Przekrój czynny i amplituda rozpraszania
Rozważamy sytuację, kiedy wiązka cząstek pada na próbkę materiału – tarczę i tory cząstek ulegają zakrzywieniu. Definiujemy różniczkowy przekrój czynny
Ω d
dσ , określając prawdopodobieństwa na jednostkę czasu
Ω Ω d
P( ) zarejestrowania cząstki w kącie bryłowym dΩ rozproszonej pod kątem
) , (θ ϕ
=
Ω :
Ω Ω
=
Ω
Ω
dd nd S d
P
σ
)
(
,gdzie n jest liczbą centrów rozpraszania w tarczy, a S jest strumieniem cząstek wiązki, czyli liczbą cząstek padających na powierzchnię prostopadłą do kierunku wiązki w jednostce czasu.
Jak pokazuje rysunek, liczba cząstek dN, które trafiają w powierzchnię A w czasie dt, jest równa dN = ρAvdt, gdzie ρ jest gęstością cząstek, a v ich prędkością prostopadłą do powierzchni. A ponieważ
dt dN S A1
≡ , znajdujemy strumień jako ρv
=
S .
Różniczkowy przekrój czynny
Ω d
dσ ma wymiar powierzchni. Jeśli trafi w nią cząstka wiązki, ulega rozproszeniu w kąt bryłowy dΩ. Wielkość
σ ≡ ∫dΩ
ddΩ σ
, to całkowity
przekrój czynny równy powierzchni, w którą musi trafić cząstka by ulec
rozproszeniu w jakikolwiek kąt.
Rozważmy klasyczne zderzenie cząstek o promie- niach a i b. Jak wynika z rysunku całkowity przekrój czynny na oddziaływanie tych cząstek to σ =π(a+b)2, tzn. środek cząstki, powiedzmy, o promieniu b musi trafić w powierzchnię σ =π(a+b)2, aby doszło do zderzenia.
Wykład XVII cd. Mechanika kwantowa
Kwantowo-mechaniczna definicja przekroju czynnego
Problem rozpraszania rozważamy w układzie centrum masy systemu pocisk-tarcza. Ponieważ zakładamy nieobecność sił zewnętrznych, mamy do czynienia z cząstką o masie zredukowanej układu pocisk-tarcza poruszającej w potencjale reprezentującym oddziaływanie wzajemne. Przyjmujemy, że cząstki padające na tarczę poruszają się wzdłuż osi z i postulujemy, że funkcja falowa cząstek padających i rozproszonych ma na dużych odległościach od tarczy przybiera następującą postać asymptotyczną
+ Ω
= r
f e V e
ikr
ikz ( )
) 1
ϕ
(r ,gdzie
h k 2mE
≡ jest wektorem falowym cząstki o energii E i masie m. Człon eikz odpowiada fali padającej,
r eikr
jest kulistą falą rozproszoną, f(Ω) to amplituda rozpraszania, V jest czynnikiem wynikającym z „normalizacji w pudełku”. Widzimy, że amplituda rozpraszania ma wymiar długości.
Prawdopodobieństwo rozproszenia cząstki na jednostkę czasu w kąt bryłowy dΩ równe jest
Ω
=
Ω
Ω
d Nn r dP
( ) v ϕ
s(
r)
2 2 ,gdzie N i n są, odpowiednio liczbą cząstek padających i cząstek tarczy, v jest prędkością względną,
r f e
V
ikr
s 1 ( )
)
(r = Ω
ϕ
częściąfunkcji falowej odpowiadającą fali rozproszonej, a r2d
Ω
powierzchnią podstawy stożka pokazanego na rysunku. PonieważΩ Ω
=
Ω
Ω
dd n d d
P
σ
ρ v
)
(
, mamyΩ
= Ω
Ω
Ω
dd n d d
r f
V n
N
σ
ρ v
)
(
v
2 2 czyli.
)
( Ω
2Ω =
f d dσ
Dalej będziemy zakładać, że, tak jak się dzieje w przypadku potencjałów sferycznie symetrycznych, prawdopodobieństwo rozpraszania nie zależy od kąta azymutalnego ϕ. Wówczas f(Ω)= f(θ), a
∫
∫
∫
−
=
Ω =
Ω
≡
1
1
2 0
2
2 (cos ) ( )
)
(
sin
2 π θ θ θ π θ θ
σ σ
π
f d
f d d
d d .
Rozkład na fale parcjalne
Przyjmujemy, że potencjał oddziaływania jest sferycznie symetryczny, więc funkcję falową można zapisać w postaci
∑ ∑
∞= =−
=
0
) , ( ) ( )
, , (
l l
l m
lm l
lmR r Y
C
r
θ ϕ θ ϕ
ϕ
,gdzie Ylm(
θ
,ϕ
)to harmoniki sferyczne. Skoro przyjęliśmy, że rozpraszanie nie zależy od kąta azymutalnego ϕ, więc jedyną dopuszczalna wartością m jest=0
m . PonieważYl0(
θ
,ϕ
)~ Pl(cosθ
), gdzie Pl(cosθ
) jest wielomianem Legendre’a, rozkład funkcji falowej przyjmuje postać∑
∞=
=
0
) (cos )
( )
, (
l
l l
lR r P
C
r
θ θ
ϕ
.Rozkład danej wielkości na sumę wkładów o określonych l nosi nazwę rozkładu na fale parcjalne.
Gdy zasięg potencjału jest skończony, równanie Schrödingera dla dużych r jest równaniem swobodnym. Rozwiązanie takiego równania we współrzędnych sferycznych zapisujemy jako
∑ ∑
∞= =−
=
0
) , ( ) ( )
, , (
l l
l m
lm l
lmR r Y
C
r
θ ϕ θ ϕ
ϕ
,gdzie radialna część funkcji falowej równa jest ) ( )
( )
(r A j kr Bn kr Rl = l l + l l ,
przy czym jl(x) i nl(r) to tzw. sferyczne funkcje Bessela, które dla x>> l(l+1) można przybliżyć jako
−
≈1sin )
( l
x x
j π
, ≈−1cos − )
( l
x x
n π
.
Wykład XVII cd. Mechanika kwantowa
Tak zatem radialną część funkcji falowej, opisującej rozpraszanie na potencja- łach o skończonym zasięgu, zapisujemy jako
− + l
l
kr l r kr
R π δ
sin 2
~ 1 )
( .
Powyższy wzór można traktować jako definicję przesunięcia fazowego δl .
Funkcja falowa przyjmuje postać
2 . 2 exp
exp ) 2 (cos
) 2 (cos
sin )
, (
0 0
∑
∑
∞
=
∞
=
− + −
−
− +
=
− +
=
l
l l
l l l
l l l
l i ikr i l i
ikr i ikrP
C
l P kr kr
r C
π δ π δ
θ
θ π δ
θ ϕ
(*)
Uwaga: Ściśle rzecz biorąc powyższy wzór, który występuje bodaj we wszystkich podręcznikach mechaniki kwantowej, jest matematycznie niepoprawny, gdyż przy sumowaniu po l do nieskończoności następuje w którymś momencie naruszenie warunku
) 1 ( +
>> ll
kr . Jednak wyprowadzenia wykorzystujące takie (rozbieżne) szeregi są poprawne, jeśli nie wykonywane jest sumowanie po l, a rozważane są jedynie wyrazy o określonym l.
Problem opisany jest w pracy: R. Maj and St. Mrówczyński, Inaccurate use of asymptotic formulas, American Journal of Physics 72, 922 (2004).
Teraz dokonujemy rozkładu na fale parcjalne asymptotycznej funkcji falowej
r f e e r
ikr
ikz ( )
) ,
( θ θ
ϕ = + , gdzie pominęliśmy czynnik normalizacyjny.
Falę padającą rozkładamy dzięki matematycznej tożsamości
( ) ( ) ∑
∞=
+
=
=
0
) (cos ) ( ) 1 2 ( cos
exp exp
l
l l
lj kr P
i l ikr
ikz θ θ .
Przybliżając funkcje Bessela dla x>> ll( +1) jako
−
≈ 1sin 2 )
( l
x x x
jl π
i zauważając,
że
=
exp 2l i
il π
dostajemy
( )
( ) ( )
(
exp exp)
.) 2 (cos
) 1 2 (
) 2 (cos
2 sin )exp
1 2 exp (
0 0
∑
∑
∞
=
∞
=
+
− + −
=
−
= +
l
l l
l
l i ikr ikr
ikr P l
l P l kr
kr i ikz l
π
θ
π θ
π
Wykład XVII cd. Mechanika kwantowa
Rozkładając amplitudę rozpraszania jako
∑
∞=
=
0
) 2 (cos
) (
l
l
l P
ik
f
θ
Aθ
dostajemy
( ) ( )
[ ]
∑
∞=
+
− +
− +
+
= +
=
0
exp ) 1 2 ( exp
) 1 2 ( ) 2 (cos
1 ) ( )
, (
l
l l
ikr ikz
l i ikr l
ikr A
l ikrP
r f e e r
π θ
θ θ
ϕ
(**)
Funkcję falową mamy więc zapisaną na dwa sposoby (*) i (**). Równość obu postaci dla wszystkich r wymaga, żeby były sobie równe współczynniki przy Pl(cosθ)eikr i przy Pl(cosθ)e−ikr . A zatem
( )
+
=
−
+ +
=
− +
, exp ) 1 2 2 (
exp
, ) 1 2 2 (
exp
l i l
l i i C
A l
l i i C
l l
l l
l
π π δ
π δ
co daje
+
+
= l
l l i
i l
C π δ
exp 2 ) 1 2
( oraz Al =(2l+1)
(
exp(
i2δl)
−1)
. Ostatecznie więc mamyWidzimy, że przesunięcia fazowe są tak zdefiniowane, że gdy znikają (δl =0), amplituda rozpraszania jest zerowa (f(
θ
)=0). Metodę rozkładu na fale parcjalne stosuje się zwykle wtedy, gdy już kilka pierwszych wyrazów szeregu daje zadawalający wynik.Różniczkowy przekrój czynny
Ω d
dσ dany jest wzorem
( )
( )
2
2 (2 1) exp 2 1 (cos )
)
( =
∑
∞ + −= l i P
d f
θ
δ
σ θ
.
( )
( )
∑
∞=
+ −
=
0
) (cos 1
2 2 exp
) 1 2 ) (
(
l
l
l P
ik i
f
θ
lδ θ
Wykład XVII cd. Mechanika kwantowa
Całkowity przekrój czynny σ obliczamy w następujący sposób
( )
(
exp 2 1) (
exp(
2)
1)
(cos ) (cos ). )1 ' 2 )(
1 2 ( )
2 (cos
) ( ) (cos 2
1
1 0
' 0
' 2 '
1
1
2
∫ ∑∑
∫
∫
−
∞
=
∞
=
−
−
−
− +
+
=
= Ω Ω
=
l
l l
l l
l i P P
i l
l k d
f d
d d d
θ
θ
δ
δ
π θ
θ
θ
σ π
σ
Korzystając z warunku ortogonalności wielomianów Legendre’a
∫
− = +
1
1
'
' 2 1
) 2 (cos ) (cos )
(cos l l ll
P l P
d θ θ θ δ ,
znajdujemy
( )
( ) ( ( ) )
∑
∞=
−
−
− +
=
0
2 (2 1) exp 2 1 exp 2 1
l
l
l i
i
k
π
lδ δ
σ
.Ponieważ
( )
(
exp i2δl −1) (
exp(
−i2δl)
−1)
=(
exp( )
iδl −exp(
−iδl) ) (
exp(
−iδl)
−exp( )
iδl)
=4sin2δl, ostatecznie otrzymujemyTwierdzenie optyczne
Ponieważ Pl(cos
θ
=1)=1, więc∑
∞( ( ) )
=
+ −
=
=
0
1 2 2 exp
) 1 2 ) (
0 (
l
i l
ik
f
θ
lδ
.Obliczmy urojoną część amplitudy „rozpraszania do przodu” (θ =0)
( ) ( )
( )
∑
∞=
−
− + +
= =
−
= =
= ℑ
0
2 2 exp 2
2 exp ) 1 2 ( 2
1 2
) 0 (
* ) 0 ) (
0 (
l
l
l i
ik i l i i
f
f f θ θ δ δ
θ .
Ponieważ exp
(
i2δl)
+exp(
−i2δl)
−2=(
exp( )
iδl +exp(
−iδl) )
2 =−4sin2δl, mamyTwierdzenie optyczne, będące fundamentalnym wynikiem teorii rozpraszania, wiąże się w istocie z zasadą zachowania prawdopodobieństwa. Ugięcie o kąt zerowy odpowiada właściwie brakowi rozproszenia. Prawdopodobieństwo zaś braku rozproszenia określa prawdopodobieństwo rozproszenia na dowolny kąt,
∑
∞=
+
=
0
2 2 (2 1)sin 4
l
l l
k
π δ
σ
) 0 4 (
= ℑ
=
π θ
σ
fk
