Optymalizacja procesu walcowania

Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L IT EC HN I KI SLĄSKIBJ Seria: A U T O M A T Y K A 2. 110

________ 1992 N r kol. 1 1 7 6

Danuta Rasztabiga Politechnika Śląska

OPTYMALIZACJA P R O C E S U W A L C O W A N I A A ROLLING PROCESS' O PT Y MIZATION OTlTHMHSAlIHfl nPOUECCA

nPOKATA

Streszczenie: W referacie przedstawiono problem s terowania Elastyczną Linią Walcowniczą <ELW> dla przypadku deterministycznego. Rozwiązanie problemu s p r o w a d z a się do modeli m a t e m a t y c z n y c h i algorytmów optymalizacji liniowej. W optymalizacji procesu walcowania zast o so wa no kryterium maksymalizacji wydajności E L W poprzez minimalizację czasu procesu i obsługi ELW.

S u m m a r y : T he paper pres en t a problem of Flexible Rolling Line CFRL>

for the deterministic problem. The question of F R L optimization has been considered by the mathematical m e t h o d and by the algorithms of linear programming. The criterion of m a x i m u m efficiency of F R L ha s be en a s s u m e d wh e n solving the optimization of the rolling pro ce ss applied to maximize. T he rolling time and s tand by time of the slabbing line is minimized.

P*3>oMe: B C T a T b e n p e n c T a B n e H a n p o S n e w a ynpaBneHMB ThCkoR n p O K a T H o H JIhhwgH (mil) n n n neTepMHHwcTMHecHoro cnyMafl. PemeHMe n p o 6 n e M b i cbodhtch k

MaTewaTMHecHMM Monermw w anropMTMaM xiMHewHoR cnTMMH3aunH. B onTHMW3auMM

n p o u e c c a n p o n a T a n p w M e H e H n p n T e p w R M a H C M M H 3 a u n M n p o n 3 B O U H T e i i b H O C T H h m h u m n y T G M M M H M M M 3 a U M M B p e M e H M n p O K a T a W 0 6CJiy>KMBaHMB

1. Wprowadzenie

E L W umożliwia produkcję różnych a s o r t y m e n t ó w wyrobów. Dla każdego asortymentu w y m a g a n e jest odpowiednie narzędzie w k aż d ym agregacie ELW.

Produkcja w y r o b ó w różnych a s o r t y m e n t ó w wiąże się z koniecznością wymiany zużytych narzędzi. W y m i a n a narzędzi powoduje przestoje ELW, co zmniejsza efektywność jej pracy. Z a k ł a d a się, że narzędzia s ą wielofunkcyjne, tzn.,

¿e m o g ą być wy k or z y s t y w a n e do produkcji w y r o b ó w różnych asortymentów. Elastyczna Linia Walcownicza <ELW> jest s z e r e g o w y m u k ła de m złożeń walców Crys.l>. K aż de złożenie jest p a r ą walców. Na powierzchni każdego walca znajdują się wykro 1e. Każde złożenie m a różne wykroje. W wyniku walcowania m - t y p ó w w s a d u ot rz y mu je się n-ty pó w p r o d u k t ó w . Walcowane produkty różnią się między s o b ą pr ze k r o j e m geometrycznym. Liczba wszystkich produktów jest r ó w n a liczbie w y k r oj ów ostatniego złożenia.

Walcowanie produktu określonego typu polega na przepuszczaniu w s a d u po określonej marszrucie technologiczne 1. W trakcie walcowania czynna jest tylko Jedna, w y b r a n a m a r s z r u t a technologiczna. T y m s a m y m produkty są walcowane sekwencyjnie. Jeżeli jeden z wy krojów wy branej m a r s z r u t y zostanie wykluczony, to m o ż n a zmienić m a r s z r u t ę i walcować inny produkt. W przypadku ędy m a r s z r u t y wszystkich p r o d u kt ów s ą wykluczone - E L W zostaje zatrzymana.

Aby uruchomić linię, należy wymienić walce zużytego złożenia. W y m i a n a walców powoduje przestoje ELW, co zmniejsza efektywność jej pracy. Problem sterowania E L W polega n a określeniu sekwencji i wielkości produkowanych wyrobów o ra z procedury w y m i a n narzędzi w celu maksymalizacji efektywności

ELW.

94 Danuta Raszlabi ga

3

Rys.l. Z ł o ż e n i e walców. C l , 2 - w a l e c n u m e r 1 1 2 ; 3 - w y k r o j e zło że n ia ; 4 - o s i e o b r o t u w a l c ó w ) Fig.l. A s s e m b l y rollers. Cl , 2 - r o ll er s 1 a n d 2;

3 - a s s e m b l y passes; 4 - r o l l e r r o t a t i o n axis)

Na E L W wyróżnia się- d w a zagadnienia sterowania:

- h a r m o n o g r a m o w a n i e Coptymalizacja) - dla problemu deterministycznego»

- sterowanie o p er at yw n e — dla problemu probabilistycznego.

Dla problemu deterministycznego sterowania E L W zakłada się, że linia pracuje cyklicznie Cokreślony jest w s a d dla procesu walcowniczego) bez m a g a z y n ó w buforowych między agregatami, a realizacja w y b r a n e g o a so r ty me nt u zajmuje jednocześnie wszystkie a g r eg at y E L W CrysJ?).

1 m M

F R L

i n N Rys .2

rig.2

E l a s t y c z n a L i n i a W a l c o w n i c z a C E L W ) - R e l a c j a w s a d - p r o d u k t ( m - n u m e r w s a d u , M - l i c z b a t y p ó w wsadu, n ~ n u m e r produktu,

N - l i c z b a t y p ó w p r o d u k t ó w }

F l e x i b l e Roi 1 irxg L i n e CFRL) - C h a r g e - p r o d u c t r e l a t i o n ( m - c h a r g e type n u m b e r , M - n u m b e r o f types of charge,

n - p r o d u c t typ e n u m b e r , N - n u m b e r of t y pe s of p r o du c ts )

Sterowanie E L W dla przypadku deterministycznego polega na określeniu:

** sekwencji i wielkości w s a d u różnych a s o r t y m e n t ó w podawa ny ch do ELW,

- agregatów, w których należy wymienić narzędzia w przypadku "zablokowania"

ELW.

Celem sterowania E L W w tych wa r un ka ch jest maksymalizacja produkcji poprzez minimalizacje czasu obsługi określonego wsadu.

Optymalizacja procesu walcowania 95

Tak s f o r m u ł o w a n y problem s terowania deterministycznego EL W s p r o wa d za się do rozwiązywanego optymalnie harmono gr am u. Decyzje p od e jm o w a n e dlą ustalenia h a r m o n o g r a m u E L W s p r ow ad z aj ą się w praktyce do stosowania reguł heurystycznych. Celem ich s tosowania Jest ustalenie takiego h a r m o n o g r a m u procesu walcowania, aby były spełnione wym a ga ni a związane z Jego przebiegiem.

2. Podstawowe założenia i określenia

Przyjmiemy następujące oznaczenia:

m * liczba t ypów w s a d u <m»l,...,M>, n - liczba typów produktu (n»l,...»N>, i - liczba zł ożeń walców <i*l,...,I>,

J - max liczba w y k ro jó w n a złożeniu walca CJ**1,...»J\ >, k - numer e ta p u decyzyjnego <k*i,...,K>,

Załóżmy, że E L W składa się z I złożeń. Na i-tym złożeniu znajduje się różnych wykrojów. Przyjmiemy, że

J « m a x J. Cl>

i < i < i 1

Definicja l.: S t r u k t u r ę E L W przedstawia macierz:

C - [ c ] i*l,...,I <2>

Elementy c określamy następująco:

wj

c . - i " <2a>

J J, Jeśli 1 < J < J Ł -1, w przypadku przep r z e c i w n y m .

Pefinicia 2 • Relację przyporządkowania typu produktu do w s a d u opisuje macierz:

R ■ [ r ] <3>

n ,N .

Elementy tej macierzy s ą określane następująco:

!

n - t e g o t y p u

0, w p r z y p a d k u p r z e c i w n y m .

Definlcia 3 • M a r s z r u t y technologiczne linii opisuje macierz;

A «■ f \ 1 i«i,...,I C4)

L t,n J n-l,...,N

gdzie.- \ - n u m e r wykroju i-tego złożenia dla n-tego produktu, i,n

N - liczba produktów.

Elementy tej macierzy określamy następująco:

'$> jeśli d l a uzyskania n - te go p r o d u k t u w s a d musi

być p r z e p u s z c z o n y przez J-ty w y k r ó j i - t e g o walca <4a) -1, Jeśli w p r od u k c j i n- tego p r o d u k t u i-ty w a l e c

nie jes t używany.

HgTlnicla 41 Zamów i en ie p ro du k t ó w jest m acierzą :

z k . r _{m ,n J} 1 n * l , . . . , n. v t55:*

gdzie; z k - liczba t o n n- tego p roduktu z m - t e g o wsadu.

\v,n

96 Danut,a Rasztabiga

De fi nic la 5 ,: Wydajności linii s ą dane w w e k t o r z e : V * [ w n ] n - i N

izdzie: w - wydajność linii dla n-tcgo produktu.

n

Deflnic ia 6 : Czasy wymi an zł ożeń dane s ą w w e k t or z e

T - l T l <7ł

i

gdzie: t - czas wymia ny i-tego złożenia.

W dalszym c iĄgu zakłożymy, ż e dane s ą p a r a m e t r y wykr oj ó w zapisane v macierzach:

Definlc 1a 7 : Nominalne wymiary wy k ro j ó w opisuje macierz:

D - [ d . ] 1-1,...,1 C8>

1 ' J J-1,...,J

gdzie: d - nomialna odległość powierzchni walców J-tego wykroju na n o w y m i-tym walcu.

Definicja 8 ; Dopuszczalne wymiary wykrojów opisuje macierz:

]

<9>

J-i,...,J

gdzie; c - rzeczywista odległość powierzchni walców j-teęo wykroju na z u ż y t y m i-tym walcu.

Definic 1a 9 : Tolerancję zużycia wy krojów opisuje macierz:

E - [ e ] i«l,...,I <10>

1'J

-

,....

gdzie: e - dopuszczalne zwiększenie odległości powierzchni walców w j-tym wykroju i-tego walca

oraz e * I g . - d. . I <10a>

w j Wj

Definic la 10 : S t a n e m linii jest m a c i e r z :

x k- r x \ i i-i i cii>

L J j-i..j

gdzie: xk - odległość powierzchni walców w J-tym wykroju i-tego

^ »j

zł ożenią.

V ' V d < x k < g CllaJ

1 < i < I 1 < J < J. 'J l 'J L ’ J

Jeżeli w k-tej operacji i-te złożenie Jest wymieniane to przyjmujemy, że:

V x k - d, Clib)

1 < j < J, 'J 'J

Złożenie m o ż e być wymienione, jeżeli spełnia warunek:

3 x k « g :ilc>

l < J < J t

Definicja 11: P rz e pu s t o w o ś ć E L W Jest m a c i e r z ą :

P - [ > l s ] i-i,...,I

J-1 J

gdzie: p - dopuszczalne zużycie J-tego wykroju i-tego złożenia.

Ponadto pk _ c _ ^ lml (I C12a>

,J wj t,J J-i,....JŁ

V V p k - g - x k C12b>

1 < i < I 1 < J < J ,J l,J

Optymal izac ja procesu walcowania 97

1 < 1 < I 1 < J < J

0 < P . <

t >J i» j <12c)

Rys.3. Graf i C7.-. a interpretac Ja p a r a m e t r ó w w y k r o j u

FiC-3. Graphical interpretation of t h e p a r a m e t e r s of p a sses

Dennic la 12 : P rz ep u s t o w o ś ć m a r s z r u t y technologicznej pr od uktów opisuje wektor'

r fc

- [ P_ C13>

gc/zie: p m , n Ponadto k

P _{m , n} ■ V przypadku gdy:

p r z e p u s t o w o ś ć EL W dla n-tego produktu z m - t e g o wsadu.

min k 1 < i < I i A

V p - 0

1 < n < N m 'n

nie m o ż n a walcować żadnego produktu, Jeżeli

min k - 0

<13a>

<13b>

<13c) nie m o ż n a walcować n-tego produktu Cn-ta m a r s z r u t a wykluczona). Jeżeli

V min p k . m O <13d)

ELW Jest z a t r z y m a n a - dla wym ia ny złożeh.

2 punktu widzenia sterowania p r o c e s e m walcowania istotne znaczenie m a charakterystyka statyczna wykroju. Charakterystyka ta określa odległość między powierzchniami walców w wykroju, w zależności od m a s y prze walcowane­

go materiał u.

W ogólnym przypadku charakterystyka statyczna i-tego walca Jest funkcją:

x - f Ccj > <14>

t,j v.,j,m,n m

Funkcja ta m o ż e być r ó ż n a dla różnych J w y krojów i-tych walców. Ponadto przebieg tej funkcji zależy od typu ws ad u Cnp. twardości materiału) oraz od t*ypu produktu Cnp. określonego gniotu). Na rys.4 przedstawiono zużycie wykroju w zależności od gniotu.

Powierzchnia walców ulega zużyciu szybciej przy d u ż y m gniocie CD/e) niż P ^ y m a ł y m gniocie CD/e+ó). S t a d m o ż n a p r zy puszczać, że charakterystyka statyczna wyk ro ju m a przebieg wypukł y Crys_5). W praktyce charakterystyką

98 Danuta Rasztab i ga

tą m o ż n a ot rzymać w wyniku identyfikacji.

R y s .4. Zużywanie powierzchni walców C D - grubość wsadu, G ■ e ♦ 6 >

Fig.4. W e a r and tear of roli surfaces C D - charge thickness, G « e ♦ 6 >

R y s . 5. C h a r a k t e r y s t y k a s t a t y c z n a w y k r o j u

Ccf - n o m i n a l n a o d l e g ło ść m i ę d z y p o w i e r z c h n i a m i w a l c ó w w wykr oj u, ó - d o p u s z c z a l n e z w i ę k s z e n i e o d l e g ł o ś c i m i ę d z y p o w i e r z c h n i a m i

w a l c ó w w wy k ro ju ,

x - r z e c z y w i s t a o d l e g ł o ś ć m i ę d z y p o w i e r z c h n i a m i w a l c ó w w wykrój u> - w i e l k o ś ć w s a d u p r z e p u s z c z o n e g o p r z e z w y k r ó j C w t o n a c h lub

w s z t u k a c h )

Fig. 5. S t a t i c a l c h a r a c t e r i s t i c o f pass

C d - n o m i n a l d i s t a n c e b e t w e e n s u r f a c e s of r o l l s in a p ass, 6 - a d m i s s i b l e increase i n t h e d i s t a n c e b e t w e e n r o l l s u r f a c e s

in a pass,

x - a c t u a l d i s t a n c e b e t w e e n roll s u r f a c e s in a p a s s ,

w - q u a n t i t y o f c h a r g e p a s s e d t h r o u g h a p a s s C i n t o n s o r pieces

Jeżeli j"ty wykrój i-tego walca leży na marszrucie technologicznej <&*

produktów, które m o g ą być o t r z y m a n e z każdego wsadu, to liczba L wszy"

wszystkich charakterystyk statycznych wyniesie:

l c " I J

L - M r N, CIS)

. k

co określa rozmiary problemu identyfikacji.

W praktyce przyjmuje się Cdla uproszczenia) liniowe charakterystyki

Optymalizacja procesu walcowania 99

w y k r o j ó w <rys.6>:

x. - a .uf +• e C16>

• J WJ tn — i , j

- stałe współczynniki.

^ r J

W takim przypadku na podstawie wielkości w s a d u m o ż n a określić odległość między powierzchniami walców.

wJ gdzie: a

Rys.6. L i ni o we c h a r a k t e r y s t y k i w y k r o j ó w

C n, v - n u m e r y p r o d u k t ó w , , co^ - w i e l k o ś c i p r o d u k t ó w , x - o d l e g ł o ś c i p o m i ę d z y p o w i e r z c h n i a m i w y k r o j ó w ).

Fig.6. Linear c h a r a c t e r i s t i c o f pa sses

( n, v - p r o d u c t n u m b e r s , o>^, - q u a n t i t y of p r o d u ct s, x - d i s t a n c e s b e t w e e n s u r f a c e s of p a s s e s )

Nawet w przypadku liniowej charakterystyki o postaci:

x ■ a w e

“\,j, n m v , j t»J

a tym s a m y m

(16a>

<16b>

nie można określić odległości pomiędzy powierzchniami walców.

Przyjmując liniową charakterystykę statyczną wykroju m o ż n a wyznaczyć przepustowość teg o wykroju dla n-tego produktu z m - t e g o wsadu. Jeżeli dany Jest <z identyfikacjo s t a n wykroju x k ., to o t r z y m a m y ekwiwalentną wielkość wsadu:

v K — .

> J i. , j , m , n Masymalna wielkość wsadu:

C17)

Ct8>

Stąd p rz ep u s t o w o ś ć p określamy Jako:

k

-i- . J C19>

i , j , m , n m , m a x

“i ,'j , m , n

Zatem p r z e pu s to wo ść wykr oj u p k <w odróżnieniu od s t a n u x. > Jest określana dla w y b r a n e g o produktu i wsadu.

Przepustowość m a r s z r u t y technologicznej dla n-tego produktu z m - te g o wsadu w yz na c z y m y jako:

<20 >

min p l<i<I 1

Jeżeli w stanie X* jest spełniony warunek:

Danuta Rasztabiga

C r m , n " 15 Cp_ o)

t-o EL.W nie n o ż e produkować n-tejo wyrobu.

Jeieli w st,anie X* jest, spełniony warunek:

V V C r- - 1) * (pk - O)

m,n m.n

1 < n i N m

to E L W nie m o ż e produkować żadnego produktu.

<20a>

C20b>

3. Problem optymalizacji

R o z w a ż m y problem realizacji zamówienia z Problem nie Jest trywialny, jeśli

k m.n

3 n

min 1 < i < I

R.

A.

w najkr ót sz y m czasie.

C2i>

gdzie: p - pr ze p u s t o w o ś ć m a r s z r u t y technologicznej produktów u,n

w y r a ż o n a liczba t on produktu, możliwą do odwalcowania.

W takim przypadku E L W musi być z a t r z y m a n a dla wym ia n y złożeń.

Wykażemy, że problem optymalizacji m o ż n a sprowadzić do programowania liniowego.

Definicja 1 3 : Czas pomiędzy d w o m a kolejnymi zatrzymaniami E L W n azywamy fazą.

Liczba faz dla realizacji zamówienia nie Jest znana. Na zakończenie każdej fazy Cz wyjątkiem ostatniej) następuje wymi an a p e w ny c h złożeń.

Liczba faz jest z de te r m i n o w a n a liczbą koniecznych w y mi an z ł o że ń oraz liczbą koniecznych przest oj ów E L W dla realizacji wszystkich zamówień.

Dla danego zamówienia Z " [ 2 m n ] * s ta n u E L W m o ż n a wyznaczyć

“obciążenia" w s z y s t k i c h w y k r o j ó w złoż eń walców opisane macierzą:

C22>

gdzie: q ’ - liczba t o n wsadu, który musi być prz ep us z cz on y przez wykrój <i,J> dla realizacji wszystkich zamówień,

q ’ - E 2

N.j “ J

W ó w c z a s liczba koniecznych w y mi an i-tego złożenia wynosi:

< . m a x

l <i<J

:22a>

C23>

gdzie: g - liczba t on produktu, którą m o ż n a przepuścić p rz ez J-ty

—*■ »j

wykrój i-tego złażenia.

Procedura wyznaczania q' m o ż e być s t o s o w a n a po k a ż d y m przestoju ELW.

Niech F « min q ’ ■

n i<t<i wn wn 4>

W ó w c z a s liczba koniecznych przest o jó w E L W dla zrealizowania n-tego produktu n a J-tym wykroju wynosi:

z

X - <25>

Wykrój <i,d> stanowi wąskie gardło. Należy tak walcować, by zużyć wykrój

Optymalizacja procesu walcowania

<i,d>. Liczba faz Jest wi^c ograniczona wielkością q. or az X .

t n

P r o b le m o p ty ma l i z a c J 1 polega n a określeniu:

- wielkości p r od uk tó w s^, które należy zrealizować w każdej fazie,

- złożeń, które należy wymienić po każdej fazie tak, by czas walcowania zamówień był minimalny.

Oz na c zm y przez:

k - nu m er fazy,

- ilość n-tego produktu zrealizowanego w k-tej fazie,

_ - p r z ep u st ow oś ć m a r s z r u t y technologicznej dla n-tego produktu, wyrażona, liczba, ton, którą m o ż n a odwalcować n a J- t ym wykroju i-tego złożenia,

C. - liczba t o n produktu, któr«, m o ż n a przepuścić pr z ez J-ty wykrój i-tego złożenia,

xk - liczba t o n wsadu, k tó r a odwalcowano na J-tym wykroju i-tego złożenia, 1»i

j.

6^ - zmienna decyzyjna wymiany i-tego złożenia p o k-tej fazie.

Przyjmiemy, że

f 1, Jeśli po k -t«J f a z i e i-ta złożenie m a być wymienione i " 1

1 (_ 0, w przypadku p r z e c i w n y m .

Załóżmy, ż e po wymianie złożenia pr ze pu s t o w o ś ć każdego wykroju Jest r ó w n a tolerancji zużycia wykroju.

Jako kryterium optymalizacji przyjmiemy minimalizacje łą cznego czasu wymiany złożeń, opisanego funkcja liniowa:

k*«-i t — *

F - r r <5 r > m i n <26>

k a 1 i si U V

3.1, Ograniczenia optymallzac 11

Ograniczenia optymalizacji wynika

z wielkości zamówień i przepusto­

wości wykrojów.

- Ograniczenia wielkości zamówień maja postać:

łc = K

E S Ł ■ i k N <27>

n m ,n n * l ,...,n

k * ‘ m - l , . . . , M

S ą to ograniczenia liniowe.

" Ograniczenia przepustowości wykrojów

R o z w a ż m y ograniczenia przepustowości wy kr oj ów w pierwszej fazie Cdla k-l>.

Dla J— tego wykroju i-tego walca m o ż n a wyznaczyć zbiór cr ^ n u m e r ó w produktów, których m a r s z r u t a technologiczna przechodzi p rz ez t e n wykrój.

Zatem

a . m f n: X ■ J \ i«l,...,I C28>

i l-n J... j-i.. j.

Ograniczenie przepustowości wykrojów w pierwszej fazie przyjmie postać:

Sn - P :ld i-i X

102 Danuta Rasztabiga

Problem zapisu ograniczeń przepustowości wy krojów dla dalszych faz Jest bardziej skomplikowany. Dla każdej fazy należy podać Jej ograniczenia przepustowości wykrojów z uwzględnieniem wymiany złożeń.

Ograniczenie przepustowości wykrojów dla dalszych faz przyjmie postać opisaną twierdzeniem, którego d o w ó d p r z e p ro w ad zo no m e t o d ą dedukcji i metod*

indukcji matematycznej:

Twierdzenie: Ograniczenie przepustowości wykr o jó w k-tej fazy (k*2,..JO ma postać liniowej nierówności:

k = K k = ic

_ _ k O , — , f k ” 1

Z VE *n - El.j + £ a i Ł ć,j i - 1 X

n C Ot. k = 1 k«=l . . T

V , j J » 1 ,.•.,J L

C29)

6 m o (29a)

i Dowód: I. M e t od a dedukcji:

Dla drugiej fazy <k»2> ograniczenia przepustowości wy krojów maja, postać:

C ó ‘ - 0 > — > £ < s^ + s^ 5 < C30a>

. . . V n ca. ,J

lub. t , j

c <5* - 1 > — > £ ^ C30b>

n c a . 'J

Przy d w óc h fazach obowiązuje ograniczenie fazy k»l ora z Jedno z ograniczeń C30a) lub <30b> drugiej fazy.

Ograniczenie dla drugiej fazy:

E c < + < > < bJ ' + ó ‘g C30>

n c a .

v * J

Jeśli ó* * 0 / o t r z y m a m y C30a>.

Jeśli ■ 1, to C30> nie p o k ry wa się <30b>.

Dodając do C30b> ograniczenie fazy k«l o t r z y m a m y C30>.

Dla trzeciej fazy powinno być:

| o 5 N 05 ^ <ó* - 0>J — > -J^

E

t » j

jcó‘- 1> ~ C6 * - 0 >j — > ^ + £*5 - ^i .} C31b:>

i » J

[có!- » - <6I C31c>

Ł * j

Ograniczenie trzeciej fazy m o ż n a zapisać łącznie w postaci'.

r Cs1 s Z + s S > < p? + ó 1^ ó 2g <31>

n “ ^ ~ n - n “ n *5ifj L i , Jt i > J

»- » J

Jeżeli Có1 » 0) /n Có2 m 0> , to o t r z y m u j e m y C3la>.

lub

lub

Jeżeli (<5^ " 1> a Có^ ■ 0) , to otrzymujemy;

^ T ^ T V ' - r °

n c a

v > J

Odejmując od C31> obowiązujące ograniczenie dla k«l fazy o t r z y m a m y C31b>:

Optymalizacja procesu walcowania 103

E < s

° , i-*....i n « a t>" ł,J... J-l.... J L

i „ 5

s ‘>.

i

*• f j

Jeżeli <ó*- 1> ys <ó* - 1>, t o z <31 > o t r z y m a m y

<33 >

"^n ^ ~ n ~l.j - L , j n c a

i . J

Odejmując od <33> obowiązujące ograniczenie C30) dla k-2 fazy o t r z y m a m y (30c>. Uogólniając C30> i <311 dochodzimy do <29>. Cc.b.d.u >.

T w i erdzenie- Ograniczenie przepustowości wy kr o jó w k-tej fazy <k"2,...K> m a postać liniowej nierówności:

fc = K ■ - k " c ck-i

e e

< £ •i.j+

* r v j i-i— i

E < - E + *1«^

n c a n £ ct

E *n '5 ^i,:' n /: a

E

+ Ó cŁ i,i

n £ a.

3. Dla k-3 zachodzi zależność:

E C < + < + < 5 £ %,j + +

n c o 1,J

^ > J

n £ a Ł , i

<29>

n £ a k = i ” k = i ’ ’ r * "j a r - - - »

u ,j 0 >• ••>J ,

< 5 - 0 <29a>

i

Dowód: II. M e t o da indukcji matematycznej:

1. Za kł a da my s łu szność t>rierdzenia dla k — 1 . j < . 4 . • - \ £ < s <

n / n e a

<5^ - 0 ----/ t,j

2. Dla k « 2 twierdzenie m a postać:

E T c < «■ < > s

J

-

n £ a *= i

>• , j

CD

:) E < * < tlfj CUD

n £ a

.

CIV)

E c < + < 5 * E < * +

n ^ a n a

i.»j w J

Cli)

:>

P s 3 + D° + 6* C < D? ó*£ + 6 2g^ >

^ ^ ju,j u l,j *4,; t t c , j --- /

n ¿r a /

= = > E < * * \ , t CV)

' n <■ rt

Danuta Rasz tab Iga

4. Z a k ł ad am y słuszność twierdzenia dla k-n:

z

n i o . k = i

t r J

5. Z prawdziwości twierdzenia dla k ■ n wykażemy, że Jest ono słus zn e dla k « n+1:

k m . k*n+l ,

E E < ‘ * afj - E < " V

CVK

n /r a . k = i k=i

t , j

k = K . k = n + l

- , k , n * l o .k-1

E c E *» + *h > 5 ®łj + J- ó i c wj

r \ C C X k= 1 k = l M

»•o

CVI)

_ n + 1 O ^_,n -fc—1 O ^_,n , k - 1 x n \

n c a . 7 1 k « i 1 ^ ' j k « i v W ' J 1 v ' J

WJ

aio. c\o

k = n k « n + l

n c a k = i k=i

t »j

k = r. k = n + X

E E < 1

- E

n £ a k = i k*i

^ » J

Na podstawie d o w o d u m e t o d ą dedukcji i indukcji m a t e m a t y c z n e j wniosku"

Jemy, ±e problem optymalizacji został s p r o w a d z o n y do p r o g r a m o w a n i a liniowe P

4. Algorytmy' heurystyczne

Ponieważ algorytm optymalizacji w y m a g a dużej liczby zmiennych i ograniczeń, w praktyce s t o s o w a n e s ą algorytmy heurystyczne.

4.1« Algorytmy przepustowości wykr ot ó w

R o z w a ż m y problem wyznaczenia liczby t o n materiału, który od s t a n u X*”1 do stanu X* m a być p r z e pu sz c zo ny przez każdy wykrój. O z n a c z m y t ą wielkość

r rk - l

przez n

»■ >J

Z a t e m wyznaczymy;

n*-1 - £ zk-‘ <34 >

l ’J n e a m ’"

przy c z y m * i j

a - < n: \ . • J } C35>

Ł*J

V ten sposób dla każdego wykroju m o ż n a wyznaczyć wskaźnik

A n r ; - I - Z t - n; * I C3ć>

-k-l , k-i

1 - 2Ł

W J 1 W J L,j

który określa zapotrzebowanie n a wykrój.

Wykrój, na który Jest największe z a p o t r z e b o w a n i e , stanowi wąskie gardło, tzn., Jeżeli

m a x m a x ATT1'-1 - ATI*” 1 C37>

i £ i < I 1 < J < T l,J r’*

i

to s-ty wykrój r— tego złożenia s tanowi wąskie gardło.

Optymalizacja procesu vralcoxanla 105

C39>

Heurystyka przepustowości w y krojów poleca na realizacji zamówień przechodzących przez wąskie gardło. Z <37> wynika, że r-ty walec będzie w>7nieniany najwięcej razy. K aż d a wymiana powoduje przestój E L W w czasie t . Jeżeli r-te złożenie będzie wymieniane w stanie spełniającym warunek:

s T ‘ < C C38>

^ r,a

to liczba koniecznych w y m i a n r-tego złożenia zwiększy się. Spo w od uj e to wydłużenie czasu walcowania.

Zatem należy dążyć do całkowitego wykorzystania przepustowości wykroju stanowiącego wąskie gardło.

W na jp rostszym przypadku w algorytmie przepustowości wykrojów w stanie X* 1 wybiera się n-te zamówienie, które spełnia warunek:

m a x ) ] " C1^ T C ^ ' ) ]

VGCX 1 < 1 < I i , U i , V 1 < 1 < I t,n t ,n

r >■

Ponieważ nie m a gwarancji, że w a r u n e k <39> da całkowite wykorzystanie przepustowości s-tego wykroju r-tego złożenia, z a t e m efektywność tej heurystyki m o ż n a sprawdzić poprz e z symulację proce su walcowania. W t y m celu wykorzystuje się heurystykę przeciwną, wybierając n-te zamówienie spełniające warunek:

min [ min (c - IL y )] ■ t mir. (g. - x k * )] <L40>

1<1<I i,V L * i ,U i<i<I ' t,n f i , n r ,•

42, Algorytmy przepustowości E L V

Rozważając p r z e p u s t o w o ś ć E L W m a m y na u w a d z e liczbę t o n produktów, które można otrz y ma ć z E L W do jej “zatkania’*. Problem maksymalizacji przepustowości E L W m o ż n a sprowadzić do p r o g r a m o w a n i a liniowego.

Przyjmijmy kryterium:

ksK m =M n=N

Q - Z

E

C41>

k — l m * 1 n = l oraz ograniczenia:

* zamówień

u k < Z k _ 1 . „ C42>

m. n m , n n * 3 , . . . ,

“ przepustowości wyk ro jó w n a k- ty m etapie musi spełniać warunek:

E “k — Ł . - xk_1 <43>

n e a m 'n l ’ J v Ł ' J

gdzie: u - liczba t o n produktów n-tego typu z m - t e g o wsadu,

m 'n jri

które należy przewalcować od s t a n u X .

Zatem liczby t o n t/k produktów, które należy zrealizować do “zatkania" ELV^

można wyznaczyć al g or yt me m simpleks.

W przypadku kryterium maksymalizacyjnego tonaż pr oduktów uzyskanych w pierwszej fazie Cdo pierwszego zatkania” EL W> jest maksymalny. Jednakże stan E L W (nawet po wymianie niektórych złożeń) m o ż e być gorszy dla dalszego walcowania. Dlatego też kryterium C41> nie daje gwarancji minimalizacji C2asu walcowania T k. Z a t e m przyjmując inne kryteria m o ż n a zweryfikować algorytm maksymalizacji przepustowości ELW.

106 Danuta Rasztabiga

4.3. A lgorytm optymalizac li lokalne.j

Ponieważ rozwiązanie problemu realizacji wszystkich z a m ó w i e ń w najkrótszym czasie trudno wyznaczyć w przypadku globalnym Cz uwzględnieniem przestojów ELW), dlatego zostanie przedstawiony Jedynie algorytm optymalizacji lokalnej. Z a p o m o c ą te go algorytmu określimy ilości produktów, które m a j ą być walcowane pomiędzy kolejnymi przestojami ELW.

Przyjmiemy kryterium maksymalizacji pr od uktów odwalcowanych pomiędzy kolejnymi przestojami ELW.

O z n a c z m y przez:

u k - ilości produktu n-tego typu z m - t e g o w s a d u od walcowanego pomiędzy kolejnymi przestojami ELW.

Z a t e m kryterium m a postać' fcxic m= H r> = N

Q - £ £ £ u — > m a x <44>

k s x m= l n= l

Ograniczenia optymalizacji s ą następujące:

- produkcja nie m o ż e przekroczyć zamówień, czyli

u k < z k_1 „ „ C45>

m, r\ m , n 0*1 , . . . , n

- s u m a r y c z n a ilość p ro d uktów walcowanych n a j- ty m wykroju i-tego walca nie m o ż e przekroczyć przepustowości, czyli

E

~

1 « «

n £ Jm ’n... J-l.J.

przy c z y m

p ■ C . * x. <4óa>

i>j W J

o

WJ

A L G O R Y T M OPTYMALIZACJI L O K A L N E J dla poszczególnych e t a p ó w nta postać:

Krok 1 : W y b i er a my do walcowania n-ty produkt z m - t e g o wsadu, dla którego

u 1 < 2° <47>

m , n m , n n“ l oraz

i: i P° , <47a>

„ r a. jm '" > 1 .. J.

»■ * J przy c z y m

p . * ę. “ x . <47b>

» J W i u, j

znając sta n począt ko w y E L W dla poszczególnych wyk ro jó w złożeń.

Kryterium optymalizacji m a postać ! m =M n=N

Q - £ £ u* — > m a x C48>

m = i n = i

Krok 2: Obliczamy s ta n E L W po p i e r w s zy m etapie:

4 0 0

x - x + u C49>

W J t, j -V, j

gdzie: ^ - zużycie J-tego wykroju i-tego złożenia walców po odwal- cowaniu n-tego produktu z m - t e g o w s a d u w poprzednim etapie decyzyjnym.

Macierz z a m ó wi eń dla dalszych e t a p ó w decyzyjnych m a postać:

Optymalizacja procesu waicovanla 107

Obliczamy p r z ep us t ow oś ć ELW:

P!,J “ C w j - X L,J

Krok 3: W y b i e r a m y do walcowania n-Ły produkt, z m - t e g o wsadu, dla którego

g - x C31)

W 1 L, j

u m , n S Z m , n n* 1 , . . . > nN <S2>

E u 1 < p 1 1-1,..„I <32a>

— m,n <•, 1 , •

n O C * . J*1,—kJ,

‘ , i 1

g d z i e :

p1 - C - x* <S2b>

i, J >•> J i > i Kryterium optymalizacji m a postać:

k = Z m = M n = N

Q - E E E « — >

m , n k s l m = 1 n = 1

Krok 4: Dla k-tego e ta p u decyzyjnego obliczamy p a r a m e t r y ELW:

k k” i , k” 1

x “ X + u C34)

> J «•> J > J

v _ 4

gdzie: u - zużycie j-tego wykroju i-tego złożenia walców po odwal- W J

cowaniu n~te go p roduktu z m - t e g o w s a d u w k-1 etapie decyzyjnym.

OS)

<55a) tego wsadu, dla którego C 5 6 >

C57>

C57a>

K ryterium optymalizacji m a p o s t a ć : k = K m = M n = N

Q ■ E E E u —

k = \ m= 1 n

= 1

Krok 6: S p r a w d z a m y czy pk 1 » 0 . Jeżeli tak, to p o w t ó r z krok 4 i 5, w

-- <-,j

p rzeciwnym przypadku wymień złożenia walców.

Jest to algorytm optymalizacji lokalnej, ponieważ nie m a gwarancji, że maksymalizacja ilości p r o d uk tó w odwalcowanych pomiędzy kolejnymi przestoja­

mi E L W doprowadzi do minimalizacji c zasu realizacji zam ów ie ń Zk

m , n < k - X Zm , n

k-1

m, n n»l , . . . ,N

k m

e i,i ' Xk-i

*•p i

Krok 5: W yb ieramy do walcowania n-ty produkt z uk

m , n < k - i

zm , n n — 1 , . . . ,N

n £

_ k

E

a t « J

> r»

. k-1

- p t,j i*i,...,I J«1,...JT g d z i e :

k- 1 p >,i

m C c,j -

Xk- l Ł * J

5. Wnioski

W pracy wykazano, ze problem optymalizacji E L W m o ż e być rozwiązany optymalnie z a p o m o c ą wielokrotnego stosowania algorytmu simpiex. Efektywność przedstawionych algorytmów heurystycznych m o ż n a os zacować w odniesieniu do rozwiązań optymalnych na podstawie t e st ów komputerowych.

Na podstawie s f o r m u ł o w a n e g o problemu optymalizacji z ograniczeniami metoda pr o gr a m o w a n i a statycznego liniowego CSimplex> m o ż n a wyznaczyć maksymalna liczbę to n materiał u prze walcowanego na ELW.

108 Danuta Rasztablga

LITERATURA

£13 Rasztabiga D.: Maksymalizacja wydajności Walcowni Ciągłej Kęsów.

I Ogólnopolska Konferencja r>t.; "Sztuczna Inteligencja" GI R'90, W S P - R Siedlce 1990.

C23 Rasztabiga D., Marecki F.: H a r m o n o g r a m o w a n i e Elastycznej Linii Walcowni"

czej. IX K r a j ow a Konferencja Automatyki, Białystok-BiałowieZa 1991.

133 Na mh au s er J, Garfinkel W’.: P r o g ra mo wa n ie cał kowitoliczbowe. WNT, W a r s z a w a 1978.

143 Rasztabiga D., Marecki F.: Modele m a t e m a t y c z n e i algorytmy sterowania p r o c e s e m walcowania ciągłego, R ap or t z pracy n-b RP.I.02., Gliwice 1990

Recenzent: Prof, dr hab. inż. K. Wala W p ł y nę ło do redakcji do 30.04.1992.

Abstract: The Flexible Rolling Line CFRL> m a k e s it possible to manufacture a various range of goods. A p ro p er tool is needed for each a s s o r t m e n t and particular line unit. The production of different range of goods is related to the necessity of tool replacement. It is a s s u m e d that the tools are multifunctional, i.e. they can be used for manufacturing various assortments. The tool replacement ca uses F R L shut-downs, which decreases its effectiveness.

The Flexible Rolling Line CFRL> is a t a n d e m a r r a n g e m e n t of roll assemblies CFig.l). Each assembly provides a pair of rolls. P a s se s are situated o n the surface of each roll. Particular assembly is furnished with various passes.As a result of rolling the charge it is possible to obtain products of various types. Rolled products differ in the cross-selection f r o m each other.

A specified technological route is provided for respective product as determined by the n u m b e r of pass in each assembly. It has be en a s s u m e d that technological routes run t h r o u g h one pas of particular assembly.

During the rolling only one, selected technological r ou te is operated.

Thus the products a re roiled in a sequential manner. If o ne of the passes of selected route is excluded the route can be changed to roll another product. In case w h e n route s of all products are ruled out - the FRL is stopped. In order to s t a r t F R L the rolls in the w o r n out assembly should be renewed. Rolls w o r n out are regenerated. Roll renewal causes down-time of whole FRL. T he problem of F R L control is that a sequence and a quantity of produced goods and procedure of tools renewal are determined for maximization of the line effectiveness.

Generally, t w o problems of F R L control can be distinguished: schedule generation and c o m p e t e n t control.

For the problem of deterministic FRL control it is a s s u m e d that the line is operated in cycles Ccharge is defined for manufacturing process) without buffer s t o r es b e t w e e n the units, and the realization of a selected a s s o r t m e n t occupies all F R L units at the s a m e time.

For the deterministic case, the FRL control should determine:

- a sequence of charge quantity of different a s s o r t m e n t fed to the FRL, - units in which tools should be replaced if F R L is "locked".

The object of FRL control under these conditions is to maximize production through the minimization of service time for specified charge.

7’he problem of FRL deterministic control formulated resolves itself into an o p t i m u m solved schedule.

In the case of FRL, decision variables for rolling process and roll replacement are distinguished which determine the sequences and product range for certain charge and the choice of unit in which roll replacement is required.