Analityka gospodarcza - algebra/analiza - wst¦p 1 Wst¦p: logika, teoria mnogo±ci, iloczyn skalarny
Do przypomnienia: materiaª szkoªy ±redniej.
Zadanie 1. Udowodni¢ nast¦puj¡ce tautologie posªuguj¡c si¦ metod¡ tabelkow¡.
a) [∼ (∼ p)] ⇔ p (prawo podwójnego zaprzeczenia)
b) [∼ (p ∧ q)] ⇔ [(∼ p) ∨ (∼ q)] (prawo de Morgana zaprzeczenia koniunkcji) c) [∼ (p ∨ q)] ⇔ [(∼ p) ∧ (∼ q)] (prawo de Morgana zaprzeczenia alternatywy) d) [(p ∧ q) ∧ r] ⇔ [p ∧ (q ∧ r)] (prawo ª¡czno±ci koniunkcji)
e) [(p ∨ q) ∨ r] ⇔ [p ∨ (q ∨ r)] (prawo ª¡czno±ci alternatywy) f) [p ∧ q] ⇔ [q ∧ p] (prawo przemienno±ci koniunkcji)
g) [p ∨ q] ⇔ [q ∨ p] (prawo przemienno±ci alternatywy)
h) [p ⇒ (∼ p)] ⇒ (∼ p) (pierwsze prawo Claviusa o dowodzie nie wprost) i) [(∼ p) ⇒ p] ⇒ p (drugie prawo Claviusa o dowodzie nie wprost)
j) [(∼ p) ⇒ q] ⇒ [p ∨ q]
k) [p ∨ q] ⇔ [∼ p ⇒ q]
Zadanie 2. Zanegowa¢ nast¦puj¡ce zdania (bez u»ycia symbolu (∼)):
a) ∀x∈R∃y∈R∀>0[(x + y > ) ∧ ( = y)]
b) ∃x∈R∀y∈R[x2+ y2 = 1 ⇒ (x + y < 2 ∨ x = 0)]. c) ∀x∈R∃y∈(0,1)∀z∈Z[x2 > y ⇔ (x = z ∧ x + y ≤ z3)].
d) ∃x∈{0,1,2,7}∀y∈[−1,2]∃z∈Z[x + y2 = z3 ⇒ (x − y < z ⇒ x + z ≥ y)].
Zadanie 3. Zapisa¢ symbolicznie poni»sze zdania logiczne i rozstrzygn¡¢, czy s¡ praw- dziwe zawsze, nigdy, czy w szczególnych okoliczno±ciach. Nast¦pnie zapisa¢ symbolicznie i peªnym zdaniem ich zaprzeczenia:
a) Je±li z faktu, »e do Pary»a jedzie si¦ przez Moskw¦ wynika, »e do Pary»a nie jedzie si¦
przez Moskw¦, to do Pary»a nie jedzie si¦ przez Moskw¦.
b) Je»eli z faktu, »e nieprawd¡ jest, »e czosnek szkodzi wampirom, wynika, »e szkodzi im cebula, to wampirom szkodzi czosnek i cebula.
c) Archibald ma brod¦ lub w¡sy wtedy i tylko wtedy, gdy je»eli nie ma w¡sów, to ma brod¦.
d) Je»eli Eufrozyna nie zna logiki, to je»eli Eufrozyna zna logik¦, to Eufrozyna urodziªa si¦ sto lat temu.
e) Ka»dy smerf boi si¦ Gargamela lub Klakiera wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje smerf, który nie boi si¦ Gargamela i nie boi si¦ Klakiera.
f) Je±li dla ka»dego Romea istnieje Julia, w której si¦ mo»e zakocha¢, to istnieje Julia, w której si¦ mo»e zakocha¢ ka»dy Romeo.
g) Je±li istnieje Julia, w której mo»e si¦ zakocha¢ ka»dy Romeo, to dla ka»dego Romea istnieje Julia, w której mo»e si¦ zakocha¢.
Zadanie 4. Niech A = {1, 2}, B = {2, 3, 4} oraz C = {2, 4, 6, 8}. Znale¹¢ zbiory:
a) A ∪ B; b) B ∩ C; c) A \ B; d) A × B; e) (C \ B) × A; f) (A × A) \ (B × B) Zadanie 5. Na pªaszczy¹nie R2 narysowa¢ zbiory X × Y , gdzie:
a) X = R \ (−3, 3) Y = [1, 2) ∪ (3, 5] ; b) X = (R \ (−3, 3))c, Y = Z ∩ (−5, 2);
c) X = N, Y = {−1, 2,72}; d) X = (1, 2) ∪ (3, 4), Y = {n1 : n ∈ N}, e) X = (1, 3] ∪ [5, 6), Y = {y ∈ R : ln y ≤ 1},
f) X = {x ∈ R : x+1x−1 ≥ 1}, Y = {y ∈ [0, 2π] : sin y > 12}.
Zadanie 6. Sprawdzi¢, czy kanoniczny iloczyn skalarny < ·, · > w R2 speªnia wªasno±ci:
a) < x, y >=< y, x > dla dowolnych wektorów x, y ∈ Rn.
b) < ax, y >= a < x, y > dla dowolnych wektorów x, y ∈ Rn i liczby a ∈ R.
c) < (x + y), z >=< x, z > + < y, z > dla dowolnych wektorów x, y, z ∈ Rn. d) < x, x >≥ 0 dla dowolnego wektora x ∈ Rn. Ponadto, < x, x >= 0 ⇔ x = 0.
1
2
Zadanie 7. Sprawdzi¢ ortogonalno±¢ (prostopadªo±¢) poni»szych wektorów w Rn ze standardowym iloczynem skalarnym. Je±li nie s¡ prostopadªe, obliczy¢ k¡ty mi¦dzy nimi (a przynajmniej poda¢ kosinus takiego k¡ta i powiedzie¢, czy k¡t jest ostry czy rozwarty).
a) (4, −3), (3 + 4√
3, 4 − 3√ 3); b) (1, 2, 3), (3, 2, 4), (6, 5, −1);
c) (1, −1, 0), (2, 2, 3), (1, 5, −4);
d) (3, 1, −1), (−1, 4, 2), (−6, −2, 2);
e) (2, 1, 1, 1), (0, −3, 2, 1), (3, −2, −2, −2), (0, −1, −4, 5);
f) (0, 1, 2, −1), (4, 1, 0, 1), (−1, 3, −1, 1), (1, 1, 1, −1).
Zadanie 8. W R4 ze standardowym iloczynem skalarnym dane s¡ wektory:
x = (0, −1, 1, 2) i y = (3, 1, 2, 1). Dobra¢ a i b tak, by wektor z = (a, b, −1, 2) byª ortogonalny (prostopadªy) do x i do y.
Zadanie 9. W R4 ze standardowym iloczynem skalarnym dane s¡ wektory:
x = (1, 2, 0, 3) i y = (2, 3, −1, 0). Dobra¢ a i b tak, by wektor z = (0, 0, 1, 1) + ax + by byª ortogonalny (prostopadªy) do x i do y.
