Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. Wykład 11 11. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE LINIOWE DRUGIEGO RZĘDU

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem.

Wykład 11 11. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE LINIOWE DRUGIEGO

RZĘDU 11.1. Przegląd wybranych modeli fizycznych.

11.2. Równania różniczkowe cząstkowe liniowe rzędu drugiego.

11.3. Metoda Fouriera badania równań fizyki matematycznej.

11.1. Przegląd wybranych modeli fizycznych

Podczas badania równań cząstkowych często warto odwoływać się do motywacji fizycznej danego równania. Na ogół z fizyki wynika, które z równań są ważne, gdyż opisują ważny proces fizyczny. Znajomość fizyki pozwala także na interpretację wyników i wzorów oraz daje pełniejszy obraz teorii.

11A+B1 (równanie struny)

Będziemy rozpatrywali małe poprzeczne drgania struny naprężonej. Zakładamy, że struna, pod którą rozumiemy nić sprężystą (zdolną do swobodnego zginania się), znajduje się pod działaniem naprężenia w stanie równowagi i rozciągnięta jest wzdłuż osi Ox. Jeżeli wyprowadzimy strunę ze stanu równowagi, a zatem swobodne puścimy, to struna rozpocznie drgania. Zakładając że ruch struny odbywa się w płaszczyźnie Oxu i punkty struny poruszają się prostopadle do osi Ox. Niech dalej ( , )u x t jest odchyleniem od stanu równowagi punktu struny o odciętej x w chwili t. Wtedy

2 2

2

2 2 ( , ),

u u

a f x t

t x

   

  (1) gdzie funkcja ( , )f x t opisujedziałania sił zewnętrznych,a 0. Wykres funkcji

( , )

uu x t przy ustalonej chwili t opisuje stan struny w chwili t.

Analogiczne RRCz opisują ruch falowy, zjawiska drgań podłużnych prętów, drgań elektrycznych w przewodach i inni.

11B+C2 Przykłady.

2.1. Drgania poprzeczne membrany opisuje równanie

2 2 2

2

2 2 2 ( , , ),

u u u

a f x y t

t x y

 

  

   

   

które spełnia funkcja uu x y t( , , ) wychylenie z położenia równowagi.

2.2. Równanie fali akustycznej jest postaci

2 2 2 2

2

2 2 2 2

u u u u

t a x y z

 

     

gdzie uu x y z t( , , , ) oznacza tzw. potencjał prędkości.

11B3 Uwaga

Wszystkie powyżej rozważane równania można jednolicie zapisać używając tzw. operatora Laplace’a

1

i i

n x x i

u u



 



w postaci u_tt   c² u f x( ,₁ ,x t_n, ).

11A+B4 (równanie przewodnictwa cieplnego i dyfuzji)

Zjawisko przewodnictwa cieplnego w pręcie jednowymiarowym opisane jest równaniem

2 2

2 ( , ),

u u

a f x t

t x

   

  (2) gdzie funkcja uu x t( , ) oznacza temperaturę w punkcie x w chwili ,t zaś f opisuje działające źródła ciepła. Również zjawisko dyfuzji gazu lub cieczy opisane jest

równaniem (2), gdzie uu x t( , ) oznacza stężenie obserwowanego składnika.

Analogicznie rozchodzenie się ciepła w przestrzeni można opisać równaniem

 

2 ( , , , ).

t xx yy zz

ua u u u  f x y z t 11A+B5 (równanie Laplace’a) Równanie Laplace’a na płaszczyźnie

2 2

2 2 0

u u

x y

 

 

  lub  u 0^, gdzie

2 2

2 2.

u u

u x y

 

  

  (3) opisuje rozchodzenie stacjonarne temperatury w płaszczyźnie i nie tylko oraz ma ważne zastosowania w teorii potencjału.

11.2. Równania różniczkowe cząstkowe liniowe rzędu drugiego

Teoria RRCz liniowych drugiego rzędu ogólnej postaci (zobacz 10A+B2) jest dosyć skomplikowana. Poniżej rozpatrujemy takie równanie o funkcji niewiadomej uu x y( , ) dwóch zmiennych niezależnych:

( ) ( , ) u ( , ) u ( , ) ( , ) 0, L u a x y b x y c x y u d x y

x y

 

    

  (4)

gdzie

2 2 2

2 2

( ) ( , ) u 2 ( , ) u ( , ) u

L u A x y B x y C x y

x x y y

  

  

    oraz funkcje dane ( , ), ( , ),A x y B x y ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )

C x y a x y b x y c x y d x y są klasy C², ( , )x y  D ², przy czym funkcje ( , ), ( , ), ( , )

A x y B x y C x y nie znikają jednocześnie w żadnym punkcie obszaru D . 11A6 Definicja (klasyfikacja)

RRCzL (4) nazywamy w zbiorze D równaniem typu:

a) hiperbolicznego jeżeli A x y C x y( , ) ( , )B x y²( , )0, ( , )x y  D, b) parabolicznego jeżeli A x y C x y( , ) ( , )B x y²( , )0, ( , )x y D, c) eliptycznego jeżeli A x y C x y( , ) ( , )B x y²( , )0, ( , )x y D,

Jeżeli wyrażenie ( , )x y A x y C x y( , ) ( , )B x y²( , ) zmienia znak w obszarze D, to RRCzL (4) nazywamy równaniem typu mieszanego w tym obszarze.

11A7 Uwaga

RRCzL rzędu drugiego mają ważne zastosowania w zagadnieniach fizyki i techniki przy matematycznym opisywaniu różnych technicznych procesów dynamicznych. Dlatego równania takie nazywają się często równaniami fizyki matematycznej (RFM). Równania (1)-(3) są przykładami RFM typu hiperbolicznego równanie struny (1)), typu parabolicznego równanie przewodnictwa (2), typu eliptycznego równanie Laplace’a (3).

11A+B8 Uwaga

Podobnie do 11A6 podajemy klasyfikację RRCz prawie-liniowego rzędu drugiego:

( ) , , , u, u 0, ( , ) .

L u F x y u x y D

x y

   

      (5)

11A9 Definicja (postać kanoniczna)

Równanie (4) (lub (5)) jest postaci kanonicznej, jeżeli

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

lub dla typu hiperbolicznego,

( ) lub dla typu parabolicznego,

dla typu eliptycznego.

u u u

x y x y

u u

L u x y

u u

x y

   

   

  

   

   

  



11B10 Fakt (przekształcenie RRCzL przy zamianie zmiennych niezależnych)

Rozważmy równanie (4) (lub (5)) i wprowadźmy nowe zmienne niezależne   i :   ( , ),x y ( , ), ( , )x y x y D

   , gdzie funkcje ( , ), ( , ) x y  x y są klasy C² przy czym jakobian spełnia warunek: ( , )

0, ( , ) . ( , )

D x y D

D x y

  _  Wtedy przekształcenie będzie lokalnie nieosobliwe oraz typ równania pozastosowaniu przekształcenia nie zmieni się (jest niezmiennikiem).

11A+B11 Twierdzenie

Dla każdego typu RRCz (4) (lub (5)) istnieje przekształcenie nieosobliwe   ( , ),x y ( , ), ( , )x y x y D,

   za pomocą którego równanie możemy sprowadzić do postaci kanonicznej tego typu.

Schemat dowodu.

11.1. Równanie typu hiperbolicznego: ACB²  Jeżeli 0. A  to równanie B 0, (4) (lub (5)) jest postaci kanonicznej. Rozważmy teraz obszar D  ², w którym A Bi nie znikają jednocześnie. Niech, na przykład A  w tym obszarze. Wtedy wprowadzając 0 RRZ (charakterystyk)

2

2 0.

dy dy

A B C

dx dx

    

 

  (6) Niech dalej wyrażenia

1( , )x y C1 const, 2( , )x y C2 const

      (7)

będą niezależnymi całkami równania charakterystyk (6) z funkcjami ₁( , ),x y ₂( , )x y klasy C w obszarze D, przy czym ² ( ¹, ²)

( , ) 0.

D D x y

   Wtedy, stosując przekształcenie

1( , ),x y 2( , )x y

    (8)

do równania (4) (lub (5)), dojdziemy do postaci kanonicznej

2

1 , , , , 0,

u u u

F   u

   

 

     

      (9)

równania (4) (lub (5)) typu hiperbolicznego.

Stosując przekształcenie

   

1 1

, oraz , ,

2 2

                

do RRCz (9), przedstawimy równanie (4) (lub (5)) w drugiej postaci kanonicznej

2 2

2 2 2 , , , , .

u u u u

F   u

   

 

       

     

11.2. Równanie typu parabolicznego: ACB²  W tym przypadku równanie (6) 0.

charakterystyk powstają w postaci jednego równania 0 lub

dy dy B

A B

dx   dx  A (10)

Niech dalej ( , ) x y  C const jest całką tego równania, gdzie funkcja ( , ) x y jest klasy

2 dla ( , ) .

C x y  Wtedy, stosując przekształcenie D ( , ),x y x

    (11)

nieosobliwe, ponieważ jakobian 0,

1 0

x y

y

 

  

    

 co wynika z (10) na mocy A 0, do równania (4) (lub (5)), dojdziemy do postaci kanonicznej

2

2 3 , , , , 0

u u u

F   u

  

 

     

     (12)

równania typu parabolicznego.

11.3^*. Równanie typu eliptycznego: ACB²  W tym przypadku nie istnieją 0.

całki rzeczywiste równania (6) charakterystyk. Niech ( , )x y ₁( , )x y i₂( , )x y C będzie zatem całką zespoloną równania (6), gdzie funkcje ₁( , ),x y ₂( , )x y są funkcjami rzeczywistymi klasy C w obszarze ² D . Można pokazać, że przy dodatkowym założeniu analityczności funkcji ^{A x y}

     

^{, , B x y, , C x y ,} przekształcenie   ₁( , ),x y

2( , )x y

  będzie nieosobliwym i po jego zastosowaniu równanie (4) (lub (5)) sprowadza się do postaci kanonicznej

2 2

2 2 4 , , , , 0

u u u u

F   u

   

 

       

      (13)

równania typu eliptycznego, co kończy dowód.

11A+B12 Przykład. Rozwiązać równanie

2 2

2 2

2 2 3 3 0, ( 0, 0).

u u u u

x y x y x y

x y x y

         

    (14)

Rozwiązanie. Ponieważ ACB²  x y^{2 2} 0 dla x0,y równanie (14) jest 0, typu hiperbolicznego. Wtedy równanie (6) charakterystyk jest postaci

2

2 2

dy 0

x y

dx

   

 

  , co jest równoważnie dy y lub dy y.

dx  x dx x Całkując, otrzymamy całki pierwsze ₁( ) const, ₁( ) y const

x xy x

     x oraz stosując przekształcenie

nieosobliwe , y

xy x

   i korzystając z wyrażeń ²u ²u ,

   

 

    

2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 4 2 3

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2 2

,

1 1

2 ,

u u y u u u y u y u y u

y y

x x x x x x

u u u u u u u

x x

y x y x

      

     

              

        

            

       

równanie (14) sprowadzamy do postaci kanonicznej

2 1

u u 0,

   

   

  

stąd za pomocą zamiany u

 w

 

 dochodzimy do

1 1

ln ln ln ( ) ( ) ( )

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

w w u

w w

u d u d

        

  

              

  

           

 

 



  



  

gdzie  ₁, ₁ są dowolnymi funkcjami klasy C . Wtedy funkcja ²

1 1

1 y ( )

u xy

xy ^{ }x 

    jest rozwiązaniem ogólnym równania (14).

11A+B13 Przykład. Znaleźć całkę szczególną RRCz (14) spełniającą warunki początkowe

(1, ) , u(1, ) .

u y y y y

x

  

 (15) Rozwiązanie. Całka ogólna RRCz (14) ma postać (zobacz 11A+B8):

1 1

( , ) 1 y ( ).

u u x y xy

xy ^{ }x 

     Obliczając

1 1 1

2 2

1 1

( , ) ( )

u y y y

x y xy y

x x y  x xy  x x 

                

       oraz biorąc pod uwagę

warunki początkowe:

 

   

 

   

2

1 1 1 1

1 1 1

1 1 1

(1, ) 1 ( ), ( ) ,

( ) 1 ,

1 1

(1, ) ( ) ( ),

u y y y y y y y y

y

y y y y y

u y y y y y y y y

x y y

   

  

  

      

  

      

         





²

    ^{   } 

1 1 1 1

( ) 1 2

y y y y y y y y y y

  y      ^   y1( )y 1

 

y 2y



1( )



2 1( ) ² 1( ) C, 1( ) ² 1

 

y y y y y y C y y y y y y C

          y       

1 1

( , ) 1 y ( ) C C .

u u x y xy xy xy

xy ^{ }x  ^xy xy

       

 

Więc funkcja u xy jest szukaną całką szczególną RRCz (14), (15).

11A+B14 Przykład (równanie struny dwustronnie nieograniczonej)

Będziemy rozpatrywali równanie (1) małych poprzecznych drgań swobodnej ( f 0, brak sił zewnętrznych) struny nieograniczonej, tzn. badać będziemy następujące zagadnienie:

znaleźć funkcję uu x t x( , ),  ,t spełniającą równanie 0,

2 2 2

2 2

u u

t a x

  

  (16) wraz z warunkami początkowymi

( ,0) ( ), u( ,0) ( ), ,

u x x x x x

 ^t 

  

 (17) gdzie funkcja  jest klasy C , ²  jest klasy C . ¹

Rozwiązanie. Równanie charakterystyk dla RRCz (6) ma postać:

2 2

1 0 const, const

dt x at x at

dx a

        

 

  są całkami pierwszymi. Po zastosowaniu

przekształcenia   x at,  x at RRCz (16) przyjmuje postać kanoniczną

2

u 0

 

 

  skąd, całkując względem , zatem , otrzymamy całkę ogólną

( ) ( ) ( ) ( ).

ug   f  g xat  f xat (18) Korzystając z warunków początkowych

( ,0) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ),

( ,0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ),

u x x g x f x g x f x x

u x x a g x a f x f x g x x

x a

 

 

    

 

  

           

 

 

0 0

1 ( ) C 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,

2 2

x x

x x

f x g x d C f x x d

a a

    ^   

 



   



0

( ) C 1

( ) ( )

2 2

x

x

g x x d

a

 ^   

 





0 0

( ) C 1 ( ) C 1

( ) ( ) .

2 2 2 2

x at x at

x x

x at x at

u d d

a a

 ^{  }     ^{  }   

 



 



Stąd rozwiązanie zagadnienia (16), (17) wyraża się wzorem d’Alamberta:

( ) ( ) 1

( , ) ( ) .

2 2

x at

x at

x at x at

u x t d

a

  ^   



  

 



(19)

11A+B15 Uwaga (RRCzL rzędu drugiego)

Gdy rozpatrujemy równanie liniowe (4), funkcje F₁ w postaciach kanonicznych F₄ (zobacz 10A+B11) będą również funkcjami liniowymi swych argumentów. Rozważmy

RRCzL (4) jednorodne, tzn. d x y( , )0, ( , )x y  Wtedy jeżeli funkcje D.

1( , ), , _n( , )

u x y u x y są rozwiązaniami tego równania, to funkcja ( , ) 1 1( , ) _{n n}( , ), u x y C u x y  C u x y

gdzie C₁, ,C są dowolnymi stałymi, także będzie rozwiązaniem RRCzL jednorodnego. _n Ogólniej, jeżeli funkcje u x y₁( , ), ,u x y_n( , ), są rozwiązaniami RRCzL jednorodnego oraz szereg

1

( , ), ( , ) ,

i i i

C u x y x y D









o dowolnych stałych C₁, ,C_n, jest zbieżny i podwójnie różniczkowalny, to suma ( , )

u x y tego szeregu będzie także rozwiązaniem RRCzL jednorodnego.

Taka struktura rozwiązań RRCzL jest bardzo podobna do struktury rozwiązań RRL jednorodnego zwyczajnego rzędu drugiego ale w ostatnim w wystarczyło, aby były dwa niezależne rozwiązania (układ fundamentalny). W teorii RRCzL takich rozwiązań może być nieskończenie wiele.

Na takim podejściu polega bardzo znana w teorii równań fizyki matematycznej metoda Fouriera (metodaseparacji zmiennych) badania takich równań, którą stosujemy na przykładzie równania drgań swobodnej struny.

11.3. Metoda Fouriera badania równań fizyki matematycznej

Będziemy rozpatrywali równanie (1) małych poprzecznych drgań swobodnej ( f 0, brak sił zewnętrznych) struny ograniczonej (zamocowanej), tzn. badać będziemy następujące zagadnienie:

znaleźć funkcję uu x t x( , ), [0, ],l t0,l  spełniającą równanie 0,

2 2

2

2 2

u u

t a x

  

  (20) wraz z warunkami początkowymi

( ,0) ( ), u( ,0) ( ), [0, ],

u x x x x x l

 ^t 

  

 (21) i warunkami brzegowymi

(0, ) 0, ( , ) 0, 0.

u t  u l t  t  (22) Metoda Fouriera (metoda rozdzielenia zmiennych) polega na poszukiwaniu rozwiązań w postaci iloczynu funkcji zmiennej x i funkcji zmiennej t:

( , ) ( ) ( )

uu x t X x T t (23) spełniających warunki brzegowe (22). Wstawiając (23) do (20) otrzymujemy równość

2

( ) 1 ( )

( ) ( )

X x T t

X x a T t

 

 dla dowolnych x i t, więc to wyrażenie jest stalą (oznaczamy  ): ²

2 2

( ) 1 ( ) ( ) ( ) ,

X x T t

X x^ a T t^   skąd wynika, że funkcje X x i ( )( ) T t spełniają równania różniczkowe zwyczajne, odpowiednio:

( ) 2 ( ) 0

X x  X x  i T t ( ) a²²T t( ) , (24) 0 rozwiązania ogólne których mają postać ( )X x CsinxDcosx,

( ) sin cos

T t  A a t B a t . Wtedy u( sinC xDcosx A)( sina t Bcosa t ).

Dobieramy teraz stałe , , , ,A B C D  tak, aby spełnione były warunki brzegowe (22):

0u(0, )t    C 0 D 1, 0u l t( , ) C sinl D cosl t,   0 D 0,l n,n . Stąd wynika, że ciąg { ( , )}u x t_n rozwiązań postaci

( , ) sin cos sin

k k k

k x k at k at

u x t A B

l l l

    

   

spełnia RRCz (20) oraz warunki brzegowe (22). Przypuśćmy teraz, że szereg

1

sin _kcos _ksin

k

k x k at k at

A B

l l l

  





  

 

 



jest zbieżny oraz dwukrotnie różniczkowalny

wyraz po wyrazie w sposób ciągły, względem obu zmiennych w obszarze: x[0, ],l t 0.

Wtedy jego suma

1

( , ) sin _kcos _ksin

k

k x k at k at

u x t A B

l l l

  





 





   (25)

spełnia RRCz (20) oraz warunki brzegowe (22). Aby spełnić warunki początkowe (21), różniczkujemy względem t szereg (25) wyraz po wyrazie:

1

sin _ksin _kcos

k

u k x k a k at k a k at

A B

t l l l l l

    





 



   oraz, biorąc pod uwagę warunki

początkowe (21), mamy:

1 1

sin ( ), sin ( ).

k k

k k

k x k a k x

A x B x

l l l

    

 

 

 

 

(26) Wzory (26) przedstawiają odpowiednio funkcji ( )x i ( )x w szereg trygonometryczny Fouriera samych sinusów w przedziale [0, ]l . Korzystając ze wzorów na współczynniki Fouriera

0 0

2 2

( )sin , ( )sin ,

l l

k k

k x k a k x

A x dx B x dx

l l l l l

  

 









^mamy

0 0

2 2

( )sin , ( )sin , 1, 2,...

l l

k k

k x k x

A x dx B x dx k

l l k a l

 

 





 



 (27)

11A+B16 Twierdzenie (rozwiązanie zagadnienia (20) (22))

Jeżeli funkcja  jest klasy C , (0)²  ( )l  0,  jest klasy C , (0)¹  ( )l  to 0, szereg (25) ze współczynnikami określonymi wzorami (27) jest rozwiązaniem

zagadnienia (20) (22).

Metodę Fouriera rozdzielenia zmiennych można stosować i do rozwiązania innych zagadnień równań fizyki matematycznej. Więcej można znaleźć w podręczniku W.Żakowski, W.Leksiński „Matematyka. Część IV”. Wydawnictwa Naukowo Techniczne, Warszawa, 1971, 1995 oraz na stronie http://winntbg.bg.agh.edu.pl/skrypty2/0065/niedoba.pdf

Praca domowa

Przykład 1. Korzystając ze wzoru d’Alamberta, wyznaczyć stan uu x t( , ) nieograniczonej struny w punkcie x i chwili t jeżeli struna oraz jej stan w chwili początkowej opisuje się , równaniami:

2 2

2

2 2 2

4 , ( ,0) ( ) sin , ( ,0) ( ) 1 , .

1

u u u

u x x x x x x

t x  t  x

  

      

   

Przykład 2. Korzystając z metody Fouriera, znaleźć rozwiązanie uu x t( , ),x[0, ], t0, RRCz

2 2

2 2

u u

t x

  

  z warunkami początkowymi ( ,0) sin , u( ,0) 0, [0, ],

u x x x x

t 

   

 ⁱ

warunkami brzegowymix[0, ], u(0, )t 0, u( , ) t 0, t0.

Odpowiedź: u x t( , )sinxcos .t

Przykład 3. Korzystając z metody charakterystyk znaleźć całki ogólne RRCz:

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

a) u u 0; b) u 2 u u 0.

x y

x y x x y y

        

     

Przykład 4. Dla RRCz podanego w przykładzie 3 a) znaleźć całkę szczególną spełniającą warunki początkowe (1, ) , u(1, ) .

u y y y y

x

  



Rozwiązania przykładów 3 oraz 4 Przykład 3a). Równanie charakterystyk ma postać

2

2 2

y 0

x y

x

   

 

  , co jest równoważnie

lub .

y y y y

x x x x

    

  Całkując, otrzymamy całki pierwsze ₁( ) ₁, ₁( ) y ₂

x xy C x C

     x

równań charakterystyk. Stosujemy przekształcenie nieosobliwe , y.

xy x

   Mamy zatem:

2 2

2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 3 2

2

u u u u u y u y u

y y

x x x x x

u u y u u y u y u

y y

x x x x x x x x

u u y y u y u

y y y

x x x

 

     

    

     

                

     

                 

           

       

 

2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 4 2 3

,

2 2

gdzie , .

u y

x

u u u u y u y u y u

x y x x x



        

   

   

 

            

         

Analogicznie

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2 1 .

u u u u

y x    x 

      

    

Wstawiając obliczone pochodne do RRCz a) dochodzimy do postaci kanonicznej typu hiperbolicznego:

2 1

2 0

u u

   

 

 

   lub 0,

2

z z

 

  

 gdzie u

z 

 

 . Stąd ln 1ln ln ( )

2 2

z z

z

   



      

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), gdzie ( ) ( ).

z u u t dt





             



 

          





Wtedy ( , ) y ( )

u u x y xy xy

x 

    

  jest całką ogólną RRCz a).

Przykład 3b). Równanie to jest typu parabolicznego: ACB² 0. Równanie charakterystyk ma postać y 1 ₁

y x

x 

    

 jest całką pierwszą tego równania. Stosując przekształcenie nieosobliwe   y x, x oraz wzory

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2, 2 , 2 2,

u u u u u u u u u

x     x y    y 

              

           

dochodzimy do postaci kanonicznej typu parabolicznego:

2

2 0.

u



 

 Stąd po dwukrotnym

całkowaniu, znajdujemy u  g( ) h( ).

Wtedy u x g y(  x) h y( x) jest całką ogólną RRCz b).

Przykład 4. Całka ogólna tego równania (zobacz rozwiązanie przykładu 3 a)) ma postać ( ).

u xy y xy

x 

    

Obliczając ( , ) ₂ ( )

2

u y y y y

x y xy xy y

x xy x x x 

             

      

oraz biorąc pod uwagę warunki początkowe:

 

   

(1, ) ( ),

(1, ) 1 ( ),

2

u y y y y y

u y y y y y y y y y

x





    

 

        

 

 

       

( ) ,

1 1

1 ,

2 2

y y y y

y y y y y y y y y y

y

    

   

           

  



 

   

 

( ) , ( ) ,

const,

2 0,

y y y y y y y y

y C

y y y

 

       

  

 

  

   

 



( ) .

u xy y xy C xy xy C xy xy

x 

        

Więc funkcja uxy jest szukaną całką szczególną.