3.2 Promienie Roentgena

Rozdział 3

Kwantowa teoria promieniowania

3.1 Zjawisko fotoelektryczne

3.1.1 Kwanty promieniowania

Szereg faktów doświadczalnych wskazuje, że promieniowanie elektromagne- tyczne, w szczególności światło, ma nieciągłą, kwantową naturę. Składa się ono mianowicie z określonych porcji energii, zwanych kwantami promienio- wania lub fotonami. Po raz pierwszy hipotezę kwantowej struktury promie- niowania wysunął w r. 1900 Max Planck dla wyjaśnienia rozkładu energii w widmie promieniowania tzw. ciała doskonale czarnego.

Jak wiadomo, ciała ogrzane do dostatecznie wysokiej temperatury emitu- ją promieniowanie elektromagnetyczne. W miarę wzrostu temperatury ciała całkowita moc wysyłanego przez nie promieniowania rośnie a maksimum mo- cy promieniowania przesuwa się w stronę krótszych fal — od podczerwieni do zakresu światła widzialnego i do nadfioletu. Dla ustalonej temperatury moc promieniowania emitowanego z jednostki powierzchni ciała i jej rozkład widmowy zależą od rodzaju ciała. Można udowodnić, że maksymalną moc przypadającą na jednostkę powierzchni emituje ciało, całkowicie pochła- niające padające na nie promieniowanie, zwane ciałem doskonale czarnym.

Dobrym modelem ciała doskonale czarnego jest niewielki otwór we wnęce o zaczernionych ściankach (rys. 3.1). Wiązka promieniowania, wpadająca do wnęki, odbija się wielokrotnie od jej ścianek. Ponieważ przy każdym odbi- ciu część energii promieniowania zostaje pochłonięta przez ścianki, wnęka absorbuje praktycznie całe wchodzące do niej promieniowanie. Widmo pro-

59

Rysunek 3.1:

mieniowania ciała doskonale czarnego zależy jedynie od temperatury i ma stosunkowo prostą postać. Podejmowane pod koniec XIX wieku przez wielu uczonych próby jego opisu, korzystające z klasycznej elektrodynamiki i z zasady ekwipartycji energii, zakończyły się niepowodzeniem.

W swojej teorii Planck przyjął, w sprzeczności z fizyką klasyczną, że emisja i absorbcja promieniowania przez atomy i cząsteczki substancji może zachodzić tylko porcjami — kwantami. Minimalna wartość emitowanej lub absorbowanej energii wyraża się wzorem

E_f = hν , (3.1)

gdzie ν — częstotliwość promieniowania a h — uniwersalna stała, zwana obecnie stałą Plancka. Wyprowadzony na podstawie tego założenia wzór, określający widmo promieniowania ciała doskonale czarnego, bardzo dobrze opisywał wyniki badań doświadczalnych i umożliwił określenie liczbowej wartości stałej h. Jej współcześnie przyjmowana wartość wynosi

h = 6, 626196 · 10⁻³⁴J · s. (3.2) 3.1.2 Zjawisko fotoelektryczne

Bardziej bezpośrednim dowodem kwantowej natury promieniowania elektro- magnetycznego jest zewnętrzne zjawisko fotoelektryczne, odkryte przez W.

Hallwachsa w 1888 r. Polega ono na wybijaniu elektronów z ciał stałych, głównie z metali, pod wpływem padającego promieniowania. Zjawisko fo- toelektryczne powoduje np. rozładowanie elektroskopu w przypadku, gdy elektroskop i połączona z nim metalowa płytka są naładowane ujemnie (rys.

3.2). Częstotliwość promieniowania, powodującego zjawisko fotoelektryczne,

ZJAWISKO FOTOELEKTRYCZNE 61

Zn nadfiolet

elektroskop

Rysunek 3.2:

zależy od rodzaju ciała. Np. w przypadku cynku efekt fotoelektryczny wy- wołuje jedynie promieniowanie ultrafioletowe a dla metali alkalicznych, jak sód i potas, zachodzi on już pod wpływem światła widzialnego. Emitowane w wyniku zjawiska fotoelektrycznego elektrony nazywamy często fotoelek- tronami.

Do ilościowego zbadania zjawiska fotoelektrycznego wygodnie jest posłu- żyć się urządzeniem pomiarowym przedstawionym na rysunku 3.3. Zależność natężenia I prądu elektrycznego, płynącego między emiterem E i kolektorem

A

V I

U +

kwarc

pró¿nia

E K

- e - e - e

- e

promieniowanie

Rysunek 3.3:

I

U 0

-U (+)

( )

I₀₂

I₀₁

J = 2J_{2 1}

J₁

I

U

-U 0 (+)

( )

I₀

01 -U02

n > n

1

2 n

1

a) b)

0

Rysunek 3.4:

K, od przyłożonego napięcia U dla różnych wartości natężenia J i częstotli- wości ν promieniowania pokazują rysunki 3.4a, b. Przebieg zależności natę- żenia prądu od napięcia można wyjaśnić jak następuje. Jeżeli kolektor ma dostatecznie duży dodatni potencjał względem emitera, wszystkie elektrony wybijane z emitera docierają do kolektora. Prąd I0, zwany prądem nasyce- nia, jest więc proporcjonalny do liczby emitowanych elektronów w jednostce czasu. Jeżeli z kolei kolektor ma wystarczający ujemny potencjał względem emitera, wybijane elektrony zostają zahamowane przez pole elektryczne i nie docierają do kolektora. Ponieważ praca W potrzebna do zahamowania elektronu o ładunku e w polu elektrycznym wyraża się wzorem W = eU (U — różnica potencjałów punktów pola, między którymi przemieszcza się elektron), napięcie U0, nazywane napięciem odcięcia, jest związane z mak- symalną energią kinetyczną Ee wybijanych fotoelektronów wzorem

Ee= eU0. (3.3)

Korzystając z opisanego urządzenia można ustalić następujące prawa, dotyczące zjawiska fotoelektrycznego.

1. Prąd nasycenia I0 a więc i liczba elektronów wybijanych w jednostce czasu są wprost proporcjonalne do natężenia promieniowania J (rys.

3.4a).

2. Napięcie odcięcia U0 a stąd i maksymalna energia fotoelektronów za- leżą wyłącznie od częstotliwości ν promieniowania (rys. 3.4b). Poniżej pewnej częstotliwości ν0, charakterystycznej dla danego metalu, efekt fotoelektryczny w ogóle nie zachodzi. Zależność napięcia U0 od często- tliwości promieniowania ν pokazuje rysunek 3.5.

ZJAWISKO FOTOELEKTRYCZNE 63

n U₀

n01 n 0 02

potas

cynk

Rysunek 3.5:

Powyższych prawidłowości nie można wytłumaczyć na podstawie kla- sycznej, falowej teorii promieniowania. Zgodnie z nią, energia przenoszona przez falę elektromagnetyczną zależy wyłącznie od jej natężenia a nie od częstotliwości (podrozdział 1.2.3). Wobec tego energia kinetyczna fotoelek- tronów powinna wzrastać przy wzroście natężenia światła. Ponadto efekt fotoelektryczny powinien występować dla światła o dowolnej częstotliwości, pod warunkiem, że jego natężenie jest dostatecznie duże.

W r. 1905 A. Einstein wyjaśnił zjawisko fotoelektryczne, rozszerzając koncepcję Plancka. Założył on, że światło składa się z kwantów energii — fotonów i że zjawisko fotoelektryczne polega na indywidualnym akcie zde- rzenia fotonu z elektronem w ciele stałym (rys. 3.6). Ponieważ energia fali świetlnej jest proporcjonalna do jej natężenia, Einstein przyjął, że liczba fotonów w jednostce objętości jest wprost proporcjonalna do natężenia mo- nochromatycznego światła. Tłumaczy to pierwsze prawo zjawiska fotoelek- trycznego. Liczba fotoelektronów emitowanych z powierzchni ciała powinna być proporcjonalna do liczby padających na nią fotonów a więc i do natęże- nia światła.

Dla interpretacji drugiego prawa efektu fotoelektrycznego należy uło- żyć odpowiedni bilans energii. Zgodnie z doświadczeniem, w temperaturze pokojowej ciała stałe nie emitują samorzutnie elektronów. Dowodzi to, że do wyrwania elektronu z danego ciała potrzebne jest wykonanie określonej pracy W , zwanej pracą wyjścia. Energia Ef fotonu i maksymalna energia kinetyczna Ee fotoelektronu powinny więc spełniać zależność

E_f = W + Ee , (3.4)

metal pró¿nia Ef

E_e

Rysunek 3.6:

zwaną wzorem Einsteina. Korzystając ze wzoru (3.1) otrzymujemy

hν = W + Ee. (3.5)

Widać, że minimalna częstotliwość promieniowania ν0, dla której zachodzi zjawisko fotoelektryczne, odpowiada energii fotonu równej pracy wyjścia (w ostatnim wzorze kładziemy ν = ν0 i Ee= 0),

W = hν0. (3.6)

Wzór ten pozwala określić pracę wyjścia elektronu z danego ciała. Podsta- wiając wyrażenia (3.3) i (3.6) do równania (3.5) otrzymujemy równanie

hν = hν0+ eU0, (3.7)

skąd

U0 = h

e(ν − ν⁰), ν > ν0 . (3.8) Ostatni wzór jest zgodny z liniowymi zależnościami U0 od ν, przedstawio- nymi na rysunku 3.5. Nachylenie prostych wyraża się przy tym wzorem h/e, co pozwala niezależnie określić wartość stałej Plancka. Szczegółowe pomia- ry zależności napięcia odcięcia od częstotliwości promieniowania dla metali przeprowadził w 1914 roku R. Millikan. Wyznaczona wartość stałej Planc- ka zgadzała się z określoną wcześniej na podstawie widma promieniowania ciała doskonale czarnego.

PROMIENIE ROENTGENA 65

3.2 Promienie Roentgena

3.2.1 Własności promieni Roentgena

W r. 1895 W. Roentgen odkrył nieznany dotąd rodzaj promieniowania, na- zwany przez niego promieniami X (obecnie — również promieniami Roe- ntgena). Roentgen zauważył, że ekran pokryty platynocyjankiem baru flu- oryzuje (świeci), gdy znajduje się w pobliżu rury próżniowej, w której za- chodzi wyładowanie elektryczne. Fluorescencja występowała nawet wówczas, gdy rura do wyładowań była owinięta czarnym papierem. Roentgen stwier- dził, że promienie X powstawały w miejscu uderzenia promieni katodowych (wiązki elektronów) o szklaną ściankę rury do wyładowań. Wiadomo obec- nie, że promienie Roentgena powstają wówczas, gdy wiązka elektronów, lub innych naładowanych cząstek, zostaje zahamowana w określonej substancji.

Schemat współczesnej lampy rentgenowskiej jest pokazany na rysunku 3.7. Elektrony, emitowane z żarzonej prądem elektrycznym katody, są przy- spieszane do dużych prędkości za pomocą wysokiego napięcia, rzędu kilku- dziesięciu kilowoltów, przyłożonego między katodą i anodą. Promieniowanie X wydziela się podczas hamowania elektronów zderzających się z powierzch- nią anody. Ponieważ część energii elektronów zamienia się przy tym w ciepło, anoda jest często chłodzona przepływającą wewnątrz niej wodą lub olejem.

Roentgen stwierdził, że promienie X mają następujące własności:

nap. ¿arzenia

+

katoda anoda

pró¿nia

wysokie napiêcie elektrony

promienie X

Rysunek 3.7:

1. mają dużą przenikliwość, 2. zaczerniają kliszę fotograficzną,

3. powodują fluorescencję niektórych substancji, 4. jonizują powietrze,

5. nie ulegają odchyleniu w polu elektrycznym lub magnetycznym.

Ta ostatnia cecha dowodzi, że promienie X nie są strumieniem naładowanych cząstek.

Natura promieni X była przez kilka lat nieznana. Pierwszą, nieudaną próbę wykazania ich falowego charakteru, tj. występowania zjawisk dyfrak- cji i interferencji po przejściu promieni X przez wąskie szczeliny, podjęli Hage i Wind w 1903 r. W roku 1906 C.G. Barkla udowodnił doświadczal- nie, że promienie X ulegają polaryzacji przy rozproszeniu, podobnie jak światło widzialne (por. podrozdział 2.2.2). Schemat jego doświadczenia po- kazuje rysunek 3.8. Wiązka promieni Roentgena pada na blok grafitu S1 a rozproszona w nim pod kątem prostym wiązka jest kierowana na drugi blok grafitowy S². Jeżeli promienie Roentgena są falami poprzecznymi, rozproszo- ne w pierwszym bloku promieniowanie powinno być liniowo spolaryzowane w płaszczyźnie, w której leżą wiązka padająca i rozproszona. Wówczas na- tężenie wiązki promieniowania, powtórnie rozproszonej pod prostym kątem

S S

1 2

a

promieniowanie X

D

Rysunek 3.8:

PROMIENIE ROENTGENA 67 przez drugi blok, powinno zależeć od kąta α i osiągać maksymalną wartość dla α = 0 a wartość zero dla α = 90^◦. Pomiary natężenia promieniowania Roentgena za pomocą detektora D, obracanego w płaszczyźnie prostopadłej do linii łączącej S1 i S2, potwierdziły tę zależność. Wynik doświadczenia Barkli sugerował, że promienie Roentgena są falami elektromagnetycznymi.

W r. 1912 Max von Laue doszedł do wniosku, że przyczyną niepowodze- nia Hage i Winda mogły być zbyt duże rozmiary szczeliny w porównaniu z długością fali promieni X. Zauważył on, że naturalną siatką dyfrakcyj- ną dla promieni Roentgena mogą stanowić kryształy, w których odległości między sąsiednimi, regularnie ułożonymi atomami są rzędu 10⁻¹⁰ m. Pod- jęte pod jego kierunkiem doświadczenia, w których wąska wiązka promieni X przechodziła przez kryształ chlorku sodu, NaCl i padała na kliszę foto- graficzną (rys. 3.9a), dowiodły istotnie zjawiska dyfrakcji promieni X. W przypadku dyfrakcji na pojedynczym krysztale obraz dyfrakcyjny składa się z zespołu plamek (rys. 3.9b). Jeżeli dyfrakcja zachodzi na próbce polikry- stalicznej, zawierającej dużą liczbę chaotycznie ustawionych kryształków, na obrazie dyfrakcyjnym zamiast plamek występują koncentryczne pierścienie (rys. 3.9c). Badania Lauego i współpracowników stanowiły jednocześnie do- wód regularnego ułożenia atomów w kryształach. Były one kontynuowane w nieco innej formie przez W.H. Bragga i L. Bragga, co będzie przedmiotem następnego podrozdziału.

Omówione doświadczenia pozwoliły stwierdzić, że promienie X są falami elektromagnetycznymi o długości fali rzędu 10⁻⁸ m - 10⁻¹² m. W przypad- ku dyfrakcji promieni X na kryształach o znanej budowie można określić rozkład natężenia promieniowania X w funkcji długości fali, zwany widmem promieniowania rentgenowskiego (rys. 3.10).

Jedną z cech widma rentgenowskiego jest występowanie bardzo ostrej krótkofalowej granicy promieniowania λ_min, poniżej której natężenie pro-

a) b) c)

pr. X

P

Kl.

Rysunek 3.9:

l

l

l

l

natê¿enie promieniowania X U

U

U

K

K

Rysunek 3.10:

mieni X jest równe zeru. Wartość λmin zależy od napięcia U na lampie rentgenowskiej. W. Duane i F.L. Hunt stwierdzili doświadczalnie, że

λminU = const. (3.9)

Wyjaśnienie tej prawidłowości daje kwantowa teoria promieniowania. Pod- czas hamowania elektronu w ośrodku materialnym jego energia zostaje cał- kowicie lub częściowo wyemitowana w postaci fotonów. Maksymalna energia fotonu odpowiada sytuacji, gdy cała energia zahamowanego elektronu zo- staje wypromieniowana w postaci pojedynczego fotonu. Zachodzi wówczas związek

Ee= Ef max, (3.10)

w którym Ee — energia elektronu, E_{f max} — maksymalna energia fotonu.

Korzystając ze wzorów

Ee = eU, (3.11)

Ef max= hνmax = hc λmin

(3.12) (c — prędkość światła), otrzymujemy wzór

eU = hc λmin

, (3.13)

PROMIENIE ROENTGENA 69 skąd:

λminU = hc

e . (3.14)

Ostatni wzór ma postać zgodną z prawem Duane’a - Hunta i pozwala wy- znaczyć wartość stałej Plancka.

Inną cechą widma promieniowania X jest pojawienie się przy wyższych napięciach ostrych maksimów natężenia promieniowania, zwanych widmem charakterystycznym promieni X. Wyjaśnienie mechanizmu ich powstawania będzie podane w następnym rozdziale. Położenie tych maksimów zależy od materiału, z którego wykonana jest anoda. Dobierając odpowiednio mate- riał anody i przyłożone napięcie można uzyskać niemal monochromatyczną wiązkę promieni X.

3.2.2 Dyfrakcja promieni Roentgena. Wzór Bragga

W swoich badaniach W. i L. Braggowie stwierdzili zjawisko tzw. selektywne- go odbicia promieniX od kryształów. Jeżeli na powierzchnię kryształu pada pod niewielkim kątem θ wąska monochromatyczna wiązka promieni X, dla określonych wartości tego kąta zachodzi „odbicie” wiązki od powierzchni (rysunek 3.11). W rzeczywistości ma tu miejsce zjawisko dyfrakcji i interfe- rencji promieni X, rozproszonych na poszczególnych atomach kryształu.

Wyprowadzimy teraz tzw. wzór Bragga, określający kąt padania promie- ni X na kryształ, przy którym występuje maksimum natężenia rozproszo- nego promieniowania (rys. 3.12). Promienie X wchodzą w głąb kryształu praktycznie bez załamania i ulegają rozproszeniu na atomach sieci krysta- licznej. Jeżeli długość fali promieniowania jest porównywalna z odległością między najbliższymi atomami, interferencja fal rozproszonych na poszczegól- nych atomach powoduje wytworzenie wiązek promieniowania, rozchodzących się w określonych kierunkach, różnych od kierunku padania.

Kąty, dla których zachodzi wzmocnienie rozproszonych promieni, można

q q

kryszta³

Rysunek 3.11:

q

powierzchnia kryszta³u d

q q A

C D

B 1

2

q

Rysunek 3.12:

znaleźć na podstawie rysunku 3.12. Różnica dróg promieni 1 i 2 wynosi:

∆s = CB + BD. (3.15)

Ponieważ, zgodnie z rysunkiem

CB = BD = d sin θ (3.16)

(d — odległość najbliższych płaszczyzn, w których są ułożone atomy, rów- noległych do powierzchni kryształu), więc:

∆s = 2d sin θ. (3.17)

Wzmocnienie rozproszonych promieni 1 i 2 będzie zachodzić, gdy ich różnica dróg będzie równa wielokrotności długości fali λ promieniowania

∆s = nλ, n = 1, 2, 3, . . . . (3.18) Otrzymujemy stąd wzór Bragga:

2d sin θ = nλ , (3.19)

gdzie liczba n określa rząd widma. Z rysunku widać, że w krysztale istnieje nieskończenie wiele płaszczyzn, np. zaznaczonych liniami przerywanymi, dla których promienie padające na kryształ mogą ulec w wyniku interferencji wzmocnieniu. Na ogół jednak wiązka odbita od płaszczyzn zawierających najwięcej atomów będzie miała największe natężenie. Znając odległość d między płaszczyznami można na podstawie wzoru Bragga wyliczyć długość λ fali promieniowania X i na odwrót — znając długość fali λ można obliczyć odległość d. Współcześnie dyfrakcja promieni X jest szeroko stosowana w badaniach struktury ciał stałych.

PROMIENIE ROENTGENA 71 3.2.3 Zjawisko Comptona

Badacze zajmujący się rozpraszaniem promieniowania X przez substancje materialne zauważyli stosunkowo wcześnie, że w widmie rozproszonego pro- mieniowania występuje, oprócz promieniowania o nie zmienionej długości fali, również promieniowanie o większej długości fali, które jest silniej po- chłaniane przez inne substancje. W latach 1922 - 23 A.H. Compton prze- prowadził szczegółowe pomiary długości fal rozproszonego promieniowania.

Schemat doświadczenia Comptona ilustruje rysunek 3.13. Wiązka mono- chromatycznego promieniowania X z lampy rentgenowskiej L pada na roz- praszającą substancję S, złożoną z lekkich pierwiastków (parafina, grafit, glin). Do pomiaru długości fali promieniowania, rozproszonego pod kątem θ, wykorzystuje się zjawisko selektywnego odbicia promieni X od kryształu Kr. Detektorem natężenia promieniowania X jest komora jonizacyjna J.

Zmierzone rozkłady natężeń rozproszonego promieniowania w funkcji długości fali dla kilku kątów rozproszenia są pokazane na rysunku 3.14.

Długość fali rozproszonego promieniowania λ⁰ jest większa od długości fa- li padającego promieniowania λ, rośnie ze wzrostem kąta rozproszenia θ i nie zależy od rodzaju ośrodka rozpraszającego. Dla wyjaśnienia tego zjawi- ska Compton i równocześnie P. Debye wysunęli hipotezę, że fotony mają, oprócz określonej energii Ef, również określony pęd p_f. Według nich, proces rozproszenia promieni X polega na elastycznym zderzeniu fotonu z elektro-

L pr. X

S Kr.

J q

Rysunek 3.13:

l l’

natê¿enie rozproszonego promieniowania X

l’

q = 0

q > 0

q > q

1

2 1

d³ugoœæ fali

Rysunek 3.14:

nem, w którym spełnione są prawa zachowania pędu i energii. Z uwagi na dużą energię fotonu promieniowania rentgenowskiego w porównaniu z ener- gią kinetyczną i potencjalną elektronu w atomie można przy tym przyjąć, że rozpraszanie fotonu zachodzi na spoczywającym elektronie swobodnym.

Ponieważ część energii Ef = hc/λ padającego fotonu jest przekazywana elektronowi, więc energia E_f⁰ = hc/λ⁰ rozproszonego fotonu jest mniejsza od energii pierwotnego fotonu, E_f⁰ < E_f, skąd wynika, że λ⁰> λ.

Opis zjawiska Comptona wymaga znajomości niektórych wzorów szcze- gólnej teorii względności. Zgodnie z nią, między pędem i energią fotonu zachodzi związek

pf = E_f

c , (3.20)

w którym c jest prędkością światła w próżni. Ponieważ energia fotonu wyraża się wzorem

E_f = hν = hc

λ, (3.21)

PROMIENIE ROENTGENA 73

l, E , p_{f f}

l ,’ E’, p’_{f f}

E , p_{e e} q O

A

B

C Rysunek 3.15:

więc pęd fotonu określa wzór

pf = hν

c (3.22)

lub wzór

pf = h

λ . (3.23)

Proces rozpraszania Comptona jest przedstawiony schematycznie na ry- sunku 3.15. Zasady zachowania pędu i energii wyrażają się równaniami

p_f = p_f⁰+ p_e, (3.24)

E_f = Ef0+ Ee, (3.25)

w których p_f, p_f⁰i p_eoraz Ef, Ef0i Eesą odpowiednio pędami oraz energia- mi padającego fotonu i rozproszonego fotonu i elektronu. Zgodnie z równa- niem (3.24) długość odcinka OB na rysunku 3.15 odpowiada pędowi pada- jącego fotonu, OB = pf. Stosując do trójkąta OAB twierdzenie cosinusów, zasadę zachowania pędu można zapisać jako

p²_e= p²_f + pf02− 2pfp_f⁰cos θ, (3.26) gdzie θ jest kątem rozproszenia fotonu. Natomiast zasadę zachowania energii (3.25) możemy, uwzględniając zależność (3.20), wyrazić wzorem

Ee = c(pf− p^f0). (3.27) Ponieważ rozproszony elektron uzyskuje prędkość zbliżoną do prędkości światła, w dalszych obliczeniach trzeba korzystać ze związku między energią

i pędem elektronu, wynikającego z teorii względności,

Ee= c^qp²_e+ m²c²− mc², (3.28) w którym m jest masą spoczywającego elektronu. Z porównania ostatnich dwóch wzorów otrzymujemy

qp²_e+ m²c²= pf − pf0+ mc. (3.29) Podnosząc obie strony tego równania do kwadratu dostajemy równanie

p²_e= (p_f − pf0)²+ 2mc(p_f − pf0) (3.30) (składniki m²c² po lewej i prawej stronie się redukują), czyli

p²_e= p²_f + pf02− 2pfp_f⁰+ 2mc(pf − pf0). (3.31) Porównując teraz ostatnie równanie z równaniem (3.26), po prostych prze- kształceniach otrzymujemy

mc(p_f − pf0) = pfp_f⁰(1 − cos θ), (3.32) albo, po podzieleniu przez czynnik mcp_fp_f⁰,

1 pf0 − 1

pf

= 1

mc(1 − cos θ). (3.33)

Korzystając ze wzoru (3.23) dla pędu padającego fotonu i analogicznego wzoru,

p_f⁰= h

λ⁰, (3.34)

dla pędu rozproszonego fotonu dostajemy wzór, określający zmianę długości fali fotonu przy rozproszeniu Comptona,

λ⁰− λ = h

mc(1 − cos θ) . (3.35)

Wzór ten zwykle zapisuje się w postaci

∆λ = Λ (1 − cos θ) , (3.36)

gdzie ∆λ = λ⁰− λ natomiast stała Λ = h

mc , (3.37)

PROMIENIE ROENTGENA 75

a) b)

r. l n

r.

n

E , p_{f f}

Rysunek 3.16:

nazywana komptonowską długością fali, ma wartość

Λ = 2, 426 · 10⁻¹²m. (3.38)

Ze wzoru (3.36) widać, że wielkość ∆λ wzrasta od zera dla kąta rozproszenia θ = 0 do wartości 2Λ dla θ = 180^◦. Wzór ten bardzo dobrze zgadza się z obserwowanymi zmianami długości fali promieniowania X przy rozpraszaniu komptonowskim.

Omówione w tym rozdziale zjawiska dowodzą przekonywająco kwanto- wej (korpuskularnej) natury promieniowania elektromagnetycznego. Z dru- giej strony takie zjawiska jak dyfrakcja i interferencja promieniowania elek- tromagnetycznego świadczą o jego falowym charakterze. Uważa się współ- cześnie, że te dwa aspekty — korpuskularny i falowy — nie wykluczają się wzajemnie, lecz się uzupełniają. Promieniowanie elektromagnetyczne, w szczególności światło, posiada więc dwoistą, falowo – korpuskularną natu- rę (rys. 3.16a, b). W miarę zmniejszania się długości fali promieniowania jego falowe własności stają się coraz mniej widoczne — coraz trudniej jest stwierdzić zjawiska dyfrakcji i interferencji. Natomiast jego korpuskularne własności stają się coraz łatwiej zauważalne, ponieważ wzrasta energia i pęd fotonów.