Seria i BUDOWNICTWO z. 47 Nr kol. 603
Eugeniusz BARON, Piotr KUBIEŃ
ZASTOSOWANIE RACHUNKU OP ER AT OR ÓW
00 ROZWIĄZYWANIA PŁYT O ZM IENNE3 SZTYWNOŚCI
St r e s z c z e n i e . W artykule przedstawiono nowy sposób rozwiązania zagadnionia płyty wleloprzęsłowej o jednokierunkowo zaiennej szty w
ności. Dzięki zastosowaniu rachunku operatorów w prosty i przejrzy
sty sposób wyznac zo no reakcje eraz powierzchnię ugięcia płyty u- względniajęc pr zy tyu sprężystość podpór.
W zakresie aprężystya dosyć dokładnie opracowano teorię płyt jednoprzę- słowych o stałej i zaiennej sztywności. Po dobnie wszechstronnie opracowa
no teorię płyt w i el op rzęs łowycht o -sjałej sztywności. Zagadnienie płyty wle
loprzęsłowej o zaiennej sztywnośdi' traktowane dotychezae w apoeób upro
szczony, np. w pracy [2j podano rozwięzanie zagadnienia płyty wieloprzę- słowej o sztywności różnej w poszczególnych przęsłach, lecz etałej na dłu
gości przęsła. Rozwięzanie to opierało się na aetedzle sił, przy czy Jako niowiadoae wi el ko śc i hiperatatyczne przyjęto ao aenty zginajęcs rozłożone wzdłuż krawędzi łęczęeych poszczególne przęsła. Rozwięzanie to, aiao że uproszczone, posiadało dość skoaplikowanę budowę aateaatycznę.
Podobnie w spoeób uproezczony potraktowane zaienność sztywności w pra
cach [3] i [4] .
Wprowadzenie operetorów Mikusińsklego pozwala na proste uwzględnienie zaiennoścl sztywności, przy czyn sztywność aoże się zaleniać w sposób cię- gły na całej długości płyty wleloprzęsłowej. Nie jest to jednak Jedyna za
leta aetody operatorowej. Rachunek operatorów Mikusińsklego stanowi pe
wien aparat aa te aatyezny służęey do rozwięzywania równań różniczkowych, niejednorodnych, zarówno zwyczajnych jak i cząstkowych, przy czyn te o- statnle równanie opisuję wł aśnie powierzchnię odkształcone płyty. Prawe strony tych równań nogę być funkcjani cięgłynl, nieciągłymi lub operatora
mi. Dlatego nożeny rozważać różne obciężenla płyty: cięgła, niecięgłe, jak również obciężenla skupione. Rachunek operatorów pozwala również na proste uwzględnienie dyslokacji liniowych 1 kętowych oraz dowolnych w a r u n ków brzegpwych, w tyn również np. nlecięgłych wa ru nk ów brzegowych.Właśnie warunki brzegowe bardzo konplikowały klasyczne rozwięzania. Należy także zwrócić uwagę na prostotę zapisu oraz posługiwania się operatorani.
Generalnie rzecz bioręc, operatory. M i k u s i ń s k i e g o , stosowane wraz z r « » winlęciani w szeregi Fouriera, pozwalaJę na bardzo ogólne, a jednocześnie
proste sformułowanie i rozwiązanie zagadnień z zakresu teorii konstruk-
W dalszej części pracy omówiona zostanie metoda rozwiązania płyty wie- loprzęsłowej o zmiennej sztywności - podpartej na podporach sprężystych.
Rozwiązanie to polega na rozwiązaniu równania płyty prostokątnej, jedno- przęsłowej podanemu w pracy , [2] .
Przejście od rozwiązania płyty jednoprzęsłowej do rozwiązania płyty wie- loprzęsłowej polega na tym, że reakcje podpór pośrednich płyty wieloprzę- słowej traktujemy jako niewiadome obciążenia płyty rozważanej jako Jadrio- przęsłowa. Niewiadome te obciążenia wyznaczamy z dodatkowych związków,któ
re układamy dla każdej podpory pośredniej.
Rzeczywistą zmienność sztywności płyty można przybliżać różnymi sposo-
ności, rozwiązania ogólne różnią się nieco od siebie postacią.
W niniejszej pracy zajmiemy się liniową i wykładniczą zmiennością sztyw
ności.
Rozważmy prostokątną płytę jednoprzęsłową swobodnie podpartą na dwóch przeciwległych krawędziach: x = O i x = a, sztywno utwierdzonej na kra
wędzi y = 0 i o dowolnych warunkach brzegowych na krawędzi y = b.Niech sztywność zmienia się wzdłuż kierunku y. Założenia te czynimy z uwagi na konieczność przyjęcia pewnych dróg rozwiązania, np. dla powyższych waru n
ków brzegowych dla krawędzi x = 0 i x = a stosować będziemy rozwinię
cia w szeregi sinusowe.
Postać wyrażenia L(D,W) będzie zależeć od przyjętej do obliczeń funk
cji zmienności sztywności D(y).
Jeśli sztywność płyty Jest funkcją wykładniczą:
cji.
baml. W zależności od typu, przyjętej do obliczeń, funkcji zmienności sztyw^
Równanie ogólne płyty niejednorod
nej w swej płaszczyźnie podane zostało w pracy [2] 1 ma ono postać:
V 2 (DV2W) - .(1 - ,?). L(D ,W) = q , (1)
g d z i e :
i '
o(y) = D 0<Sy / b .
gdzie ¿5= const.
równanie płyty ma postać:
D o<SY / b ( Ą - ♦
Ą ) +
0 9x4 3y
* 2Do(SY / b . ^ l n 5 ( ^ + Ą ) +
°° F 9x 9y
+ D o<5Y / b .
Js
(lnfi)2 (V *0) .
q . (2)Deśli sztywność płyty zmienia się liniowo:
D(y) = Dq + Dj^y, D o< = const.
równanie płyty ma postać:
/„ . ^ ..w34w . „ 9 \ . 94w, , , 9 3w . 9 ^ , _
(°n + ° . y (— 7 + 2 — 5— -K + — x ) + 2D..(— 5— + — -=) = q. (3;
0 1 9x 9x 9 y 9y 1 9 x 28y 9x3
Równania (2) i (3) zapisujemy w postaci operatorowej, co umożliwia z a stosowanie do rozwięzanla metod rachunku operatorów. Występujące w tych równaniach pochodne cząstkowe względem x zapisujemy 7^ , natomiast po
chodne cząstkowe wzgl ęd em y wy rażamy za pomocą operatora różniczkowego 8. Ot rz ym uj em y dzięki temu równanie operatorowe parametryczne, w którym występują pochodne ugięcia wzgl ęd em zmiennej x oraz pewne funkcje opera
tora różniczkowego s.
Równanie (2) przyjmie teraz postać:
¿ y/b [(W<4 > + 2e2w" + e4W) + | lnSfow" + s 3W) + +
♦ s2») ]- § - + ¿ y/ b [(„ + | lniJWyaiz.O) «■ W y3rx,0)],
gdzie: np. —— r ■ W w3*
S y -5 r
W równaniu tym zmienna y występuje w jawnej postaci w wykładniku <5^.
W celu wyrugowania zmiennej y wpro wa dz am y operację T°f zdefiniowaną na
stępująco:
T<*{f(t)} ° {a****(*)}•
+ b' która ma własność:
T°fR(x) = R(e-O0,
gdzie R(s) jest wyrażeniem wymiernym operatora s.
Inne własności operacji T°f podane sę w fi].
W efekcie otrzymujemy równanie postaci:
T l/b . I n ^ w (4) + 2s2vy,l + g4w) + 2 lnt5(# w- + a 3w ^ +
ij(lnó)2(1?wł + s^jJ “ §”■ + * lfK^sW^2(x>°)J +
+ T 1/b • ln^ [ | IncS . W y 2 (x -°> + w y3(x -0)].
P o dobny sposób postępowania stosujemy, gdy sztywność zmienia się li
niowo. Wp ro wa dz am y wted y operację PA zdefiniowanę następujęco:
pA (f (y)) ■ -ył(y).
- * « • > ■
Po przejściu do postaci operatorowej, równanie (3) przyjmie postać:
(D - P ^ H W ^ + 2s2w" + S4W) + 2D1 (sW" + S 3W) -
= q + Do [sWy2(x,0) + Wy 3 (x.O)] + DjW ygU.O). (5)
Warunki brzegowe dla równań operatorowych (4) i (5):
W(0) - 0, w'(0) » 0,
W(a ) = 0, W "(a ) » O.
Warunki brzegowe dla kierunku y wykorzystane zostanę w dalszej części rozważań.
Występujęce w równaniu płyty wielkości: obciężenie, ugięcie oraz po
chodne ugięcia względem zmiennej y przedstawiamy w postaci rozwinięć w szeregi trygonometryczne:
q(x) = S qm8inV '
m=l
( 6 )
(x) = S v inV '
w
.
m=l
V (x,0) v inv -
m=l
W y 3 (x.O) = B msinopnx, m=l
gdzie: A , B m m są stałymi, Oe = — .' ” m a
Po wpro wa dz en iu tych wyrażeń do równania płyty i wyłączeniu czynnika sin0^x otrzymujemy ostateczne równania różniczkowe dla :
T l/b . i n ^ [(op4 _ 2(| 82 + 84 } + 2 (_ ^ s + 93j +
^(ln<S)2 (-?c<2 * s2 )] = f p + A m (s - | ln<5) + Bm + 2 ^ lnó (7)
b J o
dla wykładniczej zmienności sztywności, oraz:
W m [D o (o*m - a 2 >2 + 2D18{0^ “ ®2 )] - D i ^ " *2 > ^
= ^m + W + B m> + D lA m <B >
* dla liniowej zmienności sztywności.
Oeśli płyta obciążona Jest obciążeniem nieciągłym ze wz ględu na zmie n
ną y, to obciążenie to zapisujemy w postaci:
i csO y
q(x) = q(x,y) ■ ^Tj ^ q tBh ts i n0|ix, (9) t *0 m=l
gdzie: q tB = q t B (y).
Wyznaczając z równań (7) i (8) bezpośrednio W o , otrzymujemy rozwiąza
nia zamknięte dla W n :
dla liniowej zmienności sztywności, przy czym F ^ s ) 1 F2 (s) sę pewnymi funkcjami operatora s.
Praktyczne wyznaczenie W ^ ze wz orów (10) i (11) mogłoby napotkać trud
ności, zwłaszcza w drugim przypadku, gdzie rozwięzanie f o r m a l n e ’ mogłoby nib być rozwiązaniem faktycznym, np. mo głaby nie istnieć funkcja liczbowa f(y) odpowiadająca funkcji operatora' s będącego rozwięzaniem równania (8). Pewniejsze zatem Jeet rozwięzanie za pomoeę szeregów potęgowych.
Współczynniki W m przedstawimy w postaci rozwinięć*
przy wykładniczej zmienności sztywności.
Po podstawieniu tych rozwinięć do równania operatorowego płyty! (8) ■ lub (9), stosujemy metodę współczynników nieoznaczonych, tj. porównujemy współczynniki przy tych samych potęgach operatora s 1 operatora h.Otrzy
mujemy w ten sposób wyrażenia na współczynniku C t . zwykle w postaci wzorów rekurencyjnych. Wyrażenia na c tnn zawierają w sobie niewiadome
dla wykładniczej zmienności sztywności
(1 1)
lub przy obciążeniu nieciągłym ze względu na zmianę yi
1
(12)
przy liniowej zmienności sztywności
(13)
stałe i B . Stałe te wy ra ża my z wa runków brzegowych na krawędzi y =
= b. Ostateczne rozwięzanie przyjmie postać:
oo co J n v
W " £ S E C tmn n T h t8i" < V m=l n=l t»0
lub
oo o o ,, v n
■ ■ £ S S W ’' 1 * * i i « « v - m=l n=l t =0
Przejście do rozwięzania płyty w i e l o p r z ę s ł o w e j , Jak zaznaczono wyżej, odbywa się w ten sposób, Ze reakcje podpór pośrednich traktujemy Jako nie
wiadome obciężenie płyty Jedn op rz ęs ło we J. Niewiadome to obciężenie, ozna
czone q*, wyznac za my z warunków:
q* “ K t . W ( y t ), t = 0 , 1 , . ..J,
gdzie:
•ł* - S " Z ! £ 1?m8in(V ' t=0 t =0 m=l
przy czym q*m sę operatorami liczbowymi, K ( oznacza etałę sprę ży st o
ści podpory t. Dodatkowych wa ru nk ów na q* Jest tyle ile Jest podpór po
średnich (tzn. J).
Deśli przyjmiemy, Ze po dpory sę niepodatne, to dodatkowym równaniem dla każdej podpory Jest:
W ( y t ) = 0.
Należy zauważyć. Ze równanie płyty wieloprzęsłowej powstaje bezpośred’
nio z równania płyty JednoprzęsłoweJ przez dodanie do prawej st ro ny tego równania obciężenia q*.
Opisanę wyżej metodę rozwięzania zastosowano dla rozwiązania przykła
dowych płyt dwuprzęsłowych. Okazało się. Ze współczynniki C tBn wyrażaję się za pomocę sumy współczynników dla wyznaczenia współ-
oo
czynników Clmn należy znać ~^> | c o m n * Ponieważ w przypadkach praktycz
n i
nych musimy się ograniczyć do obliczenia pewnej liczby ws pó łc zynników.za
chodzi pytanie Jaka to powinna być liczba. Oak się okazuje,zbieżność sze
regów jest zależna od takich czynników, jak: wy miary płyty, prędkość zmia
ny sztywności itd. Ilość współczynników potrzebna dla wystarczajęco dok
ładnego rozwięzania jest w każdym przypadku inna. Należy zawsze ję usta
lać indywidualnie. Jeśli korzystamy z maszyny cyfrowej, można ułożyć pro
gram taki, który ustali potrzebnę ilość współczynników w danym przypadku.
Wz o r y przedstawiajęce ugięcie płyty maję proetę formę matematyczny.Nie przedstawiałoby więc trudności takie zaprogramowanie maszyny, by liczęc u- gięcie w wystarczająco dokładnej siatce punktów, rysowała powierzchnię u- gięcia.
LITERATURA
[lj Mikusiński 0.: Rachunek operatorów. PWN, Warszawa 1957.
[2] Kęczkowski Z.: Płyty. Obliczenie Statyczne. Arkady, Warszawa 1968.
[3j Nowacki W.: Pasmo płytowe ortotropowe. Arch. Mech. Stos. 1951, 3, nr 3/4.
[4] Timosohenko S . : Teoria płyt i powłok (tłum. z wyd. 2), Arkady, W a r s z a wa 1962.
[5] Boblewski 0., Bojda K.H.: Zastosowanie operatorów Mikusińskiego do za
gadnień teorii konstrukcji nośnych. Mech. Teor. i Stos. 2, 11, 1973.
[63 Bojda K.H.: Płyt y prostokątne o jednokierunkowo zmiennej sztywności.
Mech. Teor. i Stos. 3, 1972.
[7] Bojda K . H . : Ugięcia płyt ortotropowych o zmiennych sztywnościach i p e w - * nych nieciągłych warunkach brzegowych, Rozpr. I n ż . , 2, 1972.
ITPHMEHEHHH HCHHCJIEHHH OIIEP-ATOPOB JUIfl PE'IHEHHH 3AJUMH MHOrOItPOJlETHOit IUIACTHHKH C HEIIOCTOflHHOfl HfiCTKOCTbB
? e 3 x> x e
B o i a i s e n p z B O A H T c a h o b h B o n o c o O p e m e a x f l s a A a n H x H o r o n p o a e i H O i t n z o c i c o - c t h c O A H o c i o p o H H e f i n e p e u e H H O f t x e c i K O O i b s . Ilpa n o x o n n o n e p a i o p o B n p o c i o h c - X H C J i e H H u z p e a K u n f t o n o p , a x a z x e s p h b o a h i c h $ y h k i i h h A e $ o p x a i w H n a a c T H H K H , y a a i H B a a n p a 3 t o m y n p y r o c i t o n o p .
AP PL IC AT IO N OF OPERATIONAL CALCULUS TO THE PROBLEM OF RECTANGULAR PLATE WITH VARIABLE RIGIOITY
S u m m a r y
T h e paper presents a new method of solution of the problem of multi
spanned rectangular plate with variable rigidity. The application of the' operational calculus enabled a simple and explicit evaluation of the re
actions and of the deflection surface of the plate. Elasticity of the s u p
ports has been taken into account.
