Rachunek prawdopodobieństwa
6. Kombinatoryka
Ćw. 6.1 Dziesięć osób ustawia się w szereg. Ile jest 1. wszystkich ustawień,
2. ustawień, w których trzy ustalone osoby stoją obok siebie?
Ćw. 6.2 Ile dzielników mają liczby: 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13, 9 000?
Ćw. 6.3 W turnieju szachowym bierze udział n zawodników. Turniej odbywa się systemem „każdy z każdym”. Każda gra może zakończyć się dla gracza wygraną, przegraną lub remisem. Ile jest różnych możliwych wyników turnieju, jeżeli przez pojęcie „wynik turnieju” rozumiemy ostateczny zapis tabeli?
Ćw. 6.4 Na ile sposobów z talii 52 kart można wybrać 6 tak, aby były wśród nich:
1. 2 asy, 2 króle i 2 damy,
2. po 3 karty każdego z dwóch kolorów (wybranych spośród 4 możliwych).
Ćw. 6.5 Iloma sposobami można przydzielić 3 pokoje różnej kategorii 5 uczestnikom wycieczki tak, aby żaden pokój nie był wolny i w każdym z nich nie było więcej niż 2 osoby?
Ćw. 6.6 Uzasadnij kombinatorycznie równości:
1. n + 1 k + 1
!
= n
k
!
+ n
k + 1
!
, 2. 2n=
n
X
k=0
n k
!
.
Ćw. 6.7 Po krawędziach szachownicy o wymiarach k × n porusza się mrówka. Zaczyna z (0, 0) i trafia do punktu (k, n) wykonując kroki w prawo lub w górę. Na ile sposobów może zreali- zować takie przejście?
Ćw. 6.8 Na ile sposobów można rozmieścić k nierozróżnialnych królików w n klatkach?
Ćw. 6.9 (KBDKW, 1.47/37) W fizyce statystycznej rozważa się rozkład (rozmieszczenie) k czą- stek w n elementarnych obszarach zwanych „komórkami”. W zależności od postaci tych cząstek przyjmuje się jedno z trzech następujących założeń:
1. cząstki różnią się między sobą (zatem wzajemna zamiana komórek przez dwie cząstki daje nowy rozkład) i liczba cząstek w danej komórce jest dowolna (statystyka Maxwella- Boltzmanna),
2. cząstki są nierozróżnialne między sobą (zatem wzajemna zamiana komórek przez dwie cząstki daje ten sam rozkład – istotne jest tylko ile cząstek trafiło do poszczególnych komórek, a nie to jakie to są cząstki) i liczba cząstek w jednej komórce jest dowolna (statystyka Bosego-Einsteina),
3. cząstki nie różnią się między sobą i w każdej komórce może się znaleźć co najwyżej jedna cząstka (statystyka Fermiego-Diraca).
Zakładamy ponadto, ze wszystkie dopuszczalne rozmieszczenia są jednakowo prawdopodob- ne. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że k cząstek rozmieści się po jednej w k ustalonych komórkach dla każdej z rozważanych statystyk.
Rachunek prawdopodobieństwa
6. Kombinatoryka
Zad. 6.1 Jest dziesięciu praktykantów i cztery różne stanowiska pracy oraz obowiązuje system dwuzmianowy. Każdy praktykant winien jeden raz przepracować na każdym stanowisku w ciągu każdej ze zmian. Ile dni powinna odbywać się praktyka?
Zad. 6.2 Ile różnych samochodów da się zarejestrować przy założeniu, że pierwszy znak rejestracji jest jedną z 16 liter oznaczających województwo, drugi jest jedna z 22 liter oznaczających miasto, natomiast pięć kolejnych znaków to cyfry lub litery (liter jest 25).
Zad. 6.3 Czterech rowerzystów obarczonych różnego rodzaju bagażem jedzie jeden za drugim na różnych rowerach. Co godzinę następuje zmiana kolejności w szyku lub zmiana bagażu, lub zmiana rowerów. Jazda trwała tyle godzin, że zostały wykorzystane wszystkie możliwości.
Ile godzin trwała jazda?
Zad. 6.4 (JS, 8/30) Przy okrągłym stole usiadło 10 dziewcząt i 10 chłopców. Jakie jest prawdo- podobieństwo, że osoby tej samej płci nie siedzą obok siebie?
Zad. 6.5 Iloma sposobami można dokonać przydziału 6 grup ćwiczeniowych 3 prowadzącym, jeśli najpierw pierwszy prowadzący wybiera 2 grupy, potem drugi również dwie, a trzeci obejmuje pozostałe?
Zad. 6.6 (KBDKW, 1.44/37) Z 10 pracowników należy utworzyć:
1. dwa zespoły liczące po 4 i 6 pracowników, 2. trzy zespoły liczące po 5, 3 i 2 pracowników, 3. pięć zespołów dwuosobowych.
Dla każdego podziału na zespoły znajdź prawdopodobieństwo, że dwóch ustalonych pra- cowników znajdzie się w jednym zespole, przy założeniu, że podział na zespoły odbywa się w sposób losowy.
Zad. 6.7 Alfabet Morse’a składa się z dwóch różnych elementów: kreski i kropki. Ile znaków pisarskich można utworzyć z tych elementów, jeśli każdy znak nie może posiadać więcej niż k miejsc oznaczonych kreskami lub kropkami?
Zad. 6.8 Ile jest możliwych usadzeń n osób w jednym rzędzie złożonym z n miejsc, jeśli znajdujący się wśród tych osób panowie A i B chcą siedzieć obok siebie, ale na miejscach skrajnych, zaś pan C chce siedzieć na dowolnym miejscu byle nie obok pana A.
Zad. 6.9 Uzasadnij kombinatorycznie równości:
1. nk=n−kn ,
2. n0nn+n1n−1n + . . . +nkn−kn + . . . +nnn0=2nn.
Zad. 6.10 Na ile sposobów można rozmieścić k nierozróżnialnych królików w n (n ¬ k) klatkach tak, aby żadna klatka nie była pusta?
Zad. 6.11 (JS, 16/31) W Totolotku losuje się 6 liczb z 49. Jaka jest szansa, że żadne dwie nie będą kolejnymi?
Rachunek prawdopodobieństwa
Zad. 6.12 (KBDKW, 1.47/37) Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że
1. w przypadku statystyki Bosego-Einsteina znajdzie się dokładnie m cząstek i) w ustalonej komórce,
ii) w jednej z n komórek,
2. w przypadku statystyki Bosego-Einsteina wszystkie komórki będą zajęte,
3. w przypadku statystyki Maxwella-Boltzmanna w pierwszej komórce znajdzie się do- kładnie k1 cząstek, w drugiej k2 cząstek, . . ., w n-tej kn cząstek.
Literatura:
• (KBDKW) W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Część I. Rachunek prawdopo- dobieństwa. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa (1995).
• (JS) J. Jakubowski, R. Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. SCRIPT, Warszawa (2001).
Rachunek prawdopodobieństwa
