Wykład XV Mechanika kwantowa

Reguła kwantyzacji Bohra-Sommerfelda

Poszukujemy rozwiązań quasiklasycznych jednowymiarowego równania Schrödingera bez czasu

) ( ) ( ) 2 ² (

2 2

x E x x dx V

d

m ϕ = ϕ







− h +

,

z potencjałem wiążącym przedstawionym na rysunku.

Klasyczny ruch cząstki energii E polega na oscylacjach pomiędzy punktami a i b, zwanymi punktami powrotu. Obszary x<a i b<x są niedostępne. Ogólne rozwiązanie quasiklasyczne jest postaci















 <













<

 <



 



± ∫

 <













=

∫

∫

, gdy

, ) ' ( 1 '

)exp (

, gdy

, ) ' ( ' )exp

(

, gdy

, ) ' ( 1 '

)exp ( )

(

x b x

x dx C

b x a x

p i dx x

p B

a x x

x dx A

x

x x x

χ χ χ χ

ϕ

h m

h h m

gdzie A, B i C są stałymi. Należy określić jak rozwiązania z trzech obszarów

„zszyć” w punktach powrotu a i b.

Potencjał wokół punktu powrotu zastępujemy potencjałem liniowym

) ( ) ( ) ( ) ) (

) ( ( )

( x a V a F a x a

dx x a dV V x U

a x

−

−

=

− +

=

=

,

gdzie F(a) jest siłą działająca w punkcie powrotu a. Równanie Schrödingera z potencjałem U(x) tzn.

) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ² (

2 2

x E x a x a F a dx V

d

m ϕ = ϕ







− h + − −

, przybiera postać

0 ) ( ) )(

( 2

2 2

2

 =







 + mF a x−a x

dx

d ϕ

h ,

gdyż V(a)=E. Zauważmy, że ^{p(x)≡ 2m}

(

^E−V(x)

)

^{= 2mF(a)(x−a)} dla x>a oraz

Dokonujemy zamiany zmiennych z=α(x−a),

dz d dz

d dx dz dx

d = =α , co daje

0 ) ) (

( 2

3 2 2

2

 =







 + mF a z z

dz

d ϕ

α

h .

Przyjmując, że ^{α ≡}

(

^2mF(a)/h2

)

^1/3 dostajemy równanie 0

)

2 (

2

 =







 +z z

dz

d ϕ _,

którego przybliżone rozwiązanie dla dużych wartości z mają postać











∞

 →

 

 +

−∞

 →

 

−

≈

, gdy

4 , 3

sin 2

, gdy

3 , exp 2 ) 2

(

2 / 3 4

/ 1

2 / 3 4

/ 1

z z z

A

z z

z A z

ϕ π

gdzie A jest stałą normalizacyjną.

Pamiętając, że z=α(x−a), znajdujemy

) ' ( 1 '

) ' ( ' )

' ( ' '

3 '

2 3

0 2 /

3 dz z dx x a dx x a dxp x

z

x

a x

a x

a z

∫

∫

∫

∫

^{= − = − =}

= α α α h ,

gdzie x>a. Gdy z<0 tzn. x<a mamy

) ' ( 1 ' ) ' ( ' ) ' ( ' '

' '

' )

3(

2 ₃

0 0

2 /

3 dz z dz z dx a x dx a x dx x

z

a

x a

x x

a z

z

χ α

α

α

∫ ∫ ∫

∫

∫

^{=− − =− − = − =}

=

−

−

h .

A zatem rozwiązanie dla przypadku potencjału liniowego zapisujemy jako











<<



 



 +

<<



 



−

≈

∫

∫

, gdy

4 , ) ' ( 1 '

)sin (

, gdy

, ) ' ( 1 '

)exp ( ) 2

(

x a x

p x dx

p A

a x x

x dx A

x x

a a

x

π χ χ

ϕ

h h

gdzie A jest nową stałą normalizacyjną. Widzimy, że te rozwiązania mają taka samą postać jak rozwiązania quasiklasyczne z tym, że dolne granice całkowania są określone. Przyjmujemy jako postulat, że postać rozwiązań dla potencjału liniowego wyznacza sposób „zszywania” rozwiązań quasiklasycznych

Rozwiązanie quasiklasyczne dla potencjału przedstawionego na rysunku z punktami powrotu a i b ma postać



















 <



 



−

 <



 



 +

 <



 



 +

 <



 



−

=

∫

∫

∫

∫

. gdy

, ) ' ( 1 '

)exp ( 2

, gdy

4 , ) ' ( 1 '

) sin (

, gdy

4 , ) ' ( 1 '

) sin (

, gdy

, ) ' ( 1 '

)exp ( 2

) (

x b x

dx x

B

b x x

p x dx

p B

x a x

p dx x

p A

a x x

dx x

A

x

x

b b

x x

a a

x

χ χ

π π χ χ

ϕ

h h h

h

Widzimy, że wyrażenia dla a<x i x<b muszą być sobie równe, bo odpowiadają temu samemu obszarowi. A zatem musi zachodzić równość



 



 +

 =



 



¹

∫

^{' ( ')}+ ₄ ^{sin 1}

∫

^{' ( ')} ₄

sin π π

x p dx B

x p dx A

b

x x

a h

h .

Ponieważ dx'p(x') dx'p(x') dx'p(x')

x

a b

a b

x

∫

∫

∫

^{=+ − oraz sin(−ϕ)=sin(ϕ+π)}, prawą stronę równości przekształcamy



 



 − − +

=



 



−¹

∫

^{' ( ')}+¹

∫

^{' ( ')}+^π₄ ^{sin 1}

∫

^{' ( ') 1}

∫

^{' ( ') π}₄ ^π

sin dxp x dxp x B dxp x dxp x

B

b

a x

a b

a x

a h h h

h i otrzymujemy



 



 − +

=



 





∫

+

∫ ∫

4 ) 3 ' ( 1 '

) ' ( 1 '

4 sin ) ' ( 1 '

sin π π

x p dx x

p dx B

x p dx A

b

a x

a x

a h h

h ,

co ma postać Asin(ϕ)= Bsin(ϕ+α). Mamy dwa rodzaje rozwiązań tej równości:

1) A= B i

α

=2

π

n, 2) A=−B i

α

=2

π

n+

π

, gdzie n=0,±1,±2,K Widzimy więc, że

 



−

=

±

±

±

=

±

= ±

+

− ¹ ∫

^b

^{dx p ( x )} ₂ ^{0 ,} _, ^{2 ,} _{3 ,} ⁴ ₅ ^, _, ^gdy _gdy ^A _A ^{B ,} _{B .}

a

K

K

h π π π

π

π π

Pamiętając, że wartość pędu^{p(x)≡ 2m}

(

^E−V(x)

)

jest nieujemna, ostatecznie znajdujemy tzw. regułę kwantyzacji Bohra-Sommerfelda

 

 



 +

=

∫ ^{( )} = ₂ ^{, 3} ₂ ^{, 5} ₂ ^, ₂ ¹

1 dx p x n

b

a

π π

π

π _K

h

^,

gdzie

n = 0 , 1 , 2 , K

Najczęściej regułę Bohra-Sommerfelda zapisuje się jako

gdzie

∫

^dxp(x) oznacza całkę po pełnym cyklu ruchu klasycznego tzn.

( ) ∫

∫

∫

∫

^{≡ + − = b}

a a

b b

a

x p dx x

p dx x

p dx x

p

dx ( ) ( ) ( ) 2 ( ).

Reguła kwantyzacji Bohra-Sommerfelda pojawiła się najpierw jako postulat Starej teorii kwantów w roku 1915, a dopiero później, w roku 1926 została wyprowadzona na gruncie mechaniki kwantowej w pracach Wentzela, Kramersa i Brillouina przy wykorzystaniu przybliżenia quasiklasycznego.

Dygresja

Jak pamiętamy, w nieskończenie wysokiej studni, występują stany cząstki odpowiadające całkowitej wielokrotności połówek fali de Broglie’a. Można by więc oczekiwać, że podobny sens ma reguła Bohra-Sommerfelda. Tak jednak nie jest. Jeśli pęd wyrazić przez długość fali de Broglie’a

λ π^h

= 2

p , to mamy

, K

2

, 5

2

, 3

2

1

2

1

)

(  =



 



 +

∫ _λ ^dx _x = ⁿ

A więc nie występują tutaj parzyste wielokrotności połówek fali. Nie może to jednak bardzo zaskakiwać, gdyż przybliżenie quasiklasyczne nie stosuje się do nieskończenie wysokiej studni ze względu na gwałtowny skok potencjału.

K

h

h

h

h , 3 , 5 ,

2

2 1

)

( π  = π π π



 



 +

∫ ^{dx p x} = ⁿ

Zastosowanie reguły Bohra-Sommerfelda

Oscylator harmoniczny

Mamy cząstkę o energii E, poruszającą się w potencjale ^{2 2} 2 ) 1

(x m x

V = ω , więc

( )

0^{2 2}

2 2

2 2 1

) ( 2

)

(x m E V x m E m x m x x

p  = −



 



 −

=

−

≡ ω ω ,

gdzie ±x₀ są punktami powrotu, przy czym 2 2

0

2

ω

m x = E _. Reguła Bohra-Sommerfelda orzeka, że

K

h , 0 , 1 , 2 ,

2

) 1

(

0

0

 =



 



 +

∫ =

−

n

n

x

p

dx

x

x

π

Obliczamy lewą stronę

ω π ω ω

ω E dt t ^E

t dt x m x x dx m x p dx

x

x x

x

=

−

=

−

=

−

=

∫ ∫ ∫

∫

−

−

−

1

0

2 1

1

2 2

0 2

2

0 4 1

1 )

(

0

0 0

0

. Ostatnią całkę wyliczamy podstawiając t=sinϕ,

∫

∫

∫

^{− = − = /2 =}

0

2 2

/

0

2 1

0

2

cos 4 sin

1 cos 1

π

π

π

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

d

d t

dt _.

A więc zgodnie z regułą Bohra-Sommerfelda

K

h , 0 , 1 , 2 ,

2

1  =



 



 +

= n n

E

_n

ω

co pokrywa się ze ścisłym wynikiem wyprowadzonym w wykładzie VI. Trochę to zaskakuje, gdyż można było oczekiwać, że reguła Bohra-Sommerfelda da dokładny wynik tylko dla dużych n, kiedy dobrze działa przybliżenie quasiklasyczne. Dla dużych n bowiem, długość fali de Broglie’a jest mała w porównaniu z charakterystycznym rozmiarem układu identyfikowanym tutaj jako2x₀. Reguła Bohra-Sommerfelda działa więc lepiej niż można się było spodziewać.

Potencjał „trójkątny”

Rozważamy cząstkę o energii E≤0,

poruszającą się w potencjale pokazanym na rysunku











<

≤

≤

−

−

−

<

=

x a

a x a a V

V x

a x x

V

, 0

, , 0 )

( _{0 0}

Dla −a≤x≤a znajdujemy

( )

x x

a mV a

V x V E m x

V E m x

p  = −









 + −

=

−

≡ _{0 0} 2 ⁰ ₀

2 ) ( 2

)

( ,

gdzie punktami powrotu są −x₀ i a V

V x E

0 0 0

≡ + .

Reguła Bohra-Sommerfelda orzeka, że

K

h , 0 , 1 , 2 ,

2

) 1

(

0

0

 =



 



 +

∫ =

−

n

n

x

p

dx

x

x

π

Obliczywszy lewą stronę jako

2 ,

3

4

3

2

2 2

2 2

2 2

)

(

2 / 3

0 0 2 0

/ 3 0 0

0 0

0

0 0

0 0

0

0

 



 

 +

=

=

=

−

= ∫ ∫

∫

−

V a

V

E

a

x mV

a

mV

x

a dx

x mV

x

a dx

x mV

p

dx

x x

x

x

znajdujemy

K

h , 0 , 1 , 2 ,

2

1

2

3

4

^3/2

0 0

0

 =



 



 +

 =





 

 +

n

n

V a

V

E

a

mV π

co daje

3 /



2

 π  