(x−3)(x+2)≥0ix+2≠0Ad 2.

Zadania do tematu: własności funkcji cyklometrycznych .

1. Wyznacz dziedzinę funkcji

t (x )=arcsin( x

²

+2x )

Rozwiązanie:

Funkcja arcsin jest określona na przedziale

⟨−1;1⟩

, zatem wyrażenie które stanowi argument tej funkcji powinno pochodzić z tego przedziału, zatem powinien być spełniony warunek:

−1≤x

²

+ 2 x≤1

należy rozwiązać obie nierówności i wyznaczyć część wspólną zbioru rozwiązań.

−1≤x

²

+ 2 x x

²

+2 x+1≥0

( x+1 )

²

≥0

ten warunek spełniony jest dla każdej liczby rzeczywistej zatem

x∈R

x

²

+2 x−1≤0

Δ=4+4=8

x

₁

=−1− √ ^{2 x}

₁

⁼⁻¹⁺ √ ²

x∈ ( −1− √ 2;−1+ √ 2 )

Cześć wspólna rozwiązań to także zbiór

( −1− √ ^2;−1+ √ ^{2 ) = D}

i to on stanowi dziedzinę funkcji Do samodzielnego rozwiązania:

2. Wyznacz dziedzinę funkcji

t (x )=arcsin x x−1

3. Wyznacz dziedzinę funkcji

t (x )=arccos(2 x−3)

4. Wyznacz dziedzinę funkcji

t (x )=arctg √ ^{x−3 x+2}

Rozwiązanie:

Funkcja arctg ma pełną rzeczywistą dziedzinę, zatem na narzuca żadnych ograniczeń na swoje argumenty, jedyne „zastrzeżenia” pochodzą więc w tym przypadku od funkcji pierwiastek kwadratowy i od ułamka. Zatem spełnione muszą być dwa warunki:

1)

x−3 x+2 ≥0

2)

x+2≠0

Ad 1.

( x−3)( x +2 )≥0 i x +2≠0

_{Ad 2.}

x≠−2 x∈(−∞ ;−2)∪(<3;+∞)

Podsumowując

D=(−∞ ;−2)∪(<3 ;+∞)

Do samodzielnego rozwiązania

5. Wyznacz dziedzinę funkcji

t (x )=arctg (log( x+4 ))

6. Wyznacz dziedzinę funkcji

f (x )=arcctg 3

√ ^{2 x−x}

²

7. Naszkicuj wykres funkcji:

t (x )= π

6 +arcsin ( ^{x + 1} 2 )

Zaczynamy od narysowania wykresu funkcji

f (x )=arcsin x

, a następnie wykres przesuwamy o wektor

[ ^{− 1 2 ; π 6} ]

czyli o 0,5 w lewo i o

π

6

_{do góry.}

Do samodzielnego rozwiązania

8. Naszkicuj wykres funkcji:

h( x)=arcsin(x−1)

9.Naszkicuj wykres funkcji:

t (x )= ( arccos x ) − π 2

10. Naszkicuj wykres funkcji:

g( x)= ( arctgx ) − π

6

_.

11.Oblicz pochodną funkcji:

a)

t (x )=arcsin ( x

³

−3 x)

Korzystamy z wzoru na pochodną funkcji złożonej, funkcja zewnętrzną jest arcsin

t ' ( x)= 1

√ ^{1− ( x}

³

^{−3x )}

²

^{( x}

3

−3 x) '= 1

√ ^{1− ( x}

³

^{−3 x )}

²

^{( 3 x}

2

−3)

b)

k ( x )=arctg ( ¹ x −6

^x

)

k ' (x )= 1

( ¹ x − 6

^x

)

²

⁺¹ ( ¹ x −6

^x

)

^′

^{= 1}

( ¹ x −6

^x

)

²

⁺¹ ( ⁻ x ¹

²

−6

^x

ln 6 )

c)

k( x)= ( arcctgx )

³ Tym razem funkcja cyklometryczna jest funkcją wewnętrzną, zaczynamy różniczkowanie od pochodnej

f (x )=x

³ z tym, że z argumentem w postaci funkcji arcctgx.

k

^'

( x )=3 ( arcctgx )

²

⋅ −1 x

²

+1

Do samodzielnego rozwiązania Oblicz pochodną funkcji

a)

f (x )=arctg ( √ ^{x )}

_b)

g( x)=arcctg( ln x+2 x

⁶

)

_c)

g( x )=arcsin ( 2

^x

^e +x

^{x 3}

)

d)

g( x)= √ ^{arccos x}

e)

g( x )= x

³

arccosx

( _{arcsin x} )

² _f)

g( x )=ln

(

^arcsin

⁽

^x3+x12

⁾ )

Opracowanie dr Elżbieta Badach