Wst¦p do topologii A, LISTA NR 1

Zad. 1 Dla x;y2R niech

 d

0

(x;y)=minf1;jx0yjg;

 d

1

(x;y)=maxf1;jx0yjg;

 d

2

(x;y)= jx0yj

1+jx0yj .

Które z powyzszychfunkcjisa metrykami naR? Znale¹¢ zbiory

a) fx2R: d(x;2)<0;1g,

b) fx2R: d(1;x)<4g

wstawiaj¡c za d odpowiednio d

E

(metryk¦ euklidesow¡), d

0 , d

1 , d

2

. Znale¹¢ inne (od

powy»szych)metryki naR.

Zad. 2 Znale¹¢ odlegªo±¢poni»szych punktówwmetryce euklidesowej,metryce mia-

sto,rzeka i centrum naR 2

.

a) A(2;1), B(3;3);

b) A(2;1), B(2;1:001).

Zad. 3 Niech(X;d)b¦dzieprzestrzeni¡metryczn¡.‘rednic¡zbioruAXnazywamy

diam(A)=supfd(x;y): x2A, y2Ag.Jakajest±rednicakwadratuoboku1wmetryce

euklidesowejnapªaczy¹nie?Awmetrycemiasto,rzeka?Jakajest±rednicazbioruAR 2

wmetryce d, je±li

 d jest metryk¡euklidesow¡ aA=K

rzeka

((0;1);2);

 d jest metryk¡centrum aA=K

e

((0;0);2);

 d jest metryk¡miasto a A=K

e

((0;0);2).

Czyistnieje metrykana R 2

, wktórej ka»dy podzbiór R 2

ma ±rednic¦nie wi¦ksz¡ni» 1?

Zad. 4 Niechf;g 2C[0;1].Metryk¦ supremum naC[0;1]deniujemy wzorem

d

sup

(f;g)=supfjf(x)0g(x)j: x2[0;1]g:

Znale¹¢d

sup

(f;g),je±li

 f(x)=0;4x+2, g(x)=2x;

 f(x)=x 2

+3x01,g(x)=x+1.

Zad. 5 Zapisa¢ wzoremmetryk¦centrum i metryk¦ rzeka naR .

Zad. 6 Zapisa¢ wzorem metryk¦ euklidesow¡ w R 4

. Jaka b¦dzie odlegªo±¢ (w tej

metryce) punktów (0;2;3;1) i (1;5;3;0)? Znale¹¢ 5 punktów speªniaj¡cych warunek

d

E

(x;(2;2;3;5)) = 1. Znale¹¢ 5 punktów speªniaj¡cych nierówno±¢ d

E

(x;(2;2;3;5)) <

0;1.

Zad. 7 NiechA=K[(f0g2[0;2]), gdzie K jestkoªem opromieniu1.Zbada¢, jakie

jest wn¦trze A wmetryce euklidesoweji w metryce rzeka.

Literatura:

 Wst¦p do topologii A P. Krupski -skrypt dost¦pny na stronie

http://www.math.uni.wroc.pl/instytut/skrypty.php;

 Wst¦p do teorii mnogo±ci i topologii,Kazimierz Kuratowski;

 Zarys topologii ogólnej Ryszard Engelking;

 http://pl.wikipedia.org/wiki/Kategoria:Topologia.

Listy zada« i (by¢ mo»e) cz¦±¢ notatek do wykªadu b¦dzie dost¦pna na stronie

http://www.math.uni.wroc.pl/~pborod/.

Piotr Borodulin-Nadzieja, pborod -at- math.uni.wroc.pl