Ilu by lo pracownik´ow i jak d lugo pracowali? ZADANIA PO 20 PUNKT ´OW 5

AKADEMIA G ´ORNICZO-HUTNICZA im. Stanis lawa Staszica w Krakowie OLIMPIADA

”O DIAMENTOWY INDEKS AGH” 2015/16 MATEMATYKA - ETAP II

ZADANIA PO 10 PUNKT ´OW

1. Wyznacz najwie_ιksza_ι liczbe_ι naturalna_ι k taka_ι, ˙ze liczba 2016! jest wie- lokrotno´scia_ι liczby 10^k.

2. Rozwia_ι˙z nier´owno´s´c log_x(x² −⁵₂x + 1)− 2 < 0.

3. Wyznacz dziedzineι D funkcji okre´slonej wzorem f (x) =

√x²+ 6x + 9 x²− x − 12

i zbadaj jej granice w punktach nale˙za_ιcych do zbioru IR\ D.

4. Zespo lowi pracownik´ow zlecono pewnaιpraceι. Gdyby by lo ich o 3 mniej, to pracowaliby o 5 dni d lu˙zej, a gdyby by lo ich o 4 wie_ιcej, to pracowaliby o 2 dni kr´ocej. Ilu by lo pracownik´ow i jak d lugo pracowali?

ZADANIA PO 20 PUNKT ´OW

5. Krawe_ιd´z boczna ostros lupa prawid lowego sze´scioka_ιtnego jest nachylona do podstawy pod ka_ιtem 60^o. Oblicz stosunek d lugo´sci promienia kuli wpisanej w ten ostros lup do jego wysoko´sci.

6. Okra_ιg O^′ jest obrazem okre_ιgu O o r´ownaniu x²+ y²− 4x − 6y − 12 = 0

w symetrii ´srodkowej wzgleιdem punktu M = (6, 6). Napisz r´ownanie okreιgu O^′ i r´ownania wszystkich prostych, kt´ore saιjednocze´snie styczne do obu okre_ιg´ow.

7. Losowo wybieramy liczbeι k ze zbioru{1, 2, 3, 4}, a nasteιpnie rzucamy k razy sze´scienna_ι kostka_ι. Oblicz prawdopodobie´nstwa zdarze´n:

A : wypadnaι same sz´ostki,

B : iloczyn wyrzuconych oczek beιdzie liczbaι parzystaι, C : suma wyrzuconych oczek be_ιdzie mniejsza ni˙z 22.