Wst¦p do logiki i teorii mnogo±ci Kolokwium 2.

(1)

Imi¦ i nazwisko:

1 2 3 4 5 P

Wst¦p do logiki i teorii mnogo±ci Kolokwium 2.

Wrocªaw, 20 stycznia 2009

1. Niech R b¦dzie relacj¡ na zbiorze liczb caªkowitych dodatnich Z+ dan¡ wzorem a R b ⇐⇒ a|b².

Czy relacja R jest zwrotna?⁽¹^p.)Czy jest symetryczna?⁽¹^p.)Czy jest przechodnia?⁽²^p.) 2. Uzasadnij, »e zªo»enie R ◦ R, gdzie R jest relacj¡ z poprzedniego zadania, jest dane

wzorem:

a (R ◦ R) b ⇐⇒ a|b⁴.⁽³^p.) Wyznacz R⁻¹.⁽¹^p.)

3. Niech f b¦dzie funkcj¡ z X w Y . Udowodnij, »e f jest surjekcj¡ (czyli funkcj¡ na) wtedy i tylko wtedy, gdy

dla wszystkich A ⊆ X zachodzi Y \ f[A] ⊆ f[X \ A].⁽⁴^p.) 4. Niech ∼ b¦dzie relacj¡ na zbiorze liczba caªkowitych Z dan¡ wzorem

a ∼ b ⇐⇒ 3|a²− b².

Udowodnij, »e ∼ jest relacj¡ równowa»no±ci.⁽²^p.) Wyznacz klasy abstrakcji tej relacji.⁽²^p.) (W szczególno±ci nale»y poda¢ liczb¦ klas abstrakcji!)

5. Relacja ≺ na zbiorze P(R) dana jest wzorem

A ≺ B ⇐⇒ (A ⊆ B) ∧ (B \ A jest sko«czony).

Udowodnij, »e ≺ jest cz¦±ciowym porz¡dkiem.^(2p.) Znajd¹ wszystkie elementy mini- malne, maksymalne, najmniejsze i najwi¦ksze w porz¡dku ≺.⁽²^p.)

Mateusz Kwa±nicki