Możliwość wykorzystania asymptotycznych rozkładów wartości ekstremalnych do oceny prawdopodobieństwa występowania wstrząsów indukowanych eksploatacją górniczą

ZE S Z Y T Y NAUKOWE PO LI TE CH NI KI Ś L Ą S KI EJ Seria : G Ó R N I C T W O 2. 149

________ 1986 Nr kol. 900

W a c ł a w M. Z U B E R E K Un iw er sy te t ślęski

M O Ż L I W O Ś Ć W Y K O R Z Y S T A N I A AS Y M P T O T Y C Z N Y C H ROZKŁADÓW W A RTOŚCI EK ST R E M A L N Y C H DO OCENY PRAWDOPO DO BI EŃ ST WA W Y S T ą P O W A N I A W S T R Z Ą S Ó W INDU KO WA NY CH EKSP LO AT AC JĄ G Ó R N I C Z Ą

S t r e s z c z e n i e . Zakłedajęc, że rozkład lokalnej wytrzymałości w danej oDjętości skały podlega symptotycznemu rozkładowi wartości mi n i ma ln yc h Gu mbela tr ze ci eg o typu (równanie 4b) i przyjmując za­

leżność Grif fi th s m i ęd zy w y t r zy ma ło śc i? i długości? pęknięcia (5), w y pr ow ad zo no , że rozkład dł ug oś ci pęknięć i rozkład energii sejs­

micznej w s t r z ę s ó w Jest rozkładem wart oś ci maksymalnych Gumbela d r u ­ giego typu. An aliza se js miczności obszaru Gó rn ośląskiego Zagłębia Wę gl o w e g o za okres 1982-1984 wykazuje, źe dy6trybuantę empiryczn?

można apro ks ym ow ać as ym ptotycznym rozkładem Gumbela drugiego typu.

Ap ro ks ym ac ja by ła by jednak znacznie lepsza, gdyby przyjęć blmodal- ność rozkładu wstrzęsów. Może to sugerować, że najsilniejsze z nich

(o energii > 108 O) sę generowane przez ocrj«1-' mechanizm.

1. WS T ą P

Można przyjęć, że w y s t ęp ie ni e ws tr zę su w górotworze uwarunkowane Jest z a i s tn ie ni em najmniej 6p rzyjaJ?cych okoliczności, do których zwykle zali­

czam y ma ks ym al ne naprężenia i lokalnie nsjmniejsz? wytrzymałość. Jeśli założymy, że za równo rozkład naprężeń, Jak i rozkład wy trzymałości maj?

char ak te r losowy, to wy da je się obiecujęce wy ko rzystanie statystycznej teorii w a r t oś ci ek st remalnych (wyrazów skrajnych) do oceny prawdopodo­

bieństwa wy st ęp ie ni e tych zjawisk. Teoria ta zsjmuje się bowiem ocenę prawdopo do bi eń st wa wy st ęp ow an ia zdarzeń w tzw. ogonach rozkładów, czyli wa rtości m i n i ma ln yc h lub m a ks ym al ny ch zmiennych losowych.

Wy st ęp ow an ie wart oś ci maks ym al ny ch (jak i minimalnych) można rozpatry­

wa ć Jako nowę zmiennę l o s o w ę , której rozkład zależy od typu i parametrów rozkładu po cz ętkowego zmiennej l o s o w e j , Jak i wielkości badanej próby.

Przy dużym rozmiarze badanej próby rozkład ten zwykle zmierza do rozkładu asymptotycznego.

Gu mb el [l, 2] w y p r ow ad zi ł trzy typy asymptotycznych rozkładów wartości ek stremalnych (maksymalnych lub minimalnych) dla stosunkowo szerokiej klasy rozkładów po cz ęt ko wy ch zmiennych losowych.

Ro zk ła d as ymptotyczny w a r t oś ci maksymalnych pierwszego typu wy pr ow a­

dzono dla zmiennych losowych o rozkładach: wykładniczym, normalnym, gamma

244 W.M. Zuberek

(Pearsona t r ze ci eg o typu) lub logarytmiczno-normalnyra. Dyst ry bu an ta p r a w ­ do po do b i e ń s t w a w a r t oś ci ma ks ym a l n y c h asa w ó w c z a s postać:

F(x) = p(x < x ) ■ ex p< -e xp [-kjCk - V j ) U (l)

(

)

gdzie kj > O; - pa ra me tr y rozkładu.

Dla z m ie nn yc h losowych o p o c z ą t k o w y m rozkładzie typu C a uc hy lub Pareto, Gu mb el [l] w y p r o w a d z i ł a s y m p t ot yc zn y dy st ry b u a n t ę d r ug ie go typu, czyli:

gdzie k2 > O; X >

t >

Oeśl i zmienna losowa posiada kres górny, co oznacza, że istnieje p e w­

na w a r t o ś ć co , której zm ienna nie może przekroczyć, wó wczas dy st ry bu an ta as ymptotyczna na le ży do trzeciego typu i pr ze ds ta wi a się następujęco:

gdzie x < co ; < tt> ; k^ > 0, U) , V3 , k3 - pa r a m e t r y rozkłBdu.

An al ogicznie wy pr ow a d z o n o trzy typy as ym pt ot yc zn yc h dystrybuant wa rtości mini ma ln yc h [ l , 2j .

Oak wynika z badań [ 2

,

,

gdzie x > £ > 0 ; V > £ ; k > 0 .

Parametry d y s t r y b u s n t y k, V , £ określaję kształt i przebieg rozkładu i zależę od typu i p a r a m e t r ó w rozkładu po cz ęt k o w e g o zmiennej losowej.

2. MO D E L T E O R ET YC ZN Y

Sz cz eg ól ny m przypadkiem a s y m p t o t y c z n e g o rozkładu wartości minimalnych trzeciego typu jest rozkład W e i b ul la c z ę s t o uż yw an y ** gęotechńice do o p i ­ su rozkładu wy tr zy ma ło śc i skał ¡4]. Przyjmuje się wówczas, że zniszczenie skały zachodzi zgodnie z mo de le m na js ła bs ze go ogniwa, tzn. że zn is zczenie danej objętości skały V przy na pr ęż en iu C? za ch od zi wówczas, gdy lokal­

nie wy tr zy m a ł o ś ć skały x będzie mniejsza lub równa napręż en iu

6 ;

(2)

k

(3)

(4)

<S - <Z„ k i

F(<5) = p(x $

&) * 1 -

gdzie -6 k - p a ra me tr y rozkładu ok re ślajęce w ł as no śc i górotworu.

Możliwość wykorzystania asymptotycznych.. 245 Ś ><SU > 0

* o > ® o

k > 0

V » rW_o

V Q - el em entarna ob ję to ść skały.

W takim p r zy pa dk u pa rametr można interpretować jako pewnę granicznę (minimalnę) w y t r z y m a ł o ś ć skały, poniżej której zniszczenie nie zachodzi, g j e s t na pr ęż en ie m, p r z y którym praw do po do bi eń st wo zniszczenia Jednost­

kowej obję to śc i skały w y n o s i 0,65 ( 6 =

ś g;

nyra [3] .

Wy zn a c z e n i e ws zy s t k i c h trzech p a ra me tr ów rozkładu może być kłopotliwe, dl at eg o zwykle ogranicza się ich liczbę do dwóch, przyjmujęc np. ¿ u = 0.

Za ło że ni e to w ro zw ażaniach og ól ny ch nie ma w i ęk sz eg o znaczenia, gdyż pa­

rametr

6

Za ł ó ż m y zatem, że rozkład wy tr zy ma ło śc i danej objętości górotworu V składajęcej się z n el em en ta rn yc h objętości V Q określony Jest asymp­

totycznym rozkładem wa rt oś ci mi ni ma ln yc h Gumbela trzeciego typu (rozkładem Weibulla) w postaci: ;

F ( 6 ) = P ( x £ 6 ) «= 1 - exp [- ^ - ( f ) J ( 4t>)

O

k > 0; V > 0.

Za ł ó ż m y także, te lokalna w y tr zy ma ło ść górotworu x jest określona dł u­

gości? istn ie ją ce go w niej na jw ię ks ze go pęknięcia 2 c , a funkcyjnę zależ­

ność określa z m o d y f ik ow an y wz ór Griffitha [6] :

Y 6('3fc)1/^2 = const = Kw

o w

gdzie:

«N - w s p ó ł c z y n n i k in te nsywności naprężeń dla różnych typów zniszczenia (n = I przy rozrywaniu, N = II przy ścinaniu poprzecznym,

N = III przy ścinaniu podłużnym),

Y - ws pó łc z y n n i k geometryczny, który zależy od rozmiaru pęknięcia.

Jak i geometrii obciętanej skały.

246 W.M. Zuberek

Oeśli z a ł o ż y m y ponBdto, że pę k n i ę c i a w gó ro tw or ze wy st ę p u j ę l o so wo i nie ma w z a j e m n e g o w p ły wu m i ęd zy pęknięciami, wó wc za s p o ło wę długości pę kn ię ci a m o ż e m y r o z p at ry wa ć ja ko zm iennę losową Y.

W s ku te k z a le żn oś ci (5) d y st ry bu an ta zmiennej losowej Y (długości pęknięcia) będzie zw ię za na z rozk ła de m zmiennej losowej X (wytrzyma­

łością skały) związkiem:

F(c) = P(Y £ c) = P(x > A c - 1 / 2 ) * 1 - (Ac- 1 /2 ) (6)

gdzie : KN

a O

Z a c h od zi bo wiem zwięzeki

p(y si c) = p(x >

6 )

Z a l e ż n o ś ć (7) należy interp re to wa ć następująco: spadek d ł ug oś ci pęknięcia wi ąż e się ze w z r o s t e m w y t r z y m a ł o ś c i górotworu, tzn. że dystry bu an ci e d ł u­

gości pę knięć f(c) odpo wi ad a pr a w d o p o d o b i e ń s t w o ni ez ni sz cz en ia g ó ro tw o­

ru , czyli p r aw do po do bi eń st wo, że lokalna w y t r z y m a ł o ś ć górotworu będzie wi ększa od i s tn ie ją cy ch w nim n a pr ęż eń

6 .

P o ds ta wi aj ąc (4b) do (6) uzyskujemy:

F(c) = p(Y < c) = exp ^ - ( ^ 7--- ) J ■ exp£- (jr)k//2J (8)

g d z i e :

U . ( V _ ) 2 A a 2 y-2.

o

Oznacza to, że przy tych ze ło ż e n i a c h dy st ry b u a n t a dł ugości pęknięć Jest a s y m pt ot yc zn ym rozkładem w a r t o ś c i ma ks ym a l n y c h Gu mbela dr ug ie go typu.

Oeśli następnie przyjmiemy, że energis sejsmiczna E jest funkcyjnie związana z rozmiarem pęknięcia, np. w postaci:

E = De (9)

gdzie :

D > 0; jb > 0 - stałe współc zy nn ik i,

to po ds ta wi aj ąc (9) do (e) uzysku je my dyst ry bu sn tę rozkładu maksymalnych en er gi i w s t r z ą s ó w w postaci:

Możliwość wykorzystania asymptotycznych.. 247

t

- (ę^) 2J (10)

g d z i e : V2 ■

uP

„ _ k

z SJ5*

Po dobnie Jak d y st ry bu an ta dł ug oś ci pę knięć (8) dystrybuanta energii s e j s m i c z n y c h w s t r z ę s ó w (10) Jest także asympt ot yc zn ym rozkładem wartości ma k s y m a l n y c h G u mb el a d r u g i e g o typu.

W op ar ci u o pr ze d s t a w i o n y powyżej st at ys t y c z n y model pękania skał moż­

na powi ęz ać rozkład en ergii w s t r z ę s ó w z rozkładem wy tr z y m a ł o ś c i górotworu i d ł u g o ś c i w y s t ę p u j ą c y c h w nim pęknięć.

3. A N A L I Z A R O Z K Ł A D U ENERGII NA OS I L N I E O S Z Y C H WS TR Z Ą S Ó W Z RE30NU GZW

W c ze śn ie j prowad zo ne prace

[_7,

cję g ó r n ic zę można w y k o r z y s t a ć as ym pt ot yc zn y rozkład wa rtości ma ks ym al­

nych G u mb el a d r u g i e g o typu. Nie jest to Je dnakże jedyne rozwięzanie, gdyż można ró wnież st os ow ać inne rozkłady. Jak np. rozkład wa rt oś ci ma ksymal­

nych Gu mb el a trzeciego typu, a także inne rozkłady [12, 13, 14, 15, 16] . P r z e a n a l i z u j e m y za te m na pr zy kł ad zi e se jsmiczności (bez ROW) Górnoślę- Sk ie go Z a g ł ę b i a W ę g l o w e g o za okres 1982-1984, który z rozkładów wartości ma ks ym a l n y c h Gu mb el a najlepiej opisuje obserwacje. Analizę najsilniej­

szych w s t r z ę s ó w (e

>

nych w s z y s t k i c h trzech ty pó w sprowadza się do postaci:

F(E) « exp[-exp(-y)J (l ł )

g d z i e :

dla rozkładu pi er ws ze go typu y • k^(E - V j ) ,

dla rozk ła du drug ie go typu y • k2 [ln(E - £ ) - ln(v2 -

E

y « -l n[ -l n f(e)J ) można rozróżnić typ rozkładu, gdyż dla rozkładu Gumbela pi er ws ze go typu za le żn oś ć ta jest liniowa, d l a typu drugiego wypukła w dół, a dla typu trze ci eg o wy pu kł a w górę [2, 7, 8] .

D y s t ry bu an tę em pl ry cz nę okre śl an o w oparciu o dane z archiwum Głównego In st yt ut u Gó rn i c t w a Jako:

248 W.M. Zuberek

Rys, 1. D y s t r y b u a n t y f(e) energii sejsmicznej w s t r z ę s ó w (e

>

st aw io no w uk ładzie E « f (y ), gdzie y * -ln [-ln F(e)J Fig. 1. Di st ri b u t i o n fu nc ti on s f(e) of the tremors seismic e n er gy (E£l x 105 3) from the Upper Silesia Coal 8asin (without the Rybnik Coal District) registered ln the years 1982, 1983 and 1984 have been presented

ln the sy st em E » f(y), wh e r e y « -l n[ -l n f(e)J

Możliwość wy ko r z y s t a n i a asymptotycznych. 249

Rys. 2. Dy st ry b u B n t y F(e) energii sejsmicznej wstrzęsów (E) 1 x 10 3) z rejonu G Z W (bez ROW) z a re je st ro wa ny ch w latach 1982, 1983 i 1984 prze d­

stawione w uk ładzie ln(E-£) = f(y) gdzie y = -ln [-ln f(e)J . (tinię cię- ałą za zn ac zo no wy kr es dopasowanej dyst ry bu an ty rozkładu asymptotycznego Gu mb el a d r u g ie go typu, linię przerywana proponowane doossowanie, oddziel­

nie dla w s t r z ę s ó w słabszych i najsilniejszych)

Fig. 2. Dist ri bu ti on functions FÍE) of the tremors seismic energy (e> 1 x 10^ 3) from the region of Upper Si lesia Coal Basin (without Ryb­

nik Coal Destrićt) reoistered in. the years 1982, 1983 and 1984, presented in the system ln (E - ć) = f (y)) , where y = -In [-In F(e)J. With a continu­

ons line is marked the di agram of the matched distribution function of Gu mb el a s ym pt ot ic dist ri bu ti on of the second type, with a broken line - the proposed matching, s e pa ra te ly for the w e ak er and the strongest tre-

mors (E-mi

n

>A 0.7 0.9 0.98 0998

25 0 A.M, Zuberek

F(E) " i T T T (12)

gdzie:

Na - liczba w s t r z ę s ó w o energii nie wi ęk sz ej od E, N - całk ow it a liczba wstrzęsów.

Uz ys ka ne dane p r z e d s ta wi on o w układzie E = f ( y) na rys. 1 w za kr e-

6 fi

sie energii s e js mi cz ny ch od 1 x 10 0 do 2 x 10 0 ze wz gl ęd u na skalę rysunku. Z rysunku tego wynika wyra źn ie , że dane na le ży apro ks ym ow ać funkcję w y pu kł ę w dół. czyli z trzech as ym p t o t y c z n y c h rozk ła dó w wart oś ci ma ks ym a l n y c h Gu mb el a najlepiej będzie opis yw ać dane rozkładu d r u g ie go ty­

pu.

A b y p r ze an al iz ow ać dane w sz er sz ym pr ze dz ia le energii sejs mi cz ny ch (od 1 x 10J 0 do 1 x 108 0), na rys. 2 pr ze d s t a w i o n o d y s t r y b u a n t y w u k ł a ­ dzie ln(E - 6) = f(y). W ukła dz ie tym równanie (2) pr ze kształca się w równanie prostej o w s p ó ł c z y n n i k u kętowym k^ . Z rysunku 2 wynika, źe dane możne ap ro ks y m o w a ć prostę, przy czym najwię ks ze od ch yl en ie o b s e r w u ­ je się dla na js i l n i e j s z y c h wstrzęsów. Z g o d n o ś ć b y ła by znacznie l e p s z a , gdyby do ap ro ks y m a c j i w y n i k ó w w y k o r z y s t a ć dwie proste o różnych w s p ó ł ­ cz yn n i k a c h kątowych: dla w s t r z ę s ć w o en ergii sejsmicznej mniejszej od 108 3 i dla w s t r z ę s ć w na js il ni ej sz yc h (o en er gi i sejsmicznej większej od 10 3), co na rys. 2 p r z e d s ta wi on o za pomocę linii przerywanych. Fakt po­8 w y ż s z y może w s k a z y w a ć na bimo da ln oś ć rozkładu.

Na rysunku 3 p r z e d s t a w i o n o natomiast h i s t o g r a m y rozkładu en er ge t y c z n e ­ go se js mi cz no śc i in du kowanej, na których linię cięgłę za zn ac zo no o b s e r w o ­ wane liczebności w s t r z ę s ó w w po sz cz e g ó l n y c h kl as ac h en ergii sejsmicznej, a linię przerywanę w a r t o ś c i o c ze ki wa ne w oparciu o e s ty mo ws ne para me tr y rozkładu a s y m p t o t y c z n e g o w a r t o ś c i ma ks ym a l n y c h Gu mbela dr ugiego typu [li] .

4. D Y S K US 3A W Y N I K Ó W I WN IO SK I

Rozr óż ni en ie typu rozkładu as ym p t o t y c z n e g o op is uj ąc eg o dane pomiarowe z wy s o k i m poziomem ufności w przypadku niewielkiej liczby da ny ch d o ś w i a d ­ cz alnych może być bardzo trudne, a czasem wręc z niemożliwe

[

].

to, że pr zy w i ę k sz ym rozrzucie wyników, wy w o ł a n y m na przykład małę d o k ł a ­ dnością określania energii sejsmicznej, możne do opisu d y s t r y b u a n t y w y k o ­ rzystywać różne ty py rozk ła dó w asymptotycznych. W takim przypadku do o p i ­ su danych powinno się w y b i er ać typ rozkładu, który najlepiej uzas ad ni on y jest teoretycznie.

W referacie p r z e d s ta wi on y został pr osty model te or etyczny uz as a d n i a j ą ­ cy przyjęcie drug ie go rozkładu as ym pt ot yc zn eg o Gu mb el a do opisu rozkładu m a ks ymalnych energii s e js mi cz ny ch wstrzęsów. Można wy kazać, że dla n a j­

wy żs zy ch energii s e js mi cz ny ch rozkład ener ge ty cz ny w s tr zę só w będzie w ó w ­ czas zm ierzał do pows ze ch ni e a k c e p t ow an eg o w se js mologii rozkładu hlper-

GZW1902r GZW1983r GZW1984r

Możliwość wykorzystania asymptotycznych. 251

Ul

r bO

ri

-

pm 11 i

CM fc. JC

CD 0 •H

O ' to C T J

r t X 0

O X o> QC O

O O o

0 c a

*■* N 3 X

0 O O o

H > X

** «-> 0 ^ to O** H X ; ®

to

X a w l >

O E ■O-H

> * > c © L _

c o H

0 o 0 u c

to 0 « o

o 3 OD E ! 0

t . TJ ‘0

*-* 0 *H O «

0 HI O

O X o ® l ®

■*” ) N c

O O © l» *

U i . 0 c l

O ■Hh K

N 0 • H O

H O

*o rH c *

H © 0 O ■H 3 </) -X ®

o : O a O 3

• 0 > t - U *H N O H © x o

O c a >

X X o a o

s / o O) D c

N 0 X 3

5 O ■H © 4-> E N H O) X H H 0 * H 3

L. w 0

3 © TJ C C0 0 O n i H to h ©

1 Sć -O

O E N N 3

to oO O

'O X

« ■ H O O* O >

N *<0 C 1» O r-ł +* 4-* 0

0 i . E

to 0 >*

to ® o -X o> o « O C E C O N N H O O O

>» © *0 c o

© N ^ O) 0 L. N O C 0*

O C O

Z l

O X N N L.

o ai.

©>

E C (0 H C -J o>—

w •0 0

*

H OD

1 O*

E

2 w ®

**- CD -C

o> ♦*

a <h i

8 5 g

U o

4J Kł oo «

h- o> 2 O «-* -O c |

O CM H

•H CD ®

*-• C' Zj

3 H T5

X■H 0 O U W. -H

**

0 O O

5 1 *

> 5 | |

C7) 4-* ®

U 0

O Ci c -nr*

® t,x o

© © E

X L. 3 ~ © O

**-©*“ *■*

O H O Oł*4“

© © ^ El .®

® 2

I- * 3 OV—O *■* ®

u

0 H

•rl U

1 0

0 OD. K)

252 W.M. Zuberek

bolicznego, a rozkład m a k s ym al ny ch magnitud (przyjmujęc liniowę zależność p o m i ęd zy l o ga ry tm em energii sejsmicznej a m a gn it ud ę wstrząsu) do rozkłs- du as ym p t o t y c z n e g o Gu mb el a pi er ws ze go typu [?] .

N i e d o g o d n o ś c i ą rozkładu Gu mbela d r u g i e g o typu (podobnie jak i pi er­

w s z e g o typu) jest brak o g ra ni cz en ia dla n a j w y ż s z y c h wart oś ci zmiennej losowej. W i e m y bowiem, że fizycznie takie o g ra ni cz en ie dla m a ks ym al ny ch energii (lub magnitud) w s t r z ą s u po winno wyst ęp ow ać , co może wy nikać, np.

z ograniczonej zdol no śc i do a k um ul ac ji energii o d ks zt ał ce ni a w g ó r o t w o ­ rze. Pod tym w z g l ę d e m ro zkłady p o s i 8d aj ęc e ogra ni cz en ia maks ym al ny ch wa rt oś ci zmiennej losowej mogę się w y d a w a ć lepiej uzasadnione.

Pr ze pr ow ad zo na analiza nie uz as ad ni a Je dn ak stosowania do opisu m a k s y ­ ma ln yc h en ergii w s t r z ę s ó w z rejonu G ó r n o ś l ę s k i e g o Za głębia W ę gl ow eg o roz­

kładu a s y m p t o t y c z n e g o w a r t o ś c i m a k s y m a l n y c h Gu mb el a trzeciego typu. Nie wykl uc za to Je dn ak m o ż l i w o ś c i w y k o r z y s t a n i a do tego celu innych rozkładów a s ym pt ot yc zn yc h, co prop on uj e na przykład Kijko [l4, 15] . Sz cz eg ół ow e b a dania p o wi nn y wykazać, który z tych rozk ła dó w lepiej opisuje dane rze­

czywiste. Może się pr zy tym okazać, że a b y w y k a z a ć istotne różnice, a n a­

lizę należy ograni cz yć do m n i e j s z y c h o b s z ar ów an iż el i ca ły o b sz ar GZW.

N a le ży także podkreślić, że rozkład energii w s t r z ę s ó w nie musi być j e dn or od ny w całym pr ze dz ia le en ergii w s t r z ę s ó w i może mi eć char ak te r bi- modalny, na co wcześniej zw ró ci li uwagę D e s s ok ey [13] oraz Kijko et al

M

Oak wy ni ka z przedstawionej analizy, także w p r zy pa dk u w s t r z ę s ó w z re­

jonu G Z W można d o p a t r y w a ć się bi mo dalności rozkładu. Może to sugerować, że na j s i l n i e j s z y m z nich (o en ergii większej od 108 3) sę generowane przez o d mi en ny mechanizm. U w zg lę dn ia Ję c fakt, że najsil ni ej sz e ws tr zę sy w y s t ę p u j ę c e w rejonie G Z W c h a r ak te ry zu ję się zwykle brakiem be zp ośrednich p o wi ęz ań z e k sp lo at ac ję górniczę, pozwala to d o sz uk iw ać się zw ięzków tych zj aw is k z budowę geol og ic zn ę obszaru. Dest to je dn ak z a g a dn ie ni e trudne i c z a s oc hł on ne ze wz gl ęd u na to, że zj awiska te w y st ęp uj ę st os un ko wo rzadko i w różnych rejonach.

Badania nad wy k o r z y s t a n i e m rozk ła dó w as ym pt ot yc zn yc h wa rt oś ci m a k s y ­ ma lnych mogę być b e zp oś re dn io wyko rz ys ta ne do ocen y pr aw do podobieństwa wy st ęp ie ni a n a js il ni ej sz yc h wstrzę só w, a zakładajęc, że w y s t ęp ow an ie tych zjawisk opisane jest procesem P o i s s o n a , można ok re śl ać sejs mi cz no ść o b ­ szaru lub czas oc ze ki wa ni a na w y s t ę p i e n i e n a js il ni ej sz yc h zjawisk, co dla terenu G Z W podano w pr ac y [ll]. Bloręc pod uwagę, że na js il ni ej sz e w s t r z ę ­ sy sę powodem uszk od ze ń budowli na powierzchni, a także wyro bi sk pod z i e ­ mię, tego typu an aliza powinna być w y k o r z y s t y w a n a w ge ot echnice dla celów inżynierskich.

P a ra me tr y rozkładu as ym pt ot yc zn eg o w s t r z ę s ó w możne także w i ęz ać z w ł a ś c i w o ś c i a m i górotworu. Przyjmujęc p r z e d s t a w i o n y model w y st ęp ow an ia

Możliwość wykorzystania asymptotycznych.. 253

wstrzę só w, w y k ł a d n i k ro zkładu Gu mbela dr ug ie go typu można więzać z roz­

kładem lokalnej w y t r z y m a ł o ś c i gó ro tw or u 1 Jest on w t e d y miarę dyspersji rozkładu pęknięć w g ó ro tw or ze [3] .

L I TE RA TU RA

[1] Gu mb el E.3. : St at i s t i c a l theory of extreme values and some pr ac ti­

cal applications. Appl. Ma th em at ic s Series, nr 33, National Bureau of Standa rd s, W a s z y n g t o n 1954.

[2] G u m b e l E.3. : St at i s t i c s of extremes. Co lumbia Univ. Press, Nowy Oork 1958.

[3] Freudenthal A.M.: S t a t is ti ca l approach to brittle fracture. Cw 0 Fracture, t. II (red. L i e b o w i t z ) , A c a d e m i c Press, Nowy Oork 1968, s. 591-619.

[4] G l a z e r Z. : M e ch an ik a gruntów. Wyd. Geologiczne, Warszawa 1977.

[5] Y e g u l a l p T.M. , M a h t a b M.A. : A pr oposed model for statistical repre­

se nt at io n of mechan ic al pr op er ti es of rock, w: Proc. od the 24th US Symp. on Rock Mech., As so c i a t i o n En gi ne er in g Geologists, 1983, s. 61-69.

[6j Oa ya ti la ka A. de S. : Fracture of engineering brittle materials.

Appl. Sci. P u b l . , Londyn 1979.

[7] Zu be re k W. : Probab il is ty cz ne interpretacja rozkładu energetycznego a k ty wn oś ci sejsmicznej i rozkładu amplit ud ow eg o aktywności sejsmo- akustycznej. Prace Na ukowe Uniw er sy te tu ślęskiego nr 614, Geologia, t. 7, Katowice 1983, s. 77-91.

[8] Zu be re k W. : Probab il is ti c in te rp re ta ti on of the frequency - energy di st ri b u t i o n of seismic ac ti vi ty and of the amplitude distribution of se ismoacoustic activity. Acta Geophysics Pol. 1983; t. XXXI nr 4, s. 343-354.

[9] Zu be re k W. , Źogałs B. , Kińczyk L. : Rozkład en er getyczny wstrząsów z obszaru g ó rn ic ze go kopalni węgl a kamiennego " S z o mb ie rk i‘’. Publ.

Inst. Geophys. Pol. Acad. Sci. 1985; nr M-6 ( l 7 6 ) , s. 357-375.

[10] Sa ga n G. , Zu be re k W. : An al iz a zw ięzku sejsmiczności z tektonikę i pr ze bi eg ie m eksp lo at ac ji na obszarze górniczym kopalni "Polkowice".

Publ. Inst. Geoph. Pol. Acad. Sci., nr M-8 (w druku).

[11] Zu be re k W., Mutk e G. . Zogałs 8.: S e js mi cz no ść Gó rn oślęskiego Zagłę­

bia W ę g l o w e o o indukowane ek sp lo at ac ję górniczę. Mate ri ał y z Symp.

Nauk. z okazji 10-lecia Oddz. Górnośl. Pols. Tow. Przyj. Nauk o Ziemi (w druku).

[12] Kijko A., D e ss ok ey M. , Głowacka E. , Kazimierczyk M. : Wstępne ocena po wt ar z a l n o ś c i bardzo silnych ws tr z ę s ó w sejsmicznych w kopalniach LGOM. Publ. Inst. Geoph. Pol. Acad. Sci. 1982; nr M-5 (155), s. 131- 144.

[13] D e ss ok ey M.M. : St at is ti ca l models of the seismic hazard analysis for mining tremors and natural earthquakes. Publ. Inst. Geoph. Pol. Acad.

Sci. 1984; nr A-15 (174).

[l4l Kijko A.: A mo dified form of the first Gumbel distribution: model for the occurrence of large earthquakes. Part I - derivation of dis­

tribution. Acta Geophy si cs Pol. 1982; t. XXX, nr 4, s. 333-340.

[ 1 5 J

254 W.M. Zuberek

jl6] Kijko A., Drzęźla B . , M e n d e c k l A.: D l a c z e g o r o zk ła dy e k st re ma ln yc h zj awisk s e j s m i c z n y c h w ko pa ln ia ch maje ch a r a k t e r bi mo da ln y? Acta M o nt an a 1 9 8 5 j t. 71, s. 225-244.

R e c e n z e n t : Prof. dr hab. inż. Ka zi m i e r z Chmura

BQ3MQBH0CTb HC00JIb3OBAHHfl ACHMIH OTHHECKHX PACHPEJtEJIEHHil 3KCTPEMAJIbHHX BEJIHHHH

a

F e s c u e

IIpeflnoJiaraH , n o pacnpe^eaeHHe jioicajiiHO

it

o C t e M a j n o p c ^ n n o A t m t w e T C H . a c n u i n r o T H q e c K O M y p a . c n p e . n e . n e H H » m h h h u&j i i>h h x B e j i a - h h h r y M d e j i a T p e i b e r o p o ^ a ( y p a s H e H H e 4 6 ) a n p a s m i a K 3 a B a c a n o c T i > r p H i x J a c a M e s w y conpoTHBJieHHeu a A U B H H O tt ipe^HHu | 5 ] f l O K a s a H O , h t o pacnpefleseHae

h j i h h u T p e a H H a c e f i c u a a e c K o S S H e p r a a c o T p a c e H H f t n o x 't B B E D T c a p a c n p e n e a e H a » u a K c a u a j i b H H x B e jiH B H H r y u 6 e j i a n p y r o r o p o ^ a . A a a j i H 3 c e f t c u H H H O c T a l e p p a T o p H a

TYB 3 a n e p a o j ; o r 1 9 8 2 —1 9 8 4 r r n o K a a u s a e T , h t o a u n H p a a e c K y x ({¡yH K ipno p a c - n p e ^ e j i e H H H u o z n a a n n p o K c a u o B a r b a c a u n r o T a a e c K a u p a c n p e ^ e J i e H a e M r y u 6 e j i a B T o p o r o p o ^ a . A n n p o K c a u a i i a a S u s a 6 hi r o p a a ^ o j i y t i m e e c j i a d u n p a a a i b 6 a i i o , n a j i i > - h o c t b p a c n p e f l e a e H a a c o T p a c e H H i i . M o ac eT s t o 0 3 H a a a i B t r o c a u u e c a J i B H u e H 3

8 \

H a x ( c 3 H e p r a e a 1 0 3 ) r e a e p a p y i o T c H c o B c e u A p y r a M u e x a a a 3m o m•

POSS IB IL IT Y OF A P P L I C A T I O N OF A S Y M P T O T I C DISTRI BU TI ON S OF EX TR EM E VA LU ES FOR THE A S S E S S M E N T OF T H E P R O B AB IL IT Y OF OC CU RR EN CE OF T R EM OR S IN DU CE D BY MI NI NG

S u m m a r y

A s s u m i n g that the d i s t r i b u t i o n of the local st rength in the given v o ­ lume of rock is subject to G u mb el as ym pt ot ic d i st ri bu ti on of the minimum vo lu es of the third type (equation 4b) and assu mi ng Gr if fi th 's relation between strength and length of fracture (sj , it has been derived that the d i st ri bu ti on of the length of fractures and the di st ri b u t i o n of the s e i s ­ mic en er gy of tremors is G u mb el di st ri b u t i o n of the ma ximum values of the second type. Anal ys is of seismi ci ty of the area of the Upper Silesia Coal Basi n for the period 1982-1984 shows that the empi ri ca l dist ri bu ti on

function mayb e ap pr ox i m a t e d by the as ym pt ot ic Gumbel d i s t ri bu ti on of the second type. Hjowever, the ap pr o x i m a t i o n woul d be much better if bi mo da­

lity of tremors di st ri b u t i o n could be assumed. This m a y suggest that the

p

s t r o n g e s t o f t h e m ( o f e n e r g y > 1 0 3 ) a r e g e n e r a t e d b y a d i f f e r e n t m e ­ c h a n i s m .