Przybliżenie quasiklasyczne (metoda WKB)
1Klasyczne równanie Hamiltona-Jacobiego
Rozważamy pojedynczą cząstkę klasyczna poruszającą się w niezależnym od czasu potencjale. Wówczas energia cząstki E jest stałą ruchu, czyli
E t t
H(r( ),p( ))= .
Ponieważ w równaniu Hamiltona-Jacobiego zmiennymi niezależnymi są składowe położenia cząstki w danej chwili czasu, więc z powyższego równania należy wyeliminować zmienne pędowe. Rozważmy w tym celu działanie, czyli
( )
∫
∫
= −=
t t
t V t T dt t L dt t S
0 0
) ' ( ) ' ( ' ) ' ( ' )
( ,
gdzie T i V oznaczają energię kinetyczną i potencjalną cząstki. Skoro T +V =E, więc V = E −T i mamy
(
T t E)
dtT t Etdt t S
t t
−
=
−
=
∫ ∫
0 0
) ' ( ' 2 )
' ( 2 ' )
( .
A zatem dS =2T(t)dt−Edt. Ponieważ ( ) 2
2 2
2 y z
m x
T = & + & + & , znajdujemy
Edt dz p dy p dx p Edt dt dz
dy dz dt dx dy dt m dx Edt dt t T
dS − = x + y + z −
+ +
=
−
=2 () .
Dostajemy więc relację =p
∂
∂
∂
∂
∂
= ∂
∇ z
S y S x
S S, , i otrzymujemy równanie Hamiltona-Jacobiego H(r,∇ ))S = E, co zapisujemy w jawnej postaci jako
E m V
S + =
∇ ( )
2 )
( 2
r .
Cząstka swobodna
Dla cząstki swobodnej (V =0) mamy
C S
mE
S = = ⇒ = ⋅ +
∇ )2 2 p2 p r
( ,
Wykład XIV cd. Mechanika kwantowa
Równanie Schrödingera
Rozważmy teraz równanie Schrödingera bez czasu ) ( )
( ) 2 (
2 2
r r
r ϕ Eϕ
m V =
∇ +
−h
, przyjmując funkcję falową w postaci (r) S(r)
i
eh
ϕ = . Szukając równania na nieznaną funkcję S(r) obliczamy:
) ( ) ( )
(r r i S r
∇
=
∇ϕ ϕ h ,
(
( ))
( ) ( )) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( 2 2 2 2
2 r r r r r r r r i S r
S i S
i S
∇ +
∇
−
=
∇ +
∇
∇
=
∇ ϕ ϕ h ϕ h ϕ h ϕ h ,
co daje
Widzimy, że w granicy h→0, dostajemy równanie Hamiltona-Jacobiego, czyli w tej granicy funkcja S pokrywa się z klasycznym działaniem.
Cząstka swobodna
Jak wiemy, rozwiązanie swobodnego równania Schrödingera z czasem, ma postać ( ,r)= 1 − (Et−p⋅r)
i
V e
t h
ψ , więc funkcja S jest wówczas równa klasycznemu działaniu.
( )
S V Em S i
m ∇ − ∇ ( )+ ( )= ) 2
2 (
1 2 2
r r
r h
Przybliżenie quasiklasyczne polega na poszukiwaniu rozwiązań równania Schrödingera w postaci (r) S(r)
i
eh
ϕ = i traktowaniu członu z h równania
(
∇S(r))
2−ih∇2S(r)=2m(
E−V(r))
,jako niewielkie zaburzenie ruchu klasycznego, co pozwala przedstawić funkcję S w postaci szeregu S =S0+hS1+h2S2+K
Rozwiązania quasiklasyczne równania Schrödingera
Rozważamy jednowymiarowe równanie Schrödingera bez czasu )
( )
( ) 2 2 (
2 2
x E x x dx V
d
m ϕ = ϕ
− h +
,
z funkcją falową w postaci ( ) S(x)
i
e x = h
ϕ , gdzie funkcja S( x) spełnia równanie
(
( ))
) 2 ( )
(
2 2 2
x V E dx m
x S i d dx
x
dS − = −
h .
Rozwiązania poszukujemy w postaci szeregu S =S0 +hS1+h2S2 +K. Rząd zerowy
W pierwszym kroku pomijamy człon zawierający h , co daje równanie na S0
(
( ))
) 2
( 2
0 m E V x
dx x
dS = −
.
Jeśli E≥V(x), wówczas wprowadzamy dodatnią, rzeczywistą funkcję
(
( ))
2 )
(x m E V x
p ≡ − mającą sens wartości bezwglednej klasycznego pędu.
GdyE<V(x), definiujemy dodatnią, rzeczywistą funkcję χ(x)≡ 2m
(
V(x)−E)
. Równanie na S0 ma wtedy postać
<
±
≥
= ±
), ( gdy
), (
), ( gdy
, ) ) (
0(
x V E x
i
x V E x
p dx
x dS
χ
więc rozwiązania zerowego rzędu równe są
<
±
≥
±
=
∫
∫
).
( gdy
, ) ' ( '
), ( gdy
, ) ' ( ' )
0(
x V E x
dx i
x V E x
p dx x
S x
x
χ
Dolne granice całkowania nie są na razie określone. Funkcja falowa ma postać
≥
∫
± i x
Wykład XIV cd. Mechanika kwantowa
Pierwszy rząd
Równanie na S1, czyli pierwszą poprawkę do klasycznego działania S0, otrzymujemy, wstawiając S =S0+hS1 do równania
(
( ))
) 2 ( )
(
2 2 2
x V E dx m
x S i d dx
x
dS − = −
h .
Pomijając wyrazy zawierające h w potędze wyższej niż pierwsza, dostajemy
(
( ))
) 2 ( )
( ) 2 (
) (
2 0 2 1
0 2
0 m E V x
dx x S i d dx
x dS dx
x dS dx
x
dS + − = −
h h .
Ponieważ spełnione jest równanie zerowego rzędu 0( ) 2 2 ( ( ))
x V E dx m
x
dS = −
mamy
) 0 ) (
) (
2 ( 02
2 1
0 − =
dx x S id dx
x dS dx
x
dS .
Równanie pierwszego rzędu zapisujemy w postaci
dx x dS
dx x S d i dx
x dS
) (
) ( 2
) (
0 2 0 2
1 = ,
co daje
<
≥
⇒ =
<
≥
=
).
( gdy
), ( ln
), ( gdy
, ) ( ln 2 ) ( ),
( gdy
), ( ) ( 1
), ( gdy
), ( ) ( 1
2 )
( 1
1
x V E dx x
d
x V E x
dx p d i dx
x dS x
V dx E
x d x
x V dx E
x dp x i p dx
x dS
χ χ χ
Rozwiązanie równe jest
<
+
≥
= +
), ( gdy
, ) ( ln
), ( gdy
, ) ( ln ) 2
(
2 1
1 x C E V x
x V E C
x i p
x
S χ
gdzie C1,C2 są dowolnymi stałymi. Zauważając, że
a
a 1a 1
ln exp 2ln
exp 1 =
=
− ,
funkcję falową w pierwszym rzędzie zapisujemy jako
( )
<
≥
± ∫
=
=
∫
+
), ( gdy
, ) ' ( 1 '
) exp (
), ( gdy
, ) ' ( ' ) exp
( )
( 0( ) 1( )
x V E x
x dx B
x V E x
p i dx x
p A e
x x
x
x S x i S
χ χ ϕ
h m
h h
h
gdzie A i B są stałymi normalizacyjnymi.
Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki Dla rozwiązania z E≥V(x) mamy
m dt A x v
dx m dx A x p dx A x
2 2
2 2
) ( )
) (
( = = =
ϕ ,
gdzie v(x) jest prędkością cząstki. Prawdopodobieństwo więc znalezienia cząstki w przedziale (x,x+dx) jest proporcjonalne do czasu dt, który cząstka spędza w tym przedziale, poruszając się z prędkością v(x).
Stosowalność przybliżenia quasiklasycznego Przybliżenie jest stosowalne, jeśli w równaniu
(
( ))
) 2 ( )
(
2 2 2
x V E dx m
x S i d dx
x
dS − = −
h
człon zawierający h jest faktycznie dużo mniejszy niż człon „klasyczny”, czyli
2 2 2
) ( )
(
dx x S d dx
x
dS >> h
.
Aby wyjaśnić sens tego warunku, podstawiamy ( ) 0( ) ( ) x dx p
x dS dx
x
dS = =± , co daje
dx x x dp
p ( )
)
2( >> h . Ponieważ długość fali de Broglie’a
p p h πh
λ= = 2 , dostajemy
A więc przybliżenie quasiklasyczne jest stosowalne, jeśli pęd cząstki lub długość fali de Broglie’a ulega podczas ruchu niedużym zmianom.
dx x d ( )
2 λ
π >>
