(3) Wykaż wprost z definicji, że przestrzeń ci agów nieskończonych , c 0:= {(x 1, x 2, . . .) : x i ∈ R, lim

(1)

26 listopada 2018

(1) Wskaż przykład przestrzeni unormowanej X i jej (nieskończenie wymiarowej) podprzestrzeni V, takich, że element optymalny dla f ∈ X względem V nie zawsze istnieje.

(2) Wskaż w przestrzeni C([0, 1]) podprzestrzeń skończenie wymiarow a V oraz _, funkcj e f , dla której element optymalny wzgl _, edem V nie jest wyznaczony jed- _, noznacznie.

(3) Wykaż wprost z definicji, że przestrzeń ci agów nieskończonych _, c ₀ := {(x ₁ , x ₂ , . . .) : x _i ∈ R, lim

i→∞ x _i = 0}

z norm a maximum nie jest ściśle wypukła. _,

(4) Wykaż wprost z definicji, że przestrzenie L ¹ (a, b) i L ^∞ (a, b) nie s a ściśle wypukłe. _, (5) Wykaż, że jeśli funkcja f : [a, b] → R jest wypukła to dla dowolnego c zbiór

{x ∈ [a, b] : f (x) ¬ c} jest wypukły.

(6) Znajdź najlepsz a aproksymacj _, e w L _, ₂ ([0, 1]) dla funkcji f (x) = x ² wzgl edem _, podprzestrzeni rozpi etej na funkcjach v _, ₁ (x) = e ^x i v ₂ (x) = e ^2x .

(7) Wykaż, że poniższe minimum

a,b,c∈R min

Z 1 0

| √

x − ax ² − bx − c| ² x dx jest osi agane gdy a = −8/21, b = 8/7, c = 8/35. _,

(8) Wykaż, że przestrzeń unormowana X jest unitarna wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest reguła równoległoboku, tzn.

kf + gk ² + kf − gk ² = 2(kf k ² + kgk ² ) ∀f, g ∈ X.

(9) Znajdź

min

Z 1

−1 |x ⁿ − p(x)| ² dx,

gdzie minimum jest wzi ete po wszystkich wielomianach stopnia ¬ n − 1. (Od- _, powiedź podaj ‘w j ezyku’ odpowiednich wielomianów ortogonalnych.) _,

(10) Niech f ∈ C([a, b]) b edzie funkcj _, a o dodatniej n-tej pochodnej na [a, b]. Wykaż, _, że

span(1, x, x ² , . . . , x ⁿ⁻¹ , f (x) ) jest (n + 1)-wymiarow a podprzestrzeni _, a Haara. _,

(11) Załóżmy, że żaden z parami różnych punktów a ₁ , a ₂ , . . . , a _n nie należy do prze- działu [a, b]. Wykaż, że wtedy

span

1

x − a ₁ , 1

x − a ₂ , . . . , 1 x − a _n

jest n-wymiarow a podprzestrzeni _, a Haara w C([a, b]). _, (12) Dla jakich wartości a < b przestrzeń rozpi eta na funkcjach _,

(a) {1, cos(x), cos(2x), . . . , cos(nx)}

(b) {sin(x), sin(2x), . . . , sin(nx)}

jest przestrzeni a Haara w C([a, b])? _,

1

(2)

(13) Wyznacz wielomian p stopnia ¬ 3, który minimalizuje sup

−1¬x¬1

| |x| − p(x) |.

(14) Znajdź wielomian trygonometryczny g stopnia ¬ 3, który najlepiej aproksymuje funkcj e sin(x/2) w normie supremum na przedziale [−π, π]. _,

(15) Wykaż, że wielomiany Czebyszewa (I-go rodzaju) spełniaj a równość _,

T n (x) = det







x 1 0 · · · 0 0 1 2x 1 · · · 0 0 0 1 2x · · · 0 0 .. . .. . .. . .. . .. . 0 0 0 · · · 1 2x







.

(Macierz jest n × n.)

(16) Wykaż, że spośród wielomianów postaci p(x) = x ⁿ + ^P ⁿ⁻¹ _i=0 a i x ⁱ , n 1, naj- mniejsz a norm _, e supremum na przedziale [−1, 1] ma wielomian 2 _, ¹⁻ⁿ T n , gdzie T n

jest n-tym wielomianem Czebyszewa (I-go rozdzaju).

(17) Znajdź wielomian stopnia co najwyżej n−1, który najlepiej aproksymuje funkcj e _, f (x) = x ⁿ w normie jednostajnej na odcinku [−1, 1].

(18) W klasie wielomianów p stopnia ¬ n takich, że p(0) = 1 znajdź wielomian p ^∗ o najmniejszej normie jednostajnej na przedziale [1, 2].

(19) Niech p bedzie wielomianem stopnia co najwyżej n i takim, że kpk C([−1,1]) ¬ 1.

Wykaż, że wtedy dla dowolnej a spełniającej |a| 1 zachodzi |p(a)| ¬ |T _n (a)|.

(20) Wykaż, że spośród wielomianów stopnia co najwyżej n, dla których p ⁰ (1) = A, najmniejszą normę jednostajną w [−1, 1] ma wielomian AT _n /n ² .

(21) Niech X = C([a, b]) i L _n : X → X b edzie operatorem przyporz _, adkowuj _, acym _, funkcji f ∈ X jej wielomian interpolacyjny oparty na n + 1 różnych punktach przedziału [a, b], tzn. L _n (f ) = ^P ⁿ _i=0 f (x _i )l _i , gdzie l _i s a odpowiednimi wielomia- _, nami Lagrange’a. Wykaż, że L _n jest liniowy oraz

kL _n k _C([a,b] = Λ _n := max

a¬t¬b n

X

i=0

|l _i (t)|.

(22) Wykaż, że dla przedziału [a, b] = [−1, 1] i n = 2 minimalna wartość Λ ₂ w zadaniu (21) wynosi 5/4, a jeśli w ezły iterpolacyjne s _, a zerami wielomianu Cze- _, byszewa T ₃ to Λ ₂ = 5/3.

(23) Wykaż nast epuj _, ace własności wielomianów Czebyszewa T _, n . (a) (1 − x ² )T _n ⁰⁰ (x) − xT _n ⁰ (x) + n ² T n (x) = 0

(b) T 2n (x) = T n (2x ² − 1) (c) T n (T m ) = T nm

(24) Niech w(x) = ^Q ⁿ _i=1 (x − x i ) gdzie x i = (i − 1)/(n − 1). Wykaż, że

s 2π

n e ⁻ⁿ ¬ max

0¬x¬1 |w(x)| ¬

1 + 1 4n

e ⁻ⁿ √ 2πn.

Wskazówka. Zauważ, że dla w ezłów x _, _i = (2i − 1)/(2n) mamy

0¬x¬1 max |w(x)| = |w(0)|

(3)

i zastosuj wzór Stirlinga.

(25) Rozpatrzmy operator (Lf )(x) = ^P ⁿ _i=1 f (x _i )g _i (x), gdzie a ¬ x ₁ < · · · < x _n ¬ b oraz g _i ∈ C([a, b]). Wykaż, że L jest monotoniczny wtedy i tylko wtedy gdy dla wszystkich i mamy g _i (x) 0 ∀x ∈ [a, b].

(26) Niech L : C([a, b]) → C([a, b]) b edzie operatorem monotonicznym i liniowym _, spełniaj acym Lw = w dla wszystkich wielomianów w stopnia nie wi _, ekszego niż _, dwa. Wykaż, że wtedy L jest operatorem identycznościowym, tzn. Lf = f dla wszystkich f ∈ C([a, b]).

(27) Wykaż, że jeśli f jest wielomianem stopnia ¬ k to t a własność ma też każdy _, wielomian Bernsteina B _n f .

(28) Niech f (x) = x ³ . Jak duże n należy wzi ać, aby wielomian Bernsteina B _, _n f aproksymował f z bł edem mniejszym niż 10 _, ⁻⁸ w normie jednostajnej na [0, 1]?

(29) Wykaż, że jeśli f i f ⁰ s a ci _, agłe na [0, 1] to dla każdego > 0 istnieje wielomian _, p taki, że kf − pk ¬ i kf ⁰ − p ⁰ k ¬ , przy czym norma jest jednostajna na [0, 1].

(30) Wykaż, że kB n f k ¬ kf k, gdzie norma jest jednostajna na [0, 1].

(31) Niech X = L 2 ([0, 1]), f (x) = x ^m i v k (x) = x ^p

^k

, k = 1, 2, . . . , n, gdzie 0 ¬ m < p ₁ < p ₂ < · · · < p _n .

Niech V _n = span(v ₁ , v ₂ , . . . , v _n ). Wykaż, że dist(f, V _n ) ² = 1

2m + 1

n

Y

k=1

m − p _k m + p _k + 1

! 2

.

Wskazówka.

det

1 a _k + b _k

n k,l=1

!

=

Q

k>l (a _k − a _l )(b _k − b _l )

Q

k,l (a _k + b _l ) . (32) Niech 0 ¬ m < p 1 < p ₂ < · · · . Wykaż, że

n→∞ lim

n

Y

k=1

m − p k

m + p _k + 1

! 2

= 0 wtedy i tylko wtedy gdy

∞

X

k=2

1 p k

= ∞.

(33) (Twierdzenie M¨ unza I) Wykaż, że przestrzeń rozpi eta na funkcjach v _, _k (x) = x ^p

^k

, gdzie 0 ¬ p ₁ < p ₂ < · · · , jest g esta w L _, ₂ ([0, 1]) wtedy i tylko wtedy gdy

P ∞

k=2 1/p _k = ∞.

Wskazówka. Skorzystaj z zadań 31 i 32 oraz z faktu, że podprzestrzeń wielo- mianów algebraicznych dowolnego stopnia jest g esta w L _, ₂ ([0, 1]).

(34) (Twierdzenie M¨ unza II) Wykaż, że przestrzeń rozpi eta na funkcjach v _, _k (x) = x ^p

^k

, gdzie 0 ¬ p ₁ < p ₂ < · · · , jest g esta w C([0, 1]) wtedy i tylko wtedy gdy _, p ₁ = 0 oraz ^P ^∞ _k=2 1/p _k = ∞.

Wskazówka. Skorzystaj z zadania (33).

(35) Czy podprzestrzeń rozpi eta na jednomianach 1, x _, ^p

¹

, x ^p

²

, . . . , x ^p

ⁿ

, . . ., gdzie p _n s a _,

kolejnymi liczbami pierwszymi, jest g esta w C([0, 1])? _,

(4)

(36) Nierówność Markowa mówi, że jeśli p jest wielomianem algebraicznym stopnia n to kp ⁰ k _C([−1,1]) ¬ n ² kpk _C([−1,1]) . Korzystaj”ac z tej nier”owno”sci wykaż, że dla dowolnego przedziału [a, b] mamy

a¬x¬b max |p ⁰ (x)| ¬ 2n ² b − a max

a¬x¬b |p(x)|.

(37) Dla danej funkcji f i punktów x ₁ < x ₂ < · · · < x _n , niech H _n b edzie wielomianem _, stopnia ¬ 2n − 1 takim, że H _n (x _i ) = f (x _i ) i H _n ⁰ (x _i ) = 0 dla i = 1, 2, . . . , n.

Wykaż, że H _n (x) = ^P ⁿ _i=1 f (x _i )A _i (x), gdzie

A _i (x) = [1 − 2(x − x i )` ⁰ _i (x i )]` ² _i , ` _i jest i-tym wielomian Lagrange’a.

(38) Pokaż, że wielomian H _n z zadania 37 można też przedstawić w postaci H _n (x) =

n

X

i=1

f (x _i ) 1 − (x − x i )W ⁰⁰ (x i ) W ⁰ (x _i )

! W (x)

(x − x _i )W ⁰ (x _i )

! 2

, gdzie W (x) = ^Q ⁿ _j=1 (x − x _j ).

Wskazówka. Użyj formuły

` _i (x) = W (x) (x − x _i )W ⁰ (x _i ) .

(39) Niech x _i b ed _, a zerami wielomianu Czebyszewa T _, _n , tzn., x _i = cos 2i − 1

2i π

!

, 1 ¬ i ¬ n.

Pokaż, że wtedy wielomian H _n z zadania 37 można przedstawić w postaci H _n (x) = 1

n ² T _n ² (x)

n

X

i=1

f (x _i ) 1 − xx _i (x − x _i ) ² .

Wskazówka. Pomocna może okazać si e własność (a) wielomianów Czebyszewa _, z zadania 23.

(40) Korzystaj ac z twierdzenia o zbieżności operatorów dodatnich wykaż, że dla _, dowolnej funkcji f ∈ C([−1, 1]) mamy f = lim _n→∞ H _n , gdzie H _n jest n-tym wielomianem z zadania 39.

(41) Niech φ ∈ C([−1, 1]) b edzie funkcj _, a rzeczywist _, a spełniaj _, ac _, a warunki: _, (i) φ(f − g) = φ(f ) − φ(g),

(ii) |φ(f )| ¬ λkf k,

(iii) φ(p) = 0 dla wszystkich wielomianów stopnia ¬ n.

Wykaż, że wtedy odległość dowolnego f od pdprzestrzeni wielomianów stopnia

¬ n jest ograniczona z dołu przez |φ(f )|/λ.

(42) Wykaż, że dla dowolnego wielomianu postaci P (x) = ^P ⁿ _k=0 c _k x ^k mamy

0¬k¬n max |c _k | ¬ n ²ⁿ kP k _C([−1,1]) .

Czy stała n ²ⁿ jet optymalna?

(5)

(43) Niech {f ₁ , f ₂ , f ₃ . . .} b edzie ci _, agiem w przestrzeni Banacha X. Niech V _, _n = span{f ₁ , f ₂ , . . . , f _n } i L _n b edzie dowolnym rzutem z X na V _, _n . Pokaż, że

sup

n kL n k < +∞

wtedy i tylko wtedy gdy dla każdej f ∈ X istnieje c(f ) taka, że dla wszystkich n zachodzi

kL _n f − f k ¬ c(f ) dist(f, V _n ).

(44) Wyznacz moduł ci agłości funkcji f (x) = _, √

x na przedziale [0, 1].

(45) Wykaż, że dla modułu ci agłości danej funkcji mamy ω(δ) ¬ nω(δ/n). _,

(46) Załóżmy, że f jest funkcj a monotoniczn _, a. Czy jej moduł ci _, agłości jest addy- _, tywny, tzn. ω(δ ₁ + δ ₂ ) = ω(δ ₁ ) + ω(δ ₂ )?

(47) Wykaż, że odległość funkcji x 7→ |x| od podprzestrzeni wielomianów trygono- metrycznych stopnia ¬ n wynosi co najwyżej π/(2n + 2).

(48) Dla danej funkcji f : R → R definiujemy jej moduł ci agłości 1-go rz , edu jako _, ω _f (δ) = sup _|x−y|¬δ |f (x) − f (y)| oraz moduł ci agłości 2-go rz _, edu (moduł Zyg- _, munda) jako

ω _f ^∗ (δ) = sup

x sup

|h|¬δ

|f (x + h) − 2f (x) + f (x − h)|.

Jasne jest, że jeśli lim δ→0 ω f (δ) = 0 to f jest ci agła. Czy to samo jest prawd _, a _, gdy ω f zast apimy przez ω _, _f ^∗ ? A co jeśli ω ^∗ _f (δ) ¬ Bδ ^α dla pewnego α > 0?

(49) W oczywisty sposób zachodzi ω _f ^∗ (δ) ¬ 2ω f (δ). Wykaż, że nie istnieje c > 0 taka, że dla wszystkich funkcji ci agłych f oraz δ > 0 mamy ω _, ^∗ _f (δ) c ω f (δ).

(50) Czy wszystkie funkcje f ci agłe na [a, b] spełniaj _, a warunek H¨ _, oldera,

|f (x) − f (y)| ¬ A|x − y| ^α

dla pewnych A > 0 i α > 0?

(3) Wykaż wprost z definicji, że przestrzeń ci agów nieskończonych , c 0:= {(x 1, x 2, . . .) : x i ∈ R, lim

26 listopada 2018

(1) Wskaż przykład przestrzeni unormowanej X i jej (nieskończenie wymiarowej) podprzestrzeni V, takich, że element optymalny dla f ∈ X względem V nie zawsze istnieje.

(2) Wskaż w przestrzeni C([0, 1]) podprzestrzeń skończenie wymiarow a V oraz , funkcj e f , dla której element optymalny wzgl , edem V nie jest wyznaczony jed- , noznacznie.

(3) Wykaż wprost z definicji, że przestrzeń ci agów nieskończonych , c 0 := {(x 1 , x 2 , . . .) : x i ∈ R, lim

i→∞ x i = 0}

z norm a maximum nie jest ściśle wypukła. ,

(4) Wykaż wprost z definicji, że przestrzenie L 1 (a, b) i L ∞ (a, b) nie s a ściśle wypukłe. , (5) Wykaż, że jeśli funkcja f : [a, b] → R jest wypukła to dla dowolnego c zbiór

{x ∈ [a, b] : f (x) ¬ c} jest wypukły.

(6) Znajdź najlepsz a aproksymacj , e w L , 2 ([0, 1]) dla funkcji f (x) = x 2 wzgl edem , podprzestrzeni rozpi etej na funkcjach v , 1 (x) = e x i v 2 (x) = e 2x .

(7) Wykaż, że poniższe minimum

a,b,c∈R min

Z 1 0

| √

x − ax 2 − bx − c| 2 x dx jest osi agane gdy a = −8/21, b = 8/7, c = 8/35. ,

(8) Wykaż, że przestrzeń unormowana X jest unitarna wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest reguła równoległoboku, tzn.

kf + gk 2 + kf − gk 2 = 2(kf k 2 + kgk 2 ) ∀f, g ∈ X.

(9) Znajdź

min

Z 1

−1 |x n − p(x)| 2 dx,

gdzie minimum jest wzi ete po wszystkich wielomianach stopnia ¬ n − 1. (Od- , powiedź podaj ‘w j ezyku’ odpowiednich wielomianów ortogonalnych.) ,

(10) Niech f ∈ C([a, b]) b edzie funkcj , a o dodatniej n-tej pochodnej na [a, b]. Wykaż, , że

span(1, x, x 2 , . . . , x n−1 , f (x) ) jest (n + 1)-wymiarow a podprzestrzeni , a Haara. ,

(11) Załóżmy, że żaden z parami różnych punktów a 1 , a 2 , . . . , a n nie należy do prze- działu [a, b]. Wykaż, że wtedy

span

 1

x − a 1 , 1

x − a 2 , . . . , 1 x − a n



jest n-wymiarow a podprzestrzeni , a Haara w C([a, b]). , (12) Dla jakich wartości a < b przestrzeń rozpi eta na funkcjach ,

(a) {1, cos(x), cos(2x), . . . , cos(nx)}

(b) {sin(x), sin(2x), . . . , sin(nx)}

jest przestrzeni a Haara w C([a, b])? ,

1

(13) Wyznacz wielomian p stopnia ¬ 3, który minimalizuje sup

−1¬x¬1

| |x| − p(x) |.

(14) Znajdź wielomian trygonometryczny g stopnia ¬ 3, który najlepiej aproksymuje funkcj e sin(x/2) w normie supremum na przedziale [−π, π]. ,

(15) Wykaż, że wielomiany Czebyszewa (I-go rodzaju) spełniaj a równość ,

T n (x) = det



















x 1 0 · · · 0 0 1 2x 1 · · · 0 0 0 1 2x · · · 0 0 .. . .. . .. . .. . .. . 0 0 0 · · · 1 2x



















.

(Macierz jest n × n.)

(16) Wykaż, że spośród wielomianów postaci p(x) = x n + P n−1 i=0 a i x i , n ­ 1, naj- mniejsz a norm , e supremum na przedziale [−1, 1] ma wielomian 2 , 1−n T n , gdzie T n

jest n-tym wielomianem Czebyszewa (I-go rozdzaju).

(17) Znajdź wielomian stopnia co najwyżej n−1, który najlepiej aproksymuje funkcj e , f (x) = x n w normie jednostajnej na odcinku [−1, 1].

(18) W klasie wielomianów p stopnia ¬ n takich, że p(0) = 1 znajdź wielomian p ∗ o najmniejszej normie jednostajnej na przedziale [1, 2].

(19) Niech p bedzie wielomianem stopnia co najwyżej n i takim, że kpk C([−1,1]) ¬ 1.

Wykaż, że wtedy dla dowolnej a spełniającej |a| ­ 1 zachodzi |p(a)| ¬ |T n (a)|.

(20) Wykaż, że spośród wielomianów stopnia co najwyżej n, dla których p 0 (1) = A, najmniejszą normę jednostajną w [−1, 1] ma wielomian AT n /n 2 .

kL n k C([a,b] = Λ n := max

a¬t¬b n

X

i=0

|l i (t)|.

(22) Wykaż, że dla przedziału [a, b] = [−1, 1] i n = 2 minimalna wartość Λ 2 w zadaniu (21) wynosi 5/4, a jeśli w ezły iterpolacyjne s , a zerami wielomianu Cze- , byszewa T 3 to Λ 2 = 5/3.

(23) Wykaż nast epuj , ace własności wielomianów Czebyszewa T , n . (a) (1 − x 2 )T n 00 (x) − xT n 0 (x) + n 2 T n (x) = 0

(b) T 2n (x) = T n (2x 2 − 1) (c) T n (T m ) = T nm

(24) Niech w(x) = Q n i=1 (x − x i ) gdzie x i = (i − 1)/(n − 1). Wykaż, że

s 2π

n e −n ¬ max

(2) Wskaż w przestrzeni C([0, 1]) podprzestrzeń skończenie wymiarow a V oraz _, funkcj e f , dla której element optymalny wzgl _, edem V nie jest wyznaczony jed- _, noznacznie.

(3) Wykaż wprost z definicji, że przestrzeń ci agów nieskończonych _, c ₀ := {(x ₁ , x ₂ , . . .) : x _i ∈ R, lim

i→∞ x _i = 0}

z norm a maximum nie jest ściśle wypukła. _,

(4) Wykaż wprost z definicji, że przestrzenie L ¹ (a, b) i L ^∞ (a, b) nie s a ściśle wypukłe. _, (5) Wykaż, że jeśli funkcja f : [a, b] → R jest wypukła to dla dowolnego c zbiór

(6) Znajdź najlepsz a aproksymacj _, e w L _, ₂ ([0, 1]) dla funkcji f (x) = x ² wzgl edem _, podprzestrzeni rozpi etej na funkcjach v _, ₁ (x) = e ^x i v ₂ (x) = e ^2x .

x − ax ² − bx − c| ² x dx jest osi agane gdy a = −8/21, b = 8/7, c = 8/35. _,

kf + gk ² + kf − gk ² = 2(kf k ² + kgk ² ) ∀f, g ∈ X.

−1 |x ⁿ − p(x)| ² dx,

gdzie minimum jest wzi ete po wszystkich wielomianach stopnia ¬ n − 1. (Od- _, powiedź podaj ‘w j ezyku’ odpowiednich wielomianów ortogonalnych.) _,

(10) Niech f ∈ C([a, b]) b edzie funkcj _, a o dodatniej n-tej pochodnej na [a, b]. Wykaż, _, że

span(1, x, x ² , . . . , x ⁿ⁻¹ , f (x) ) jest (n + 1)-wymiarow a podprzestrzeni _, a Haara. _,

(11) Załóżmy, że żaden z parami różnych punktów a ₁ , a ₂ , . . . , a _n nie należy do prze- działu [a, b]. Wykaż, że wtedy

1

x − a ₁ , 1

x − a ₂ , . . . , 1 x − a _n

jest n-wymiarow a podprzestrzeni _, a Haara w C([a, b]). _, (12) Dla jakich wartości a < b przestrzeń rozpi eta na funkcjach _,

jest przestrzeni a Haara w C([a, b])? _,

(14) Znajdź wielomian trygonometryczny g stopnia ¬ 3, który najlepiej aproksymuje funkcj e sin(x/2) w normie supremum na przedziale [−π, π]. _,

(15) Wykaż, że wielomiany Czebyszewa (I-go rodzaju) spełniaj a równość _,

(16) Wykaż, że spośród wielomianów postaci p(x) = x ⁿ + ^P ⁿ⁻¹ _i=0 a i x ⁱ , n 1, naj- mniejsz a norm _, e supremum na przedziale [−1, 1] ma wielomian 2 _, ¹⁻ⁿ T n , gdzie T n

(17) Znajdź wielomian stopnia co najwyżej n−1, który najlepiej aproksymuje funkcj e _, f (x) = x ⁿ w normie jednostajnej na odcinku [−1, 1].

(18) W klasie wielomianów p stopnia ¬ n takich, że p(0) = 1 znajdź wielomian p ^∗ o najmniejszej normie jednostajnej na przedziale [1, 2].

Wykaż, że wtedy dla dowolnej a spełniającej |a| 1 zachodzi |p(a)| ¬ |T _n (a)|.

(20) Wykaż, że spośród wielomianów stopnia co najwyżej n, dla których p ⁰ (1) = A, najmniejszą normę jednostajną w [−1, 1] ma wielomian AT _n /n ² .

kL _n k _C([a,b] = Λ _n := max

|l _i (t)|.

(22) Wykaż, że dla przedziału [a, b] = [−1, 1] i n = 2 minimalna wartość Λ ₂ w zadaniu (21) wynosi 5/4, a jeśli w ezły iterpolacyjne s _, a zerami wielomianu Cze- _, byszewa T ₃ to Λ ₂ = 5/3.

(23) Wykaż nast epuj _, ace własności wielomianów Czebyszewa T _, n . (a) (1 − x ² )T _n ⁰⁰ (x) − xT _n ⁰ (x) + n ² T n (x) = 0

(b) T 2n (x) = T n (2x ² − 1) (c) T n (T m ) = T nm

(24) Niech w(x) = ^Q ⁿ _i=1 (x − x i ) gdzie x i = (i − 1)/(n − 1). Wykaż, że

n e ⁻ⁿ ¬ max

e ⁻ⁿ √ 2πn.

Wskazówka. Zauważ, że dla w ezłów x _, _i = (2i − 1)/(2n) mamy

(25) Rozpatrzmy operator (Lf )(x) = ^P ⁿ _i=1 f (x _i )g _i (x), gdzie a ¬ x ₁ < · · · < x _n ¬ b oraz g _i ∈ C([a, b]). Wykaż, że L jest monotoniczny wtedy i tylko wtedy gdy dla wszystkich i mamy g _i (x) 0 ∀x ∈ [a, b].

(26) Niech L : C([a, b]) → C([a, b]) b edzie operatorem monotonicznym i liniowym _, spełniaj acym Lw = w dla wszystkich wielomianów w stopnia nie wi _, ekszego niż _, dwa. Wykaż, że wtedy L jest operatorem identycznościowym, tzn. Lf = f dla wszystkich f ∈ C([a, b]).

(27) Wykaż, że jeśli f jest wielomianem stopnia ¬ k to t a własność ma też każdy _, wielomian Bernsteina B _n f .

(28) Niech f (x) = x ³ . Jak duże n należy wzi ać, aby wielomian Bernsteina B _, _n f aproksymował f z bł edem mniejszym niż 10 _, ⁻⁸ w normie jednostajnej na [0, 1]?

(29) Wykaż, że jeśli f i f ⁰ s a ci _, agłe na [0, 1] to dla każdego > 0 istnieje wielomian _, p taki, że kf − pk ¬ i kf ⁰ − p ⁰ k ¬ , przy czym norma jest jednostajna na [0, 1].

(31) Niech X = L 2 ([0, 1]), f (x) = x ^m i v k (x) = x ^p

, k = 1, 2, . . . , n, gdzie 0 ¬ m < p ₁ < p ₂ < · · · < p _n .

Niech V _n = span(v ₁ , v ₂ , . . . , v _n ). Wykaż, że dist(f, V _n ) ² = 1

m − p _k m + p _k + 1

1 a _k + b _k

n k,l=1

k>l (a _k − a _l )(b _k − b _l )

k,l (a _k + b _l ) . (32) Niech 0 ¬ m < p 1 < p ₂ < · · · . Wykaż, że

m + p _k + 1

(33) (Twierdzenie M¨ unza I) Wykaż, że przestrzeń rozpi eta na funkcjach v _, _k (x) = x ^p

, gdzie 0 ¬ p ₁ < p ₂ < · · · , jest g esta w L _, ₂ ([0, 1]) wtedy i tylko wtedy gdy

k=2 1/p _k = ∞.

Wskazówka. Skorzystaj z zadań 31 i 32 oraz z faktu, że podprzestrzeń wielo- mianów algebraicznych dowolnego stopnia jest g esta w L _, ₂ ([0, 1]).

(34) (Twierdzenie M¨ unza II) Wykaż, że przestrzeń rozpi eta na funkcjach v _, _k (x) = x ^p

, gdzie 0 ¬ p ₁ < p ₂ < · · · , jest g esta w C([0, 1]) wtedy i tylko wtedy gdy _, p ₁ = 0 oraz ^P ^∞ _k=2 1/p _k = ∞.

(35) Czy podprzestrzeń rozpi eta na jednomianach 1, x _, ^p

, x ^p

, . . . , x ^p

, . . ., gdzie p _n s a _,

kolejnymi liczbami pierwszymi, jest g esta w C([0, 1])? _,

(36) Nierówność Markowa mówi, że jeśli p jest wielomianem algebraicznym stopnia n to kp ⁰ k _C([−1,1]) ¬ n ² kpk _C([−1,1]) . Korzystaj”ac z tej nier”owno”sci wykaż, że dla dowolnego przedziału [a, b] mamy

a¬x¬b max |p ⁰ (x)| ¬ 2n ² b − a max

(37) Dla danej funkcji f i punktów x ₁ < x ₂ < · · · < x _n , niech H _n b edzie wielomianem _, stopnia ¬ 2n − 1 takim, że H _n (x _i ) = f (x _i ) i H _n ⁰ (x _i ) = 0 dla i = 1, 2, . . . , n.

Wykaż, że H _n (x) = ^P ⁿ _i=1 f (x _i )A _i (x), gdzie

A _i (x) = [1 − 2(x − x i )` ⁰ _i (x i )]` ² _i , ` _i jest i-tym wielomian Lagrange’a.

(38) Pokaż, że wielomian H _n z zadania 37 można też przedstawić w postaci H _n (x) =