Zad. 1 Poda¢ przykªady zbiorów otwartych, domkni¦tych, g¦stych i brzegowych w
poni»szych przestrzeniachmetrycznych:
(R;d
E ),(R
2
;d
E ),
(R;d
rzeka ),
(R;d
dyskretna ),
(C[0;1];d
sup ).
Zad. 2 Kiedy
zbiór otwartyjest brzegowy? A g¦sty?
zbiór g¦sty jest brzegowy?
zbiór domkni¦ty jestg¦sty?A brzegowy?
Zad. 3 Które z poni»szych wzorów nie s¡ prawdziwe i dlaczego?Dowie±¢ wybranych
dwóchrówno±cispo±ród poni»szych(wskazówka:lepiej wybra¢ prawdziwe:).
Int(A)\Int(B)=Int(A\B);
Int(A)nInt(B)=Int(AnB);
Int(A)[Int(B)=Int(A[B);
A\B =A\B;
Bd(A)\Bd(B)=Bd(A\B);
Bd(A)[Bd(B)=Bd(A[B);
Int( A)=IntA;
AnB =AnB.
Zad. 4 Pokaza¢,»erodzinazbiorówdomkni¦tychwka»dejprzestrzenimetrycznejjest
zamkni¦tanaprzekroje isko«czone sumy.Niekorzysta¢zfaktu, »ezbiorydomkni¦te s¡
dopeªnieniami zbiorówotwartych.
Zad. 5 Poda¢ wn¦trze, domkni¦cie i brzeg poni»szych zbiorów w przestrzeni (X;d).
Jakies¡ ichwªasno±ci topologiczne?
f(x;y): y=2x+1g, N2f0g, Q2(RnQ), je±li (X;d)=(R 2
;d
E ),
f(x;y): y=2x+1g, je±li(X;d)=(R 2
;d
dyskretna ),
ff: f(1=2) = 5g, ff: 5< f(1=2) <6g f: f jest postaci f(x)= ax+b, a, b 2 R,
a6=0} je±li(X;d)=(C[0;1];d
sup )
Zad. 7 Czyzbiór otwarty,nie b¦d¡cycaª¡ przestrzeni¡,mo»eby¢g¦stywprzestrzeni
(R 2
;d
E )?
Zad. 8 Czy zbiór przeliczalny w przestrzeni (R 2
;d
E
) mo»e nie by¢ brzegowy? A w
innych przestrzeniach?
Piotr Borodulin-Nadzieja
