Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften, Jg. 2, No. 2

II. Jahrgang-, 1896. Nr. 2.

U nterrichtsMätter

für

Mathematik und Naturwissenschaften,

O rg a n d e s V e re in s z u r F ö r d e r u n g

d e s U n te r r ic h ts in d e r M a th e m a tik u n d d e n N a tu r w is s e n s c h a f te n .

H erausgegebén Prof. D r. B. Schwalbe,

Direktor des Dorotlieenstädt. Realgymnasiums zu Berlin.

P ro f. F r. Pietzkei\

Oberlehrer am Kfmigl. Gymnasium zu Nordbausen.

V e r l a g - v o n O t t o S a l l e i n B r a u n s c h w e i g .

Redaktion: A lte f ü r d ie R e d a k tio n b e s tim m te n M itte ilu n g e n u n d S e n d u n g e n s in d n u r a n d ie A d re sse d es P r o f . P i e t z k e r in N o fa n a u s e n z u ric h te n .

F ü r d ie in d e n A r tik e ln zum A u s d r u c k g e b ra c h te r . A n ­ s c h a u u n g e n s in d d ie b e tr . H e r r e n V e r fa s s e r s e lb s t v e r a n t­

w o r t l i c h ; d ie s g i l t in s b e s o n d e re a u c h v o n d en i n d e n e in z e ln e n B ü c h e rb e s p r e e h u n g e n g e fü llte n U rte ile n .

V erlag: D e r B e z u g s p r e i s f ü r d e n J a h r g a n g v o n ö N u m m e rn ist, :J M ark, f ü r e in z e ln e N u m m e rn (¡0 IM'. D ie Y e rc iu s m it- g lie d e r e r h a lte n d ie Z e i t s o l i r i f t u n e n t g e l t l i c h ; fr ü h e r e J a h r ­ g ä n g e sin d d u rc h d e n V e rla g bez. e in e B u ch lu U g . z u bezieh en '.

A n z e i g e n k o s te n zr, P f. f ü r ilio S -g e sp . N o n p a r.- Z e ile ; h e i A u fg a b e h a l b e r od . g a n z e r S e ite n , so w ie bei W ie d e r h o lu n g e n K n n ä s s ig u n g . — B c ih ig e g e h ü h rc n n a c h F e b e r e in k u n f t.

In h a lf

Angelegenheiten des V ereins zur Förderung des Unterrichts in der Mathematik und den Naturwissenschaften.

D as P rogram m fü r die in d e r P fingstw oclie dieses J a h re s in E lb erfeld sta ttfin d e n d e H a u p t­

versam m lung des V ereins lieg t dieser N um m er bei.

D ie V ereinsm itglieder w erden gebeten, die noch etw a rü ck stän d ig en B eitragszahlungen fü r das laufende V ereinsjahr bis E n d e A pril an den V ereins - S ch atzm eister, O b erleh rer P r e s l e r in H a n n o v er (B rü h lstra sse 9 c), zu bew irken.

E benso e rg e h t an dieselben die d ringende B itte, etw aig e A enderungen ih re r A dresse, V er­

setzungen, B efö rd eru n g en , fü r g rö ssere S tä d te auch A rm ieru n g d er W o h n u n g innerhalb d er S ta a t, an O b erleh rer P r e s l e r zu m elden. Der V ereins V o r s t a n d .

L o g ik und Sprachrichtigkeit im mathematischen Unterricht.

V o n F . P i e t z k e r ( N o r illn m s e n ) . ( S c h lu s s . )

A n die E rö rte ru n g e n ü b e r den G ebrauch der Tndices m öchte ich einige B em erkungen üb er eigentüm liche G ew ohnheiten scldiessen, die bei dem G ebrauch d er m athem atischen Z eichen re c h t häufig zu sein scheinen. Soll eine G leichung von ein er zw eiten abgezogen w erden, so b e ste h t viel­

fach die P rax is, d er zw eiten G leichung ein M inus­

zeichen v o rzu se tzen , etw a nach dem folgenden

S c h e m a : 130

— 2 x y = = 1 2 G ( x — -

y)~

D ie A n h än g er solcher P rax is übersehen ganz, dass die A usd ru ck sw eise „G leichungen vonein­

an d er ab zieh en “ n u r u n eigentlich zu v ersteh en ist, in W a h rh e it zieht man die einzelnen S eiten d er u n teren G leichung von den en tsp rech en d en Seiten d er oberen G leichung ah, h ä lt m an also das S u b trak tio n szeich en ü b e rh a u p t fü r n ötig, so muss es in d er zw eiten G leichung a u f b e i d e n S e i t e n g e b ra u c h t w e rd e n ; d er ein seitig e G e­

brauch dieses Zeichens m acht die in d e r zw eiten Zeile steh en d e A ngabe geradezu falsch. W enn, wie es m eines E ra c h te n s im m er d er F all sein sollte, solche R ech n u n g durch den Z usam m en­

h ang g e h ö rig e rlä u te rt w ird , is t das Zeichen ü b erflü ssig , da m an dann ja von vornherein w eiss, ob das U n terein an d ersch reib en d e r A d­

dition oder d er S u b tra k tio n dienen soll.

A usserordentlich häufig b e g e g n e t m ir bei frem deil S chülern d er G ebrauch des n achfolgen­

den Schem as fü r die lo g arith m isch e In te rp o la tio n .

S . 1 8 . U n t e r r i c h t s b l ä t t e r . 1 8 9 6 . N o . 2 .

lo g 23687 = 4,37033

1 2 . 6

4,37046

D e r S ch reib er solcher R ech n u n g m eint, dass der zu berechnende L o g arith m u s durch die A ddition von 0 ,000126 e rs t h e ra u sg e b ra ch t w erden soll, ab er w as e r w irk lich s c h re ib t, ist etw as ganz an d e re s, näm lich , dass zu dem anscheinend b e­

re its fertig en L o g arith m u s von 23687 n a c h trä g ­ lich noch je n e r W e rt a d d ie rt w erden soll. Es is t dies eine unlogische V erm engung d er G leichung m it dem A dditionsexem pel, ein einzelnes Beispiel aus einer F ü lle von m erk w ü rd ig en I n k o rre k t­

h e ite n au f dem G ebiete des F orm elgebrauchs, a u f die h ier w e ite r einzugehen m ir d e r R aum fehlt.

Um a u f die F o rd eru n g en zu kom m en, die an die eigentlich sprachliche A u sein an d ersetzu n g zu stellen s in d , so m öchte ich mich zu n ä ch st m it E n tsc h ie d e n h e it d afü r aussprechen, dass m an die sich d er allgem einen A u sd ru c k sm itte l bedienende S atzsp rach e von d er spezifisch m athem atischen F o rm elsp rach e s o rg fä ltig tre n n t. E in e S ch reib ­ weise w ie die: „Z w ei D reiecke sind x “ od er „zw ei L inien sind j| “ finde ich b arb a risch , b arb arisch schon desw egen, weil j a in den Z eichen > und || , so w ie sie in d e r F o rm elsp rach e g e b ra u c h t w erden, zugleich m it den B egriffen k o n g ru e n t und parallel auch die C opula ( i s t k o n g ru en t) e n th a lte n ist.

A b er ich gehe noch einen S c h r itt w eiter. R ein m ath em atisch e Zeichen so llten n u r iii w irklichen F o rm elan g ab en g e b ra u c h t w erd en , das G leich­

heitszeichen z. B. n u r dann, w enn die durch dasselbe v e rbundenen D inge auch vollkom m en form el- m ässig a u sg e d rü c k t sind. W enn z. B. g e d ru c k t w ird : D a s L o t von C a u f A B = J K , so fällt in das A uge die G leichung A B — J K , d. h. ganz etw as anderes, als w as eigentlich g e sa g t w erden soll. W e n d e t m an h ie r die allgem einen sp ra c h ­ lichen A u sd ru ck sm ittel a n , so is t ein MisVer­

stän d n is von v o rn h erein ausgeschlossen.

Z u einer g rossen Z ahl von B em erkungen in rein sp rach lic h er H in sic h t g ie b t d er in den L e h r­

b üchern g e ü b te S p ra ch g eb ra u ch m annigfachen A nlass, so finden sich d o rt zahlreiche auffallende V erstösse gegen die S p ra e h ric h tig k e it, V erstösse, die um so w eniger en tsc h u ld ig t w erd en können, als die d e r eig e n tlich w issenschaftlichen F o r ­ schung gew idm eten W e rk e davon, w ie schon oben b e m e rk t, fa st d u rc h g än g ig frei zu sein pflegen.

W en n es dem nach m öglich ist, die h ö ch sten und sch w ierig sten P roblem e zu behandeln, ohne den allgem ein g ü tig e n G esetzen des sprachlichen A usd ru ck s G ew alt a n z u th u n , ja w enn m anche W e rk e , die sich m it solchen P roblem en befassen, so g a r eine bem erkensw erthe E leganz d e r sp ra c h ­ lichen D arste llu n g au fw eisen , so ist es in d er T h a t n ic h t ein z u se h en , w arum a u f dem soviel ein fach eren G ebiete d e r E le m en tarm a th em atik

n ic h t dieselbe Pflege d e r S p ra e h ric h tig k e it g e ­ ü b t w erden k ö nnte.

Ic h k ann hinzufügen, auch die Pflege des g e ­ fälligen S p ra c h g e b ra u ch s, m indestens die V er­

m eidung offenbarer G esch m ack lo sig k eiten , zu denen ich u. a. die B ezeich n u n g „ d e r allgem eine P y th a g o ra s “ fü r den e rw e ite rte n p y th ag o reisch en S atz rechne. U eber dieses T hem a allein liesse sich m ancherlei sagen.

U n te r den offenbaren V erstössen gegen die G ram m atik m öchte ich die in vielen B ü ch ern und anscheinend auch bei m anchen L e h re rn übliche A usdrucksw eise an fü h ren : „Ic h setze fü r x = 3 “.

S p rach w id rig is t die ebenfalls anscheinend be­

lieb te S p rechw eise: „D iese W o rte in die v o rh er­

gehende G leichung e in g esetzt g ie b t“, da das dem P rä d ik a t „ g ie b t“ fehlende S u b je k t n a tü rlic h n ic h t d u rch den v o rh erg eh en d en ab so lu ten P a rtiz ip ia l­

satz e rs e tz t w erden kann.

G ram m atisch rich tig , ab er sp rach lich sch au ­ d e rh a ft is t die w e it v e rb re ite te P ra x is, einen S atz, au f den m an sich berufen will, in d er F orm eines A ffirm ativsa tzes in einen anderen A ffirm ativ­

satz einzuflechten. „ Nun ist nach dem S atze:

Z w ei D reieck e, die in zw ei W in k eln ü b erein ­ stim m en, sin d ähnlich — A ABC ~ D E F , denn u. s. w .“

S c h a u d e rh a ft, ich w iederhole dieses U rteil, da so n st kein M ensch sich ein er so h a rte n und klaffenden A u sd ru ck sw eise b e d ie n t, dabei auch n ic h t ganz u n g efährlich. Ich habe n ich t n u r einm al, so n d ern m ehrm als e rle b t, dass S ch ü le r, die an solche A usdrucksform en von frü h e r h e r g ew ö h n t w aren, in dem Falle, wo d er eingeschobene Satz einigerm assen lang w ar, vergassen, dass sie sich e rs t noch bei dem E inschiebsel befanden u n d den R e st des eig en tlich en H a u p tsa tz e s einfach weg- liessen. E s w ird dies ü b rig en s au ch d ad u rch b e g ü n stig t, dass m eist d e r H a u p tsa tz n u r in sp e­

z ia lisie rte r F o rm w ied erh o lt, w as das E in sch ieb sel als allgem ein g ü tig h in ste llt.

D ie A ngabenform is t im g rü n d e auch n ich t ganz logisch, denn die Q uelle fü r die R ic h tig k e it d e r zu b eg rü n d en d en speziellen A ng ab e is t j a n ic h t sow ohl d e r z itie rte S a tz , als vielm ehr der in diesem S atze zum A u sd ru ck g e b ra c h te S ach­

v e rh a lt, und dies n ic h t aus dem B ew usstsein schw inden zu lassen, is t n ich t ganz überflüssig, da d e r m ath em atisch e S atz sich ä u sserlich viel­

fach fast g a r n ic h t von d e r d urch M enschen­

w illk ü r geschaffenen S a tz u n g u n te rs c h e id e t, a u f die e tw a ein g erich tlich es E rk e n n tn is B ezug nim m t.

M an h a t ja auch diese h a rte und schleppende A u sd ru ck sw eise g a r n ic h t n ö tig , die S prache b ie te t eine F ü lle von Satzform en, die jedem B e ­ dürfnis g e n ü g e n , es kom m t n u r d a ra u f a n , die S c h ü le r, die eine g e w an d te und g efällig e A u s­

drucksw eise n ich t schon in die S chule m itbringen,

zu d e r g eh ö rig en L e ic h tig k e it in dem G 'ebrauch

1 8 9 G . N o . 2 . Lo g i k u n d Sp r a c h r i c h t i g k e i t i m m a t h e m a t i s c h e n Un t e r r i c h t.

S. 19.

d e r vorhandenen Satzform en zu erziehen. Das is t j a n u n freilich bei so m anchen E lem enten,

‘denen je d e s S p rach g efü h l abzugehen scheint, eine h ö ch st u n d an k b are A ufgabe, ab e r sie m uss eben im m er von neuem in A ngriff genom m en w erden.

U nd anscheinend g esc h ie h t in dieser R ic h tu n g n ic h t genug, so n st w ü rd en m anche F e h le r sich n ic h t so festsetzen, w ie es vielfach d er F all is t;

d e r G ebrauch falsch er P a rtik e ln zu r S atzv erb in ­ dung, nam entlich a b er die G ew ohnheit, eine um ­ stä n d lic h e B ew eisführung in einem m it iceil ein­

g e fü h rte n N ebensatze zu beginnen und in H a u p t­

sätzen fo rtzu fü h ren , die ih re r Form nach vielm ehr als neue A ngaben h in te r d e r anscheinend b ereits abgeschlossenen B ew eisfü h ru n g sich d arstellen

— diese und äh nliche F e h le r lassen sich häufiger b eo b ach ten , als es auch bei w e itg eh en d er B e rü c k ­ sic h tig u n g d e r U n zu län g lich k eit des S ch ü ler­

m ate rials e rk lärlich ist.

D e r le tz tg e n a n n te falsche S atzg eb rau ch , d er in ein er gew issen P a rallele zu dem oben ange­

fü h rte n falschen Schem a fü r die logaritlnnische In te rp o la tio n • ste h t, is t n ic h t n u r sp rach w id rig , er e n th ä lt in W a h rh e it einen durch die S prache zu r E rsch ein u n g kom m enden g roben V erstoss gegen die L ogik. A b er L o g ik des D enkens und R ic h tig k e it des A usd ru ck s zeigen ja in d e r T h a t den en g sten Z usam m enhang, den m an noch durch eine ganze R eihe h ö c h st b ezeichnender B eispiele belegen kann. U nlogisch is t es, um z u n äc h st ein harm loseres B eispiel anzuführen, w enn man von

„ M ittelsen k rech ten e i n e s D re ie c k s“ s ta tt von

„M itte lse n k re c h ten zu den Seiten eines D re ie c k s“

s p ric h t; es t r i t t d arin im m erhin eine gew isse G le ic h g ü ltig k e it geg en die ric h tig e B ezeichnung des S ach v erh alts zu T age. U nlogisch und zu ­ gleich fü r ein feineres S prachgefühl verletzen d is t es, von dem „ um beschriebenen K reise eines D re ie c k s“ zu reden, g erad ezu ab e r ein A tte n ta t zugleich au f die L o g ik u n d die S p ra e h ric h tig k e it is t die A usd ru ck s w eise „im en tg eg en g e setzten Sinne des U h rz e ig e rs“. Und solche A u sd ru ck s­

w eise is t g a r n ic h t etw a so selten, m an b e g e g n e t ih r an S tellen, wo m an dies kaum v erm u ten sollte.

S p rach w id rig und unlogisch zugleich is t die in ein er A nzahl so n st ganz g u te r B ücher sich findende A u sd ru c k sw e ise : „dreim al, g rö s s e r“, da sie zw ei von e in an d er w ohl zu tren n en d e V er­

gleichungsw eisen m it ein an d er verm ischt, näm ­ lich die in d er A ngabe „ d reim al“ zu T age tr e ­ ten d e V ergleichung d u rch D ivision, und die in , dem K o m p arativ „ g rö sse r“ zum A usdruck kom ­ m ende V erg leich u n g d urch S u b tra k tio n . Ganz sinnlos is t die (auch an Stellen, w o m an es n ich t v erm u ten sollte, vorkonim ende) A usdrucksw eise

„d reim al k le in e r“. In innerem Zusam m enhang m it d er g e rü g te n A u sd ru c k su n sitte s te h t ein g ew isser S p rac h g eb rau ch ein er w e itv e rb re itete n alg eb raisch en A ufgabensam m lung, die allerdings ü b e rh a u p t an sp rach lich en U n geheuerlichkeiten

das M ögliche leistet. Da heisst es m ehrfach n o c h vierm al so gross, wo die R ech n u n g keinen Zw eifel lässt, dass der V erfasser einfach m eint

„vierm al so g ro s s “, w äh ren d die allgem ein ü b ­ liche A usdrucksw eise „noch einm al so g ro s s “ f ü r ,, zw eim al “ j a n ic h t den g e rin g ste n Zw eifel lässt, dass die h in te r noch stehende V ergleichungszahl sich n u r a u f den U eberschuss d e r g rö sseren Q uan­

t i t ä t ü b e r die kleinere beziehen kann.

In sp ra ch w id rig er und unlogischer W eise w ird vielfach die A p position g eb rau ch t, z. B. in d e r A ngabe „ 2 i h = ß - \ - y , als A ussenw inkel am D re ie c k “, da doch in d er v o ran steh en d en G leich­

u n g n ic h t blos von d er G rösse, au f die diese A pposition g eh t, die Rede ist, sp ra ch w id rig und unlogisch is t die A usdrucksw eise „das P ro d u k t aus a m a l b, sp rach w id rig und unlogisch ist es, einen zusam m engesetzten A usdruck, z. B. eine Summe als einen P lu ra l zu behandeln. A b er ü b e r den rich tig en G ebrauch d er sprachlichen N um eri allein w äre m ancherlei zu sagen. T h at- sächlich w ird von L ehrbuchverfassern w ie von L eh rern der P lu ra l bald einfach als rein sp rach ­ liche M ehrzahl g eb rau ch t, d .h . als M ittel, m ehrere g leichzeitige A ussagen zu einer einzigen zu­

sam m enzufassen, bald soll dieser P lu ra l eine Summe vorstellen, w obei es dem L eser oder H ö re r jedesm al überlassen b leibt, zu b eu rteilen , w elcher d e r beiden F älle g erade vorliegt. S eh r g ew öhn­

lich is t auch d er M isbralieh des P lu ra ls in Fällen, wo es sicli n ic h t um die D inge se lb st, sondern um deren A nzahl h an d elt. M ir ist es so g ar vor­

gekom m en , dass die E ulersche G leichung ü b er die P o ly ed er E - \ F = A’-j- 2 folgem lerm assen in W o rte ü b e rse tz t w orden i s t : „D ie Summe der E ck en und d e r F läch en eines P o ly ed ers is t gleich den K an ten v e rm eh rt um zw e i“.

A ber auch abgesehen hiervon, k an n man einer gew issen S o rg falt und V orsicht im G ebrauche d e r sp rach lich en N um eri n u r au f das leb h a fteste das W o rt reden. Bei einer ganzen Reihe von S ätzen is t die ric h tig e W ah l des Num erus, dessen m an sich b e d ie n t, g e e ig n e t, M isverständnisse auszuschliessen, die bei V ersäum nis dieser V or­

sich t le ic h t au ftreten . Ich k ann dies n ic h t b esser illu strieren , als durch die A n fü h ru n g des zw eiten K epplerschen G esetzes, in dessen F a ssu n g fa s t überall von P lan eten b ah n en in d e r M ehrzahl die R ede ist, so dass d e r I r r t um w en ig sten s n ic h t aus­

geschlossen ist, als h a n d elte es sich um eine Ver-

! g leichung verschiedener B a h n e n ; d ie F a ssu n g : „d er R adius V ecto r je d e r einzelnen P la n e te n b a h n u sw .“

m ach t diesen Irrtu m von v ornherein unm öglich.

W ie schon im E in g an g g e sa g t, lie g t es in d er N a tu r d e r Sache, dass die vorsteh en d en B e­

m erk u n g en einen ap h o ristisch en C h a ra k te r haben, sie erschöpfen das T hem a bei w eitem n ic h t, son­

dern dienen n u r dazu, die w esen tlich sten G esich ts­

p u n k te, a u f dessen H ervorhebung es m ir ankom m t,

S . 2 0 . Ü B E R V I E R S T E L L I G E L O G A R I T H M E N T A F E L N F Ü R D I E S C H U L E . 1 8 9 6 . N o . 2 .

d urch geeignete, besonders bezeichnende E inzel­

beispiele in ein helles L ic h t zu setzen. Im m erhin m öchte ich m ir n ic h t versagen, zum Schluss eine B em erk u n g allgem einer A rt anzufügen.

F ü r das E inreissen so m ancher sprachlichen U n sitte n in die m athem atische A usdrucksw eise, w ie fü r die g erin g e A u sn u tzu n g des Stoffes dieses U n te rric h ts fü r die allgem ein logische D u rch b il­

d u n g lie g t eine gew isse E n tsc h u ld ig u n g zw eifellos in dem M isverhältnis zw ischen d e r G rösse d er zu lösenden A ufgabe und d e r G erin g fü g ig k eit d er d a fü r g e w äh rten Z eit. Es is t begreiflich, w enn L e h re r und L eh rb u ch v erfa sser sich vielfach d a r­

a u f b eschränken, die u n m itte lb a r aus d er N a tu r des Stoffes sich erg eb en d e A ufgabe d e r — w enn ich so sagen d a rf - rein technischen S chulung energisch und nach b esten K rä fte n in A ngriff zu n ehm en, geg en alle darüber, hinaus greifenden Z w ecke des U n te rric h ts ab e r sich gleichgültig u n d ablehnend verhalten.

B egreiflich is t es, ab er doch bedauerlich. B e­

d au erlich schon d e r S ch ü ler wegen, von denen doch im m er n u r ein k le in e r T eil das durch den m ath em atischen U n te rric h t erw orbene W issen u n d K önnen s p ä te r in grösserem U m fang zu v e r­

w e rte n A nlass h at. A llerd in g s is t j a eine ric h ­ tig e R aum anschauung, ebenso w ie eine gew isse V e rtra u th e it m it den e lem en tarsten B egriffen d er A lg eb ra eine N o tw e n d ig k e it fü r jed erm an n , a b er d er eigentlich bleibende G ew inn fü r die M ehrzahl d er S ch ü ler b e ru h t doch in d er allgem einen logi­

schen D u rc h b ild u n g des D enkverm ögens, m it der ü b rig en s ein eingehenderes V erstän d n is d er alg e­

b raisch en G rundbegriffe eng zusam m enhängt. F ü r die A u sn u tzu n g des m ath em atisch en U n te rric h ts nach dieser R ic h tu n g , fü r die G ew öhnung an k la re s und fo lg erich tig es A uffassen u n dS chliessen, ebenso w ie fü r die G ew öhnung an die die K la r­

h e it des D enkens w iederspiegelnde K la rh e it und S ch ärfe des A usdrucks m u s s d er m athem atische S c h u lu n te rric h t Z e it ü b rig haben, w enn er sich n ic h t dem V o rw u rf aussetzen will, dass er seine H a u p ta u fg a b e v erfeh lt.

U nd es g e h t a u c h , ih n in dieser R ic h tu n g auszunutzen, es g e h t u n d es lohnt sich auch, es lo h n t sich in so fern , als ein B etrieb des U n te r­

ric h ts in diesem Sinne das b este M ittel ist, dem m ath em atisch en U n te rric h t die S telle im Schul- organism us zu errin g en , die er tro tz aller B esse­

ru n g d e r V erh ältn isse im m er doch noch n ic h t voll einnim m t. U eb er die ihm g erad e an den einflussreichsten S tellen noch im m er zugew iesene S te llu n g eines, w enn auch w ich tig en , technischen L e h rfach s hinaus ihm die A n erk e n n u n g zu g e ­ w innen, dass e r ein ganz h erv o rrag e n d es M ittel der allgem einen G eistesb ild u n g is t, das m uss doch im m er das Ziel sein, das nie aus dem A uge v erlo ren w erden darf. D er E rre ic h u n g dieses Zieles sollen auch die v o rsteh e n d en A usfü h ru n g en dienen.

Ueber vierstellige Logarithm entafeln für die Schule.

V o n O b e r l e h r e r D r . C . R o h r b a c h i n G o t h a . * )

D as se it ein ig er Z e it sich b ek undende leb ­ h aftere allgem eine In te re sse an d er F ra g e d er E in ­ fü h ru n g v ie rste llig e r T afeln in den U n te rric h t u n serer h öheren Schulen einerseits, und a n d re r­

seits eine v ieljäh rig e eingehende B esch äftig u n g m it dieser F ra g e v e ra n la sst m ich , zu diesem G eg en stän d e, d e r in diesen B lä tte rn bereits eine B eh an d lu n g d u rch H e rrn D r. A. S c h ä l k e erfah ren h at, das W o rt zu nehm en, d a ich glaube, einen P u n k t, d e r b ish er m eines W issens h öchstens g e s tre ift w orden ist, au sfü h rlich e r hervorheben zu sollen, und da ich ü berdies in d e r g lücklichen L ag e bin, n ic h t n u r vom th e o retisch en S ta n d ­ p u n k te aus, sondern a u f G ru n d p ra k tisc h e n E r ­ folges sprechen zu können.

W enn dies n ic h t frü h e r geschah, so w a r d er G ru n d e in m a l, dass das E rg eb n is, zu dem mich das S tu d iu m m einer V o rg än g er und eigene E r ­ w ägungen bezüglich d er zw eckm ässigsten F orm v ierste llig e r S chultafeln g e fü h rt h a tte n , j a in d er von m ir b e a rb e ite ten T afel den Fachgenossen vorlag, und dass ich auch den Schein verm eiden w o llte, fü r die eigene A rb e it R eklam e zu m achen.

G e g en w ärtig a b e r lieg t, nachdem besonders H e rr S c h ä l k e sich m ehrfach ü b e r die F ra g e g eäu ssert h a t und zum T eil zu abw eichenden E rg eb n issen g e la n g t ist, eine gew isse N o tw e n d ig k e it fü r mich vor, zu erw idern, w enn ich n ic h t den S a tz : „qui ta c e t consentire v id e tu r“ a u f mich angew endet w issen w ill. A uch sind von verschiedenen Seiten bei B esp rech u n g m einer T afeln V erbesserungs­

vorschläge g em ach t w orden, die zum T eil h ier e rle d ig t w erd en können.

D ass vierstellig e T afeln fü r die B erech n u n g aller p ra k tisc h e n M essungen, so w eit es sich n ich t um P räzisionsbestim m ungen h an d elt, ausreichen, is t m eines W issen s z u e rst d urch D r. C. M ü l l e r auch fü r die S chule ausführlich au sein an d er­

g e se tz t w o rd en ; f ü r den P h y sik e r u n d A stro ­ nom en b e s te h t lä n g st k ein Zw eifel m ehr d a rü b er u n d h ier sind v ie rstellig e T afeln lä n g st in aus­

g e d e h n te ste r V erw endung.

So em pfand ich es auch, als ich 1884 den P h y s ik ü n te rric h t am hiesigen R ealgym nasium übernahm , bald als se h r zeitrau b en d , bei d er B e­

h a n d lu n g p h y sik a lisc h e r A ufgaben die dam als h ie r e in g efü h rte W i t t s t e i n s c h e fünfstellige T afel zu verw enden, u n d die S chüler se lb st em­

pfanden es als eine E rle ic h te ru n g (auch k ö rp e r­

lic h !), als ich ihnen g e s ta tte te , f ü r m eine S tu n d en die v ierstellig e T afel desselben Ver-

* ) H i e r z u v e r g le ic h e m a u d ie d e n s e lb e n G e g e n s t a n d 1 — t e ilw e is e v o n a n d e r e m S t a n d p u n k t e a u s — b e h a n - : d e ln d e n A u f s ä t z e v o n A . S c h ä l k e : Z t s c h r . f. G y m n a - s ia lw e s e n J a l i r g . N L I N , 18 9 4 , S . 19 4— 2 0 0 ; U n t . - B l . f.

M a t h . u. N a t u r w . J a h r g . I , 1 8 9 5 , S . 2 4 t l g . ; Z t s c h r . f.

[ m a t h . u. p h y s . U n t e r r . J a h r g . X X V I , 1895, S . 2 4 1 — 2 5 4 .

1 8 9 G. N o . 2 . Ü B E R V I E R S T E L L I G E L O G A R I T H M E N T A F E L N F Ü R D I E S C H U L E . S . 2 1 .

fassers zu benutzen. D a ich se lb st m ath em a ti­

schen U n te rric h t n ic h t erteile, w urde ich e rst du rc h C. M ü l l e r s oben erw äh n te A b handlung dazu v eran lasst, den U eb erg an g zu vierstelligen T afeln auch h ierfü r zu b e a n trag en (Ende 1891).

Die A nsich ten d er F ach k o lleg en w aren anfangs stre n g g e te ilt, die B edenken w egen d er erreich ­ b aren G en au ig k e it w urden durch ausgerechnete B eispiele le ic h t b e s e itig t, u n d gerade d er E in ­ w urf, es k ö n n te das V ertrau en der S ch ü ler zu d e r „ m a th em atisch en “ S ic h erh eit etw a e rs c h ü tte rt w erden, fü h rte zu r H erv o rh eb u n g eines d id a k ­ tisch e n G e sic h tsp u n k te s, d er m ir besonders w ic h tig ersch ein t. G e r a d e d e r C h a r a k t e r d e s R e c h n e n s m i t L o g a r i t h m e n t a f e l n a l s e i n e s A b k ü r z u n g s V e r f a h r e n s , b e i d e m m a n s i c h , u m Z e i t n n d M U h e z u e r ­ s p a r e n , m i t w i l l k ü r l i c h b e g r e n z t e r G e ­ n a u i g k e i t b e g n ü g t , d e r U n t e r s c h i e d z w i s c h e n d e r a p o d i k t i s c h e n G e l t u n g

m a t h e m a t i s c h e r G e s e t z e

u n d

k ü r 1 i c h ( m i t R ü c k s i c h t n a t ü r l i c h a u f

d i e G r u n d l a g e n u n d d e n

Z w e c k

r

R e c h n u n g ) e i n g e f ü h r t e n A b k i i r z u n g e n i m R e c h n e n t r i 1 1 d e m S c h ü l e r v i e l

h ä u f i g e r v o r A u g e n , u n d d e r U n t e r r i c h t

f i n d e t b e i B e s c h r ä n k u n g a u f v i e r

S t e l l e n m e h r G e l e g e n h e i t , i h m k l a r z u m a c h e n , d a s s d i e b e g r e n z t e G e n a u i g ­ k e i t a b g e k ü r z t e r R e c h n u n g e n n i c h t i m W i d e r s p r u c h s t e h t m i t d e r a b s o l u t e n G e w i s s h e i t , d i e a u f d e m W e s e n d e s m a t h e m a t i s c h e n B e g r i f f s b e r u h t.

D ass fü r den L eh rer, solange die vorhandenen L e h rb ü c h e r und A ufgabensam m lungen n u r die R e su lta te m eh rste llig er R echnungen b ieten , eine gew isse M eh rarb eit e n ts te h t, u n te rla g keinem Zw eifel, k o n n te a b e r neben d er grossen E rle ic h ­ te ru n g , die m an fü r die S ch ü ler erhoffte, n ic h t in B e tra c h t kom m en; so beschloss die F ach ­ k o nferenz am 5. F e b ru a r 1892 den U eb erg an g zu v ie rste llig en T afeln fü r G ym nasium und R eal­

gym nasium . Dem V erfasser w u rd e d e r A u ftra g zu teil, aus den vorhandenen T afeln eine geeignete vorzu sch lag en ; am m eisten, ab er n ic h t vollkom ­ men, e n tsp ra c h u n seren A n forderungen die k lei­

nere R e x sehe T afel, die zu n ä ch st aushilfsw eise von O stern 18 9 2 — 93 ein g e fü h rt w urde, w ährend d e r V erfasser a u f W u n sch d e r K ollegen die B e­

a rb e itu n g ein er neuen T afel a u f G rund eines von ihm vorgeschlagenen und a llse itig d u rch b eraten en P rogram m s übernahm , die dann O stern 1893 in V erw endung t r a t und bald auch am ben ach b arten G ym nasium G leicliense zu O hrdruf, am H erzog- E r n s t - Sem inar, an d e r H ö h eren H andelsschule und an d e r S tä d tisc h e n R ealschule h ie r ein­

g e fü h rt w u rd e. D a th e o retisch e D arlegungen auch d e r ein sich tig sten und angesehensten Ma­

th e m a tik e r und P äd ag o g e n s e it einem halben J a h r h u n d e r t n u r w enig g e fru c h te t haben, so m ag

vielleicht d er W e g des p ra k tisc h e n B eispiels sich n ü tzlich er erw eisen; deshalb habe ich die K ol­

legen, die den m athem atischen U n te rric h t e r­

teilen, um Z usam m enstellung d er von ihnen seit E in fü h ru n g der v ierstellig en T afeln gem achten E rfah ru n g en gebeten und m öchte diese h ie r m it­

teilen.

„S eit d er E in fü h ru n g d er v ierstelligen L o g a­

rith m en tafeln von ß o l i r b a c h habe ich eine au ssero rd en tlich v o rte ilh a fte Z eitersp arn is k o n ­ sta tie re n können. Ich b rauche je tz t n u r w enige S tunden, um die S chüler m it dem G ebrauch der T afeln sow eit v e rtra u t zu m achen, dass sie die in b e tra c h t kom m enden R echnungen selb stän d ig ausführen können. Sie begreifen viel schneller das W esen d er In te rp o la tio n und die B ed eu tu n g des lo g arith m isch en R echnens als eines blossen H ilfsm ittels zu r G ew innung n u m erischer R esul­

ta te , w äh ren d vielen von ihnen so n st die R ech­

n u n g m it L ogarithm en anfänglich als eine un­

heim liche K om plikation erschien od er als eine A ufgabe fü r sich, bei deren D u rch fü h ru n g n ich t selten d er eigentliche Zw eck d e r R echnung den B lick en en tschw and. F e rn e r is t es je tz t m öglich, eine viel grö ssere A nzahl von B eispielen an der W a n d tafe l rech n en zu lassen und som it auch dem E inzelnen ö fter G elegenheit dazu zu geben.

„A lle diese V orteile tre te n in noch höherem M asse bei d e r B eh an d lu n g d er trigonom etrischen A ufgaben hervor, so dass auch h ie r der F o r t­

s c h ritt im U n te rric h t schneller g esch ieh t und die W a h l d e r A ufgaben bald eine m ann ig faltig ere w erden kann. D ies is t besonders sch ätzen sw ert in R ü ck sich t d ara u f, dass die notw endige E in ­ üb u n g der schw ächeren S chüler frü h e r le ic h t zu ein er E rm ü d u n g der A ufm erksam keit der besser b ean la g te n fü h rte, w äh ren d je tz t die A bsolvierung des einzelnen B eispiels sich n ic h t n u r viel schneller vollzieht, sondern auch viel ü b e rsich tlich er b leibt.

N achteile, w elche d e r G ebrauch d er v ierstelligen T afeln m it sich fü h rte , habe ich n ic h t bem erkt.

Es is t n u r zu b e d a u e rn , dass die A ufgaben­

sam m lungen noch n ic h t genügend R ü c k sic h t au f die N euerung n ehm en.“ K u r d L a s s w if c z .

„O bw ohl ich d er E in fü h ru n g v ierstellig er L o g arith m en tafeln am hiesigen G ym nasium und R ealgym nasium n ic h t ohne B edenken g e g en ü b er­

sta n d , m uss ich doch nach d er E rfa h ru n g , die ich bis je tz t im U n te rric h t m it diesen T afeln g e ­ m acht habe, bekennen, dass sich die h au p tsä c h ­ lich in d er grossen Z eitersp a rn is bestehenden V orteile derselben als grösser, die N achteile d a­

gegen als g e rin g e r h e ra u sg e ste llt haben, als ich

u rsp rü n g lich v e rm u te t h a tte . E i n e r R ü c k ­

k e h r z u f ü n f s t e l l i g e n T a f e l n w ü r d e i c h

i n k e i n e m F a l l e m e h r d a s W o r t r e d e n .

Zu w ünschen is t nur, dass auch in den L eh r- und

U ebungsbüchern sich v ierstellig e L ogarithm en

m ehr einbürgern m ö ch te n !“ Dr. R o s e n s t o c k .

S . 2 2 . U NTERRIGHTSBIiÄTTER. 1 8 9 6 '. N o . 2 .

„N achdem ich nu n m eh r zw ei J a h re hindurch au f verschiedenen K lassenstufen v ierstellig e L o g ­ arithm en im U n te rric h t b e n ü tz t habe, k an n ich m eine E rfa h ru n g e n dahin zusam m enfassen, dass sich die von ih re r E in fü h ru n g erhofften V orteile im w esentlichen w irklich- g ezeig t haben. D ie m it ih re r H ilfe m ögliche num erische D u rch fü h ru n g ein er geg en frü h e r b e trä c h tlic h v erg rö sserten A nzahl von A ufgaben h a t sich fü r die sch w ach em S chüler seh r n ü tzlich erw iesen. Sie gelangen sch n eller dazu, sich d e r L o g arith m e n d o rt, wo sie n u r als H ilfsm itte l d e r Z ah len rech n u n g auf- tre te n , sich er zu bedienen und ih re A ufm erksam ­ k e it u n g e te ilt d e r eig en tlich en A ufgabe zuzu­

w enden. A n d re rse its is t es m ir m öglich g ew o r­

den, m anche z u r V eran sch au lich u n g th e o re tisc h e r E n tw ick elu n g en n ö tig e A ufgaben, die so n st n u r geleg en tlich b e rü h rt w erden k o n n te n (z. B. solche ü b e r die W in k e l in allen Q uadranten) an einer g rö sseren Z ahl von B eispielen üben zu lassen.

„ R ec h t n ü tzlich habe ich bei den h ie r v e r­

w en d eten R o h r b a c h sehen T afeln den engen A nschluss ih re r E in ric h tu n g an die j e tz t in fast allen g rö sseren T afeln übliche gefunden. Ich p lieg e, w enn die S ch ü ler m it logarithm ischen R echnungen (einschliesslich d e r trig o n o m e tri­

schen) v e rtra u t g ew orden sind, einige fünf- oder m eh rstellig e T afeln u n te r sie zu v erteilen und d am it verschiedene A ufgaben rechnen zu lassen, te ils um sie d ara n zu g e w ö h n en , au ch einm al andere als die gew o h n ten H ilfsm itte l zu benutzen, teils um das V erständnis fü r die B ed eu tu n g des R echnens m it ab g e ru n d ete n Z ahlen zu vertiefen. : Ic h habe dabei gefunden, dass auch die S chw a­

c h em so fo rt und ohne je d e A n le itu n g im stande w aren , m it den m eh rstellig e n T afeln zu rechnen.

„D ie v o llstä n d ig au sg efü h rte T afel d er n a tü r­

lich en L o g arith m en (die nebenbei auch das in grö sseren T abellen übliche A b tren n en und V oran­

stellen d e r einer R eihe von M antissen gem ein­

sam en A nfangsziftern illu strie rt) h a lte ich (ganz

abgesehen von ih re r n u r fü r die o b e rste K lasse j der R e a la n sta lte n in b e tra c h t kom m ende B edeu- j tu n g fü r die A nalysis) fü r seh r nützlich. Ich hab e s te ts b e m erk t, dass die D u rch rech n u n g von zw ei oder drei B eispielen d a m it die a b s tra k te n E rö rte ru n g e n ü b e r L o g arith m en sy stem e u n d ihre B ezieh u n g en , w ie insbesondere ü b e r die p rak - tisch en V o rzü g e des B r i g g s sehen System s vielen | S ch ü lern k la re r m acht.

„N ich t m ehr m issen m öchte ich im U n te rric h t die in d er T afel gegebene g rap h isc h e D arstellu n g d er F u n k tio n en , die keinesw egs dad u rch ü b er­

flüssig g em ach t w ird, dass man, w ie ich es frü h er g e th a n habe und auch je t z t noch th u e, die S chüler se lb st einzelne K urv en zeichnen lä s s t.“

D r. A d . S c h m i d t . Di e ü b e r e i n s t i m m e n d e E rfa h ru n g a lle r B e­

te ilig te n (auch an den än d ern hiesigen A n sta lte n ) le h rt also, dass d e r U eb e rg an g zu v ierstellig en

T afeln die von ihm e rw a rte te n V orteile th a t- sächlich b r in g t, s o d a s s a u c h s e i n e a n ­ f ä n g l i c h e n G e g n e r n i c h t z u d e m f r ii - h e r e n Z u s t a n d e z u r ü c k k e h r e n m ö c h t e n .

E ine gew isse S c h w ierig k eit lag allerdings noch vor kurzem in d er g eringen A usw ahl v ier­

ste llig e r T afeln, die zu r V erfügung stan d , sow ie d a rin , dass diese fa st ausnahm slos (T ra u g o tt M üller, B reusing) fü r andere als U n te rric h ts ­ zw ecke entw orfen w aren. A. S c h ü 1 k e h a t,

„um die schw ierige W a h l zu e rle ic h te rn “, eine Z u sam m en stellu n g von 20 T afeln gegeben, der m an, um sie d er e rstre b te n V o llstän d ig k eit n äh er zu b rin g en , noch die Tafel von Z e c h (T übingen 1864) und die von d e r S te rn w a rte P u l k o w a b e­

a rb e ite te Tafel, die n ic h t im H an d el ist, hinzu­

fügen k ö n n te. Ich glaube, dass diese Z usam m en­

ste llu n g an W e r t gew onnen h ä tte , w enn zur E rh ö h u n g d e r ü e b e rs ic h tlic h k e it das, w as p rin ­ zipiell u n g e eig n et fü r die S chule is t (zu k lein er D ruck, P la k a tfo rm a t etc.), gleich von A nfang an ausgeschieden w ord en w ä re ; sodann scheinen m ir auch die A n forderungen, von denen S c h ü l k e se lb st sag t, dass sie sich zum T eil w idersprechen, te ils n ic h t w e it genug, teils zu w eit zu gehen.

Meines E ra c h te n s w ären folgende P u n k te besonders zu b e rü c k sic h tig e n :

1 ) B e z ü g l i c h d e s I n h a l t s :

D ie T afel soll m ö g lich st alles und w esentlich n u r das en th a lte n , w as d er S ch ü le r bei num eri­

schen R echnungen b e d a rf, n ic h t n u r sow eit es dem G ebiete der M athem atik se lb st an gehört, sondern auch so w eit es den a u f d e r Schule b e­

h an d elten G ebieten d er P h y sik , Chemie, A stro ­ nomie, G eographie etc. en tstam m t. E ine B e­

sch rä n k u n g sch ein t m ir h ier n u r insofern n ötig, als sie die R ü ck sic h t a u f den R aum (U m fang, G ew icht! P re is des B uches) und die U eb ersich t- lic h k e it d e r einzelnen T ab ellen g eb ietet.

U n e n t b e h r l i c h erscheinen fü r den m a th e ­ m atischen Teil

1) die T afel d er v ierstellig en M antissen fü r

1 — 2 0 0 0 ,

2) die trig o n o m etrisch en Z ahlen fü r je d e n G rad und die K reisbögen,

3) deren L o g arith m e n f ü r je d e n Z eh n telg rad , 4) m eh rstellig e M antissen fü r die Z in sfa k to ren

und zw ar m indestens au f 5, b esser au f 6 o d er 7 Stellen, n ic h t n u r in R ü c k sic h t au f g eleg en tlich e (h eu tzu tag e doch r e c h t zeit- gem ässe) B eispiele aus dem V ersich eru n g s­

w esen , sondern auch w egen d er I n te r ­ p o latio n fü r Z in ssätze w ie ö 1/» etc.

Z u d e m w ü n s c h e n s w e r t e n m ath em atisch en In h a lt d ü rfte au sser dem, w as sich in m einer T afel findet, w ohl noch eine n ic h t zu k n ap p e j T afel d e r d re iste llig e n L o g arith m en g ehören, um

; noch b esser zeigen zu können, dass es sich beim

lo g arith m isch en R echnen um ein N äh eru n g sv er-

i fahren h an d elt, das g e s ta tte t, den G rad d e r er-

1 8 9 G . N o . 2 . Ü B E R V I E R S T E L L I G E L O G A R I T H M E N T A F E L N F Ü R D I E S C H U L E . S . 2 3 .

reic h b aren G en au ig k e it b elieb ig zu w ählen, auch um zu erw eisen, dass dann kaum noch eine Z e it­

ersp arn is g eg en ü b er dem R echnen ohne L oga­

rithm en e rz ielt w ird.

E in e H in zu fü g u n g d er A n tilo g arith m en , w ie sie J; P l a s s m a n n w ünscht*), w ü rd e m ir fü r die Schule, d arin stim m e ich m it A. S c h ü l k e ü b e r­

ein, en tb eh rlich scheinen, auch d er B erufsrechner v e rw en d et sie ja n u r selten und n u r in bestim m ­ te n Fällen m it V orteil. A ehnlich s te h t es m it den A dditions- u n d S u b trak tio n slo g arith m en , in d eren A nw endung S chüler sich sch w er finden.

In d er Tafel d e r trig o n o m etrisch en F u n k ­ tio n en h a t A. S c h t i l k e die S ek an te als „eine u n n ö tig e E rsc h w e ru n g des ohnehin schon schw ie­

rig e n A n fa n g su n te rric h te s“ w eggelassen, zum al sie sp ä te rh in g a r n ic h t v erw en d e t w e rd e ; ich k an n m ich dieser A uffassung n ic h t anschliessen, da d er S ch ü ler eigentlich ganz von se lb st au f diese F u n k tio n g e fü h rt ivird und ebenso leich t s p ä te r sieht, dass sie beim l o g a r i t h m i s c h e n R echnen’keinen V orteil m ehr b ie te t. A uch wo z-.B.

K. S c h w e r i n g s m eisterh afte D arstellu n g der T rig o n o m etrie zu G runde g e le g t w ird, lä sst sich ! die betreffende E rw e ite ru n g le ic h t geben, und je d e n fa lls s tö r t die K olum ne auch da n ic h t, wo

die S e k a n te g a r n ic h t e rw ä h n t w ird.

B ezüglich S c h ü l k e s F o rd e ru n g , dass die L o g a rith m en d er trigonom eti’ischen F u n k tio n en n ach Z eh n tel G rad gegeben w erd en sollen, bin ich m it ihm 'so ein ig , däss ich diese A nordnung se lb st anw ende, w as er zu übersehen scheint**), n u r d ü rfte es, so lange die L eh rb ü ch er noch ü b era ll M inuten an w en d en , v o rte ilh a fte r sein, beide E in teilu n g en neben ein an d er zu geben, wie ich dies vorgezogen habe. G u t D ing will W eile haben und eine T afel k an n den w ünschensw erten U e b erg a n g w ohl b e g ü n stig e n , aber nicht er­

zw in g en ; einstw eilen w ird es also w ohl noch zw eckm ässig se in , neben den D ezim alteilen des G rades auch die Sexagesim alteile anzugeben.

H ier in G otha w ird beides verw endet.

2) B e z ü g l i c h d e r A n o r d n u n g :

W ie A p p a ra te u n d M ethoden beim n a tu r­

w issen sch aftlich en U n te rric h t den in W issen sch aft u n d P rax is w irk lic h verw en d eten m öglichst nach ­ g e b ild e t-w e r d e n , so sollte m an auch i n d e r E i n r i c h t u n g d e r T a f e l n p r i n z i p i e l l b e i d e r f ü r g r ö s s e r e T a f e l w e r k e ü b l i c h e n j A n o r d n u n g b le ib e n * * * ) , a u c h w e n n h ie rn ic h t | noch die p ra k tisc h e R ü c k sic h t a u f diejenigen S ch ü le r hinzukäm e, die sp ä te r in die L age kom ­ men, die einm al erw orbene F e rtig k e it w e ite r zu v erw en d en , sow ie .— solange es n u r noch eine b e sc h rä n k te A nzahl von A n sta lte n ist, die vier-

* ) G y m n a s i u m 1 8 9 3 N o . 20.

* * ) Z . f. m a t h . u. n a t u r w . U n t e r r . X X V I , S . 24 9.

* * * ) A l s o T a f e l d e r M a n t i s s e n m i t d o p p e lt e m E i n ­ g a n g -, T a f e l d e r L o g a r i t h m e n d e r t r ig o n o m e t r is c h e n Z a h l e n in v i e r S p a l t e n v e r e in ig t .

stellig e T afeln benutzen — a u f diejenigen, die etw a beim U eb erg an g a u f eine andere Schule d o rt fü n fstellig e T afeln in die H ände bekom m en;

es g ie b t ja auch u n te r diesen T afeln leider solche m it ganz absonderlich „ p ra k tis c h e r“ A nordnung, a b er die M ehrzahl ric h te t sich doch nach B r e - m i k e r s trefflichem V orbild. A uch bei d e r A n­

o rd n u n g d er „B eig ab en “ m öchte ich R ü c k sic h t a u f die in grösseren T afelw erken üblichen A n­

ordnungsw eisen genom m en w issen.

D a h e r is t auch die -B eibehaltung d er p a rte s p ro p o rtio n ales w ohl n ic h t so u n b e d in g t zu v e r­

w erfen, w ie dies S c h i i l k e tliu t; ich w a r selb st anfangs geneigt, sie w egzulassen, fü g te sie aber w egen d er d aran anzukniipfenden E rk lä ru n g dieser E in ric h tu n g h in z u ; b e n u tz t w e rd en sie h ier beim p rak tisch en R echnen fa s t g a r n ic h t (ausser w enn W inkel in M inuten angegeben w erden), w eil auch d er S chüler bald m erk t, dass er im K opfe schneller in te rp o lie rt als m it den P . p.

Ganz im G egensatz zu H errn S c h ü l k e s Mei­

nung*) sind also die P . p . m it R ü c k sic h t a u f den U n te rric h t, n i c h t au f den p ra k tisc h e n R echner und A stronom en gegeben.

E in e u nw esentliche A bw eichung von B r e - m i k e r is t die H in zu fü g u n g einer 1 1 . K olum ne in d e r Tafel d e r M an tissen * * ), die die B il­

dung d er D ifferenzen e r le ic h te r t; aus dieser Aen- d eru n g a b e r V eranlassung zu einer A b teilu n g d er S palten zu je drei (Schülke) zu nehm en, sch ein t m ir n ic h t em p feh len sw ert und zw ar auch an u n d fü r sich (ohne R ü c k sic h t a u f grö ssere Tafeln), denn es is t fü r das A uge ein g e w a ltig e r U n te r­

schied zw ischen d e r A b te ilu n g d er Z eilen (eine Ziffer hoch) und S p alten (vier Ziffern b r e i t ) : in d e r einen R ic h tu n g kom m en drei Zeichen, in der anderen deren zw ölf in eine G ru p p e zu stehen, ein Schem atisieren n ü tz t h ie r w ohl n ichts.

Z u r S c h o n u n g d e r A u g e n ist das F o r m a t m ö g l i c h s t so g r o s s zu w ählen, dass u n n ö tig es. U m b lättern verm ieden w ird, fern er eine g r o s s e e n g l i s c h e Z i f f e r zu v e r­

w enden, die das A uge n ic h t e rm ü d e t, das g ilt w enigstens f ü r den zum regelm ässigen G ebrauch bestim m ten H a u p tte il d e rT afeln ; dagegen sch ein t es m ir völlig unbedenklich, fü r solche T eile d er T afeln, aus denen n u r ganz ausnahm sw eise ein­

m al ein W e r t entnom m en w ird, w esen tlich k le i­

nere Ziffern zu verw enden. M an e rre ic h t d ad u rch den V orteil, m anches W ü n sch en sw erte b rin g en zu können, das so n st m it R ü ck sich t a u f den R aum , ausgeschlossen w erd en m üsste od er sich un- : b e re c h tig t b re it m achen w ürde.

D ies fü h rt uns schliesslich zu einem P u n k te ,

! d er n ic h t v e rn ach lässig t w erden so llte , d er ä s t h e t i s c h e n A n o r d n u n g d e r T a f e l n .

* ) Z . f. m a t h . u. n ä t u n v . U n t e r r . X X V I , S . 252.

* * ) Z u e r s t n i c h t b e i U r s i n , s o n d e r n b e i T r a u - g o 1 1 M ii 11 e r.

S . 2 4 . Un t e r r i c h t s b l ä t t e r. 1 8 9 6 . N o . 2 .

N am entlich auch die physik alisch en , astro n o m i­

schen etc. T abellen sollen ein th u n lic h st ab g eru n ­ d etes gefälliges B ild geben, so g ew ö h n t sich der L ernende auch se lb st d a ra n , bei rech n erisch en A rb e ite n au f ü bersichtliche, zusam m enhängende G e sta lt zu sehen, und w ie seh r dieses ihm se lb st u n d dem L e h re r die A rb eit, w ie seh r es die V erm eidung o d er A uffindung von F eh lern e rle ic h te rt, is t jedem R ech n er b ek an n t, von dem ä sth e tisc h b ildenden E lem en t g a r n ic h t zu reden.

Zum S chluss noch ein W o rt ü b er g r a p h i ­ s c h e E r g ä n z u n g e n d er T afeln; es sind b ish er deren zw ei v e rsu c h t w o rd e n , eine K u rv en tafel (V erfasser) und eine A b b ild u n g eines R echen­

schiebers in 9 S tü ck en (Schülke), le tz te re r is t w ohl ganz in stru k tiv fü r die Z u o rd n u n g d er a r ith ­ m etischen z u r g eom etrischen R eihe, doch e rre ic h t m an, glaube ich, noch m ehr, w enn m an den S ch ü ler die en tsp rech en d e D arste llu n g a u f einen K a rto n ­ streifen a u ftra g e n lä sst und diesen dann längs z e rs c h n e id e t; dieser w irk lich e R echenschieber g e s ta tte t eine V ertiefu n g des V erständnisses und m a c h t den S chülern als etw as ih n en ganz neues b esondere F reu d e. D ie K u rv en tafel w ü rd e ihre E x iste n zb erech tig u n g v ielleich t schon d a ra u f stü tz e n können, dass eine solche von g e n ü g en d er G rösse u n d E x a k th e it in den L e h rb ü ch ern meines W issen s ste ts fe h lt, sie g e h ö rt a b e r re c h t aus­

d rü ck lich in eine T afelsam m lung als ein H ilfs­

m itte l zum L ösen num erischer A ufgaben. D urch einfaches A bschieben m it zw ei P a p ie rstre ife n j lassen sich besonders auch zahlreiche p h y sik ali- i sehe A ufgaben m it einem ganz m inim alen Z eit- aufw ande behandeln. D a rü b e r bei an d ere r G e­

le g en h eit m ehr, h ie r m uss dieser H inw eis g e ­ n ügen *).

E n t w u r f

e i n e s N o r m a l v e r z e i c h n i s s e s f ü r d i e p h y s i k a l i s c h e n S a m m l u n g e n d e r h ö h e r e n L e h r a n s t a l t e n .

V o n F . P i e t z k e r .

D i e v o r z w e i J a h r e n a u f il c r W i e s b a d e n e r V e r ­ s a m m l u n g d e s „ V e r e i n s z u r F ö r d e r u n g d e s U n t e r r i c h t s i n d e r M a t h e m a t i k u n d d e n N a t u r w is s e n s c h a f t e n “ e r­

f o l g t e A n r e g u n g z u r A u f s t e l l u n g g e w is s e r N o r m e n f ü r d ie E i n r i c h t u n g d e r p h y s i k a l is c h e n S a m m l u n g e n a n d e n h ö h e r e n S c h u l e n f ü h r t e a u f d e r v o r j ä h r i g e n V e r s a m m ­ l u n g d e s g e n a n n t e n V e r e i n s z u G ö t t i n g e n z u r E i n s e t z u n g e in e r K o m m i s s i o n , d ie d e n A u f t r a g e r h ie l t , e in V e r ­ z e ic h n is d e r u n u m g ä n g l i c h n o t w e n d i g e n A p p a r a t e u n d

* ) J . P I a s s m a n n ( a . a . O . ) w ü n s c h t a u c h n o c h e in e e n t s p r e c h e n d e g r a p h i s c h e D a r s t e l l u n g f ü r d ie L o g a r i t h ­ m e n d e r t r ig o n o m e t r is c h e n F u n k t i o n e n , d a r a u f m ö c h t e i c h e r w id e r n , d a s s e in e s o lc h e ( a b g e s e h e n d a v o n , d a s s sie ü b e r h a u p t n u r f ü r d ie p o s it iv e n T e i l e d e r F u n k t i o n s - k u r v e u m ö g l i c h is t ) w e n i g e r c h a r a k t e r is t is c h e K u r v e n b ie t e n u n d v o r a lle m n i c h t z u m g r a p h i s c h e n R e c h n e n g e e ig n e t s e in w ü r d e , s o w o h l w e g e n d e r g e r in g e r e n , i n | d ie s e m F a l l e e r r e ic h b a r e n G e n a u i g k e i t , a ls w e g e n d e r i N a t u r d e r A u f g a b e n . G e le g e n t li c h d ie s e K u r v e n v o n S c h ü l e r n z e ic h n e n zu la s s e n , is t g e w i s s s e h r n ü t z lic h , d a b e i k a n n j a d ie g e g e b e n e T a f e l i m m e r h i n a ls V o r ­ b i l d d ie n e n .

E i n r i c h t u n g e n z u e n tw e r fe n u n d d e r E l b e r f e l d e r V e r ­ s a m m l u n g z u r B e s c h lu s s f a s s u n g v o r z u le g e n .

I n d ie s e K o m m i s s i o n t r a t e n a u s s e r d e m V e r f a s s e r d e s v o r l ie g e n d e n B e r ic h t s e in d ie H e r r e n A d o l p h ( E l b e r f e l d ) , G ö t t i n g ( G ö t t in g e n ) , J . L a n g e ( B e r li n ) , N o r d m a n n ( H a l b e r s t a d t ) , S c h o t t e n ( C a s s e l) u n d W e i s e ( H a l l e ) .

D i e K o m m i s s i o n s e lb s t i s t a ls s o lc h e n i c h t z u s a m ­ m e n g e t r e t e n , h e i d e m U m f a n g e u n d d e n b e s o n d e r e n S c h w i e r i g k e i t e n d e r z u lö s e n d e n A u f g a b e w ü r d e e in e g e m e in s a m e B e r a t u n g a ll e r V o r a u s s i c h t n a c h z u d e r v o l lk o m m e n e n E i n i g u n g , d ie a lle in d a s Z i e l e in e r s o lc h e n B e r a t u n g h ä t t e s e in k ö n n e n , d o c h n i c h t g e f ü h r t h a b e n .

D e m B e r ic h t e r s t a t t e r , d e r d ie L e i t u n g d e r g a n z e n S a c h e ü b e r n o m m e n h a tte , s c h ie n es v i e l m e h r d a s R i c h ­ t ig e z u s e i n , v o n d e n e in z e ln e n M i t g l i e d e r n E n t w ü r f e e in z u f o r d e r n u n d d ie s e d a n n z u e in e m G e s a m t b il d zu v e r a r b e it e n . N a c h d ie s e m v o m V e r e i n s V o r s t a n d g e ­ b i l l i g t e n P l a n w u r d e d a n n e in e R e i h e b e r e it s v o r h a n ­ d e n e r t e ils g e d r u c k t e r , t e ils h a n d s c h r i f t li c h a u f g e z e ic h ­ n e t e r E n t w ü r f e u n d A b h a n d l u n g e n h e i d e n e in z e ln e n M i t g l i e d e r n d e r K o m m i s s i o n in U m l a u f g e s e tz t. D i e u n t e r V e r w e r t u n g d ie se s M a t e r i a l s a u f g e s t e llt e n E n t ­ w ü r f e g i n g e n d e m B e r ic h t e r s t a t t e r j e d e s m a l d i r e k t zu, d e r n a c h d e m E i n g a n g d o s le t z t e n E n t w u r f s m i t d e r B e a r b e i t u n g d e r s ä m t l ic h e n E n t w ü r f e b e g a n n u n d d a s E r g e b n i s d ie s e r B e a r b e i t u n g im N a c h s t e h e n d e n v e r ­ ö ff e n t lic h t.

D i e f ü r d ie A u f s t e l l u n g e in e s s o lc h e n N o r m a l v e r ­ z e ic h n is s e s m a s s g e b e n d e n a ll g e m e in e n G e s ic h t s p u n k t e h a b e n b e r e it s m e h r f a c h v o r z ü g li c h e D a r l e g u n g e n e r ­ fa h r e n , d e n e n d e r B e r ic h t e r s t a t t e r n i c h t s h in z u z u s e t z e n h a t. E r b e g n ü g t s ic h in s b e s o n d e r e a u f z w e i v o n d ie s e n D a r l e g u n g e n zu v e r w e is e n ,' n ä m l i c h " ''a u f ' d e n a u f d e r G ö t t i n g e r V e r s a m m l u n g v o n D i r e k t o r S c h w a l b e g e ­ h a lt e n e n V o r t r a g ( U n t e r r ie h t s b l ä t t e r 1895. N r . 5, S e i t e 71 b is 7 5 ) s o w ie a u f d e n A u f s a t z v o n K a r l N o a c k ( P o s k e s Z e i t s c h r i f t J a h r g . V H , 18 9 4 , S e it e 2 1 7 b is 2 2 6 ), u n d im ü b r i g e n z u d e m n a c h f o lg e n d e n V e r z e ic h n is s e d ie u n ­ u m g ä n g l i c h n o t w e n d ig e n ä u s s e r lio h e n E r l ä u t e r u n g e n z u g e b e n .

F ü r d ie v o n d e n e in z e ln e n K o m m i s s i o n s m i t g l i e d e m e r f o r d e r t e n , d e n S t o f f i n ü b l i c h e r W e i s e e in t e ile n d e n E n t w ü r f e w a r n a m e n t l ic h a u c h e in e T r e n n u n g n a c h d e n A n s t a l t s k a t e g o r i e n g e w ü n s c h t w o r d e n . F e r n e r s o llt e n d ie f ü r d ie u n v o ll s t ä n d i g e n A n s t a l t e n ( P r o g y m n a s ie n etc.) e r f o r d e r lic h e n A p p a r a t e b e s o n d e r s h e r v o r g o h o b e n , e n d ­ l i c h d ie d r e i K a t e g o r i e n d e r n o t w e n d ig e n , d e r f ü r d e n U n t e r r i c h t w ü n s c h e n s w e r t e n u n d d e r f ü r d ie e t w a ig e n w is s s e n s c h a f t lic h e n A r b e i t e n d e s L e h r e r s s e lb s t e r f o r d e r ­ lic h e n A p p a r a t e u n t e r s c h ie d e n w e r d e n .

D a m e h r e r e d e r e in g e s a n d t e n E n t w ü r f e e in e S c h e i ­ d u n g n a c h d e n e in z e ln e n A n s t a l t s a r t e n f ü r u n t h u n l ic h e r k lä r t e n , w a r es n ö t i g , in d e r V e r a r b e i t u n g d e r E n t ­ w ü r f e v o n e in e r s o lc h e n S c h e i d u n g e b e n fa lls a b z u se h e n . D a g e g e n s in d d ie f ü r d ie u n v o ll s t ä n d i g e n A n s t a l t e n e r ­ f o r d e r l ic h e n A p p a r a t e i n j e d e m A b s c h n i t t d u r c h H e r - a u s r i ie k u n g d e r Z e i le n g e k e n n z e ic h n e t w o r d e n . E n d l i c h e r s c h ie n a u c h d a s M a t e r i a l f ü r e in e b r a u c h b a r e Z u ­ s a m m e n s t e ll u n g d e r d e n B e d ü r f n i s s e n d e s L e h r e r s s e lb s t d ie n e n d e n A p p a r a t e n i c h t a u s r e ic h e n d , so d a s s e in e s o lc h e Z u s a m m e n s t e l l u n g e b e n f a lls a u s g e f a ll e n ist.

D i e f ü r d e n U n t e r r i c h t b e s t im m t e n A p p a r a t e s in d i n d ie z w e i G r u p p e n d e r a l l s e i t i g a ls n o t w e n d i g a n ­ e r k a n n t e n A p p a r a t e ( A ) u n d d e r A p p a r a t e , d ie v o n d e n m e is t e n S e i t e n a ls n o t w e n d i g o d e r a l l s e i t i g • a ls w ü n ­ s c h e n s w e r t b e z e ic h n e t w u r d e n ( B ) , g e b r a c h t w o r d e n .