  

  

      (6) RRCz rzędu m rozwiązanym względem jednej z pochodnych wyższego rzędu ( m k ).

10A+B6 Definicja (zagadnienie Cauchy’ego)

Rozważmy RRCz (6), gdzie x( ,x₁ ,x_n) D ⁿ. Niech dalej punkty początkowe

10 0

(x , ,x_n )D oraz funkcje początkowe ₀( ,x₂ ,x_n), ₁( ,x₂ ,x_n),..., _m1( ,x₂ ,x_n) są z góry zadane. Wtedy zagadnienie Cauchy’ego dla RRCz (6) i obszaru D polega na wyznaczeniu rozwiązania uu x( ,₁ ,x_n) które spełnia następujące warunki

początkowe:

10 2 0 2

10 2 1 2

1

1

10 2 1 2

1 1

( , , , ) ( , , ),

( , , , ) ( , , ),

...

( , , , ) ( , , ),

n n

n n

m

n m n

m

u x x x x x

u x x x x x

x

u x x x x x

x





 

 

 

  

 



  





(7)

gdzie (x₁₀,x₂, ,x_n) D.

Zagadnienie Cauchy’ego (7) można rozpatrywać nie w całym obszarze D , a tylko w pewnym otoczeniu punktu (x₁₀, ,x_n0).

Powstaje pytanie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego. Twierdzenia na ten temat w teorii RRCz są znane pod nazwą twierdzeń Cauchy’ego-Kowalewskiej.

10B+C7 Twierdzenie (twierdzenie Kowalewskiej) Jeżeli

1) funkcja f w (6) jest analityczna w pewnym otoczeniu wartości początkowych jej argumentów;

2) funkcje  ₀, ₁,...,_m1 są analityczne w pewnym otoczeniu punktu (x₂₀, ,x_n0) ; to istnieje otoczenie punktu początkowego, w którym zagadnienie (7) Cauchy’ego ma dokładnie jedno rozwiązanie analityczne.

10A+B8 Wniosek (RRCz pierwszego rzędu) Dla RRCz pierwszego rzędu

, , , , ,

u u u

f x y z u

x y z

 

  

  

     (8)

o funkcji niewiadomej uu x y z( , , ), gdzie xD₁ , ( , )y z D₂  ², i wartości początkowych x₀D₁, ( , ) y z zagadnienie (7) Cauchy’ego przyjmuje postać

0 2

( , , ) ( , ), ( , ) .

u x y z  y z y z D (9)

10 0

(x , ,x_n )

Wtedy jeżeli funkcja ( , ) y z jest analityczna w pewnym otoczeniu punktu(y z₀, ₀)D₂ oraz funkcja , , , , u, u

f x y z u

y z

   

   

  jest analityczna w pewnym otoczeniu punktu

0, 0, 0, ( 0, 0), ( 0, 0), ( 0, 0)

x y z y z y z y z

y z

 

 ^{ }

  ^, to istnieje otoczenie punktu ( ,x y z w _{0 0}, ₀) którym zagadnienie Cauchy’ego (9) ma dokładnie jedno rozwiązanie analityczne.

10B9 Uwaga

Funkcję ( , )y z dwóch zmiennych niezależnych nazywamy analityczną w pewnym otoczeniu

0 0

( , )

O y z punktu (y z₀, ₀) jeżeli jej szereg Taylora jest zbieżny do tej funkcji w tym otoczeniu

tzn. _{0 0}

0

( , ) _i ( ) (ⁱ )^j

i j

y z a yj y z z

 ^

 





  ^{, gdzie aij }_{i j! !}^{1 }_{ }^_{x y}^{i ji j (y z0, 0),i0,1,...; j0,1,...}

10A+B10 Definicja (powierzchnią całkową)

Wykres rozwiązania uu x( ,...,₁ x_n) RRCz (1) będziemy nazywali powierzchnią całkową (w przestrzeni ) tego równania.

Wtedy w tej interpretacji geometrycznej, na przykład dla RRCz rzędu pierwszego , , ,

u u

f x y u

x y

 

 

  

   , (10) w zagadnieniu Cauchy’ego

( , )0 ( )

u x y  y (11) chodzi o wyznaczenie takiej powierzchni całkowej uu x y( , ), która przechodzi przez daną krzywą xx u₀, ( ).y

10.2. Równania różniczkowe cząstkowe liniowe i quasi-liniowe rzędu pierwszego Rozważmy RRCz liniowe jednorodne postaci

1

( ) 0,

n i

i i

A x u

 x

 



 (12)

gdzie uu x( )u x( ,...,₁ x_n), x( ,x₁ ,x_n) D ⁿ oraz co najmniej jedna z funkcji

1( ),..., _n( )

A x A x jest różna od zera (w obszarze D).

Rozwiązujemy równanie (12) metodą charakterystyk.

1 n

Wprowadzimy układ równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego w postaci symetrycznej:

1 2

1 2

( ) ( ) ( ),

n n

dx dx dx

A x  A x   A x (13)

który będziemy nazywali układem równań charakterystyk RRCzL (12). W tym układzie (na przykład przy A x ₁( ) 0) x możemy traktować jako zmienną niezależną, a ₁ x₂, ,x_n jako jej funkcje.

Zachodzi następująca relacja między RRCz (12) i układem RR zwyczajnych (13).

10A+B11 Twierdzenie

Załóżmy, że funkcje A x₁( ),...,A x_n( ) występujące w (12) i (13) są ciągłe w pewnym obszarze D  ⁿ. Wówczas funkcja u( ,x₁ ,x_n) klasy jest rozwiązaniem RRCz (12) w obszarze D  ⁿ wtedy i tylko wtedy, gdy ( ,x₁ ,x_n) C const jest całką (pierwszą) układu RRZ (13).

Schemat dowodu. Dla A x  niech ₁( ) 0 u ( ,x x_{1 2},...,x_n) będzie rozwiązaniem RRCz (12). Zakładając x₂ x x₂( ),₁ x₃ x x₃( ),...,₁ x_n x x_n( )₁ , mamy:

2

1 2

1 1 2 1 1 (12) 1 1 2

... 1 ( ) ( ) ... ( ) 0.

( )

n

n

n n

dx

d dx

A x A x A x

dx x x dx x dx A x x x x

                 

Stąd ( ,x x_{1 2},...,x_n) jest więc całką układu (13). Na odwrót, niech C ( ,x x_{1 2},...,x_n) będzie C całką układu (13). Wtedy mamy:

2

1 2

1 1 2 1 1 1 1 2

0 ... 1 ( ) ( ) ... ( )

( )

n

n

n n

dx

d dx

A x A x A x

dx x x dx x dx A x x x x

        

                  

1 2

1 2

( ) ( ) ... _n( ) 0

n

A x A x A x

x x x

  

       

   funkcja u( ,x x_{1 2},...,x_n) jest więc rozwiązaniem RRCz (12) co kończy dowód.

10A+B12 Twierdzenie

Jeżeli ₁, ,_n1 są liniowo niezależnymi całkami pierwszymi układu (13), to



1 1



( ) ( ), , _n ( ) ,

u x    x  _ x gdzie ( ,x₁ ,x_n)D,

jest rozwiązaniem ogólnym równania (12);  jest tu dowolną funkcją różniczkowalną o wartościach rzeczywistych.

C1

Schemat dowodu. Mamy:

1

1

, 1, 2,..., .

n

j

i j j i

u i n

x x









    





  ^Stąd

1 1

10 11

1 1 1 1 1

( ) ( ) ( ) 0,

n n n n n

j j

i i i

i i i j j i j j i i A B

A x u A x A x

x x x

 

 

 

     

   

  

     

      

    

tzn. funkcja  jest

rozwiązaniem równania (12) po pierwsze. Po drugie, liniowa niezależność ₁, ,_n1 implikuje w dostateczne małym otoczeniu dowolnego punktu xD rozwiązalność dowolnego

zagadnienia Cauchy’ego, co kończy dowód.

10A+B13 Przykład. Znaleźć powierzchnię całkową uu x y( , ) RRCz u u 0

x y

x y

   

  (14) przechodzącą przez krzywą x1, (1, )u y ( ).y

Rozwiązanie. Równanie charakterystyk ^{dx dy}

x  y jest RRZ o zmiennych rozdzielonych. Stąd mamy ln y ln x ln C oraz y

x  jest całką RR (26). Wtedy C

funkcja y ,

u x

     gdzie  jest dowolną funkcją klasy , jest rozwiązaniem ogólnym RRCz (14). Korzystając z zagadnienia Cauchy’ego u(1, )y  ( )y ( ),y mamy

rozwiązanie szczególne u ^y

^{ }x

    zagadnienia Cauchy’ego u(1, )y ( )y dla RR (14).

10A+B14 Uwaga (równanie quasi-liniowe)

Rozważmy równanie quasi-liniowe (5):

1

( , ) ( , )

n i

i i

A x u u B x u

 x

 



 ^.

Szukamy rozwiązanie uu x( )u x( ,₁ ,x_n) tego równania w postaci uwikłanej:

( , ) 0,

v x u  (15) przy czym zakładamy że Wtedy ( , ( ))v x u x 0. Mamy stąd

, 1, , .

i i

v

u x

i n

x v

u



   

 

(16) C1

v 0.

u

 



Wstawiając (16) do (5), mnożąc obie strony przez i dodając następnie do obu stron ( , ) v,

B x u u



 dojdziemy do RRCz liniowego

1 1

1

( , , , ) ( , , , ) 0,

n

i n n

i i

v v

A x x u B x x u

x u



   

 



(17) w którym x₁, ,x u są zmiennymi niezależnymi, zaś _n, vv x( ,₁ ,x u_n, ) jest szukaną funkcją tych argumentów.

Aby rozwiązać równanie (17) należy znaleźć n liniowo niezależnych całek pierwszych układu równań zwyczajnych (charakterystyk):

1 2

1 2

( , ) ( , ) ( , ) ( , ).

n n

dx dx dx du

A x u  A x u   A x u  B x u

Jeżeli ₁, ,_n są szukanymi liniowo niezależnymi całkami pierwszymi tego równania, wówczas rozwiązanie ogólne równania (30) ma postać



1



( ) ( , ), , _n( , ) . v x    x u  x u A więc związek



1( , ),x u ,_n( , )x u



0

 

określa funkcję uwikłaną uu x( ,₁ ,x_n), będącą rozwiązaniem ogólnym równania (5).

11A+B15 Przykład. Rozwiązać RRCz quasi-liniowe



^{1 u x y}



^_^u_x ^ _^u_y ^2 (18) w dostatecznie małym otoczeniu punktu ( ,x y będącego rzutem prostokątnym _{0 0}) dowolnego punktu



x y u x y0, 0, ( ,0 0)



obszaru D , w którym funkcja

1( , , ) 1

A x y u   u  jest klasy x y C ¹.

Rozwiązanie. Zgodnie z 10A+B14 bierzemy pod uwage RRZ

1 2

1

dx dy du

u x y  

   . (19) Mamy zatem: ^{du 2dy dx,  }



^{1 u x y dy}



^,

 

( ) 2 1

d u x y  dy  u x y dydy  u x y dy

2 ,

( )

. du dy d u x y

u x y dy

 

  

 

  



Całkując otszymamy całki pierwsze RR (19): u2yC y₁, 2 u  x y C₂, skąd

1 u 2 ,y 2 y 2 u x y

        oraz związek



^{u 2 ,y y 2 u x y}



^0,

     

v u

 

  

 

gdzie funkcja  jest klasy C określa rozwiązanie ogólne RRCz (18) w postaci ¹, uwikłanej.

11A+B16 Uwaga (równanie liniowe niejednorodne) Równanie liniowe niejednorodne postaci (3):

1

( ) ( ) ( )

n i

i i

A x u B x u f x

 x

  





rozwiązujemy tak, jak równanie quasi-liniowe, przyjmując, że B x u( , ) f x( )B x u( ) . 11A+B17 Przykład. Rozwiązać RRCzL niejednorodne

u u 1

x y

 

 

  (20) z funkcja szukaną uu x y( , ) w dostatecznie małym otoczeniu punktu ( ,x y _{0 0}) płaszczyzny Oxy .

Rozwiązanie. Zgodnie z 10A+B14 bierzemy pod uwagę RRCz x v v 0

x y u

    

  

oraz równanie charakterystyk dxdydu, skąd ₁  u x,₂   . Wtedy związek u y (u x u, y) 0,

   

gdzie funkcja  jest klasy C określa rozwiązanie ogólne RRCz (20) w postaci ¹, uwikłanej.

Praca domowa

1. Rozwiązać RRCz rzędu pierwszego o funkcji niewiadomej uu x y( , ).

a) 2 u 3 u 0; b) 2 u 3 u 1.

x y x y

       

   

Odpowiedź: a) u (2y3 ),x gdzie funkcja  jest klasy C¹;

b) związek (2ux, 2y3 )x 0, gdzie funkcja  jest klasy C¹ określa rozwiązanie ogólne RRCz b) w postaci uwikłanej.

2. Dla podanych RRCz znaleźć rozwiązanie spełniające warunki początkowe:

a) 2 u 3 u 0, (1, ) sin(2 3), ( , ) ;

u y y x y D

x y

      

 

2

3 2

(0, , ) ,

b) ( , , ) 2, ( , , ) .

(0, , ) , u y z y z

u x y z u x y z

x y z yz

x

  

    

   

Odpowiedź: a) usin(2y3 )x ; b) u x²  y z xyz.