Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników

Mirosław Sobolewski

Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW

7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012

Twierdzenie

Niech A ∈ M_n×n(R). Nast ˛epuj ˛ace warunki s ˛a równowa˙zne:

(i) det A 6= 0

(ii) wiersze macierzy A tworz ˛a układ liniowo niezale˙zny (iii) kolumny A tworz ˛a układ liniowo niezale˙zny

Uwaga 1 Je´sli w₁, . . . ,wmsa wierszami macierzy A ∈ Mm×n(R), za´s v₁, . . . ,v_m s ˛a wierszami macierzy B, która powstała z A poprzez elementarne operacje na wierszach, to:

(i) lin(w₁, . . . ,wm) =lin(v₁, . . . ,vm)

(ii) w₁, . . . ,w_m s ˛a liniowo niezale˙zne ⇔ v₁, . . . ,v_msa liniowo niezale˙zne.

Uwaga 2 Niezerowe wiersze macierzy w postaci schodkowej tworz ˛a układ liniowo niezale˙zny.

Przykład Niech

A =





1 2 1 2 5 3 1 3 2



 Sprowadzamy do postaci schodkowej:





1 2 1 0 1 1 0 1 1



→





1 2 1 0 1 1 0 0 0



=B

det A = det B = 0. Wiersze macierzy A tworz ˛a układ liniowo zale˙zny, np. (1, 2, 1) − (2, 5, 3) + (1, 3, 2) = 0

Macierze odwrotne i odwracalne

Definicja Macierz







1 0

. ..

0 1





∈ Mn×n(R)nazywamy macierz ˛a jednostkow ˛a i oznaczamy I_nlub I( tzn. macierz I_nma na przek ˛atnej n jedynek, a poza przek ˛atn ˛a – zera).

Uwaga. Dla dowolnej macierzy A ∈ Mn×n(R) mamy InA = AIn=A.

Macierz jednostkowa jest wi ˛ec elementem neutralnym dla mno˙zenia macierzy. Np.

 2 5 1 4

  1 0 0 1



=

 1 0 0 1

  2 5 1 4



=

 2 5 1 4



Definicja

Mówimy, ˙ze macierz A ∈ M_n×n(R) jestodwracalnaje´sli istnieje taka macierz B ∈ M_n×n(R), ˙ze AB = In. Taka macierz B jest wówczas dokładnie jedna i nazywamy j ˛a macierz ˛aodwrotn ˛ado A i oznaczamy A⁻¹. Spełnia ona wówczas zarazem równo´s´c BA = I_n.

Przykład 1.

A =

 1 2 3 7



, wówczas A⁻¹=

 7 −2

−3 1



bo

 1 2 3 7

  7 −2

−3 1



=

 1 0 0 1



=I₂ 2.

A =





2 0 0 0 3 0 0 0 5



,A⁻¹=





1

2 0 0

0 ¹₃ 0 0 0 ¹₅



,bo





2 0 0 0 3 0 0 0 5









1

2 0 0

0 ¹₃ 0 0 0 ¹₅



=

=I₃

Twierdzenie

Niech A = (v₁, . . . ,v_n)oraz B = (w₁, . . . ,w_n)b ˛ed ˛a bazami przestrzeni V . niech M b ˛edzie macierz ˛a zamiany współrz ˛ednych od A do B (tzn.

M = M(id )^B_A, za´s N macierz ˛a zamiany współrz ˛ednych od B do A (tzn N = M(id )^A_B). Wówczas N = M⁻¹

Istotnie, MN = M(id )^B_AM(id )^A_B =M(id )^B_B =I ( bo

id (w₁) =1 · w₁+0 · w₂+ · · · +0 · w_n, . . . ,id (w_n) =w_n= 0 · w₁+ · · · +0 · w_n−1+1 · w_n)

Przykład

Niech V = R², A = ((1, 3), (2, 7)), za´s B = st = ((1, 0), (0, 1)). Wtedy M = M(id )^B_A=

 1 2 3 7



za´s N = M(id )^A_B =M⁻¹=

 7 −2

−3 1



(zobacz poprzedni slajd)

Zwi ˛ azek wyznacznika z odwracalno ´sci ˛ a macierzy

Twierdzenie (1)

Niech A ∈ Mn×n(R). Wtedy równowa˙zne s ˛a:

(i) A jest odwracalna (ii) det A 6= 0

(iii) Wiersze A tworz ˛a układ liniowo niezale˙zny (iv) Kolumny A tworz ˛a układ liniowo niezale˙zny

(v) Nie istnieje niezerowa kolumna K ∈ M_n×1(R), taka, ˙ze AK = 0, gdzie0 oznacza kolumn ˛e zerow ˛a (czyli składaj ˛ac ˛a si ˛e z n zer) (vi) Je´sli K₁, . . . ,K_n s ˛a kolumnami A , za´s W₁, . . .W_njej wierszami, to lin(K₁, . . . ,K_n) =M_n×1(R) oraz lin(W1, . . . ,W_n) =M_1×n(R) (tzn. ka˙zd ˛a kolumn ˛e n-elementow ˛a mo˙zna uzyska´c jako kombinacj ˛e liniow ˛a kolumn A, podobnie dla wierszy)

Metoda znajdowania macierzy odwrotnej

Wprowadzimy oznaczenie: dla macierzy A = [a_ij],B = [b_ij] ∈M_n×n(R)

A|B oznacza macierz







a₁₁ . . . a_1n b₁₁ . . . b_1n ... . .. ... ... . .. ... a_n1 . . . ann b_n1 . . . bnn





∈ Mn×2n(R).

Twierdzenie

macierz A ∈ Mn×n(R) jest odwracalna ⇔ macierz A|I mo˙zna

sprowadzi´c elementarnymi operacjami na wierszach do postaci I|B.

Wówczas B = A⁻¹

Przykład

A =





0 1 0 1 1 0 1 0 1



.Mamy A|I =





0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1



w₂↔ w₁





1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1



w₃− w₁





1 1 0 0 1 0

0 1 0 1 0 0

0 −1 1 0 −1 1



w₃+w₂





1 1 0 0 1 0

0 1 0 1 0 0

0 0 1 1 −1 1



w₁− w₂





1 0 0 −1 1 0

0 1 0 1 0 0

0 0 1 1 −1 1





zatem A⁻¹=





−1 1 0

1 0 0

1 −1 1





Przypomnienie: Rz ˛ ad macierzy

Definicja

Niech A ∈ Mn×n(R)Rz ˛edemmacierzy A nazywamy liczb ˛e dimlin(w₁, . . . ,w_m), gdzie w₁, . . . ,w_ms ˛a wierszami A. Rz ˛ad A oznaczamy r (A).

Przykład A =





1 2 3 1 3 5 7 2 1 1 1 0



 sprowadzamy Ado postaci schodkowej





1 2 3 1

0 −1 −2 −1 0 −1 −2 −1



→





1 2 3 1

0 −1 −2 −1

0 0 0 0



. Zatem

lin((1, 2, 3, 1), (3, 5, 7, 2), (1, 1, 1, 0)) = lin((1, 2, 3, 1), (0, −1, −2, −1)) St ˛ad dim lin((1, 2, 3, 1), (3, 5, 7, 2), (1, 1, 1, 0)) = 2, r (A) = 2

Twierdzenie

dla ka˙zdej macierzy A ∈ Mm×n(R) nast ˛epuj ˛ace liczby sa równe:

(i) dim lin(w₁, . . . ,w_m), gdzie w₁, . . . ,w_ms ˛a wierszami A (ii) dim lin(k₁, . . . ,k_n), gdzie k₁, . . . ,k_ns ˛a kolumnami A

(iii) rozmiar (liczba wierszy) maksymalnej podmacierzy kwadratowej B macierzy A takiej, ˙ze det B 6= 0

Zastosowanie wyznacznika i rz ˛edu macierzy w teorii równa ´ n liniowych

Niech

U :











a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ · · · +a_1nx_n =b₁ a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ · · · +a_2nxn =b₂

... ... . .. ... ... a_m1x₁+ a_m2x₂+ · · · +amnxn =bm

Oznaczmy przez A macierz m × n współczynników U, za´s A_U macierz m × (n + 1) układu U, tzn.

A =











a₁₁ a₁₂ · · · a_1n a₂₁ a₂₂ · · · a_2n ... ... . .. ... a_m1 a_m2 · · · a_mn









 ,A_U =











a₁₁ a₁₂ · · · a_1n b₁ a₂₁ a₂₂ · · · a_2n b₂ ... ... . .. ... ... a_m1 a_m2 · · · a_mn b_m











Twierdzenie (Kroneckera - Capelliego ) (i) Układ U ma rozwi ˛azanie ⇔ r (A) = r (A_U)

(ii) Je´sli układ U ma rozwi ˛azanie , to rozwi ˛azanie ogólne ma n − r (A) parametrów

(iii) Je´sli ci ˛ag k = (s₁, . . . ,s_n) ∈ Rⁿ jest pewnym rozwi ˛azaniem układu U oraz W jest przestrzeni ˛a rozwi ˛aza ´n układu jednorodnego z

macierz ˛a współczynników A, to k + W = {k + w |w ∈ W } jest zbiorem rozwi ˛aza ´n układu U.

Twierdzenie (Cramera)

Gdy m = n to (i) Układ U ma jednoznaczne rozwi ˛azanie ⇔ det A 6= 0 (ii) Je´sli (x₁, . . . ,xn)jest jedynym rozwi ˛azaniem układu U, to

(x₁, . . . ,xn) = (^{det D}_{det A}¹,^{det D}_{det A}², . . . ,^{det D}_{det A}ⁿ), gdzie D_j oznacza macierz powstał ˛a z A przez zast ˛apienie kolumny o numerze j kolumn ˛a, której kolejnymi elementami s ˛a b₁,b₂, . . . ,b_m (kolumn ˛a wyrazów wolnych równa ´n układu).

Przykład

Rozwa˙zmy układ

U :

 3x₁+ 5x₂ =8 4x₁+ 3x₂ =1 Poniewa˙z det A = det

 3 5 4 3



=3 · 3 − 5 · 4 = −11 6= 0 zatem układ jest kramerowski i mo˙zemy obliczy´c jedyne rozwi ˛azanie:

x₁= ^{det D}_{det A}¹ =

det





8 5 1 3





−11 = −¹⁹₁₁ x₂= ^{det D}_{det A}¹ =

det





3 8 4 1





−11 = ²⁹₁₁

Wzór na macierz odwrotn ˛ a

Twierdzenie

Je´sli macierz kwadratowa A = [a_ij],1 ≤ i, j ≤ n jest odwracalna, to macierz ˛a odwrotn ˛a jest macierz A⁻¹= [b_ij],1 ≤ i, j ≤ n, w której b_ij = _{det A}¹ (−1)^i+jdet A_ji

Przykład

W szczególno´sci je´sli A =

 a b c d



jest odwracalna, tzn.

det A = ad − bc 6= 0, to A⁻¹= _{ad −bc}¹

 d −b

−c a



Algebra macierzy

Zachodz ˛a nast ˛epuj ˛ace wzory:

i) Je´sli A, B ∈ Mn×n(R) to (AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹ ii) (A⁻¹)^>= (A^>)⁻¹

iii) (AB)^>=B^>A^>(równie˙z dla macierzy prostok ˛atnych)

iv) mo˙zemy zdefiniowa´c indukcyjnie pot ˛egi macierzy kwadratowej A:

A¹=A, Aⁿ =AAⁿ⁻¹, dla n = 2, 3, . . . . Ponadto je´sli A jest odwracalna to przyjmujemy A⁻ⁿ= (A⁻¹)ⁿ, dla n = 1, 2, . . . i A⁰=I. Spełnione s ˛a wtedy AⁿA^m =A^n+moraz (A^m)ⁿ=A^mn.

Uwaga: na ogół (AB)ⁿ6= AⁿBⁿ(ale równo´s´c zachodzi je´sli AB = BA)